黃岡市2025年春季高一年級(jí)期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)全卷滿分：150分，用時(shí)120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說法正確的（）A.通過圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有無數(shù)條母線B.棱柱底面一定是平行四邊形C.圓錐的軸截面都是等腰三角形D.用一個(gè)平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間幾何體的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，根據(jù)母線定義可知，通過圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有且僅有一條母線，故A錯(cuò)誤；對于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四邊形即可，故B錯(cuò)誤；對于C，圓錐的軸截面都是等腰三角形，故C正確；對于D，由棱臺(tái)的定義可知，需用平行于底面的平面截棱錐可得棱臺(tái)，不是任意平面都可以，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.如圖所示為水平位置的正方形，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則點(diǎn)到的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出直觀圖，由圖計(jì)算點(diǎn)到軸的距離即可.【詳解】畫出直觀圖，對應(yīng)，且，,故頂點(diǎn)到的距離為．故答案為：.3.已知在復(fù)平面內(nèi)，為原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，那么向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的減法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，可得，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B4.已知100個(gè)數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是93，則下列說法正確的是（）A.將這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第25個(gè)數(shù)據(jù)是93B.將這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第75個(gè)數(shù)據(jù)93C.將這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第25個(gè)數(shù)據(jù)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是93D.將這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是93【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】上四分位數(shù)即分位數(shù)，根據(jù)百分?jǐn)?shù)計(jì)算，，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為分位數(shù).故選：D.5.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．6.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角的正余弦的平方關(guān)系求得，，利用可求值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，又，所以，所以，所?故選：A.7.已知正四棱臺(tái)，，其側(cè)面積為，則該棱臺(tái)的體積為（）A.18 B.27 C. D.【答案】C【解析】【分析】過作于，過作交于，連接，過作于，可證平面，利用棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】過作于，過作交于，連接，過作于，因?yàn)椋源_定唯一平面，因?yàn)樗睦馀_(tái)是正四棱臺(tái)，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，所以，所以，又因?yàn)椋?，又，所以，所以該棱臺(tái)的體積為.故選：C.8.已知，在函數(shù)與圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到兩圖象距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】由題根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可得距離最短的交點(diǎn)坐標(biāo)可以為，，∴.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若，則C.若，則D.【答案】AC【解析】【分析】由，可得或，可判定A正確；由，可判定B不正確；由，可判定C正確；取，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到，可判定D不正確.【詳解】對于A中，若，可得，可得或，所以或，所以A正確；對于B中，例如，可得，此時(shí)不是實(shí)數(shù)，所以B不正確；對于C中，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，若，可得，所以C正確；對于D中，取，則，且，所以，此時(shí)，所以D不正確.故選：AC.10.關(guān)于平面向量，下列說法中正確的是（）A.若，，則存在，使得B.向量與不共線，則與都是非零向量C.若，則D若向量與同向，且，則【答案】AB【解析】【分析】對于A，根據(jù)向量共線的充要條件即可判斷；對于B，由零向量與任何向量共線即可判斷；對于C，取即可排除；對于D，根據(jù)向量有方向即可判斷.【詳解】對于A，根據(jù)向量共線的充要條件即可得到A正確；對于B，因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量共線，所以由向量與不共線，可得與都是非零向量，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，恒成立，但的關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；對于D，因向量有方向，故不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.如圖，在棱長均相等的正四棱錐中，為底面正方形的中心，分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面B.C.直線與直線所成角的大小為90°D.設(shè)平面底面，則二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】連接，利用線線平行可判斷A；利用勾股定理的逆定理可判斷B；可得，進(jìn)而得直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，求解即可判斷C；可證平面平面，進(jìn)而二面角與二面角相等，求解可判斷D.【詳解】連接，因?yàn)闉榈酌嬲餍蔚闹行模允堑闹悬c(diǎn)，又為側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；由于四棱錐的棱長均相等，所以，所以，又，所以，故B正確.由于分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，所以.又四邊形為正方形，所以，所以，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即.又為等邊三角形，所以，故C錯(cuò)誤.又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，二面角與二面角相等，連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，為底面正方形的中心，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，設(shè)正四棱錐的棱長為2，則，，所以，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的特征列出不等式組，求解即得.【詳解】因是純虛數(shù)，可得，解得.故答案為：3.13.在中，角的對邊分別為，已知，的周長為7，則邊長為______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得，由周長得，最后利用余弦定理列方程求得，即可得解.【詳解】由及正弦定理得，由的周長為7得，故由及余弦定理得，所以，化簡得，解得或（舍去），所以.故答案為：314.已知是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為6，則球的表面積為____________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)平面，三棱錐的體積最大，據(jù)此計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，即，解得，所以球的表面積為..故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于第一象限的點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義可得答案；（2）利用余弦的二倍角公式、兩角差的正弦展開式化簡可得答案.【小問1詳解】依題意，，，則，則；【小問2詳解】.16.如圖，在平面四邊形中，已知，，，若.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求取得最小值時(shí)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知根據(jù)向量運(yùn)算得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（2）結(jié)合已知根據(jù)向量運(yùn)算得，，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，為線段的中點(diǎn)，則，，從而，又因?yàn)椋瑒t有，從而.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t有，，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小.17.在中，角對應(yīng)的邊分別為，已知，.（1）求角和邊；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別表示出，然后代入計(jì)算即可；（2）依據(jù)題意得到，，然后得到，計(jì)算即可.【小問1詳解】依題意，由知：，從而，代入化簡得：，由余弦定理可知：從而.【小問2詳解】，則有，由知，為銳角，則，由，，知，從而有.18.已知總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：.記總的樣本平均數(shù)，樣本方差為.（1）證明：；（2）證明：；（3）現(xiàn)已知某高中共有學(xué)生1400人，其中男生800人，體重平均數(shù)66kg，方差為180，女生600人，體重平均數(shù)為52kg，方差為90，求出該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)和方差.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）60kg，【解析】【分析】（1）利用定義求出總體平均數(shù)即可；（2）利用定義求出總體方差即可；（3）代入（1）、（2）公式可得答案.【小問1詳解】設(shè)第一層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，，第二層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為，則，所以總體平均數(shù)；【小問2詳解】，由可得，同理，∴；【小問3詳解】由（1）可知，，即該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)為，由（2）可知.19.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，.（1）證明：三棱柱是直三棱柱；（2）若，求平面截三棱柱所得截面的面積；（3）是否存在，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）在上任取一點(diǎn)，過作交于，在上任取一點(diǎn)，過作交于，可證平面，證明可得結(jié)論；（2）過作，交于點(diǎn)，連接，截面為直角梯形，求得面積即可；（3）延長交于點(diǎn)，過作于，所以平面，連接，為與平面所成的角，可得，進(jìn)而可求的值.【小問1詳解】如圖：在上任取一點(diǎn)，過作交于，在上任取一點(diǎn)，過作交于，由平面平面，平面平面，平面所以：平面，同理有平面，從而有，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，從而有，即平?從而三棱柱是直三棱柱.