解三角形題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$A=60^{\circ}$，則$\frac{a+b+c}{\sinA+\sinB+\sinC}=$（）A.2B.$\sqrt{3}$C.$2\sqrt{3}$D.62.在$\triangleABC$中，已知$a=5$，$b=3$，$C=120^{\circ}$，則$c=$（）A.7B.$\sqrt{19}$C.4D.$\sqrt{34}$3.已知$\triangleABC$中，$a=4$，$b=4\sqrt{3}$，$A=30^{\circ}$，則$B$等于（）A.$60^{\circ}$B.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$C.$30^{\circ}$D.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$4.在$\triangleABC$中，$a=1$，$b=\sqrt{3}$，$A=30^{\circ}$，則$\triangleABC$的面積為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{4}$D.$\sqrt{3}$5.在$\triangleABC$中，若$\sinA:\sinB:\sinC=3:5:7$，則$C$等于（）A.$30^{\circ}$B.$60^{\circ}$C.$120^{\circ}$D.$150^{\circ}$6.已知$\triangleABC$中，三邊$a=2$，$b=4$，$c=3$，則$\cosB$的值為（）A.$\frac{11}{16}$B.$\frac{7}{8}$C.$\frac{1}{4}$D.$-\frac{1}{4}$7.在$\triangleABC$中，若$a=2b\cosC$，則$\triangleABC$一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形8.已知$\triangleABC$中，$A=45^{\circ}$，$a=\sqrt{2}$，$b=1$，則$B$等于（）A.$30^{\circ}$B.$60^{\circ}$C.$135^{\circ}$D.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$9.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{37}$，則最大內(nèi)角為（）A.$150^{\circ}$B.$135^{\circ}$C.$120^{\circ}$D.$90^{\circ}$10.在$\triangleABC$中，已知$a=2$，$b=2\sqrt{2}$，$A=30^{\circ}$，則$B$為（）A.$45^{\circ}$B.$45^{\circ}$或$135^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下能確定唯一三角形的條件有（）A.$a=1$，$b=2$，$A=30^{\circ}$B.$a=2$，$b=1$，$A=150^{\circ}$C.$a=2$，$b=3$，$A=45^{\circ}$D.$a=3$，$b=4$，$A=60^{\circ}$2.在$\triangleABC$中，下列等式正確的是（）A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$B.$a\sinB=b\sinA$C.$a=b\sinA$D.$\frac{a}{\sinB}=\frac{\sinA}$3.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則（）A.$\triangleABC$是直角三角形B.$\sinA=\frac{3}{5}$C.$\cosB=\frac{4}{5}$D.面積為64.在$\triangleABC$中，若$\sin^2A+\sin^2B=\sin^2C$，則（）A.$C=90^{\circ}$B.$a^2+b^2=c^2$C.三角形是直角三角形D.無法確定三角形形狀5.對于$\triangleABC$，下列說法正確的是（）A.若$a=8$，$b=16$，$A=30^{\circ}$，則$B$有兩解B.若$a=18$，$b=20$，$A=150^{\circ}$，則$B$無解C.若$a=30$，$b=25$，$A=150^{\circ}$，則$B$有一解D.若$a=12$，$b=10$，$A=60^{\circ}$，則$B$有兩解6.在$\triangleABC$中，已知$a=2$，$b=\sqrt{2}$，$A=45^{\circ}$，則（）A.$B=30^{\circ}$B.$B=150^{\circ}$C.$c=\sqrt{3}+1$D.$c=\sqrt{3}-1$7.以下關(guān)于三角形面積公式正確的是（）A.$S=\frac{1}{2}ab\sinC$B.$S=\frac{1}{2}bc\sinA$C.$S=\frac{1}{2}ac\sinB$D.$S=\frac{abc}{4R}$（$R$為外接圓半徑）8.在$\triangleABC$中，若$a\cosA=b\cosB$，則$\triangleABC$可能是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形9.已知$\triangleABC$中，三邊之比$a:b:c=2:\sqrt{6}:(\sqrt{3}+1)$，則（）A.最小內(nèi)角為$30^{\circ}$B.最大內(nèi)角為$120^{\circ}$C.三個內(nèi)角之比為$1:2:3$D.最小內(nèi)角為$45^{\circ}$10.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=5$，$\sinA=\frac{1}{3}$，則（）A.$\sinB=\frac{5}{9}$B.$\cosB=\pm\frac{2\sqrt{14}}{9}$C.該三角形有兩解D.該三角形只有一解判斷題（每題2分，共10題）1.在$\triangleABC$中，一定有$a\sinA=b\sinB$。（）2.已知三角形兩邊及其中一邊的對角，三角形有唯一解。（）3.在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2\gtc^2$，則$C$為銳角。（）4.三角形三邊之比為$3:5:7$，則其最大角為$120^{\circ}$。（）5.若$\sinA\gt\sinB$，則$A\gtB$在$\triangleABC$中一定成立。（）6.已知$a=4$，$b=5$，$A=30^{\circ}$，用正弦定理能求出唯一的$B$。（）7.在$\triangleABC$中，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$為外接圓半徑）。（）8.若三角形三邊為$a$，$b$，$c$，且$a^2+c^2-b^2\gt0$，則$B$為鈍角。（）9.已知$a=3$，$b=4$，$C=60^{\circ}$，則三角形面積為$3\sqrt{3}$。（）10.在$\triangleABC$中，若$a=2$，$b=3$，$A=60^{\circ}$，則此三角形無解。（）簡答題（每題5分，共4題）1.在$\triangleABC$中，已知$a=5$，$b=4$，$\cosC=\frac{3}{5}$，求$c$的值。答案：根據(jù)余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，將$a=5$，$b=4$，$\cosC=\frac{3}{5}$代入，得$c^2=25+16-2×5×4×\frac{3}{5}=17$，所以$c=\sqrt{17}$。2.在$\triangleABC$中，$A=60^{\circ}$，$a=\sqrt{3}$，$b=1$，求$B$。答案：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，可得$\sinB=\frac{b\sinA}{a}$。將$A=60^{\circ}$，$a=\sqrt{3}$，$b=1$代入，得$\sinB=\frac{1×\sin60^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$。因?yàn)?a\gtb$，所以$A\gtB$，則$B=30^{\circ}$。3.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{13}$，求三角形面積。答案：先求$\cosC$，由余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9+16-13}{2×3×4}=\frac{1}{2}$，則$\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。根據(jù)面積公式$S=\frac{1}{2}ab\sinC$，可得$S=\frac{1}{2}×3×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。4.在$\triangleABC$中，已知$\sinA:\sinB:\sinC=2:3:4$，求$\cosC$。答案：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，可得$a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC=2:3:4$，設(shè)$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k\gt0$）。再由余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4k^2+9k^2-16k^2}{2×2k×3k}=-\frac{1}{4}$。討論題（每題5分，共4題）1.在$\triangleABC$中，已知$a$，$b$和$A$，討論三角形解的個數(shù)情況。答案：當(dāng)$A$為鈍角或直角時，若$a\gtb$，有一解；若$a\leqb$，無解。當(dāng)$A$為銳角時，若$a\geqb$，有一解；若$a\ltb$，$a\gtb\sinA$有兩解，$a=b\sinA$有一解，$a\ltb\sinA$無解。2.請討論正弦定理和余弦定理在解三角形中的作用及適用情況。答案：正弦定理用于已知兩角和一邊、已知兩邊和其中一邊的對角解三角形；余弦定理用于已知三邊、已知兩邊及其夾角解三角形。正弦定理可實(shí)現(xiàn)邊角互化，余弦定理可求角或邊，在不同條件下靈活選用能更簡便解題。3.已知在$\triangleABC$中，$a$，$b$，$c$分別為角$A$，$B$，$C$所對的邊，討論如何根據(jù)已知條件判斷三角形的形狀。答案：可通過邊的關(guān)系，如$a=b$為等腰，$a^2+b^2=c^2$為直角等；也可通過角的關(guān)系，如$A=B$為等腰。利用正弦、余弦定理將邊與角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，綜合判斷三邊或三角關(guān)系來確定形狀。4.在解三角形中，面積公式有多種形式，討論它們在不同已知條件下的應(yīng)用。答案：$S=\frac{1}{2}ab\sinC$等形式，已知兩邊及其夾角時直接用；$S=\frac{abc}{4R}$，已知三邊和外接圓半徑可用；$S=\sqrt{p(p-a)(p