2025年河北省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．）

1.從5℃上升了5℃后的溫度，在溫度計上顯示正確的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用，根據(jù)題意計算得出550，找到顯示為0℃的即可求解．

【詳解】解：550

故選：B．

2.榫卯結(jié)構(gòu)是兩個構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個構(gòu)件的截面圖，其中AD∥BC，

ABC70，則BAD（）

A.70B.100C.110D.130

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DABABC180，結(jié)合題意，即可求解．

【詳解】解：∵AD∥BC，

∴DABABC180，

∵ABC70，

∴BAD110，

故選：C．

3.計算：(106)(106)（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，利用平方差公式直接計算，即可求解．

【詳解】解：(106)(106)(10)2(6)21064

故選：B．

4.“這么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘濟橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲化石，他想了解

其長度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）．回家后量出照片上筆和化石的長度分別為7cm和4cm，

筆的實際長度為14cm，則該化石的實際長度為（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】C

【解析】

74

【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，設(shè)該化石的實際長度為xcm，根據(jù)題意得出，即可求解．

14x

【詳解】設(shè)該化石的實際長度為xcm，依題意，

74

，

14x

解得：x8

故選：C．

5.一個幾何體由圓柱和正方體組成，其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左主視圖視圖為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)畫三視圖的方法，發(fā)揮空間想象能力，結(jié)合主視圖和俯視圖，從左側(cè)看下方是一個長方形，

上面中間是一個小正方形，據(jù)此即可求解．

【詳解】解：從左側(cè)看下方是一個長方形，上面中間是一個小正方形，

故選：A．

6.若一元二次方程x(x2)30的兩根之和與兩根之積分別為m，n，則點(m,n)在平面直角坐標(biāo)系中

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，點的坐標(biāo)；將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，利用根與系數(shù)的

關(guān)系求出兩根之和與積，再根據(jù)點的坐標(biāo)判斷所在象限．

【詳解】解：原方程xx230展開并整理為標(biāo)準(zhǔn)形式：x22x30

其中a1，b2，c3．

b2c3

∴m2，n3．

a1a1

∴點m,n即2,3的橫、縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，故位于平面直角坐標(biāo)系的第三象限．

故選：C．

7.拋擲一個質(zhì)地均勻的正方體木塊（6個面上分別標(biāo)有1，2，3中的一個數(shù)字），若向上一面出現(xiàn)數(shù)字1

11

的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，則該木塊不可能是（）

23

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了根據(jù)概率求數(shù)量，根據(jù)題意得出數(shù)字1有3個，數(shù)字2有2個，則數(shù)字3只有1個，結(jié)

合選項，即可求解．

11

【詳解】解：正方體共6個面，向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，

23

∴數(shù)字1有3個，數(shù)字2有2個，則數(shù)字3只有1個

選項A中數(shù)字3有2個，符合題意

故選：A．

a212a36

8.若a3，則（）

a26a

A.3B.1C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值，將分式化簡后代入求值，即可求解．

2

a212a36a6a6

【詳解】解：

a26aaa6a

36

當(dāng)a3時，原式1

3

故選：B．

9.如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，BC，分別交直線DE于點M，N．若添加下列

一個條件后，仍無法判定△MAE∽△DCN，則這個條件是（）

A.B4180B.CD∥ABC.14D.23

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)B4180時，可證明

CD∥BM，由平行線的性質(zhì)得到∠CDN∠AME，∠AEM=∠CND，則可證明△MAE∽△DCN，

據(jù)此可判斷A、B；由平行線的性質(zhì)可得1B180，則B4180，同理可判斷C；D中條件

結(jié)合已給條件不能證明△MAE∽△DCN．

【詳解】解：A、∵B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故A不符合題意；

B、∵CD∥AB，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故B不符合題意；

C、∵AE∥BC，

∴1B180，

∵14，

∴B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故C不符合題意；

D、根據(jù)23結(jié)合已知條件不能證明△MAE∽△DCN，故D符合題意；

故選：D．

4

10.在反比例函數(shù)y中，若2y4，則（）

x

1

A.x1B.1x2C.2x4D.4<x<8

2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了反比例數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的范圍求解．

4

【詳解】解：∵y，40，當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小，

x

4

當(dāng)y2時，x2，

2

4

當(dāng)y4時，x1

4

∴當(dāng)2y4時，1x2，

故選：B．

11.如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A落在A處，AD交BC于點E．將CDE沿DE折疊，

點C落在VBDE內(nèi)的C處，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.145B.1C.290D.22

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了矩形的折疊問題，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵；結(jié)果矩形的性質(zhì)的可得AD∥BC，C90，則ADB1，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)得

出2190，22，即可求解．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，C90

∴ADB1

∵折疊

∴ADBADB

∴1ADB

∵DEC90，即2190

1

∴145，故A不正確

2

∵BDECDE

∴1，故B不正確

∵折疊，

∴CEDCED

∵21802CED1802902，故C不正確，D選項正確

故選：D．

12.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點．如圖，正方形EFGH與正方形OABC的頂

點均為整點．若只將正方形EFGH平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有A，B，C三個整點，則平移后

點E的對應(yīng)點坐標(biāo)為（）

711823339

A.,B.,C.,2D.,

55510224

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖象，一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求得直線FG的解析式為y2x1，根

據(jù)選項判斷平移方式，結(jié)合題意，即可求解．

【詳解】解：設(shè)直線FG的解析式為ykxb，代入1,1,0,1

1kb

∴

1b

k2

∴

b1

∴直線FG的解析式為y2x1

∵E1,2，

71121

A.當(dāng)E為,時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，

5555

21

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時經(jīng)過原點，對應(yīng)的EH經(jīng)過整點2,1，

55

符合題意，

82333

B.當(dāng)E為,時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，

510510

331

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時原點在FG下方，對應(yīng)的EH在整點

5102

2,1上方，不符合題意，

31

C.當(dāng)E為,2時，平移方式為向右平移個單位，，

22

1

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時點2,0在正方形內(nèi)部，不符合題意，

2

3911

D.當(dāng)E為,時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，

2424

1

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時點1,2和2,1在正方形內(nèi)部，不符合題意，

2

故選：A．

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）

13.計算：2a24a2______．

【答案】6a2

【解析】

【分析】本題考查了合并同類項，掌握合并同類項法則是解題的關(guān)鍵．

直接根據(jù)合并同類項法則計算即可．

【詳解】解：2a24a26a2，

故答案為：6a2．

14.平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為n．若n為整數(shù)，則n的值可以為______．（寫

出一個即可）

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得出1n7，

進(jìn)而寫出一個整數(shù)解即可求解．

【詳解】解：依題意，43n43

∴1n7，

∵n為整數(shù)，

∴n可以是2，3，4，5，6

故答案為：2（答案不唯一）．

12

15.甲、乙兩張等寬的長方形紙條，長分別為a，b．如圖，將甲紙條的與乙紙條的疊合在一起，形成

35

長為81的紙條，則ab______．

【答案】99

【解析】

【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，一元一次方程的應(yīng)用，由題意可知：重疊部分為：

125

ab，設(shè)疊部分的長度為k，則a3k，bk，根據(jù)重疊后的總長度為81為等量關(guān)系列出關(guān)于k

352

的一元一次方程，求解即可得出答案．

12

【詳解】解：由題意可知：重疊部分為：ab，

35

5

設(shè)重疊部分的長度為k，則a3k，bk，

2

重疊后的總長度為：akbkk81，即abk81，

55

代入a3k，bk得：3kkk81，

22

解得：k18，

5

a31854，bk45，

2

∴ab99，

∴故答案為：99．

16.2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，活動主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低近視率”，

圖是一幅眼肌運動訓(xùn)練圖，其中數(shù)字112對應(yīng)的點均勻分布在一個圓上，數(shù)字0對應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字

012對應(yīng)的點為端點的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段

6262

的長為______．（參考數(shù)據(jù)：sin15，sin75）

44

【答案】62

2

【解析】

【分析】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點O作ODAB于點D，首

62

先得到線段AB的長與其他的都不相等，然后求出BOD75，解直角三角形求出BD，然

4

后利用三線合一求解即可．

【詳解】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點O作ODAB于點D

由圖可得，線段AB的長與其他的都不相等，

∵其中數(shù)字112對應(yīng)的點均勻分布在一個圓上，

∴3601230

∴相鄰兩個數(shù)字與圓心O組成的圓心角為30

∴AOB305150

1

∴OABOBA180AOB15

2

∵ODAB

∴BOD75

BD62BD

∴sinBODsin75，即

OB41

62

∴BD

4

∵OAOB，ODAB

62

∴AB2BD．

2

∴這條線段的長為62．

2

故答案為：62．

2

【點睛】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對等角，三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識點．

三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．

17.（1）解不等式2x6，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；

（2）解不等式3x5，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；

2x6

（3）直接寫出不等式組的解集．

3x5

【答案】（1）x3，見解析；（2）x2，見解析；（3）2x3

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，求不等式組的解集，熟知解不

等式和解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．

（1）把不等式兩邊同時除以2求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；

（2）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；

（3）先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無

解）”求出不等式組的解集即可．

【詳解】解：（1）2x6

不等式兩邊同時除以2得x3，

數(shù)軸表示如下所示：

（2）3x5

移項得：x53，

合并同類項得：x2，

系數(shù)化為1得：x2，

數(shù)軸表示如下所示：

2x6①

（3）

3x5②

解不等式①得：x3，

解不等式②得：x2，

∴原不等式組的解集為2x3．

18.（1）一道習(xí)題及其錯誤的解答過程如下：請指出在第幾步開始出現(xiàn)錯誤，并選擇你喜歡的方法寫出正

確的解答過程．

125

計算：(6)．

236

125

解：(6)

236

125

666第一步

236

345第二步

4．第三步

211

（2）計算：|22|(2)

24

【答案】（1）原計算第一步開始出錯；2；（2）12

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算，實數(shù)的混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵；

（1）第一步計算分配律時符號出錯；

（2）按照實數(shù)的混合運算法則進(jìn)行，先計算括號里面的，再從左到右依次計算乘除．

【詳解】解：（1）原計算第一步開始出錯；

125

(6)

236

125

666

236

345

2；

211

（2）|22|(2)

24

1

224

4

12

19.如圖．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，ACAD，DACB=DADB，點F在ED上，

BAFEAD．

（1）求證：ABC≌AFD；

（2）若BEFE，求證：ACBD．

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；

（1）先證明BACFAD，結(jié)合ACAD，DACB=DADB，即可得到結(jié)論；

（2）先證明ABAF，結(jié)合BEFE即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：∵BAFEAD，

∴BACFAD，

∵ACAD，DACB=DADB，

∴ABC≌AFD；

【小問2詳解】

證明：∵ABC≌AFD，

∴ABAF，

∵BEFE，

∴AEBF，即ACBD.

20.某工廠生產(chǎn)A，B，C，D四種產(chǎn)品．為提升產(chǎn)品的競爭力，該工廠計劃對部分種類的產(chǎn)品優(yōu)化生產(chǎn)

流程，降低成本；對其他種類的產(chǎn)品增加研發(fā)投入，提升品質(zhì)．經(jīng)研究，該工廠做出了甲、乙兩種調(diào)整方

案，這兩種方案將對四種產(chǎn)品的成本產(chǎn)生不同的影響．下面是該工廠這四種產(chǎn)品的部分信息：a．調(diào)整前，

各產(chǎn)品年產(chǎn)量的不完整的條形統(tǒng)計圖（圖1）和扇形統(tǒng)計圖（圖2）．b．各產(chǎn)品單件成本的核算情況統(tǒng)計表

及說明．說明：對于統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同．根

據(jù)以上信息，解答下列問題：

產(chǎn)品

AB

CD

數(shù)據(jù)類別

調(diào)整前單價成本（元/件）18262036

方案

1322m40

甲

調(diào)整后單價成本（元/件）

方案

16n1832

乙

（1）求調(diào)整前A產(chǎn)品的年產(chǎn)量；

（2）直接寫出m，n的值；

（3）若調(diào)整后這四種產(chǎn)品的年產(chǎn)量均與調(diào)整前的相同，請通過計算說明甲、乙兩種方案哪種總成本較低．

【答案】（1）60萬件

（2）m25，n28

（3）甲種方案總成本較低

【解析】

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，求平均數(shù)與中位數(shù)，從統(tǒng)計圖表中獲取信息是解

題的關(guān)鍵；

（1）先求得總產(chǎn)量，然后求得C的年產(chǎn)量，最后求得A產(chǎn)品的年產(chǎn)量；

（2）根據(jù)方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，即可求解；

（3）分別計算甲、乙兩種方案的成本，比較大小，即可求解．

【小問1詳解】

4020%200萬件，

C產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：20015%30萬件，

∴調(diào)整前A產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：20070304060萬件

【小問2詳解】

∵方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，

∴18262036132240m

解得：m25，

2026

∵方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，調(diào)整前，中位數(shù)為23

2

18n

調(diào)整后為23，

2

∴n28

【小問3詳解】

解：方案甲的總成本為：13602270253040404670（萬元）

方案乙的總成本為：16602870183032404740（萬元）

46704740

∴甲種方案總成本較低

21.如圖1，圖2，正方形ABCD的邊長為5．扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，且不與點D重

合，半徑OE2，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，DEDF(DE2)，扇形OEF的弧交線段OB于

點M，記為EMF．

（1）如圖1，當(dāng)AE3時，求EMF的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)四邊形OEMF為菱形時，求DE的長；

（3）當(dāng)EOF150時，求EMF的長．

【答案】（1）45

（2）6

5π7π

（3）或

33

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意證明出四邊形EOFD是正方形，得到EOF90，然后利用圓周角定理求解即可；

1

（2）首先證明出△OEM是等邊三角形，如圖所示，連接EF交BD于點G，求出MGOGEM1，

2

EGEM2MG23，然后得到EGD是等腰直角三角形，進(jìn)而求解即可；

（3）分兩種情況，根據(jù)弧長公式求解即可．

【小問1詳解】

∵正方形ABCD的邊長為5．

∴ADCD5

∵當(dāng)AE3時

∴EDDF2

∵OEOF2

∴EDDFOEOF

∴四邊形EOFD是菱形

∵EDF90

∴四邊形EOFD是正方形

∴EOF90

1

∴EMFEOF45；

2

【小問2詳解】

∵四邊形OEMF為菱形

∴EMMFOEOF

∵扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，

∴OEOMEM2

∴△OEM是等邊三角形

如圖所示，連接EF交BD于點G

∴EFBD

1

∴MEGMEO30

2

1

∴MGOGEM1

2

∴EGEM2MG23

∵EDG45

∴EGD是等腰直角三角形

∴EGDG3

∴EDEG2DG26；

【小問3詳解】

如圖所示，當(dāng)EMF是劣弧時，

∵EOF150，半徑OE2

150π25π

∴EMF；

1803

如圖所示，當(dāng)EMF是優(yōu)弧時，

∵EOF150，半徑OE2

∴360150210

210π27π

∴EMF．

1803

5π7π

綜上所述，EMF的長為或．

33

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，求弧長，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．

22.一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長度的增加稱為線膨脹．在0~100℃（本題涉及的溫

度均在此范圍內(nèi)），原長為lm的銅棒、鐵棒受熱后，伸長量y(m)與溫度的增加量x℃之間的關(guān)系均為

，其中為常數(shù)，稱為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)5（單位：）；

ylxCu1.710/℃

原長為2.5m的鐵棒從20℃加熱到80℃伸長了1.8103m．

（1）原長為0.6m的銅棒受熱后升高50℃，求該銅棒的伸長量（用科學(xué)記數(shù)法表示）．

4

（2）求鐵的線膨脹系數(shù)Fe；若原長為1m的鐵棒受熱后伸長4.810m，求該鐵棒溫度的增加量．

（3）將原長相等的銅棒和鐵棒從0℃開始分別加熱，當(dāng)它們的伸長量相同時，若鐵棒的溫度比銅棒的高20℃，

求該鐵棒溫度的增加量．

【答案】（1）5.1104m

（）5，

2Fe1.210/℃40℃

（3）68℃

【解析】

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)ylx，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解；

（2）根據(jù)定義求得鐵的線膨脹系數(shù)Fe，進(jìn)而設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x1，根據(jù)題意列出一元一次方程，

解方程，即可求解；

（3）設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x2，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．

【小問1詳解】

解：0.6501.71055.1104m，

答：該銅棒的伸長量5.1104m．

【小問2詳解】

3

解：2.5Fe80201.810，

解得：5，

Fe1.210/℃

設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x1，根據(jù)題意得，

44，

11.210x14.810

℃

解得：x140，

答：鐵的線膨脹系數(shù)5，該鐵棒溫度的增加．

Fe1.210/℃40℃

【小問3詳解】

解：設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x2，根據(jù)題意得，

55

1.710x2201.210x2，

℃

解得：x268，

答：該鐵棒溫度的增加量為68℃．

23.綜合與實踐

［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護(hù)板（如圖1），需找到合適的切割線．

［模型］已知矩形ABCD（數(shù)據(jù)如圖2所示）．作一條直線MN，使MN與BC所夾的銳角為45，且將

矩形ABCD分成周長相等的兩部分．

［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問題．

［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問題．

［拓展］操作和探究中蘊含著一般性結(jié)論，請繼續(xù)研究下面的問題．

如圖3，嘉嘉的思路如下：如圖4，淇淇的方法如下：

①連接AC，BD交于點O；①在邊BC上截取BGAB，連接AG；

②過點O作EFBC，分別交BC，AD于②作線段GC的垂直平分線l，交BC于

點E，F(xiàn)點M；

……③在邊AD上截取ANGM，作直線

MN．

（1）圖2中，矩形ABCD的周長為______；

（2）在圖3的基礎(chǔ)上，用尺規(guī)作圖作出直線MN（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）根據(jù)淇淇的作圖過程，請說明圖4中的直線MN符合要求．

（4）如圖5，若直線PQ將矩形ABCD分成周長相等的兩部分，分別交邊AD，BC于點P，Q，過點B作

BHPQ于點H，連接CH．

①當(dāng)PQC45時，求tanBCH的值；

②當(dāng)BCH最大時，直接寫出CH的長．

【答案】（1）10；（2）見解析；

3

（3）；

13

3

（4）；②22．

13

【解析】

【分析】1根據(jù)矩形的周長公式計算即可；

2以點E為圓心EO為半徑畫弧，交BC于點M，延長MO交AD于點N，連接MN，由作圖可知

OME是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證NMC45，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證

AON≌COM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證ANCM，DNBM，從而可證直線MN把矩形分成

了周長相等的兩部分，所以線段MN即為所求；

3根據(jù)矩形的性質(zhì)可證四邊形AGMN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證

NMGAGB45，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以證明書ANCM，BMDN，所

以可以證明ANABBMCMCDDN，所以直線MN把矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，

從而可證直線MN符合要求；

4①過點H作HGBC，連接AC交PQ于點O，過點P作PKBC于點K，過點O作OTBC，

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：APCQ，PDBQ，ABDCPK1，根據(jù)勾股定理可以求出PQ2，

21

利用AAS可證AOP≌COQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：POQO，OTQT，從而

22

53313

可得：CQ，BQ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：HG，CG，根據(jù)正切的定義可以

2244

求出BCH的正切；

②連接AC交PQ于點O，PQ把矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，點O為AC和PQ的中點，利用

17

勾股定理可以求出AC17，LH，過點L作LTBC，則BLT∽BDC，根據(jù)相似三角形

4

1145

的性質(zhì)可以求出LT，BT1，CT3，在RtCLT中，利用勾股定理可得：CL2，在RtCLH

416

中，利用勾股定理即可求出CH的長度．

【小問1詳解】

解：四邊形ABCD是矩形，

ABCD，ADBC

AB1，AD4，

ABCD1，ADBC4，

矩形ABCD的周長為2ABCD21410，

故答案為：10；

【小問2詳解】

解：如下圖所示，

以點E為圓心EO為半徑畫弧，交BC于點M，延長MO交AD于點N，線段MN即為所求，

EFBC，

BEF90，

EMEO，

EOM是等腰直角三角形，

OME45，

矩形ABCD的對角線交于點O，

AOCO，

四邊形ABCD是矩形，

ADBC，ADBC，

AONCOM，

OANOCM

在AON和COM中，AOCO，

AONCOM

AON≌COM，

ANCM，

DNBM，

ANABBMCMCDDN，

直線MN把矩形ABCD分成周長相等的兩部分；

【小問3詳解】

證明：四邊形ABCD是矩形，

B90，ADBC，

BGAB，

AGB45，

ANMG，

四邊形AGMN是平行四邊形，

MNAG，

NMGAGB45，

直線l是GC的垂直平分線，

GMCM，

GMCMAN，

BMBCCM，DNADAN，

BMDN，

ANABBMCMCDDN，

MN把矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，

直線MN符合要求；

【小問4詳解】

①解：如下圖所示，過點H作HGBC，連接AC交PQ于點O，過點P作PKBC于點K，過點O

作OTBC，

四邊形ABCD是矩形，且直線PQ將矩形ABCD分成周長相等的兩部分，

則點O是矩形ABCD的對角線AC與BD的交點，

點O是AC的中點，

1

BTCTBC2，

2

APCQ，PDBQ，ABDCPK1，

PQC45，

PQK是等腰直角三角形，

PKQK1，

PQPK2QK212122，

四邊形ABCD是矩形，

ADBC，

APQCQP45，

AOPCOQ

在AOP和COQ中，APOCQP，

APCQ

AOP≌COQ，

21

POQO，OTQT，

22

15

CQCTQT2，

22

53

BQBCCQ4，

22

BQHPQC45，

BHPQ于點H，

BHQ90，

BHQ是等腰直角三角形，

11335313

HGGQBQ，CGCQGQ，

2224244

3

HG3

tanBCH4；

CG1313

4

②解：如下圖所示，連接BD交PQ于點O，

PQ把矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，

點O為BD和PQ的中點，

BHPQ，

點H在以BO為直徑的L上，

當(dāng)CH與L相切時，BCH最大，

AB1，AD4，

BD124217，

117

BOAC，

22

17

LHBLOL，

4

過點L作LTBC，

BTL90，

四邊形ABCD是矩形，

BCD90，

TLCD

則BLT∽BDC，

BLLTBT

，

BDCDBC

17

LTBT，

4

1714

1

LT，BT1，

4

CTBCBT413，

145

CL2TL2CT2，

16

CH是L的切線，

CHL90，

2

221451714517．

CHCLHL822

1641616

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、

勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的綜合性較強，難度較大，需要綜合運用矩形、圓、切線等圖

形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解．

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2bxc經(jīng)過點A(0,3)，B(6,3)，頂點為P．拋物線

21

ya(x3)d(a0)經(jīng)過點C,2．兩條拋物線在第一象限內(nèi)的部分分別記為L，L．

212

（1）求b，c的值及點P的坐標(biāo)．

23

（2）點D在L上，到x軸的距離為．判斷L能否經(jīng)過點D，若能，求a的值；若不能，請說明理由．

142

（3）直線AE:ykxn(k0)交L1于點E，點M在線段AE上，且點M的橫坐標(biāo)是點E橫坐標(biāo)的一

半．

①若點E與點P重合，點M恰好落在L2上，求a的值；

②若點M為直線AE與L2的唯一公共點，請直接寫出k的值．

【答案】（1）b6,c3，P3,12

（2）不能，理由見解析

11

（3）①a；②k615

8

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，熟

練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵；

（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

231231231

（）根據(jù)題意得出，代入拋物線解析式得出或，，而經(jīng)過點C,2和

2yDD,L2

424242

11

,2，即可得出結(jié)論；

2

3151

（3）①先求得M,，和C,2代入解析式，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

222

21

②根據(jù)題意得出直線AE的解析式為ykx3，根據(jù)ya(x3)d(a0)經(jīng)過點C,2，得出

2

2511

ya(x3)22aax26axa2，聯(lián)立直線解析式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出

44

6ak6akk26a