高一下正余弦定理復(fù)習(xí)卷（含解析）一、單選題1．△ABC中，若AB=6,∠BAC=π3,∠ACB=A．54 B．27 C．9 D．32．在ΔABC中，∠A=π3，AB=2，BC邊上的中線AD的長度為72A．1 B．3 C．2 D．53．在△ABC中，若sinC=3sinA，bA．13 B．14 C．234．已知△ABC三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3ccosA+aA．2 B．23 C．4 D．5．在△ABC中，已知a,b,c分別為角A,B,C的對邊．若ab+ba=3A．?439 B．439 C．36．在ΔABC中，∠B=60°，AC=3，則2BC?ABA．22 B．23 C．27．八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是正方形且邊長為2，其中動點(diǎn)P在圓O上，定點(diǎn)A、B所在位置如圖所示，則AB?A．9 B．10 C．102 D．8．△ABC中，AB=2，BC=26，AC=4，點(diǎn)O為△ABC的外心，若AO=mABA．7 B．15 C．?15二、多選題9．△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，則下列說法正確的有（）A．若A>B，則sinB．若tanA+tanB+C．若A=30°，b=4，a=3，則△ABC有兩解D．若(AB|AB|+10．在△ABC中，角A,B,C的邊分別為a,b,c，知B=60°，A．若A=π4，則a=46C．△ABC周長的最小值為12 D．△ABC面積的最大值411．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知2bcosC+2ccosB=3，3sin(B+C)=2sinA．a(chǎn)=32 C．△ABC為銳角三角形 D．bc的最大值為9三、填空題12．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+bsinC=a+c13．在△ABC中，A=π6，A的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，若AB=2，AC=6，則，BC=14．已知△ABC的三邊長分別為4、5、7，記△ABC的三個(gè)內(nèi)角的正切值所組成的集合為M，則集合M中的最大元素為.四、解答題15．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos（1）求A；（2）若a=4，且△ABC的面積為4316．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足bcos（1）求A的大??；（2）若a=23，BA17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asin（1）求角A的大??；（2）若cosB=55（3）若a=7，b=218．在①ba=cosB+13sinA已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若____.（1）求角B；（2）若a=2，c=3，點(diǎn)D在△ABC外接圓上運(yùn)動，求19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且cos2B+cos2C?cos2A=1（1）求A；（2）若bc=2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA?（3）設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，PB+PC=t

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A【解析】【解答】解：依題意，可作得平行四邊形ABDC，

則在?ABD中，AB=2，∠ABD=2π3，AD=72，

則由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·∠ABD，即722=22+BD23．【答案】C【解析】【解答】由正弦定理得c=3a，又b2=2ac=6a2，由余弦定理得cosB=a2+c2?b24．【答案】C【解析】【解答】由3ccosA+a因?yàn)镃∈(0，180°)，sin因?yàn)锳∈(0，如圖，S△ABC所以12所以bc=b+c，即1b∴(b+c)?(1當(dāng)且僅當(dāng)c=b，bc=b+c，即c=b=2時(shí)，等號成立，所以b+c的最小值為4.故答案為：C.

【分析】利用正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化，可求得A的值，由S△ABC=S△ABD+5．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閍b所以由余弦定理得ab+b由正弦定理得3=1?=1?cos又因?yàn)閏osA?B所以3sin解得cosC=32因?yàn)閏osC+且cosA?B所以cosC>36故選：C.

【分析】先根據(jù)余弦定理化角為邊，可得3c2=6．【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得ABsin∴AB=2sinC，∴2BC?AB=4=4sin∵A∈(0，2π3)，∴A?π∴2BC?AB不存在最大值，故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦定理，得出AB=2sinC，BC=2sinA，再利用三角形內(nèi)角和為180度得出2BC?AB=4sin7．【答案】C【解析】【解答】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以平行于等腰直角三角形直角邊的直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

由已知得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，-1），OA=10，

所以AB?=4，2，OP?=10，

設(shè)OP?=x，y，則x2+y2=10，AB?·OP?=4x+2y，

設(shè)x=10sinα8．【答案】A【解析】【解答】解：由余弦定理可得cos∠BAC=AB∵AO=mAB又∵AO·AB=|AB|·|AO|故答案為：A.【分析】利用余弦定理求出cos∠BAC，在AO=mAB+nAC兩邊同時(shí)乘以AB和AC，利用投影的定義計(jì)算出AO·AB9．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：由0<B<A<π且A<π?B知：sinA>B：，則tanA+tanB=tanAtanBtanC?tanCC：由bsinA=2<a=3知：△D：由AB|AB|+AC|AC|表示∠BAC的平分線垂直BC，即△ABC是AB=AC的等腰三角形，又故答案為：ACD

【分析】由A>B，正弦定理可得sinA>sinB，由tanC=?tan(A+B)=?tan10．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、B=60°，b=4，A=π4，在則a=bB、由正弦定理得bsinB=又因?yàn)閍>b，所以A>B，故A有兩個(gè)解，B錯誤；C、由余弦定理得b2即16=a所以a+c≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)等號成立，此時(shí)三角形為等邊三角形，周長取得最大值，為12，C錯誤；D、由選項(xiàng)C得16=a2+c2所以S△ABC所以△ABC面積的最大值43故答案為：AD.

【分析】應(yīng)用正弦定理bsinB=asinA求出a判斷A；根據(jù)正弦定理bsinB=asin11．【答案】A,B【解析】【解答】對于A，因?yàn)?bcosC+2ccosB=3，結(jié)合余弦定理推論可得，2bb2+a2?c對于B，因?yàn)?sin(B+C)=2sin所以3sinA=2sin2A所以3cosA對于C，∵tan對于D，∵tanA=?3根據(jù)余弦定理可得a2=利用基本不等式(3當(dāng)且僅當(dāng)b=c=10所以94故答案為：A、B.【分析】根據(jù)余弦定理代入2bcosC+2ccosB=3，化簡即可判斷A正確.利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式代入3sin(B+C)=2sin12．【答案】π【解析】【解答】解：bcosC+bsin則sinB即sinBsinC=cosBsinC+sinC，因?yàn)镃∈(0,π)，sin解得cosB=0或cosB=?1，又因?yàn)锽∈(0,π)，所以故答案為：π2【分析】由題意，利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.13．【答案】2；3【解析】【解答】在△ABC中，由余弦定理，BC2=AB2所以△ABC為等腰三角形，∠B=120°，在△ADC中，∠ADC=∠B+15由正弦定理，ADsinC=ACsin∠ADC，即故答案為：2；3【分析】利用余弦定理可得BC的長，在△ADC中由正弦定理可得AD的長.14．【答案】2【解析】【解答】不妨設(shè)△ABC的三邊長分別為a=4，b=5，所以最大角為C，由余弦定理得：cosC=a2+b所以0<A<B<π又函數(shù)y=tanx在(0，π2)上遞增，此時(shí)所以三個(gè)內(nèi)角的正切值最大為tanB由余弦定理得：cosB=a2所以tanB=故答案為：26

【分析】不妨設(shè)△ABC的三邊長分別為a=4，b=5，c=7，則由大邊對大角可得A<B<C，所以最大角為C，由余弦定理得出角C的余弦值，再結(jié)合三角形中角C的取值范圍判斷出角C為鈍角，所以0<A<B<π2<C<π15．【答案】（1）解：根據(jù)正弦定理，a變?yōu)閟inAcosC+也即sinA所以sinA整理，得3sinA?cosA=1，即所以A?π6=（2）解：由A=π3，S△ABC由余弦定理，得a2則(b+c)2=a2【解析】【分析】(1)首先由正弦定理和兩角和的正弦公式，整理化簡即可得出正弦值由此得出角的大小。

(2)根據(jù)題意把數(shù)值代入三角形面積公式由此計(jì)算出bc的取值，并代入到余弦定理由此計(jì)算出結(jié)果即可。16．【答案】（1）解：因?yàn)閎cos∴sinB因?yàn)锽∈(0，π)，所以所以sinA2=2∴cosA所以A2=（2）解：由BA?AC=∴bc=3，又a=23∴a2可得b+c=12+3∵S△ABC∴12所以AD=【解析】【分析】(1)利用正弦定理邊角互化，再由三角恒等變換化簡即可求出角A的大??；

(2)由數(shù)量積公式可得bc，再由余弦定理求出b+c，根據(jù)三角形面積公式利用S△ABC17．【答案】（1）解：∵asin由正弦定理得sinA∵sinB≠0∴sinA=∴tanA=又0<A<π，∴A=π（2）解：由cosB=55>0，∴sin2B=2sinB∴sin（3）解：由（1）知A=π3，又由余弦定理得7=4+c2?2c解得c=3（負(fù)根舍去）.∴△ABC的面積S=1【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得tanA=3，由此求得A=π3；

（2）先求得sin2B=2sinBcosB=4518．【答案】（1）解：選①，由正弦定理得sinB∵sinA≠0，∴3sinB?∵0<B<π，∴?π6<B?π6<5π選②，∵2bsinA=atan由正弦定理可得2sinBsinA=sinA?∵B∈(0，π選③，sin(A+B由已知結(jié)合正弦定理可得(a?c∴a2+c2∵B∈(0，π（2）解：a=2，c=3，∴b=7，∴△ABC外接圓的直徑2R=過D作DG⊥BC，垂足為G，而BC?若BC?BD取到最大值，則故可設(shè)∠DBC為銳角，故此時(shí)BC?當(dāng)|BG|取最大值時(shí)，DG與圓相切且G在設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為H，垂足為F，取BC的中點(diǎn)E，外接圓圓心為O，連接OE，OH，則OE//FH且OH⊥FH，故四邊形OHFE為矩形，故EF=OH=R=213，故∴(BC【解析】【分析】(1)選①根據(jù)題意由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，由此計(jì)算出sin(B?π6)=12進(jìn)而得出角B的取值；選19．【答案】（1）由已知△ABC中cos2B+cos2C?cos2A=1，

即1?2sin故sin2A=sin故△ABC直角三角形，即A=π（2）由（1）A=π2，所以三角形ABC的三個(gè)角都小于則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，設(shè)PA=x,PB=y,12xy?3則PA=xy??（3）點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則∠APB=∠BPC=∠CPA=2π設(shè)|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x,m>0,n>0,x>0，則由PB+PC=t由余弦定理得|AB||AC||BC|故由|AC|2+|AB即m+n+2=mn，而m>0,n>0，故m+n+2=mn≤(當(dāng)且僅當(dāng)m=n，結(jié)合m+n+2=mn，解得m=n=1+3又m+n=t，即有t2?4t?8≥0，解得t≥2+23故實(shí)數(shù)t的最小值為2+2?????【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡cos2B+cos2C?cos2A=1可得a2（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.（3）由（1）結(jié)論可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，設(shè)|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出（1）由已知△ABC中cos2B+cos2C?cos2A=1，即1?2sin故sin2A=sin故△ABC直角三角形，即A=π（2）由（1）A=π2