PAGE1PAGE2專題10球的體積和表面積問題綜合難點專練-【考點培優(yōu)尖子生專用】2025學年高二數(shù)學專題訓練滬教版含答案專題10球的體積和表面積問題綜合難點專練（原卷版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高二期中）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A． B． C． D．2．（2021·山東青島市·高一期末）已知是面積為的等邊三角形，其頂點均在球的表面上，當點在球的表面上運動時，三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A． B． C． D．3．（2020·上海高三專題練習）將直徑分別為6，8，10的三個鐵球熔鑄成一個大鐵球，則大鐵球的表面積是原來三個球表面積之和的（）．A． B． C． D．2倍4．（2018·上海市南洋模范中學高二期中）已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．5．（2019·寶山·上海交大附中高三月考）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．6．（2020·上海高三專題練習）如果球、正方體與等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）的體積相等，那么它們的表面積，，的大小關(guān)系為（）．A． B．C． D．7．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二月考）已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為（）A． B． C． D．8．（2021·肇慶市高要區(qū)第二中學高一月考）把邊長2的正方形沿對角線折成直二面角后，下列命題正確的是（）A．平面B．平面平面C．D．三棱錐的外接球的表面積為二、填空題9．（2021·吉林長春外國語學校（理））已知菱形的邊長為，，若沿對角線將△折起，所得的二面角的大小為，則四點所在球的表面積為____________．10．（2021·武功縣普集高級中學（理））已知某圓錐被一過該圓錐頂點的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該圓錐的頂點與底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為_______________________．11．（2021·上海高二專題練習）已知，，，是某球面上不共面的四點，且，，，則此球的表面積等于_______.12．（2021·上海虹口·高三二模）已知直三棱柱的各棱長都相等，體積等于().若該三棱柱的所有頂點都在球的表面上，則球的體積等于___________().13．（2021·上海市崇明中學高三其他模擬）已知過球面上三點的截面到球心距離等于球半徑的一半，且是邊長為6的等邊三角形，則球面面積為__________.14．（2021·上海市七寶中學高三其他模擬）在棱長為2的正方體，M，N，Q，P分別為棱，，，的中點，三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為___________.15．（2021·上海楊浦·復旦附中高二期中）曲線，，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為；滿足，，的點組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為，通過考查與的關(guān)系，可得的值為___________.16．（2021·上海高二專題練習）如圖，在三棱錐中，，，點、分別在側(cè)面、棱上運動，，為線段的中點，則點的軌跡把三棱錐分成上、下兩部分的體積之比等于____________．三、解答題17．（2021·湖南雅禮中學高三二模）在空間直角坐標系中，以坐標原點為圓心，為半徑的球體上任意一點，它到坐標原點的距離，可知以坐標原點為球心，為半徑的球體可用不等式表示.還有很多空間圖形也可以用相應的不等式或者不等式組表示，記滿足的不等式組表示的幾何體為.（1）當表示的圖形截所得的截面面積為時，求實數(shù)的值；（2）祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.記滿足的不等式組所表示的幾何體為請運用祖暅原理求證與的體積相等，并求出體積的大小.18．（2021·福建省南平市高級中學高一期中）半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長2，（1）求其體積；（2）若其各個頂點都在同一個球面上，求該球的表面積.19．（2021·福建泉州五中高一期中）如圖，圓柱中，、分別為圓、圓的直徑，為母線，，點在上底面的圓內(nèi)，點在弧上.（1）求三棱錐的體積的最大值；（2）求三棱錐的外接球的體積的最小值.20．（2021·廣東高一月考）“車珠子”是指將一塊木料通過加工打磨變成珠子形狀的過程．某同學有一個圓錐狀的木塊，經(jīng)過測量，該木塊的底面直徑為，高為．該同學計劃用該木料制作一個木質(zhì)球，并且使得球與該圓錐內(nèi)切，軸截面如圖所示，試求此球的表面積和體積？21．（2020·上海高三專題練習）如圖所示，正四棱錐底面的四個頂點，，，在球的同一個大圓上，點在球面上，且已知．（1）求球的表面積；（2）設(shè)為中點，求異面直線與所成角的大?。?2．（2020·上海高三專題練習）有一個倒放著的軸截面為等邊三角形的圓錐形容器，內(nèi)盛有高為的水，放入一個鐵球后，上升的水平面恰好和球相切，求球面上的點到圓錐頂點的最小距離．23．（2021·上海市光明中學高二期中）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成的．已知半球的直徑是6cm，圓柱筒高為2cm.（1）這種“浮球”的體積是多少cm3（結(jié)果精確到0.1）?（2）要在2500個這樣的“浮球”表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠100克，那么共需膠多少克？24．（2021·長寧·上海市延安中學高二期中）已知地球的半徑為R，在北緯60°圈上有A、B兩點．若點A的經(jīng)度為東經(jīng)65°，點B的經(jīng)度為西經(jīng)55°，求A、B兩點的球面距離．PAGE1專題10球的體積和表面積問題綜合難點專練（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關(guān)系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積．【詳解】設(shè)球的半徑為cm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為．故選：A．【點睛】本題主要考查球的體積公式的應用，以及球的結(jié)構(gòu)特征的應用，屬于基礎(chǔ)題．2．已知是面積為的等邊三角形，其頂點均在球的表面上，當點在球的表面上運動時，三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，結(jié)合圖形知，當點P與球心O以及△ABC外接圓圓心M三點共線且P與△ABC外接圓圓心位于球心的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值，結(jié)合三棱錐的體積求出三棱錐的高h，并注意到此時該三棱錐為正三棱錐，利用,求出球O的半徑R，最后利用球體的表面積公式可求出答案．【詳解】如圖所示，設(shè)點M為外接圓的圓心，當點三點共線時，且分別位于點的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值.因為的面積為，所以邊長為3，由于三棱錐的體積的最大值為，得，易知SM⊥平面ABC，則三棱錐為正三棱錐，的外接圓直徑為，所以,設(shè)球O的半徑為R，則,解得,所以球的表面積為.故選：A3．將直徑分別為6，8，10的三個鐵球熔鑄成一個大鐵球，則大鐵球的表面積是原來三個球表面積之和的（）．A． B． C． D．2倍【答案】A【分析】計算出三個鐵球的體積，由此求得大鐵球的直徑，由此計算出各個球的表面積，進而得出正確選項.【詳解】三個鐵球的半徑分別為，所以體積分別為，所以大鐵球的體積為，所以大鐵球的半徑為.三個鐵球的表面積之和為，大鐵球的表面積為.所以大鐵球的表面積是原來三個球表面積之和的.故選：A【點睛】本小題主要考查球的表面積、體積，屬于中檔題.4．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．5．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．【答案】D【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決．6．如果球、正方體與等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）的體積相等，那么它們的表面積，，的大小關(guān)系為（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球、正方體與等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）的體積相等列方程，分別求得它們的表面積的表達式，由此比較出，，的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，等邊圓柱的底面半徑為、母線長為，則它們的體積分別為，依題意可知①.它們的表面積分別為②.由①得，代入②得，，，由于，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查球、正方體、圓柱的體積和表面積的計算，屬于中檔題.7．已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將正四面體放入正方體中，可得正方體的棱長為，求出正方體外接球的體積即為正四面體外接球的體積.【詳解】如圖將棱長為1的正四面體放入正方體中，且正方體的棱長為，所以正方體的體對角線，所以正方體外接球的直徑，所以正方體外接球的體積為，因為正四面體的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為，故選：A.8．把邊長2的正方形沿對角線折成直二面角后，下列命題正確的是（）A．平面B．平面平面C．D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】D【分析】選項A，取為中點，連結(jié)，可得為直二面角的平面角，即，根據(jù)長度關(guān)系可得，可判斷；選項B，取為中點，連結(jié)，可得為直二面角的平面角，根據(jù)長度關(guān)系可得，可判斷；選項C，根據(jù)A中計算的，可判斷；選項D，由于，故三棱錐的外接球以為圓心，為半徑，計算表面積可判斷.【詳解】選項A，由題意為直二面角，取為中點，連結(jié)，由于正方形，故為直二面角的平面角，，又不垂直故CD與平面也不垂直，故A選項不正確；選項B，取為中點，連結(jié)，由于，故為直二面角的平面角，由于又，故兩平面不垂直，故B選項不正確；選項C，由選項A中計算可知，故選項C不正確；選項D，由于，故三棱錐的外接球以為圓心，為半徑，表面積為.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體綜合問題，考查了學生綜合分析，空間想象，邏輯推理，數(shù)學運算能力，屬于較難題二、填空題9．已知菱形的邊長為，，若沿對角線將△折起，所得的二面角的大小為，則四點所在球的表面積為____________．【答案】【分析】由條件確定球心的位置，再根據(jù)平面圖形，建立等量關(guān)系，求球的半徑，再由球的表面積公式求球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)外接球的球心為O，∵四邊形為菱形，，∴三角形BCD為等邊三角形，設(shè)其中心為，取BD的中點F，連接AF，CF，，OB，，由AB=AD=BC=BD=DC，得AF⊥BD，CF⊥BD，所以BD⊥平面AFC，又AF=CF=3，AC=，∴∠AFC=120°.過點A作CF的垂線，交CF的延長線于點E，由BD⊥平面AFC，平面AFC，∴BD⊥AE，AE⊥CF,∴AE⊥平面BCD，過點O作OG⊥AE于點G，則四邊形是矩形，∵，，，.，，設(shè)外接球的半徑為R，，∵，，.∴，，解得，，故其外接球的表面積.故答案為：.10．已知某圓錐被一過該圓錐頂點的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該圓錐的頂點與底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為_______________________．【答案】【分析】首先根據(jù)三視圖，還原被截圓錐的內(nèi)接三棱錐，即可計算球的半徑，即球的表面積.【詳解】該幾何體如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知，底面圓弧所在圓的半徑為，且，.，設(shè)球的半徑為，由球的性質(zhì)可知，，解得，故球的表面積為.故答案為：11．已知，，，是某球面上不共面的四點，且，，，則此球的表面積等于_______.【答案】【分析】把已知三棱錐補形為正方體，可得外接球的半徑，則答案可求．【詳解】解：如圖，

把三棱錐A?BCD補形為棱長為的正方體，

可得為球的直徑，則球的半徑為，

∴球的表面積為．

故答案為．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，正確補形是關(guān)鍵，是中檔題．12．已知直三棱柱的各棱長都相等，體積等于().若該三棱柱的所有頂點都在球的表面上，則球的體積等于___________().【答案】【分析】三棱柱為正三棱柱，由對稱性知球心是正三棱柱的上下底中心連線的中點．由此可求得球半徑得體積．【詳解】如圖，三棱柱是正三棱柱，是上下底中心，是線段中點，則是三棱柱外接球的球心，設(shè)棱柱的棱長為，則，，解得，，，所以，．故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查球的體積，解題關(guān)鍵是找到球心，求出球的半徑．正棱柱的球心是上下底中心連線段的中點，正棱錐的外接球球心在正棱錐的高上，正棱如的外接球球心在正棱臺上下底面中心連線段上．13．已知過球面上三點的截面到球心距離等于球半徑的一半，且是邊長為6的等邊三角形，則球面面積為__________.【答案】【分析】設(shè)球的球心為，半徑為R，取AB的中點D，連接CD，根據(jù)題意得的外心，在線段CD上，分析得，求出即得解.【詳解】設(shè)球的球心為，半徑為R，取AB的中點D，連接CD，根據(jù)題意得的外心，在線段CD上，由是邊長為6的等邊三角形可得，，連接，如圖根據(jù)球的性質(zhì)可得，平面.即，所以，在中，即，解得R=4或R=-4(含去)，所以該球的表面積，故答案為：【點睛】方法點睛：求解球的半徑，一般通過解直角三角形完成.直角三角形的斜邊是球的半徑，另外兩條直角邊，一邊是球心到圓心的距離，一邊是多邊形外接圓的半徑.14．在棱長為2的正方體，M，N，Q，P分別為棱，，，的中點，三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為___________.【答案】【分析】由正方體性質(zhì)確定三棱錐的性質(zhì)，從而確定其外接球球心所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半徑得表面積．【詳解】如圖，取中點，，由正方體性質(zhì)知平面，由已知是等腰直角三角形，是斜邊，則三棱錐的外接球球心在上，連接，由平面知，同理，是直角梯形，，，，設(shè)外接球半徑為，則，在直角三角形中，，解得．所以球表面積為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求三棱錐外接球的表面積，解題關(guān)鍵是找到外接球的球心，一般外接球球心必在過三棱錐各面外心且與此面垂直的直線上．確定球心位置后通過直角梯形與直角三角形求得半徑．15．曲線，，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為；滿足，，的點組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為，通過考查與的關(guān)系，可得的值為___________.【答案】【分析】設(shè)截面與原點的距離為，求出兩個截面的面積相等，由祖暅原理知，通過球的體積公式計算即可得的值.【詳解】設(shè)截面與原點的距離為，此時所得截面面積為，，所以，即兩個幾何體在等高處的截面面積相等，由祖暅原理知：兩個幾何體的體積相等即，表示半徑為的球挖去兩個半徑為的球余下的體積，所以，所以，故答案為：.16．如圖，在三棱錐中，，，點、分別在側(cè)面、棱上運動，，為線段的中點，則點的軌跡把三棱錐分成上、下兩部分的體積之比等于____________．【答案】.【詳解】分析：在三棱錐中，，，易計算出三棱錐的體積，又由點、分別在側(cè)面、棱上運動，，為線段的中點，可以判斷的軌跡與三棱錐轉(zhuǎn)成的兩個幾何體的體積，進而得到答案．詳解：：∵三棱錐中，，，

則棱錐的體積.又∵點、分別在側(cè)面、棱上運動，，為線段的中點，，

∴點的軌跡在以為球心以1半徑的球面上

則點的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比為：故答案為．點睛：本題考查的知識點是棱錐的體積及球的體積，其中判斷出的軌跡在以為球心以1半徑的球面上是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題17．在空間直角坐標系中，以坐標原點為圓心，為半徑的球體上任意一點，它到坐標原點的距離，可知以坐標原點為球心，為半徑的球體可用不等式表示.還有很多空間圖形也可以用相應的不等式或者不等式組表示，記滿足的不等式組表示的幾何體為.（1）當表示的圖形截所得的截面面積為時，求實數(shù)的值；（2）祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.記滿足的不等式組所表示的幾何體為請運用祖暅原理求證與的體積相等，并求出體積的大小.【答案】（1）；（2）證明見解析，體積為.【分析】（1）由題意可得幾何體表示上半球，球半徑為4，從而有，進而可求出實數(shù)的值；（2）由題意可得幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個同底等高的圓錐，且該圓錐的對稱軸與母線的夾角為然后由祖暅原理可求得結(jié)果【詳解】（1）則幾何體表示上半球，球半徑為4.當時，，截面為圓面，則，解得又，所以（2）設(shè)，則點到軸的距離為，由，即，即點到軸的距離為所以所表示的幾何體為圓柱體.由，即點到軸的距離為，當時，點在以一直角邊在軸上的等腰直角三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的倒圓錐面上.所以所表示的幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個同底等高的圓錐.且該圓錐的對稱軸與母線的夾角為在中，平面所截的截面為圓，其面積為，在中，平面所截的截面為圓環(huán)，在圓柱中的截面圓面積為，在圓錐中的截面圓面積為，所以在中截面面積為，即截所得面積均相等，從而由祖暅原理知體積相等，由為半球知其體積【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查祖暅原理的應用，考查新定義，考查不等式與幾何圖形的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義和祖暅原理，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題18．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若二十四等邊體的棱長2，（1）求其體積；（2）若其各個頂點都在同一個球面上，求該球的表面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將二十四正多面體放入正方體中，利用正方體減去8個三棱錐即可求得體積；（2）求得正方體的中心O到正方體各棱中點的距離即可求得球的半徑，從而求得球的表面積.【詳解】將二十四正多面體放入正方體中，如下圖所示，由于二十四等邊體的棱長為2，則正方體的棱長為.（1）該二十四正四面體是由棱長為的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得，所以該二十四正四面體的體積為.（2）由于正方體的中心O到正方體各棱中點的距離都為，所以該二十四正四面體外接球的球心為O，且半徑為2，其表面積為.19．如圖，圓柱中，、分別為圓、圓的直徑，為母線，，點在上底面的圓內(nèi)，點在弧上.（1）求三棱錐的體積的最大值；（2）求三棱錐的外接球的體積的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，，則，進而利用均值不等式求出的最大值，進而可求出結(jié)果；（2）設(shè)球的半徑為，，，結(jié)合圖形可得以及然后根據(jù)的范圍求出的范圍，進而可以求出的最值，從而求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，則，三棱錐的體積（為點到底面），，，當且僅當時，等號成立，所以，故當時，三棱錐的體積取得最大值.（2）易知三棱錐的外接球球心在線段上.設(shè)球的半徑為，，，在中，，即；在中，，即；聯(lián)立兩式，可得，又因為，所以，，.故當時，取得最小值，三棱錐的外接球的體積取得最小值.20．“車珠子”是指將一塊木料通過加工打磨變成珠子形狀的過程．某同學有一個圓錐狀的木塊，經(jīng)過測量，該木塊的底面直徑為，高為．該同學計劃用該木料制作一個木質(zhì)球，并且使得球與該圓錐內(nèi)切，軸截面如圖所示，試求此球的表面積和體積？【答案】表面積為；體積為．【分析】根據(jù)球與圓錐的內(nèi)切關(guān)系及題中的軸截面將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，圖中，，且

，從而有，．設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，根據(jù)等面積法得，所以內(nèi)切球的半徑，故該球的表面積，體積．21．如圖所示，正四棱錐底面的四個頂點，，，在球的同一個大圓上，點在球面上，且已知．（1）求球的表面積；（2）設(shè)為中點，求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【分析】（1）由題意可知，平面，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，進一步求出的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出的夾角余弦，得到異面直線與所成角的大?。驹斀狻拷猓海?）解：如圖，正四棱錐底面的四個頂點，，，在球的同一個大圓上，點在球面上，底面，，，，所以，，球的表面積是（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，，，所以所以異面直線與所成角的余弦值為．所以異面直線與所成角的大小為．

【點睛】本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積、體積，考查學生空間想象能力，通過建立空間直角坐標系，將異面直線所成的角通過向量的數(shù)量積來解決，屬于中檔題．22．有一個倒放著的軸截面為等邊三角形的圓錐形容器，內(nèi)盛有高為的水，放