6．2.1向量的加法運(yùn)算

第六章

6.2平面向量的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握向量加法的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加法運(yùn)算及運(yùn)算法則，并理解向量加法的幾何意義．3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性，培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)．問題導(dǎo)思問題1.某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)B到點(diǎn)C，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移如何表示？你能從這個(gè)問題出發(fā)，給出求解向量之和的一種方法嗎？新知構(gòu)建1．向量加法的定義(1)定義：求_______________的運(yùn)算，叫做向量的加法．(2)對于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a.2．三角形法則兩個(gè)向量和微提醒運(yùn)用向量加法的三角形法則作圖時(shí)要“首尾相接，再首尾相連”．例1√(2)如圖所示，①a＋b＝________；②c＋d＝________；③a＋b＋d＝________；④c＋d＋e＝________．cffg規(guī)律方法√返回問題導(dǎo)思問題2.如圖，作AD綉B(tài)C，提示：相等．(3)四邊形ABCD的形狀如何？提示：平行四邊形．新知構(gòu)建如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量____(OC是?OACB的對角線)就是向量a與b的和．微提醒應(yīng)用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點(diǎn)”．向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義．例2(1)如圖①所示，求作向量a＋b；(2)如圖②所示，求作向量a＋b＋c.解：法一(三角形法則)：如圖②所示，法二(平行四邊形法則)：如圖③所示，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，規(guī)律方法向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的適用條件法則三角形法則平行四邊形法則兩向量位置關(guān)系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況兩向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的特點(diǎn)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的起點(diǎn)兩向量起點(diǎn)相同√返回問題導(dǎo)思問題3.請結(jié)合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，探索一下|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系．提示：(1)當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a＋b的方向與a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|>|b|，則a＋b的方向與a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b的方向與b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.問題4.我們知道實(shí)數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律呢？你能證明自己的猜想嗎？新知構(gòu)建1．|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系一般地，我們有|a＋b|≤_______________，當(dāng)且僅當(dāng)a，b中有一個(gè)是零向量或a，b是____________的非零向量時(shí)，等號成立．2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝______．(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋_______．|a|＋|b|方向相同b＋a(b＋c)例3化簡下列各式：規(guī)律方法向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則1．意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的．實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行．2．應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．對點(diǎn)練3．(多選)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是√√返回規(guī)律方法利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟對點(diǎn)練4．如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大?。?繩子的重量忽略不計(jì))由題意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，返回課堂小結(jié)知識(1)向量加法的三角形法則．(2)向量加法的平行四邊形法則．(3)向量三角不等式．(4)向量加法的運(yùn)算律．方法數(shù)形結(jié)