第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓之弧長(zhǎng)和扇形面積》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)C，，垂足為D，連接．(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．2．如圖1，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，連接平分，過點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，連接，，若四邊形為菱形，，求陰影部分的面積．3．如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，，連接，，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．4．如圖，四點(diǎn)在上，為的直徑，于點(diǎn)，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求弦與弧圍成的弓形的面積．5．如圖，直線經(jīng)過上的點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)，求圖中陰影部分面積．6．如圖，是的外接圓，為直徑，過點(diǎn)C作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若垂直平分，，求陰影部分的面積．7．如圖，為的直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，垂足為，是與的交點(diǎn)，平分，連接．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，求圖中陰影部分的面積．8．如圖，在中，，，O是上一點(diǎn)，，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與相切于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F．(1)求的長(zhǎng)；(2)求陰影部分的面積．9．如圖，點(diǎn)P是的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，連接．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求陰影部分的面積．10．如圖中，，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過上的點(diǎn)與交于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線．(2)若，求圖中陰影部分面積．11．如圖，是的內(nèi)接三角形，，弦，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分面積．12．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)D，并交邊于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，的半徑為2，求陰影部分的面積．13．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，求陰影部分的面積．14．如圖1，已知等腰三角形的外接圓圓心為點(diǎn)，，為的直徑，交于點(diǎn)，，；(1)求的長(zhǎng)；(2)連，求證：四邊形為菱形；(3)直接寫出圖2中陰影部分的面積．15．如圖，是的外接圓，為直徑，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，，求陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．參考答案1．(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，不規(guī)則圖形面積的求解等知識(shí)點(diǎn)．（1）連接，證明即可；（2）先由求出相關(guān)線段，證明，然后再由即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵是直徑，∴，∵切于點(diǎn)C，∴，∴，∴,∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，，∴∴，∴．2．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，如圖，先利用圓周角定理得到，再根據(jù)垂徑定理得到，接著利用切線的性質(zhì)得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）先利用得到，所以，再根據(jù)圓周角定理得，則利用余弦的定義可求出，所以，接著在中利用余弦的定義得到，于是設(shè)，則，求出得到，然后計(jì)算即可；（3）由圓周角定理得到，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，解直角三角形求出，由（1）知，進(jìn)而推出，，進(jìn)而求出，再根據(jù)陰影部分的面積為即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵平分，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，在中，∵，∴設(shè)，∴，即，解得，∴，∴．（3）解：∵是的直徑，，∴，，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，由（1）知，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理、不規(guī)則圖形的面積、菱形的性質(zhì)和解直角三角形．掌握切線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．(1)證明見解析(2)【分析】（）連接，可證，又由垂徑定理可得，即得，即可求證；（）由切線的性質(zhì)得，設(shè)半徑長(zhǎng)為，則，，利用勾股定理可得，，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)得，即可得，再根據(jù)解答即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的切線，∴，∴，設(shè)半徑長(zhǎng)為，則，，∵，∴，解得，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，過點(diǎn)作于，則，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)證明見解析(2)【分析】（）連接，由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，即得，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)即可求證；（）連接，過點(diǎn)作，由直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理可得，，可得，即得，進(jìn)而可得，，最后根據(jù)計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∵，∴，∴是的切線；（2）解：連接，過點(diǎn)作，∵為的直徑，∴，∵，∴，，∴，是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，，，則，即，結(jié)合切線的判定即可求解；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到是等邊三角形，設(shè)，則，運(yùn)用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得到，，結(jié)合陰影部分的面積為即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∵是圓的半徑，點(diǎn)在圓上，∴是的切線；（2）解：∵是切線，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)是是中點(diǎn)，且，∴，∴是等邊三角形，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，（負(fù)值舍去），∴，在中，，，∴，，∴陰影部分的面積為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積．（1）連接，，交于，由切線得到，再由結(jié)合垂徑定理得到，即，則；（2）連結(jié)、，由垂直平分，得到，則為等邊三角形．，推出，得到，，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接，，交于，∵的切線，∴，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：連結(jié)、，∵垂直平分，∴，∵，∴為等邊三角形．∴，∴，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴．7．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，扇形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角和角平分線的定義可得出，則可判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)切線的判定即可得證；（2）根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：，．平分，．．．．，．即．是的切線．（2）解：在中，，，，．．．8．(1)(2)【分析】本題考查圓的切線性質(zhì)、等腰與等邊三角形判定及性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、三角形及扇形面積公式；關(guān)鍵在于利用切線性質(zhì)和平行線得到相似三角形，結(jié)合角度與邊長(zhǎng)關(guān)系逐步求解．（1）連接，，利用切線性質(zhì)得，結(jié)合，證．由三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)證是等邊三角形，得．利用中角性質(zhì)，設(shè)表示、，再由列方程求出，最后用得出結(jié)果．（2）由是等邊三角形得度數(shù)，進(jìn)而求出，根據(jù)相似三角形性質(zhì)和已求邊長(zhǎng)算出，在中用勾股定理求出，計(jì)算，確定扇形圓心角和半徑，計(jì)算，用得出陰影部分面積．【詳解】（1）連接，，∵圓與相切于點(diǎn)，∴．∴，∴，∴．在中，，，．∵，∴是等邊三角形，∴．在中，，∴．設(shè)，∴，．∵，∴，∴，∵，∴，解得，即．∴．（2）∵是等邊三角形，∴，∴．∵，∴，∵，，∴，．在中，，，∴∴．∴．扇形的圓心角，半徑．．陰影部分面積．9．(1)是的切線，理由見解析(2)【分析】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算．（1）連接，根據(jù)題意推出是等邊三角形，進(jìn)而推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求出，則，根據(jù)切線的判定定理即可得解；（2）根據(jù)陰影部分的面積求解即可．【詳解】（1）解：是的切線，理由如下：如圖，連接，根據(jù)題意得，，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴陰影部分的面積．10．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)得到，即可得到，進(jìn)而證明結(jié)論即可；（2）設(shè)的半徑為R，在中根據(jù)勾股定理求出半徑的值，然后根據(jù)正切求出，然后根據(jù)全等得到，再根據(jù)計(jì)算解題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，在和中，，，，，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為R，在中，，，，解得，即，，，，由（1）知，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)及扇形的面積，求出是解題的關(guān)鍵．11．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，先證明，，可得，結(jié)合，，證明，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，求解，證明是等邊三角形，結(jié)合是的中位線，可得，求解，，，結(jié)合陰影部分面積，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，，，，，，，，，即，為半徑，是的切線．（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，是的直徑，，，是等邊三角形，，，，是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是的中位線，，在中，，，，，，，，，，陰影部分面積；陰影部分面積．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，求解扇形的面積，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定，求不規(guī)則圖形面積，解直角三角形，弧，圓心角和圓心角之間的關(guān)系等等，熟知圓的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義和等邊對(duì)等角可證明，則，進(jìn)而得到，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）可證明得到，解直角三角形得到，再根據(jù)列式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，∵平分，∴，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴∴，∵，∴，∴，∴．13．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線定義，得，可得，得，得，即得；（2）連接交于，根據(jù)垂徑定理推論得，，根據(jù)，，得，，得，，根據(jù)，得，即得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的平分線，，，，，，，為半徑，是的切線；（2）解：如圖2，連接交于，，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，∵，，，，，由（1）知，，，即，解得，；，，，∴，，；陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形綜合．熟練掌握角平分線有關(guān)計(jì)算，等腰三角形性質(zhì)，平行線判定和性質(zhì)，切線判定和性質(zhì)，垂徑定理推論等邊三角形判定和性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形判定和性質(zhì)，扇形面積公式，是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)見解析(3)陰影部分的面積為【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）連接，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，利用垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)得到，利用等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的定義解答即可；（3）連接，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，利用（2）的結(jié)論，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)求得，，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，再利用扇形與三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴．∵，∴，∴∵，∴，∴．∵，∴；（2）證明：連接，如圖，∵為的直徑，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴四邊形為菱形；（3）解：連接，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，如圖，由（2）知：為等邊三角形，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴∴陰影部分的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，扇形與三角形的面積公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，添加適當(dāng)?shù)妮o助線