2024—2025學(xué)年上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(★)1.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)______．(★★)2.函數(shù)的定義域?yàn)開___.(★)3.已知常數(shù)且，假設(shè)無論為何值，函數(shù)的圖像恒經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．(★)4.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________．(★★★)5.若（為常數(shù)）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．(★★)6.已知，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的值是__________．(★★)7.兩正數(shù)a與b的幾何平均值為2，則與的算術(shù)平均值的最小值為________．(★★)8.若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為________．(★)9.中，，則__________．(★★★)10.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________．(★★★)11.定義在上的函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為__________．(★★★★★)12.已知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②存在，使得；③對(duì)于任意的，都有；④對(duì)于任意的，都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．二、單選題(★)13.已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（）

A．B．C．D．(★★)14.設(shè)與是兩個(gè)不同的冪函數(shù)，記，則中的元素個(gè)數(shù)的可能是（）.

A．0、1、2、B．1、2、3C．1、2、3、4D．0、1、2、3(★★)15.中，以下與“”不等價(jià)的是（）

A．B．C．D．(★★)16.已知函數(shù)定義域和值域均為，有兩個(gè)命題：命題若對(duì)任意，且，都有，則是增函數(shù)；命題若對(duì)任意，且，都有，則是奇函數(shù).則正確的說法是（）

A．命題是真命題，命題也是真命題B．命題是真命題，命題是假命題C．命題是假命題，命題是真命題D．命題是假命題，命題也是假命題三、解答題(★★)17.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(★★★)18.已知，函數(shù)為奇函數(shù)，為常數(shù)．(1)求的值；(2)若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(★★★)19.數(shù)學(xué)家在研究平面幾何問題時(shí)分別總結(jié)出如下結(jié)論：①四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓的充要條件是四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)．②（托勒密定理）任意凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立．③婆羅摩笈多面積定理）若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)見圖1，若，求線段長(zhǎng)度的最大值，并求出此時(shí)線段長(zhǎng)度；(2)見圖2，若，求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)角的大小．(★★★)20.已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，求解不等式；(3)當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值．(★★★★)21.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，求證：；(3)求證：“函數(shù)具有性質(zhì)”的充要條件是“對(duì)任意的，成立”．四、填空題(★★★★)22.“三角形內(nèi)角嵌入不等式”是英國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·沃爾斯滕霍姆所提出的平面幾何中的一個(gè)不等式，在不至于引起歧義的情況下簡(jiǎn)稱“嵌入不等式”．該不等式指出，若、、是的三個(gè)內(nèi)角，則對(duì)任意實(shí)數(shù)、、，有：，不等式的取等條件為：存在實(shí)數(shù)，使得．根據(jù)上述材料，解決以下問題：