第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章前導讀

考古學中，經常是利用放射性物質的衰減檢驗出土文物的年限。

例如，我國的浙江杭州市余杭區(qū)良儲和瓶窯鎮(zhèn)在1936年首次發(fā)現(xiàn)巨型城址，面積近630萬平方米，包括古城、水壩何多出高等級建筑?？脊艑W家利用遺址中的碳14的殘留量測定，古城存在時期為公元前3300年-前2300年。你知道考古學家在測定遺址年代時用了什么數(shù)學知識嗎?

實際上，考古學家所用的數(shù)學知識是我們本章所學的指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)在解決實際問題中有廣泛的應用。例如，在自然條件下，細胞分裂、人口增長、放射性物質的衰減等問題，都可以利用指數(shù)函數(shù)模型進行刻畫他們的變化規(guī)律。4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一二三學習目標了解n次方根與分數(shù)指數(shù)冪的概念理解n次方根與分數(shù)指數(shù)冪的性質掌握分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化學習目標新課導入

新知探究問題1

什么是n次方根？我們知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根/二次方根.

如果x3=a，那么x叫做a的立方根/三次方根.①

(±2)2＝４，則稱±２為４的

；②23=8，則稱２為8的

；平方根立方根

類似地，由于(±2)4=16，所以±2叫做16的

；

由于25=32，所以2叫做32的

.4次方根5次方根定義1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*.

如果x3=a，那么x叫做a的立方根如果x2=a，那么x叫做a的平方根如果x4=a，那么x叫做a的四次方根……如果xn=a，那么x叫做a的n次方根x如何用a表示呢？如果x5=a，那么x叫做a的五次方根aa的二次方根490-4-9a2780-8-27a3210-1-32±2±30320-2-3210-1-2a81160-16-81±3±20a的三次方根a的四次方根a的五次方根

a=xna2780-8-27320-2-3a3210-1-32210-1-2①n為奇數(shù)時:a只有一個n次方根，a的n

次方根用符號

表示

。

且有當a是正數(shù)時，a的奇數(shù)次方根

是正數(shù)當a是負數(shù)時，a的奇數(shù)次方根是負數(shù)a的三次方根a的五次方根②n為偶數(shù)時:a是正數(shù)時,有兩個互為相反數(shù)的偶數(shù)次方根。負的偶數(shù)次方根記為：

正的偶數(shù)次方根記為

a490-4-9±2±30a81160-16-81±3±20③a是負數(shù)時,沒有偶數(shù)次方根。

a=xn}？a的二次方根a的二次方根aa的平方根490-4-9aa的立方根2780-8-27aa的五次方根3210-1-32±2±30320-2-3210-1-2aa的四次方根81160-16-81±3±20

新知探究問題2

方根的符號表示是？【1】當n是奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù),負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).

【2】當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).

【3】負數(shù)沒有偶次方根.【4】0的任何次方根都是0.記作：

新知探究問題3

什么是根式？

根指數(shù)被開方數(shù)

說明：新知探究問題4分別等于什么？一般地等于什么？

根據(jù)n次方根的意義，可得

結論:an開奇次方根,則有結論:an開偶次方根,則有不一定歸納小結根式的性質⑴當n為任意正整數(shù)時，()n=a.⑵當n為奇數(shù)時，=a；當n為偶數(shù)時，=|a|=.

典例解析

解：（1）

（2）

（3）

（4）注意符號新知探究問題6（1）觀察以下式子,你總結出什么規(guī)律呢？(a>0)結論：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.

被開方數(shù)的指數(shù)根指數(shù)新知探究問題6（2）利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?

結論：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時,根式也可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式.=4是存在的，是等于一個具體的值

事實上

，概念生成分數(shù)指數(shù)冪（a>0，m、n∈N*,n>1）被開方數(shù)的指數(shù)根指數(shù)規(guī)定，正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：規(guī)定，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（a>0，m、n∈N*,n>1）規(guī)定，0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義.追問1：

可以理解為

個a相乘嗎？新知探究不可以！追問2：分數(shù)指數(shù)冪能約分嗎？不可以！結論：①分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示,分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化.

②分數(shù)指數(shù)冪不可隨意約分.約分之后可能會改變根式有意義的條件.

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用.概念生成對于任意有理數(shù)r,s均有下面的運算性質有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減當a<0,b<0時運算法則不一定成立.只有當a>0,b>0時運算法則才一定成立.

解：

典例解析解：

例3

用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示并計算下列各式(其中a>0).

典例解析

例4

計算下式