超幾何分布試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.超幾何分布中，隨機變量\(X\)表示（）A.成功的次數(shù)B.次品數(shù)C.抽取的特定類型元素個數(shù)D.試驗次數(shù)答案：C2.一批產(chǎn)品共\(N\)件，其中有\(zhòng)(M\)件次品，從中任取\(n\)件，取到次品數(shù)\(X\)服從超幾何分布，則\(X\)的取值范圍是（）A.\(0\leqX\leqn\)B.\(0\leqX\leqM\)C.\(0\leqX\leq\min(n,M)\)D.\(X\geq0\)答案：C3.超幾何分布的概率公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)中，\(C_{N}^{n}\)表示（）A.從\(N\)個元素中取\(n\)個元素的排列數(shù)B.從\(N\)個元素中取\(n\)個元素的組合數(shù)C.從\(n\)個元素中取\(N\)個元素的組合數(shù)D.從\(M\)個元素中取\(n\)個元素的組合數(shù)答案：B4.已知\(N=10\)，\(M=3\)，\(n=4\)，則\(P(X=2)\)的值為（）A.\(\frac{1}{10}\)B.\(\frac{3}{10}\)C.\(\frac{1}{5}\)D.\(\frac{2}{5}\)答案：B5.超幾何分布與二項分布的區(qū)別在于（）A.超幾何分布是有放回抽樣，二項分布是無放回抽樣B.超幾何分布是無放回抽樣，二項分布是有放回抽樣C.兩者沒有區(qū)別D.超幾何分布試驗次數(shù)固定，二項分布不固定答案：B6.從\(50\)件產(chǎn)品（其中\(zhòng)(5\)件次品）中任取\(3\)件，取到次品數(shù)\(X\)的概率\(P(X=1)\)為（）A.\(\frac{C_{5}^{1}C_{45}^{2}}{C_{50}^{3}}\)B.\(\frac{C_{5}^{1}C_{45}^{2}}{A_{50}^{3}}\)C.\(\frac{C_{5}^{1}C_{45}^{2}}{C_{50}^{2}}\)D.\(\frac{C_{5}^{1}C_{45}^{2}}{A_{50}^{2}}\)答案：A7.若超幾何分布\(X\simH(15,5,3)\)，則\(P(X=0)\)的值為（）A.\(\frac{C_{5}^{0}C_{10}^{3}}{C_{15}^{3}}\)B.\(\frac{C_{5}^{1}C_{10}^{2}}{C_{15}^{3}}\)C.\(\frac{C_{5}^{2}C_{10}^{1}}{C_{15}^{3}}\)D.\(\frac{C_{5}^{3}C_{10}^{0}}{C_{15}^{3}}\)答案：A8.超幾何分布中，若\(N\)很大，\(n\)相對于\(N\)較小時，超幾何分布近似于（）A.正態(tài)分布B.均勻分布C.二項分布D.泊松分布答案：C9.從\(8\)個正品和\(2\)個次品的\(10\)個產(chǎn)品中，不放回地抽取\(3\)次，每次取一個，取到次品數(shù)\(X\)，則\(P(X=3)\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{1}{120}\)C.\(\frac{1}{15}\)D.\(\frac{1}{20}\)答案：A10.超幾何分布中隨機變量\(X\)的均值\(E(X)\)為（）A.\(n\frac{M}{N}\)B.\(n\frac{N}{M}\)C.\(\frac{M}{N}\)D.\(\frac{N}{M}\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于超幾何分布的說法正確的是（）A.試驗是不放回抽樣B.總體分為兩類不同的元素C.隨機變量是抽取的某類元素個數(shù)D.超幾何分布的概率公式是\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)答案：ABCD2.超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)中，參數(shù)\(N\)、\(M\)、\(n\)滿足（）A.\(N\gt0\)B.\(M\gt0\)C.\(n\gt0\)D.\(n\leqN\)E.\(M\leqN\)答案：ABCDE3.從\(10\)個球（其中\(zhòng)(3\)個紅球，\(7\)個白球）中任取\(4\)個球，用超幾何分布描述取到紅球數(shù)\(X\)，則（）A.\(N=10\)B.\(M=3\)C.\(n=4\)D.\(X\)取值為\(0,1,2,3\)答案：ABCD4.超幾何分布與二項分布在以下哪些方面有區(qū)別（）A.抽樣方式B.概率公式形式C.隨機變量取值范圍D.總體元素性質(zhì)答案：AB5.以下哪些情況可以用超幾何分布來描述（）A.從一批產(chǎn)品中抽檢，產(chǎn)品分為合格與不合格兩類B.從一個班級學(xué)生中選若干人，學(xué)生分為男生和女生兩類C.從一副撲克牌中抽取若干張，撲克牌分為紅色和黑色兩類D.從一群動物中選取若干只，動物分為健康和生病兩類答案：ABCD6.對于超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)，隨機變量\(X\)的取值可能是（）A.\(0\)B.\(k\)（\(0\leqk\leq\min(n,M)\)）C.\(n\)D.\(M\)答案：ABC7.超幾何分布的概率公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，其中（）A.\(C_{M}^{k}\)表示從\(M\)個特定元素中取\(k\)個的組合數(shù)B.\(C_{N-M}^{n-k}\)表示從\(N-M\)個非特定元素中取\(n-k\)個的組合數(shù)C.\(C_{N}^{n}\)是從\(N\)個元素中取\(n\)個元素的組合數(shù)D.\(k\)的取值范圍由\(n\)和\(M\)共同決定答案：ABCD8.已知超幾何分布\(X\simH(12,4,5)\)，則（）A.\(N=12\)B.\(M=4\)C.\(n=5\)D.\(X\)的最大值為\(4\)答案：ABCD9.超幾何分布中隨機變量\(X\)的方差\(D(X)\)與（）有關(guān)A.\(N\)B.\(M\)C.\(n\)D.抽樣方式答案：ABC10.若從\(N\)個產(chǎn)品（含\(M\)個次品）中抽取\(n\)個產(chǎn)品，關(guān)于取到次品數(shù)\(X\)的超幾何分布，下列說法正確的是（）A.\(X\)是離散型隨機變量B.\(P(X=k)\)恒大于\(0\)C.\(\sum_{k=0}^{\min(n,M)}P(X=k)=1\)D.\(E(X)=n\frac{M}{N}\)答案：ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.超幾何分布是有放回抽樣的概率模型。（）答案：錯誤2.超幾何分布中隨機變量\(X\)的取值一定是整數(shù)。（）答案：正確3.超幾何分布\(X\simH(N,M,n)\)中，\(n\)可以大于\(N\)。（）答案：錯誤4.從\(10\)個蘋果（\(3\)個壞蘋果）中任取\(4\)個，取到壞蘋果數(shù)\(X\)服從超幾何分布\(H(10,3,4)\)。（）答案：正確5.超幾何分布的概率公式中組合數(shù)\(C_{N}^{n}\)表示從\(n\)個元素中選\(N\)個的組合數(shù)。（）答案：錯誤6.當(dāng)\(N\)很大，\(n\)相對于\(N\)較小時，超幾何分布近似于二項分布。（）答案：正確7.超幾何分布中隨機變量\(X\)的均值\(E(X)=n\frac{N}{M}\)。（）答案：錯誤8.從一批產(chǎn)品中無放回地抽取\(n\)件，產(chǎn)品分為合格與不合格兩類，抽到合格產(chǎn)品數(shù)服從超幾何分布。（）答案：正確9.超幾何分布\(X\)的取值范圍是\(0\)到\(M\)。（）答案：錯誤10.超幾何分布的概率\(P(X=k)\)中\(zhòng)(k\)可以取任意實數(shù)。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述超幾何分布的定義答案：超幾何分布是統(tǒng)計學(xué)上一種離散概率分布。它描述了從有限\(N\)個物件（其中包含\(M\)個指定種類的物件）中抽出\(n\)個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數(shù)（不放回）。2.超幾何分布與二項分布在抽樣方式上有何不同答案：超幾何分布是無放回抽樣，即每次抽取后總體數(shù)量和各部分?jǐn)?shù)量都會改變；二項分布是有放回抽樣，每次抽取時總體的情況保持不變。3.寫出超幾何分布的概率公式并說明各參數(shù)含義答案：概率公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)。\(N\)是總體容量，\(M\)是總體中某類元素個數(shù)，\(n\)是樣本容量，\(k\)是樣本中該類元素個數(shù)，\(C\)為組合數(shù)。4.當(dāng)總體數(shù)量\(N\)很大時，超幾何分布有什么特點答案：當(dāng)\(N\)很大，\(n\)相對于\(N\)較小時，超幾何分布近似于二項分布。此時無放回抽樣對總體影響極小，可近似看作有放回抽樣，概率計算等性質(zhì)與二項分布相近。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實際應(yīng)用中，如何判斷一個問題適合用超幾何分布來解決答案：當(dāng)問題滿足以下條件適合用超幾何分布：一是總體有限且可分為兩類不同元素；二是進行不放回抽樣；三是關(guān)注抽取的樣本中某類元素的個數(shù)。比如抽檢產(chǎn)品中次品數(shù)、從不同性別人群中選特定性別人數(shù)等問題。2.超幾何分布的均值和方差在實際中有什么意義答案：均值\(E(X)=n\frac{M}{N}\)能反映在一次抽樣中，平均能抽到的特定元素個數(shù)。方差\(D(X)\)衡量抽取結(jié)果圍繞均值的離散程度。在質(zhì)量控制、資源分配等實際場景中，可幫助預(yù)估和評估結(jié)果的穩(wěn)定性與可靠性。3.舉例說明超幾何分布在生活中的應(yīng)用答案：如在一個班級\(50\)人（\(