高三福州二模數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各對數(shù)中，正確的有（）

A.$\log_2{4}=2$，$\log_4{16}=2$

B.$\log_3{9}=2$，$\log_9{27}=2$

C.$\log_5{25}=2$，$\log_{25}{625}=2$

D.$\log_2{8}=3$，$\log_8{64}=3$

2.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列結(jié)論正確的是（）

A.$a>0$，$b=-2$，$c=2$

B.$a>0$，$b=-2$，$c=3$

C.$a>0$，$b=2$，$c=2$

D.$a>0$，$b=2$，$c=3$

3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$2$，公差為$3$，則$a_{10}+a_{15}+a_{20}=$（）

A.$45$

B.$60$

C.$75$

D.$90$

4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，則$f'(x)=（）$

A.$3x^2-3$

B.$3x^2-1$

C.$3x^2+3$

D.$3x^2-2$

5.若不等式$\frac{x-1}{x+2}>\frac{2}{x-1}$的解集為$(a,b)$，則$a+b=$（）

A.$-3$

B.$-1$

C.$1$

D.$3$

6.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_5=13$，則$a_9=$（）

A.$27$

B.$23$

C.$21$

D.$19$

7.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-1}$在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是（）

A.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$在區(qū)間$[1,3]$上恒大于$0$

B.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$在區(qū)間$[1,3]$上恒小于$0$

C.$f''(x)=\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{2}}}$在區(qū)間$[1,3]$上恒大于$0$

D.$f''(x)=\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{2}}}$在區(qū)間$[1,3]$上恒小于$0$

8.若復數(shù)$z=2+\sqrt{3}i$，則$|z|^2=$（）

A.$7$

B.$13$

C.$5$

D.$9$

9.在下列各對數(shù)中，正確的有（）

A.$\log_2{4}=2$，$\log_4{16}=2$

B.$\log_3{9}=2$，$\log_9{27}=2$

C.$\log_5{25}=2$，$\log_{25}{625}=2$

D.$\log_2{8}=3$，$\log_8{64}=3$

10.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列結(jié)論正確的是（）

A.$a>0$，$b=-2$，$c=2$

B.$a>0$，$b=-2$，$c=3$

C.$a>0$，$b=2$，$c=2$

D.$a>0$，$b=2$，$c=3$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列命題中，正確的是（）

A.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，則$a>0$。

B.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則$a_n=a_1+(n-1)d$。

C.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞增，則$f'(x)=3x^2-3$。

D.若復數(shù)$z=a+bi$，則$|z|^2=a^2+b^2$。

2.下列函數(shù)中，有極值點的是（）

A.$f(x)=x^3-3x^2+9x-1$

B.$g(x)=\frac{1}{x^2}+x$

C.$h(x)=e^x+e^{-x}$

D.$k(x)=\ln(x)$

3.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的是（）

A.$\{a_n\}=\{2,4,8,16,\ldots\}$

B.$\{a_n\}=\{1,2,4,8,16,\ldots\}$

C.$\{a_n\}=\{2,4,8,16,32,\ldots\}$

D.$\{a_n\}=\{1,3,9,27,81,\ldots\}$

4.下列不等式中，正確的是（）

A.$x^2-4<0$的解集為$(-2,2)$

B.$\frac{x}{x-1}<0$的解集為$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$

C.$\log_2(x-1)>1$的解集為$(3,+\infty)$

D.$e^x>1$的解集為$(0,+\infty)$

5.下列函數(shù)中，具有以下性質(zhì)的是（）

A.$f(x)=x^3$在$x=0$處有極大值。

B.$g(x)=\sinx$在$x=\frac{\pi}{2}$處有極小值。

C.$h(x)=\lnx$在$x=1$處有極小值。

D.$k(x)=e^{-x}$在$x=0$處有極大值。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的導數(shù)$f'(x)=_________$

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，公差$d=2$，則$a_6=a_1+(6-1)\times2=_________$

3.復數(shù)$z=3+4i$的模長$|z|=_________$

4.解不等式$\frac{x-1}{x+2}>\frac{2}{x-1}$的解集為_________

5.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域是_________

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算題目：已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f'(x)$并求出函數(shù)的極值點及極值。

2.計算題目：設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=4$，求第10項$a_{10}$和前10項的和$S_{10}$。

3.計算題目：已知復數(shù)$z=2-3i$，求$z$的共軛復數(shù)$\overline{z}$，模長$|z|$以及$z$的幅角$\theta$。

4.計算題目：解不等式組$\begin{cases}2x-3y\leq6\\x+y\geq4\end{cases}$，并畫出解集在平面直角坐標系中的區(qū)域。

5.計算題目：已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求函數(shù)的導數(shù)$f'(x)$，并求出函數(shù)在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值和最小值。

6.計算題目：一個長方體的長、寬、高分別為$x$、$y$、$z$，其體積$V=xyz$。若長方體的表面積$S=2(xy+yz+xz)$，求$x+y+z$的值，使得長方體的體積最大。

7.計算題目：已知函數(shù)$f(x)=e^{2x}-2e^x+1$，求$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$，并判斷函數(shù)的單調(diào)性。

8.計算題目：解微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2+y^2}$，并求出函數(shù)$y=f(x)$的表達式。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A（知識點：對數(shù)的定義和性質(zhì)）

2.A（知識點：二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點坐標）

3.B（知識點：等差數(shù)列的通項公式和求和公式）

4.A（知識點：函數(shù)的導數(shù)）

5.C（知識點：不等式的解法）

6.A（知識點：等差數(shù)列的通項公式）

7.A（知識點：函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用）

8.B（知識點：復數(shù)的模長和共軛復數(shù)）

9.A（知識點：對數(shù)的定義和性質(zhì)）

10.A（知識點：二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點坐標）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.A、B、D（知識點：對數(shù)的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，復數(shù)的模長和共軛復數(shù)）

2.A、B、C（知識點：函數(shù)的極值，導數(shù)的應用）

3.A、B（知識點：等比數(shù)列的定義）

4.A、C、D（知識點：不等式的解法）

5.A、B、C（知識點：函數(shù)的極值，導數(shù)的應用）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.$f'(x)=3x^2-12x+9$（知識點：函數(shù)的導數(shù)）

2.$a_6=23$（知識點：等差數(shù)列的通項公式）

3.$|z|=5$（知識點：復數(shù)的模長）

4.解集為$(-\infty,0)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$（知識點：不等式的解法）

5.定義域為$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$（知識點：函數(shù)的定義域）

四、計算題答案及知識點詳解：

1.$f'(x)=3x^2-12x+9$，極值點為$x=1$，極大值為$f(1)=3$，極小值為$f(3)=1$（知識點：函數(shù)的導數(shù)，極值）

2.$a_{10}=23$，$S_{10}=210$（知識點：等差數(shù)列的通項公式，求和公式）

3.$\overline{z}=2+3i$，$|z|=5$，$\theta=-\frac{\pi}{3}$（知識點：復數(shù)的共軛復數(shù)，模長，幅角）

4.解集區(qū)域為兩條直線$x=2$和$y=2$之間的帶狀區(qū)域（知識點：不等式組的解法，平面幾何）

5.$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，最大值為$f(0)=1$，最小值為$f(-1)=\frac{1}{2}$（知識點：函數(shù)的導數(shù)，極值）

6.$x+y+z=3$（知識點：拉格朗日乘數(shù)法，最優(yōu)化問題）

7.$f'(x)=2e^{2x}-2e^x$，函數(shù)在$x=\frac{1}{2}$處單調(diào)遞增，在$x=0$處單調(diào)遞減（知識點：函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性）

8.$y=\arctanx$（知識點：微分方程的解法，反三角函數(shù)）

知識點總結(jié)：

本試卷涵蓋了高中數(shù)學的主要知識點，包括：

-對數(shù)的定義和性質(zhì)

-二次函數(shù)的性質(zhì)

-等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)

-函數(shù)的導數(shù)和極值

-復數(shù)的模長，共軛復數(shù)和幅角

-不等式的解法

-平面幾何

-微分方程的解法

-拉