教學(xué)設(shè)計(jì)課題5.3實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程課時(shí)1所在教材人教版-七年級(jí)上冊(cè)課型新授學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)抽象：從購(gòu)物計(jì)費(fèi)、行程規(guī)劃等實(shí)際場(chǎng)景中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立方程模型。邏輯推理：通過(guò)分析問(wèn)題中的因果關(guān)系，推導(dǎo)等量關(guān)系（如“總路程=速度×?xí)r間”）。數(shù)學(xué)運(yùn)算：結(jié)合方程解法處理含分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題，保證計(jì)算與題意匹配。數(shù)學(xué)建模：將工程效率、利潤(rùn)盈虧等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，體現(xiàn)“問(wèn)題→模型→解→驗(yàn)證”的建模流程。k重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握行程問(wèn)題（相遇/追及）、工程問(wèn)題（效率分配）、銷售問(wèn)題（利潤(rùn)公式）的建模方法，能根據(jù)等量關(guān)系列方程。難點(diǎn)：分析復(fù)雜情境中的隱藏等量關(guān)系（如環(huán)形跑道的相遇次數(shù)與路程差）；處理多變量問(wèn)題時(shí)的變量設(shè)元技巧（直接設(shè)元或間接設(shè)元）；檢驗(yàn)方程解是否符合實(shí)際意義（如人數(shù)為正整數(shù)、時(shí)間非負(fù)等）。教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)活動(dòng)新課教學(xué)一、課程導(dǎo)入（激發(fā)興趣，引出課題）同學(xué)們，在日常生活中，我們常常會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題需要通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)解決。比如，去商店買東西時(shí)，計(jì)算商品的價(jià)格和數(shù)量；計(jì)算出行的時(shí)間和距離等等。今天老師先給大家?guī)?lái)一個(gè)有趣的小問(wèn)題：小明去文具店買筆，一支鉛筆的價(jià)格是2元，他買了若干支鉛筆，最后一共花了12元，那大家猜猜小明買了多少支鉛筆呢？（稍作停頓，觀察學(xué)生反應(yīng)，鼓勵(lì)學(xué)生舉手回答）好，這位同學(xué)說(shuō)用12除以2，得到6支，非常棒，回答正確！那大家思考一下，剛剛我們解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，其實(shí)是在尋找一個(gè)未知的數(shù)量，也就是鉛筆的支數(shù)。在數(shù)學(xué)中，我們可以用更規(guī)范、更通用的方法來(lái)解決這類問(wèn)題，那就是一元一次方程。今天，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)5.3實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程，看看如何用方程的力量來(lái)破解生活中更多的難題！二、知識(shí)回顧（鞏固基礎(chǔ)，搭建橋梁）在正式進(jìn)入新知識(shí)的學(xué)習(xí)之前，我們先來(lái)回顧一下之前學(xué)過(guò)的有關(guān)一元一次方程的內(nèi)容。哪位同學(xué)能說(shuō)一說(shuō)，什么是一元一次方程呢？（等待學(xué)生舉手回答，若學(xué)生回答不完整，進(jìn)行引導(dǎo)補(bǔ)充）對(duì)啦，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。那大家還記得一元一次方程的一般形式嗎？（再次鼓勵(lì)學(xué)生回答）沒(méi)錯(cuò)，一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a≠0）。那我們又該如何求解一元一次方程呢？比如方程3x-6=0，哪位同學(xué)愿意到黑板上來(lái)給大家演示一下解題過(guò)程？（請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)解題，其他同學(xué)在座位上練習(xí)，教師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生可能存在的問(wèn)題）這位同學(xué)做得非常好！先在方程兩邊同時(shí)加上6，得到3x=6，再在兩邊同時(shí)除以3，解得x=2。通過(guò)回顧，相信大家對(duì)一元一次方程已經(jīng)有了更清晰的認(rèn)識(shí)，這也為我們接下來(lái)用它解決實(shí)際問(wèn)題做好了準(zhǔn)備。三、新課講授（一）問(wèn)題情境一：配套問(wèn)題（課本例題改編）我們來(lái)看課本上的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母。1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？首先，我們來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。同學(xué)們想一想，這里的“剛好配套”是什么意思呢？大家可以先在小組內(nèi)討論一下，然后派代表發(fā)言。（學(xué)生進(jìn)行小組討論，教師巡視各小組，參與討論，引導(dǎo)學(xué)生思考）好，我們請(qǐng)第三小組的代表來(lái)說(shuō)一說(shuō)。（學(xué)生代表發(fā)言后，教師進(jìn)行總結(jié)和補(bǔ)充）對(duì)，“剛好配套”就是說(shuō)螺母的數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍。那我們?cè)撊绾卧O(shè)未知數(shù)呢？設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，那么生產(chǎn)螺母的工人就是（22-x）名。接下來(lái)，大家根據(jù)已知條件，分別表示出每天生產(chǎn)的螺釘數(shù)量和螺母數(shù)量，再思考它們之間的等量關(guān)系，試著列出方程。可以自己先在練習(xí)本上寫(xiě)一寫(xiě)，有困難的同學(xué)也可以和同桌交流一下。（學(xué)生獨(dú)立思考并嘗試列方程，教師巡視指導(dǎo)，選取有代表性的學(xué)生解答過(guò)程進(jìn)行展示）我們來(lái)看這位同學(xué)的答案，他設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則生產(chǎn)螺母的工人為（22-x）名，每天生產(chǎn)的螺釘數(shù)量是1200x個(gè)，螺母數(shù)量是2000(22-x)個(gè)，根據(jù)螺母數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍，列出方程2000(22-x)=2×1200x。非常正確！那我們一起來(lái)求解這個(gè)方程。（教師在黑板上詳細(xì)板書(shū)解方程的過(guò)程，邊寫(xiě)邊講解每一步的依據(jù)和注意事項(xiàng)）去括號(hào)，得44000-2000x=2400x。移項(xiàng)，得-2000x-2400x=-44000。合并同類項(xiàng)，得-4400x=-44000。系數(shù)化為1，得x=10。那么生產(chǎn)螺母的工人數(shù)量就是22-10=12名。最后，我們要記得檢驗(yàn)一下，把x=10代入原方程，左邊=2000×(22-10)=24000，右邊=2×1200×10=24000，左邊=右邊，所以x=10是原方程的解，且符合實(shí)際問(wèn)題的意義?，F(xiàn)在，大家明白了如何用一元一次方程解決配套問(wèn)題嗎？我們?cè)賮?lái)做一道類似的練習(xí)題鞏固一下。某服裝廠有工人54人，每人每天可加工上衣8件或褲子10條，應(yīng)怎樣分配人數(shù)，才能使每天生產(chǎn)的上衣和褲子配套（一件上衣配一條褲子）？請(qǐng)大家獨(dú)立完成，做完后同桌之間互相檢查一下解題過(guò)程。（學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，教師巡視，對(duì)有困難的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，選取部分學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)）（二）問(wèn)題情境二：工程問(wèn)題（結(jié)合課本拓展）同學(xué)們，工程問(wèn)題也是我們生活中常見(jiàn)的一類實(shí)際問(wèn)題。我們來(lái)看這樣一個(gè)例子：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要10天完成，乙單獨(dú)做需要15天完成。如果甲、乙兩人合作，需要多少天完成這項(xiàng)工程呢？大家先思考一下，在工程問(wèn)題中，我們通常把工作總量看成什么呢？（引導(dǎo)學(xué)生回答把工作總量看成單位“1”）那甲的工作效率是多少呢？乙的工作效率又該怎么計(jì)算？大家可以先在練習(xí)本上寫(xiě)一寫(xiě)，然后和小組內(nèi)的同學(xué)交流一下自己的想法。（學(xué)生進(jìn)行思考和小組討論，教師參與小組討論，引導(dǎo)學(xué)生理解工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間的關(guān)系）好，哪位同學(xué)愿意分享一下自己的想法？（學(xué)生發(fā)言后，教師進(jìn)行總結(jié)）（三）問(wèn)題情境三：銷售問(wèn)題（緊密聯(lián)系課本內(nèi)容）在我們的生活中，購(gòu)物是經(jīng)常發(fā)生的事情，而這其中就蘊(yùn)含著銷售問(wèn)題。我們來(lái)看課本上的銷售問(wèn)題：某商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？同學(xué)們，要解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先要弄清楚幾個(gè)概念，比如進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率之間的關(guān)系。大家回憶一下，利潤(rùn)該怎么計(jì)算？利潤(rùn)率又和它們有什么關(guān)系呢？（引導(dǎo)學(xué)生回答利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%）那我們?cè)O(shè)盈利25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)以及利潤(rùn)率的公式，我們可以得到方程(60-x)÷x×100%=25%，哪位同學(xué)能解釋一下這個(gè)方程的含義？（請(qǐng)一位同學(xué)解釋方程的含義，教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善）非常好！這個(gè)方程表示的是這件衣服的利潤(rùn)占進(jìn)價(jià)的25%。那我們來(lái)求解這個(gè)方程，首先將百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，方程變?yōu)?60-x)÷x=0.25，兩邊同時(shí)乘以x，得到60-x=0.25x，移項(xiàng)可得0.25x+x=60，合并同類項(xiàng)得1.25x=60，系數(shù)化為1，解得x=48。同樣的方法，設(shè)虧損25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是y元，可列出方程(60-y)÷y×100%=-25%（這里的負(fù)號(hào)表示虧損），求解這個(gè)方程，先將百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，方程變?yōu)?60-y)÷y=-0.25，兩邊同時(shí)乘以y，得到60-y=-0.25y，移項(xiàng)可得-0.25y+y=60，合并同類項(xiàng)得0.75y=60，系數(shù)化為1，解得y=80。兩件衣服的進(jìn)價(jià)是48+80=128元，而兩件衣服的售價(jià)是60×2=120元，因?yàn)?28＞120，所以賣這兩件衣服總的是虧損的，虧損了128-120=8元。大家都理解了嗎？現(xiàn)在我們來(lái)做一道類似的練習(xí)題：某商店將某種商品按進(jìn)價(jià)提高35%后，打出“九折優(yōu)惠酬賓，外送50元出租車費(fèi)”的廣告，結(jié)果每件商品仍獲利208元，那么每件商品的進(jìn)價(jià)是多少元？請(qǐng)大家認(rèn)真分析題目，列出方程并求解，完成后小組內(nèi)互相交流解題思路和答案。（學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，選取不同解題方法的學(xué)生進(jìn)行展示和講解，拓展學(xué)生的思維）四、課堂小結(jié)同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，包括配套問(wèn)題、工程問(wèn)題和銷售問(wèn)題。在解決這些問(wèn)題時(shí)，我們首先要認(rèn)真分析題目，找出其中的等量關(guān)系，然后合理設(shè)未知數(shù)，列出方程并求解，最后還要