高考1987數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列各題中，不是實(shí)數(shù)的是（）

A.$\sqrt{9}$B.$\sqrt{-9}$C.$\pi$D.$\frac{1}{2}$

2.如果$a>b$，那么下列不等式中正確的是（）

A.$a-b>0$B.$a+b>0$C.$-a+b>0$D.$-a-b>0$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$，若$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，則該數(shù)列的公差$d$等于（）

A.1B.2C.3D.4

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）

A.$y=x^2$B.$y=|x|$C.$y=x^3$D.$y=x^4$

5.已知一個(gè)等比數(shù)列的公比為$q$，且$|q|<1$，則下列各式中，正確的是（）

A.$a_1+a_2>a_3$B.$a_1+a_2<a_3$C.$a_1+a_2=a_3$D.無(wú)法確定

6.下列各題中，不是等差數(shù)列的是（）

A.$\{1,4,7,10,\ldots\}$B.$\{2,4,6,8,\ldots\}$C.$\{3,6,9,12,\ldots\}$D.$\{5,8,11,14,\ldots\}$

7.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時(shí)取得最小值，則下列各式中，正確的是（）

A.$a>0$B.$b=0$C.$c>0$D.$a+b+c=0$

8.已知一個(gè)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=20$，$S_9=54$，則該數(shù)列的公差$d$等于（）

A.1B.2C.3D.4

9.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

A.$y=x^2$B.$y=|x|$C.$y=x^3$D.$y=x^4$

10.已知一個(gè)等比數(shù)列的公比為$q$，且$|q|<1$，則下列各式中，正確的是（）

A.$a_1+a_2>a_3$B.$a_1+a_2<a_3$C.$a_1+a_2=a_3$D.無(wú)法確定

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列各題中，屬于實(shí)數(shù)的是（）

A.$\sqrt{16}$B.$\sqrt{-16}$C.$\pi$D.$\frac{1}{2}$E.$\sqrt{3}$

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開(kāi)口向上，則下列條件中正確的是（）

A.$a>0$B.$b>0$C.$c>0$D.$a+b+c>0$E.$ab>0$

3.下列各題中，屬于等差數(shù)列的是（）

A.$\{1,4,7,10,\ldots\}$B.$\{2,4,6,8,\ldots\}$C.$\{3,6,9,12,\ldots\}$D.$\{5,8,11,14,\ldots\}$E.$\{1,3,5,7,\ldots\}$

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）

A.$y=x^2$B.$y=|x|$C.$y=x^3$D.$y=x^4$E.$y=x^5$

5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=-1$時(shí)取得最大值，則下列條件中正確的是（）

A.$a>0$B.$b<0$C.$c<0$D.$a+b+c<0$E.$ab<0$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____。

2.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____。

3.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)為$(1,0)$和$(3,0)$，則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_____。

4.若函數(shù)$f(x)=|x-1|$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,0)$對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_____。

5.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列數(shù)列的前$n$項(xiàng)和：

數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n^2-2n+1$。

2.解下列不等式組：

$$\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y\leq10

\end{cases}$$

3.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求函數(shù)在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2+2n$，求該數(shù)列的第一項(xiàng)$a_1$和公差$d$。

5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=2^n-1$，求該數(shù)列的第一項(xiàng)$a_1$和公比$q$。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.D

3.B

4.C

5.D

6.D

7.A

8.C

9.B

10.A

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.ACDE

2.ACD

3.ABCDE

4.BC

5.ACE

三、填空題（每題4分，共20分）

1.$a_n=a_1+(n-1)d$

2.$a_n=a_1q^{n-1}$

3.$f(x)=x^2-4x+3$

4.$f(x)=|x-1|$

5.$f(x)=\frac{1}{x}$

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解：數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=\sum_{i=1}^{n}(3i^2-2i+1)$。通過(guò)分組求和和公式計(jì)算可得：

$$S_n=3\sum_{i=1}^{n}i^2-2\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1=3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\frac{n(n+1)}{2}+n=n^3-n$$

2.解：通過(guò)畫(huà)圖或代數(shù)方法求解不等式組。首先將不等式組化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

$$\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y\leq10

\end{cases}$$

解得不等式組的解集為$x>\frac{3}{2}y+3$和$x\leq-4y+10$，結(jié)合這兩個(gè)不等式可以找到解集的交集。

3.解：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。首先求導(dǎo)得$f'(x)=2x-4$，令$f'(x)=0$得$x=2$，這是函數(shù)的極值點(diǎn)。檢查端點(diǎn)值和極值點(diǎn)，得到$f(1)=0$，$f(2)=-1$，$f(3)=0$，因此最大值為0，最小值為-1。

4.解：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n=3n^2+2n$，求第一項(xiàng)$a_1$和公差$d$。由等差數(shù)列的性質(zhì)知$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，將$S_n$的表達(dá)式代入得到：

$$3n^2+2n=\frac{n}{2}(a_1+(a_1+(n-1)d))$$

解得$a_1=1$，$d=2$。

5.解：等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n=2^n-1$，求第一項(xiàng)$a_1$和公比$q$。由等比數(shù)列的性質(zhì)知$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$，將$S_n$的表達(dá)式代入得到：

$$2^n-1=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$

由于$S_n$是2的冪次，可以推斷出$q=2$，代入得到$a_1=1$。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

-實(shí)數(shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)

-等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前$n$項(xiàng)和

-函數(shù)的性質(zhì)，包括奇函數(shù)、偶函數(shù)和單調(diào)性

-不等式組的解法

-函數(shù)的