二

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1.通過教材掌握幾個(gè)有關(guān)正整數(shù)n的結(jié)論.2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.1.觀察、歸納、猜想、證明的辦法剖析:這種辦法解決的問題重要是歸納型問題或探索型問題,命題的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索,而歸納與探索多數(shù)狀況下是從特例、特殊狀況入手,得到一種結(jié)論,但這個(gè)結(jié)論不一定對(duì)的,由于這是靠不完全歸納法得出的,因此,需要給出一定的邏輯證明,因此,通過觀察、分析、歸納、猜想,探索普通規(guī)律,其核心在于對(duì)的的歸納猜想,如果歸納不出對(duì)的的結(jié)論,那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無法進(jìn)行了.在觀察與歸納時(shí),n的取值不能太少,否則將得出錯(cuò)誤的結(jié)論.前幾項(xiàng)的關(guān)系可能只是特殊狀況,不含有普通性,因而,要從多個(gè)特殊事例上探索普通結(jié)論.2.從“n=k”到“n=k+1”的辦法與技巧剖析:在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中,從“n=k”到“n=k+1”的過渡,運(yùn)用歸納假設(shè)是比較困難的一步,它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題同樣,只需拼湊出所需要的構(gòu)造來,而證明不等式的第二步中,從“n=k”到“n=k+1”,只用拼湊的辦法,有時(shí)也行不通,由于對(duì)不等式來說,它還涉及“放縮”的問題,它可能需要通過“放大”或“縮小”的過程,才干運(yùn)用上歸納假設(shè),因此,我們能夠運(yùn)用“比較法”“綜正當(dāng)”“分析法”等來分析從“n=k”到“n=k+1”的變化,從中找到“放縮尺度”,精確地拼湊出所需要的構(gòu)造.題型一題型二題型三題型四分析:先通過n取比較小的值進(jìn)行歸納猜想,擬定證明方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.題型一題型二題型三題型四當(dāng)n=1時(shí),21=2>12=1,當(dāng)n=2時(shí),22=4=22,當(dāng)n=3時(shí),23=8<32=9,當(dāng)n=4時(shí),24=16=42,當(dāng)n=5時(shí),25=32>52=25,當(dāng)n=6時(shí),26=64>62=36.故猜想當(dāng)n≥5(n∈N+)時(shí),2n>n2,題型一題型二題型三題型四下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(1)當(dāng)n=5時(shí),2n>n2顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥5,且k∈N+)時(shí),不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),則當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(由于(k-1)2>2).由(1)(2)可知,對(duì)一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.總而言之,題型一題型二題型三題型四反思運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,核心是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜想出證明的方向.再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.題型一題型二題型三題型四(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并闡明理由;(2)設(shè)數(shù)列{an}(n∈N+)滿足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),證明:存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的n∈N+,都有an≤M.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證:對(duì)一切正整數(shù)n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.分析:(1)由題設(shè)條件知,可用構(gòu)造新數(shù)列的辦法求得an;(2)能夠等價(jià)變形,視為證明新的不等式.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思本題提供了用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的一種證明思路,即要證明的不等式不一定非要用數(shù)學(xué)歸納法去直接證明,我們通過分析法、綜正當(dāng)?shù)绒k法分析,能夠找到某些證明的核心,“要證明……”,“只需證明……”,轉(zhuǎn)化為證明其它某一種條件,進(jìn)而闡明要證明的不等式是成立的.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四分析:這類問題,普通都是先取Pn,Qn的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察,以謀求規(guī)律,作出猜想,再證明猜想的對(duì)的性.題型一題型二題型三題型四解:P1=1+x=Q1,P2=1+2x+x2=Q2,P3=1+3x+3x2+x3,Q3=1+3x+3x2,P3-Q3=x3,由此推測(cè),Pn與Qn的大小要由x的符號(hào)來決定.(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時(shí)(下列再對(duì)x進(jìn)行分類):①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn.②若x=0,則Pn=Qn.③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,因此P3<Q3.題型一題型二題型三題型四P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,因此P4<Q4.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3,k∈N+)時(shí),有Pk<Qk(k≥3),則當(dāng)n=k+1時(shí),Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.因此當(dāng)n≥3,且x∈(-1,0)時(shí),Pn<Qn.反思本題中,n的取值會(huì)影響Pn與Qn的大小變化,變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系,這就規(guī)定我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí),不能只顧“n”,而