第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽之間的距離隨時間變化而變化，地球與太陽之間的平均距離約為149600000km，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)149600000表示為(

)A.1.496×109 B.1.496×108 C.2.如圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是(

)A.B.

C.D.3.在實際生活中，常用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量.如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作(

)A.?60米 B.?80米 C.+90米 D.+60米4.下列運算正確的是(

)A.2a+a2=2a3 B.6a5.2020年，我國承諾，力爭于2030年前實現(xiàn)“碳達峰”，2060年前實現(xiàn)“碳中和”倡導(dǎo)低碳生活是每個公民的社會責(zé)任.某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量(單位：千克)數(shù)據(jù)，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(

)A.77 B.78 C.79 D.806.智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機器人.某品牌智能機器人的一個機械手平均每分鐘采摘10個蘋果.若該機器人搭載m個機械手(m>1)，則該機器人平均每分鐘采摘的蘋果個數(shù)為(

)A.6m B.m+10 C.60m D.10m7.如圖，AB//CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，直線EG與直線CD交于點G.若∠1=70°，∠2=50°，則∠GEF的度數(shù)為(

)A.50° B.60° C.65° D.70°8.如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC.若∠AOB=40°，∠OCA=30°，則∠BCO的度數(shù)為(

)A.40°B.45°

C.50°D.55°9.如圖，將△ABC沿折痕AD折疊，使點B落在AC邊上的點E處，若AB=4，BC=5，AC=6，則△CDE的周長為(

)A.5B.6

C.6.5D.710.中國式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊的偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力.據(jù)世界銀行公布的2024年各國GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國GDP總量為18.53萬億美元．

附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數(shù)據(jù)表國家GDP總量(單位：萬億美元)國家GDP總量(單位：萬億美元)德國4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國3.49韓國1.76法國3.13瑞士0.93預(yù)計2025年中國GDP總量的增長率為5%左右，請你根據(jù)以上信息估算：

2025年中國GDP的增長量與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？(

)A.法國 B.瑞士 C.巴西 D.英國二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.分解因式：mx?2my=______．12.為了解某校學(xué)生利用全國中小學(xué)智慧教育平臺輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體3600名學(xué)生中，隨機調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí).由此，估計該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有______名.13.分式方程3x+1=214.如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點C，連接OA，OB，若AB=OA，AC=3，則OA的長為______．15.如圖，五邊形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，則∠A+∠E=______．16.衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾?青少年邁開人生第一步就要走正道，要嚴格遵守國家法律法規(guī).同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守數(shù)學(xué)中的基本法則.例如：下面命題的推理過程所得出的錯誤結(jié)論就是由于不遵守數(shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．

命題：如果a，b，c為實數(shù)，且滿足a+b=?c.那么2=1．

推理過程如下：

第一步：根據(jù)上述命題條件有a+b=?c；①

第二步：根據(jù)七年級學(xué)過的整式運算法則有a=2a?a，b=2b?b，c=2c?c；②

第三步：把②代入①，可得(2a?a)+(2b?b)=?(2c?c)；③

第四步：把③兩邊利用移項、去括號法則、加法交換律等，變形可得2(a+b+c)=(a+b+c)；④

第五步：把④兩邊同時除以(a+b+c)，得2=1.⑤

請你判斷上述推理過程中，第______步是錯誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

計算：|2218.(本小題6分)

解不等式組：1+2x>x?64x≤3x+2．19.(本小題6分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D．

(1)求∠BCD的度數(shù)；

(2)若BC=2.5，求AD20.(本小題8分)

2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長沙舉行.論壇聚焦美育與閱讀融合.為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識競賽，競賽成績以等第形式呈現(xiàn)，隨機抽取了部分參賽學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計圖表.(A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格.)等第頻數(shù)頻率A20mB300.30Cn0.44D60.06根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查隨機抽取了______名學(xué)生的成績；表中m=______，n=______；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為______度；

(3)若該校八年級一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級閱讀分享活動，請用列表法或樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來自同一個班級的概率．21.(本小題8分)

如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)連接EF，若BC=12，BE=5，求EF的長．22.(本小題9分)

為落實科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變.根據(jù)市場需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級的農(nóng)產(chǎn)品對外銷售，已知銷售6千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入68元.(不考慮加工損耗)

(1)求每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價分別為多少元？

(2)若該食品企業(yè)以每千克8元購進6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品多少千克？23.(本小題9分)

如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上.為了進一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測得景點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30°方向上，景點B位于景點D的南偏西45°方向上.已知AB=800m．

(1)求∠ACB的度數(shù)；

(2)求景點C與景點D之間的距離.(結(jié)果保留根號)24.(本小題10分)

我們約定：當(dāng)x1，y1，x2，y2滿足(x1+y2)2+(x2+y1)2=0，且x1+y1≠0時，稱點(x1,y1)與點(x2,y2)為一對“對偶點”.若某函數(shù)圖象上至少存在一對“對偶點”，就稱該函數(shù)為“對偶函數(shù)”.請你根據(jù)該約定，解答下列問題：

(1)請你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“?”，錯誤的打“×”)；

25.(本小題10分)

如圖1，點O是以AB為直徑的半圓的圓心，AD與BC均為該半圓的切線，C，D均為直徑AB上方的動點，連接CD，且始終滿足CD=AD+BC．

(1)求證：CD與該半圓相切；

(2)當(dāng)半徑r=2時，令A(yù)D=a，BC=b，m=22+a+22+b，n=a1+a+b1+b，比較m與n的大小，并說明理由；

(3)在(1)的條件下，如圖2，當(dāng)半徑r=1時，若點E為CD與該半圓的切點，AC與BD交于點G，連接EG并延長交AB于點F，連接AE，BE，令EG=x，

參考答案1.B

2.A

3.A

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.D

10.B

11.m(x?2y)

12.108

13.x=1.25

14.6

15.205°

16.⑤

17.解：原式=22?1+5?3?1

=22．

18.解：解不等式①，得x>?7，

解不等式②，得x≤2，

∴不等式組的解集為?7<x≤2．

19.(1)∵AB=AC，∠B=72°，

∴∠ACB=∠B=72°，

由作圖可知：CD是∠ACB的角平分線，

∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=36°；

(2)∵∠BDC=180°?∠B?∠BCD=72°，∠B=72°，

∴∠BDC=∠B，

∴CD=CB，

∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠ACD=36°，

∴∠A=∠BDC?∠ACD=72°?36°=36°，

∴∠A=∠ACD，20.(1)本次隨機調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷0.3=100(名)，

m=20÷100=0.2，n=100×0.44=44，

故答案為：100，0.2，44；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為360°×0.2=72°，

故答案為：72；

(3)記“選出的2名學(xué)生恰好來自同一個班級”為事件A，設(shè)一班的2名學(xué)生為甲和乙，二班的2名學(xué)生為丙和丁，

畫出樹狀圖如下：

一共有12種等可能的結(jié)果，其中事件A包含4種可能的結(jié)果．

∴P(A)=41221.(1)證明：在正方形ABCD中，AB=CD，AB//CD，

∵BE=DF，

∴AB?BE=CD?DF，

∴AE=CF，

又∵AB//CD，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

(2)解：過點E作EH⊥CD于點H，如圖所示：

∴∠EHC=∠EHF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，BC=12，

∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠BCD=90°，

∴∠EHC=∠B=∠BCD=90°，

∴四邊形EBCH是矩形，

∴EH=BC=12，CH=BE=5，

∴DH=CD?CH=12?5=7，

∵BE=DF=5，

∴HF=DH?DF=7?5=2，

在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=E22.(1)設(shè)每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價為x元，每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價為y元，

由題意得：6x+4y=1124x+2y=68，

解得：x=12y=10，

答：每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價為12元，每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價為10元；

(2)設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品(6000?m)千克，

由題意得：(12?8)m+(10?8)(6000?m)≥16000，

解得：m≥2000，

答：至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品23.(1)如圖，由題意點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30°方向上，景點B位于景點D的南偏西45°方向上，

∴∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥DM，BE//AF//DM，

∴∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°，

∴∠ACB=∠BCM?∠ACM=60°?30°=30°；

(2)方法一：

∵∠CBE=60°，

∴∠CBM=90°?∠CBE=90°?60°=30°，

由(1)得∠ACB=30°，

∴∠ABC=∠ACB=30°，

又∵AB=800m，

∴AB=AC=800m，

在Rt△ACM中，sin∠ACM=AMAC,cos∠ACM=CMAC，

∴AM=AC?sin∠ACM=800×sin30°=800×12=400(m)，

CM=AC?cos∠ACM=800×cos30°=800×32=4003(m)，

∴BM=BA+AM=800+400=1200(m)，

∵∠BDM=45°，BM⊥DM，

∴DM=BM=1200m，

∴DC=DM?CM=1200?4003(m)，

∴景點C與景點D之間的距離為(1200?4003)m．

方法二：

∵∠CBE=60°，∠CAF=30°，BE//AF//DM，

∴∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°．

設(shè)AM=x?m，

∴AC=2x?m，

∴CM=3AM=3x(m)，

在Rt△BCM中，

tan∠BCM=BMCM24.(1)①設(shè)函數(shù)y=kx圖象上任意一點(m,km)，可知(?km,?m)也在函數(shù)y=kx圖象上，

而(m,km)與(?km,?m)是“對偶點”，

∴函數(shù)y=kx(k是非零常數(shù))的圖象上存在無數(shù)對“對偶點”；

故答案為：?；

②設(shè)(n,?2n+1)和(2n?1,?n)是y=?2x+1圖象上一對“對偶點”，

∴?n=?2(2n?1)+1，

解得n=1，

此時n+(?2n+1)=0，不符合“對偶點”定義，

∴函數(shù)y=?2x+1一定不是“對偶函數(shù)”，

故答案為：?；

③設(shè)(t,t2+t?1)和(?t2?t+1,?t)是函數(shù)y=x2+x?1的圖象上的“對偶點”，

∴(?t2?t+1)2+(?t2?t+1)?1=?t，

變形整理得：(t+1)(t?1)(t2+2t?1)=0，

解得t1=?1，t2=1，t3=2?1，t4=?2?1，

當(dāng)t1=?1或t2=1時，(1,1)和(?1,?1)是一對“對偶點”，符合題意；

當(dāng)t3=2?1，t4=?2?1時，t+(t2+t?1)=0，不符合“對偶點