銜接點(diǎn)04幾何圖形TOC\o"13"\h\z\u學(xué)習(xí)要求 1知識(shí)銜接 2題型探究 3題型1、割補(bǔ)法求面積（一）平移與對(duì)稱 3題型2、割補(bǔ)法求面積（二）旋轉(zhuǎn) 9題型3、和差法求面積 14題型4、整體代換法 21題型5、等積變換法求面積（體積） 25題型6、差不變思想（原理） 33題型7、容斥原理（韋恩圖） 36題型8、平面圖形的拼切重組問(wèn)題（含翻折） 41題型9、立體圖形的拼切重組問(wèn)題 48基礎(chǔ)通關(guān) 57拓展提優(yōu) 71小學(xué)階段初中階段主要學(xué)習(xí)了常見的平面幾何圖形（三角形、四邊形、圓）的周長(zhǎng)與面積、立體圖形（長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐）的表面積與體積。培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和運(yùn)算能力。初中階段較小學(xué)階段在幾何圖形方面變化極大：不再是停留在建立圖形的直觀表象和對(duì)圖形特征的觀察上，而要轉(zhuǎn)入對(duì)其性質(zhì)較為系統(tǒng)的研究。初中數(shù)學(xué)還要求進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，這對(duì)從來(lái)沒有進(jìn)行過(guò)數(shù)學(xué)證明的學(xué)生來(lái)說(shuō)，要掌握從論據(jù)推出結(jié)論的方法，來(lái)表明論據(jù)與結(jié)論之間必然的邏輯聯(lián)系是有一定難度的。培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的幾何直觀、抽象能力、推理能力等。銜接指引在初中幾何中，隨著變量和演繹推理證明等知識(shí)的進(jìn)入，初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何就需要提高相應(yīng)的思維能力，比如抽象思維，推理能力等等。難度提升，思維的層次也大為不同。如“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理，小學(xué)教材中是由實(shí)驗(yàn)得出的。初中要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明不能滿足于實(shí)驗(yàn)，而必須從理論上給予嚴(yán)格論證。1、基本公式圓柱體、圓錐體（:高；：面積；:底面半徑）2、求幾何圖形面積常見方法及運(yùn)用：1）割補(bǔ)法求面積（平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）運(yùn)用整體思想；5）差不變；6）容斥原理（韋恩圖）等。公式法：所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算。割補(bǔ)法：就是從割和補(bǔ)兩種不同角度認(rèn)識(shí)同一個(gè)面積。還有的是從不同的角度認(rèn)識(shí)某個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半。通過(guò)對(duì)面積問(wèn)題的訓(xùn)練可以打開思維。特別是結(jié)合等面積法的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。和差法：所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過(guò)轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。等積變換法：以線段比為對(duì)象運(yùn)用兩個(gè)面積比表示同一個(gè)面積比，有的是運(yùn)用整體與局部思想整體由各個(gè)局部合成。有的抓住面積不變，從兩個(gè)不同的底和高來(lái)表示同一個(gè)三角形的面積或任意求出直角邊的平方。差不變思想（原理）：即利用等式的性質(zhì)來(lái)求面積，若S甲=S乙，則S甲+S空白=S乙+S空白，S甲S空白=S乙S空白。容斥原理：即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來(lái)，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積。題型1、割補(bǔ)法求面積（一）平移與對(duì)稱【解題技巧】常見模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計(jì)算方法例1．（2024·甘肅·小升初模擬）下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)是2分米的正方形拼成的，圖中陰影部分的面積是（

）平方分米。A．2 B．4 C．8【答案】B【分析】觀察上圖可知，把第二個(gè)正方形中的陰影部分平移到第一個(gè)正方形的空白部分，陰影部分剛好拼成一個(gè)正方形；因此根據(jù)正方形面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出一個(gè)正方形的面積即可解答。陰影部分的面積是4平方分米。故答案為：BA．50.24 B．18.24 C．32 D．16【答案】B這樣陰影部分的面積＝以8厘米為半徑的扇形BAD面積＋長(zhǎng)方形BCFE面積－大正方形ABCD的面積。扇形面積公式：S＝πR2，正方形的四個(gè)角是直角90°，所以扇形的圓心角是90°，據(jù)此列式解答即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：4＋4＝8（厘米）×π×82＝×3.14×64＝50.24（平方厘米）4×8＝32（平方厘米）8×8＝64（平方厘米）50.24＋32－64＝18.24（平方厘米）陰影部分的面積是18.24平方厘米。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法和移補(bǔ)法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，再進(jìn)行解答。例3．（2024六年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，已知正六邊形ABCDEF的面積是314平方厘米，那么陰影部分面積總和是()。（取3.14）【答案】628【分析】觀察圖形可知，如下圖所示，陰影部分的面積＝一個(gè)正六邊形的面積＋6個(gè)三角形的面積＝2個(gè)正六邊形面積，據(jù)此解題即可?！驹斀狻咳鐖D：314×2＝628（平方厘米）所以，陰影部分面積總和是628平方厘米。【點(diǎn)睛】正確地、靈活運(yùn)用割補(bǔ)法的，是解答此題的關(guān)鍵。變式1．（2024·黑龍江·小升初模擬）求陰影部分的面積。(1)圖1中陰影部分的面積是()。(2)圖2中陰影部分的面積是()?！敬鸢浮?1)8平方厘米/8cm2(2)100平方分米/100dm2【分析】（1）把中間梯形陰影部分先旋轉(zhuǎn)再平移到右邊，和空白梯形部分重合，可知正方形內(nèi)陰影部分的面積是正方形面積的一半，根據(jù)正方形面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出正方形的面積，再除以2，即可求出陰影部分的面積；（2）在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的10分米處向?qū)呑饕粭l垂線，把大長(zhǎng)方形分成兩個(gè)邊長(zhǎng)都是10分米的正方形，把右上角的陰影部分平移到左邊正方形的空白部分，可知陰影部分是一個(gè)邊長(zhǎng)10分米的正方形，根據(jù)正方形面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，即可求出陰影部分的面積。【詳解】（1）4×4÷2＝8（平方厘米）（2）10×10＝100（平方分米）【點(diǎn)睛】此題考查了不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算方法，關(guān)鍵是明確陰影部分的面積是哪幾個(gè)部分的面積之和或差。變式2．（2025·全國(guó)·小升初模擬）求下圖中涂色部分的面積。【答案】25平方厘米【分析】【詳解】10×（10÷2）－10×（10÷2）÷2＝10×5－10×5÷2＝50－50÷2＝50－25＝25（平方厘米）陰影部分面積是25平方厘米。變式3．（2025·全國(guó)·小升初模擬）求涂色部分的面積。（單位：dm）【答案】50dm2；56.52dm2【分析】（1）由圖可知，將左邊和中間兩部分平移至右邊空白處，所以涂色部分的面積等于長(zhǎng)5×2＝10dm、寬5dm的長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，把數(shù)據(jù)代入公式即可求解；（2）由圖可知，將下面小半圓移至上面空白部分處，拼成一個(gè)大半圓，再根據(jù)圓的面積＝，再除以2，即可求出涂色面積。【詳解】（1）長(zhǎng)：5×2＝10（dm）10×5＝50（dm2）所以，這個(gè)涂色部分的面積50dm2。（2）3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝113.04÷2＝56.52（dm2）所以，這個(gè)涂色部分的面積56.52dm2。變式4．（2024·北京·小升初模擬）如圖，四個(gè)半徑均為R的等圓兩兩相切，則圖中陰影部分的面積為?！敬鸢浮?R2【詳解】由圖可知，陰影部分可以分為兩部分：一個(gè)整圓面積＋四條弧線圍成的圖形面積．如圖，所畫正方形邊長(zhǎng)為2R，四條弧線圍成的圖形面積是：2R×2R－πR2＝4R2－πR2整圓面積為：πR2故所求陰影部分面積為：4R2－πR2＋πR2＝4R2題型2、割補(bǔ)法求面積（二）旋轉(zhuǎn)【解題技巧】常見模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計(jì)算方法例1．（2024六年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，正方形ABCD的面積為16cm2，則陰影部分的面積是（

）cm2。（π取3）A．4 B．6 C．7.5 D．9【答案】B【詳解】正方形的邊長(zhǎng)：16÷4＝4（厘米）內(nèi)圓的半徑：4÷2＝2（厘米）故答案為：B例2．（2024·河北·小升初模擬）如圖：大三角形的空白部分是一個(gè)正方形，三角形甲與三角形乙的面積和是39平方厘米。大三角形ABC的面積是()平方厘米。（提示：可以用拼一拼轉(zhuǎn)化的方法，也可以用方程）【答案】75【分析】由于空白部分是一個(gè)正方形，把乙逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則會(huì)得到一個(gè)底是：4＋9＝13（厘米），高是正方形邊長(zhǎng)是三角形；由于這個(gè)三角形的面積是39平方厘米，根據(jù)三角形的面積公式：底×高÷2，可以求出正方形的邊長(zhǎng)，之后再求出大三角形ABC的兩條直角邊，代入面積公式即可求解?！驹斀狻?9×2÷（4＋9）＝78÷13＝6（厘米）（4＋6）×（9＋6）÷2＝10×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式并靈活運(yùn)用。例3．（2025六年級(jí)下·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖是一個(gè)直徑為3厘米的半圓，AB是直徑。讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？【答案】4.71平方厘米【分析】觀察圖形可知，陰影部分為不規(guī)則圖形可考慮整體減去空白。AC左邊為半圓，右邊為扇形CAB，所以圖形總面積為半圓面積＋扇形CAB面積，陰影部分面積為半圓面積＋扇形CAB面積－半圓面積＝扇形CAB面積，所以陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形CAB的面積，旋轉(zhuǎn)軸AB長(zhǎng)3厘米為扇形CAB的半徑，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可變式1．（2024·陜西·小升初模擬）兩個(gè)邊長(zhǎng)是4厘米的正方形，其中一個(gè)正方形的頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心上，陰影部分是重疊面積，求不重疊部分面積?！敬鸢浮?4平方厘米【分析】標(biāo)注字母并作出輔助線，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA＝OC，△AOB和△COD形狀大小完全相同，可以將△COD割補(bǔ)到△AOB的位置，因此陰影部分的面積就是正方形面積的，再用正方形的面積減去陰影部分的面積就是一個(gè)正方形中不重疊部分面積，兩個(gè)相同正方形不重疊部分面積完全一樣，最后乘2即可。【詳解】答：不重疊部分的面積是24平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了正方形的特點(diǎn)，利用割補(bǔ)法將陰影部分不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的圖形也是本題的難點(diǎn)。變式2．（2023·四川成都·小升初真題）求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）（?。┳兪?．（2024·河南南陽(yáng)·小升初真題）如圖，已知AB＝40cm，圖中的曲線是由半徑不同的三種半圓弧平滑連接而成，那么陰影部分的面積是()cm2。（π取3.14）【答案】628【分析】觀察圖形可知，4個(gè)空白部分完全相同，把每個(gè)空白部分中的空白小半圓和陰影小半圓的位置對(duì)調(diào)，即可看出每個(gè)空白部分是一個(gè)直徑為（40÷2）cm的半圓；那么陰影部分的面積＝半徑為（40÷2）cm大圓的面積－4個(gè)直徑為（40÷2）cm空白半圓的面積；根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻?.14×（40÷2）2－3.14×（40÷2÷2）2÷2×4＝3.14×202－3.14×102÷2×4＝3.14×400－3.14×100÷2×4＝1256－628＝628（cm2）陰影部分的面積是628cm2。變式4．（2024·甘肅·小升初模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，E，F(xiàn)，G，H分別為正方形四邊上的中點(diǎn)，求陰影部分的面積是多少平方厘米？【答案】20平方厘米【分析】如上圖所示，將原圖進(jìn)行割補(bǔ)，則可以得出，正方形的面積就等于5個(gè)小正方形的面積和，于是陰影部分的面積就等于大正方形的面積除以5，據(jù)此即可得解。【詳解】10×10＝100（平方厘米）100÷5＝20（平方厘米）答：陰影部分的面積是20平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面積，掌握割補(bǔ)法是解題的關(guān)鍵。題型3、和差法求面積【解題技巧】常見模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計(jì)算方法例1．（2024·全國(guó)·小升初模擬）求涂色部分的面積。（單位：dm）【答案】25.12平方分米；10.26平方分米【分析】（1）陰影部分的面積等于以8分米為半徑的圓面積的減去一個(gè)以8分米為直徑的半圓的面積，據(jù)此結(jié)合圓的面積公式：S＝π（d÷2）2＝πr2列式計(jì)算；（2）陰影部分的面積等于以6分米為半徑的圓的面積減去一個(gè)底是6分米高是6分米的三角形的面積，據(jù)此結(jié)合圓的面積＝πr2，三角形的面積＝底×高÷2列式計(jì)算。【詳解】3.14×82×－3.14×（8÷2）2×＝3.14×64×－3.14×42×＝200.96×－3.14×16×＝50.24－50.24×＝50.24－25.12＝25.12（平方分米）

3.14×62×－6×6÷2＝3.14×36×－36÷2＝113.04×－18＝28.26－18＝10.26（平方分米）【分析】長(zhǎng)方形的面積－扇形CBF的面積＝不規(guī)則圖形ABFD，陰影部分的面積＝扇形ABE－不規(guī)則圖形ABFD。長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝。注意：結(jié)果保留，不取近似值。不規(guī)則圖形ABFD：4×6－4＝（24－4）平方厘米則圖中陰影部分的面積是為（13π－24）平方厘米?！军c(diǎn)睛】因?yàn)殚L(zhǎng)方形的四個(gè)角都是90°，扇形CBF的圓心角為90°，即它的面積是以半徑為4厘米的圓的，同理扇形ABE的面積是以半徑為6厘米的圓。求扇形的面積要先求出所在圓的面積。例3．（2023·陜西西安·小升初真題）下圖中正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，分別以正方形的邊長(zhǎng)為半徑和直徑，作扇形、圓，求陰影部分的面積。（π取3.14）【答案】11.61平方厘米【分析】如圖所示，在一個(gè)正方形里面有一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的直徑是這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。可以觀察發(fā)現(xiàn)正方形減去圓，剩下正方形四個(gè)角上一模一樣的圖形（S1），每一個(gè)S1的面積＝（正方形的面積－圓的面積）÷4，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)、圓的面積＝計(jì)算出一個(gè)S1的面積；根據(jù)各部分之間的關(guān)系，可知陰影部分的面積＝（正方形的面積－半徑是6厘米圓的面積－S1）×2，據(jù)此代入數(shù)值計(jì)算即可?！驹斀狻?×6＝36（平方厘米）S1面積：（36－28.26）÷4＝7.74÷4＝1.935?（平方厘米）＝（36－?28.26－1.935）×2＝5.805×2＝11.61（平方厘米）答：陰影部分的面積為11.61平方厘米?！军c(diǎn)睛】找出如何得出陰影部分面積的方法，再利用基礎(chǔ)圖形的公式計(jì)算。變式1．（2024·江蘇揚(yáng)州·小升初真題）一個(gè)零件橫截面的形狀如圖。這個(gè)零件橫截面（涂色部分）的面積是多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】觀察圖形可知，涂色部分的面積＝大半圓的面積－小圓的面積，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻?6÷2＝8（厘米）8÷2＝4（厘米）3.14×82÷2－3.14×42＝3.14×64÷2－3.14×16＝100.48－50.24＝50.24（平方厘米）答：這個(gè)零件橫截面（涂色部分）的面積是50.24平方厘米。變式2．（2024·湖北·小升初模擬）求下面陰影部分的面積?！敬鸢浮?0.56平方厘米【分析】增加一條輔助線，將陰影部分一分為二。圓面積＝πr2，由此求出半徑是4厘米圓的面積，再除以4，求出四分之一圓的面積。三角形面積＝底×高÷2，由此求出大正方形中右上三角形的面積。陰影部分面積＝四分之一圓的面積－右上三角形的面積＋底為3厘米、高為4厘米的陰影三角形的面積?！驹斀狻咳鐖D：3.14×42÷4－4×4÷2＋3×4÷2＝3.14×16÷4－8＋6＝12.56－8＋6＝10.56（平方厘米）所以，陰影部分的面積是10.56平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了陰影部分的面積，需熟練運(yùn)用割補(bǔ)法將陰影部分一分為二，分別求出面積再相加。變式3．（2425六年級(jí)下·海南海口·期末）如圖，正方形邊長(zhǎng)2厘米，兩陰影部分面積相差多少？【答案】2.28平方厘米答：兩陰影部分面積相差2.28平方厘米。變式4．（2425六年級(jí)下·河南鄭州·開學(xué)考試）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC為直徑作圓，又以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫弧，交BA于點(diǎn)D，如下圖所示，計(jì)算圖中陰影部分的面積之和（π取3）?！敬鸢浮?0平方厘米【詳解】3×（4÷2）2＝3×22＝3×4＝12（平方厘米）＝3×16×＝6（平方厘米）4×4÷2＝8（平方厘米）12＋6－8＝10（平方厘米）答：圖中陰影部分的面積之和是10平方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了容斥原理和平面幾何的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是明確這個(gè)圖形由哪兩個(gè)圖形拼成，減去了哪個(gè)圖形。題型4、整體代換法【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設(shè)而不求，整體代換即可。例1．（2024·浙江·小升初模擬）下圖陰影部分的面積是30cm2，圓環(huán)的面積是（

）cm2。A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256【答案】B【分析】根據(jù)題意，可把外圓的半徑用R表示，小圓的半徑用r表示，大三角形的面積為R2，小三角形的面積r2，可用大三角形的面積減去小三角形的面積計(jì)算出（R2－r2）然后再代入圓環(huán)的面積公式S＝π（R2－r2）進(jìn)行計(jì)算即可得到答案?！驹斀狻縍2－r2＝30解：（R2－r2）＝30（R2－r2）÷＝30÷（R2－r2）×2＝30×2R2－r2＝603.14×60＝188.4（cm2）圓環(huán)的面積是188.4cm2。故答案為：B【點(diǎn)睛】此題主要考查的是圓環(huán)的面積公式的靈活應(yīng)用。例2．（2025六年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，圓中三個(gè)小正方形（涂色部分）A、B、C的邊長(zhǎng)分別是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面積是()平方厘米，圓的面積是()平方厘米。【答案】81127.17【分析】據(jù)圖可知，最大正方形的邊長(zhǎng)等于三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)之和，即（2＋3＋4），根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)求出最大正方形的面積；最大正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圓的直徑，即2r，高是圓的半徑，即r，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2可知正方形的面積可以表示為：2r×r÷2×2＝2r2，據(jù)此用最大正方形的面積除以2即可求出r2，最后根據(jù)圓的面積＝πr2列式求出圓的面積即可?！驹斀狻浚?＋3＋4）×（2＋3＋4）＝9×9＝81（平方厘米）81÷2×3.14＝40.5×3.14＝127.17（平方厘米）因此，最大正方形的面積是81平方厘米，圓的面積是127.17平方厘米。【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是找到r2與圓中最大正方形的面積關(guān)系，從而可以通過(guò)不求出半徑即可求出圓的面積。例3．（2024·全國(guó)·小升初模擬）如圖，圓環(huán)的面積是141.3平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？【答案】45平方厘米【分析】如圖：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，大正方形的面積=大圓的半徑×大圓的半徑＝大圓半徑的平方，小圓的面積=小圓的半徑×小圓的半徑＝小圓半徑的平方，設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，則圓環(huán)面積為π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），據(jù)此用圓環(huán)的面積除以π即可解答?！驹斀狻吭O(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r。則圓環(huán)面積為：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米）R2－r2＝141.3÷3.14＝45（平方厘米）答：陰影部分的面積是45平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正方形的面積差。再結(jié)合圓環(huán)的面積公式解答。變式1．（2024·福建·小升初模擬）如下圖，正方形的面積是50cm2，陰影部分的面積是()cm2?！敬鸢浮?8.5【分析】如圖，將正方形分成兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形，三角形的底＝正方形對(duì)角線，三角形的高＝正方形對(duì)角線÷2，根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，求出一個(gè)三角形面積，乘2是正方形面積，即正方形面積＝對(duì)角線×（對(duì)角線÷2）÷2×2＝對(duì)角線×對(duì)角線÷2＝對(duì)角線的平方÷2?？磮D可知，正方形的對(duì)角線＝圓的半徑，根據(jù)上邊的結(jié)論，正方形面積＝半徑的平方÷2，即正方形面積×2＝半徑的平方，陰影部分的面積＝圓的面積－正方形的面積＝×圓周率×半徑的平方－正方形的面積，將半徑的平方代入，計(jì)算即可?！驹斀狻俊?.14×（50×2）－50＝×3.14×100－50＝78.5－50＝28.5（cm2）陰影部分的面積是28.5cm2?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是靈活利用面積公式，推導(dǎo)出正方形面積＝對(duì)角線的平方÷2。變式2．（2024·山東·小升初模擬）圖中部分的面積是16平方厘米，半圓環(huán)的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?5.12【分析】圓環(huán)的面積＝π（R2－r2），而的面積是16平方厘米＝R2－r2，陰影部分面積已知，于是利用等量代換的方法，即求出半圓環(huán)的面積?！驹斀狻吭O(shè)大圓的半徑為R，小圓半徑為r，又因R2－r2＝16平方厘米則半圓環(huán)的面積：π（R2－r2）÷2＝3.14×16÷2＝25.12（平方厘米）【點(diǎn)睛】解答此題關(guān)鍵是明確組合圖形是由那些基本圖形構(gòu)成的，然后明白求面積之和還是求差。變式3．（2425六年級(jí)上·浙江杭州·期末）有三個(gè)大小不一樣的正方形疊放在一起，它們有一個(gè)公共頂點(diǎn)。這樣大正方形被分成了正方形區(qū)域甲、L形區(qū)域乙和L形區(qū)域丙。已知三塊區(qū)域甲、乙、丙的周長(zhǎng)之比4∶5∶6，并且丙的面積為22，則甲的面積是。【答案】32【詳解】解：設(shè)甲的邊長(zhǎng)為x，甲的周長(zhǎng)為4x，乙的周長(zhǎng)是5x，丙的周長(zhǎng)是6x。（6x÷4）2－（5x÷4）2＝22；（x）2－（x）2＝22；x2－x2＝22x2＝22；x2＝22÷；x2＝22×；x2＝32；甲的面積是32。題型5、等積變換法求面積（體積）【解題技巧】合理使用邊、高的比求面積的比例，靈活掌握邊、高、面積、體積之間的關(guān)系。例1．（2024·浙江·小升初模擬）如圖，已知有一塊四邊形花圃ABCD，其中E，F(xiàn)分別為AB，AG上的點(diǎn)，且BE＝2AE，G，H分別是DF，BC上的點(diǎn)，且BH＝HC，F(xiàn)G＝GD，連接EF，BF，BG，HD，將花圃分成五塊，圖中陰影部分種蘭花，三角形AEF的面積是25平方米，三角形BFG的面積是150平方米，三角形HCD的面積是90平方米?？瞻撞糠址N郁金香，那么郁金香的面積為多少平方米？【答案】440平方米【分析】連接BD，如圖所示：三角形面積＝底×高÷2，三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE＝2AE，那么三角形BEF的面積是三角形AEF面積的2倍；FG＝GD，那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么這兩個(gè)三角形的面積相等；同理，BH＝HC，那么三角形BHD和三角形HCD等底等高，面積相等。將空白部分的面積相加，求出種植郁金香的面積即可?！驹斀狻?5×2＝50（平方米）50＋150＋150＋90＝440（平方米）答：郁金香的面積是440平方米。【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積、組合圖形的面積，熟記并靈活運(yùn)用三角形的面積公式，并掌握割補(bǔ)法求組合圖形的面積是解題的關(guān)鍵。例2．（2024·全國(guó)·小升初模擬）如圖是一張三角形ABC的硬紙塊，D、E分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且AE＝EC，CD＝2BD，連接BE、AD使得BE、AD相交于點(diǎn)F，已知三角形BDF的面積為5cm2，那么這張硬紙塊的面積為()cm2。【答案】60【分析】連接CF，根據(jù)底邊關(guān)系可得：△CDF的面積是△BDF的2倍，即5×2＝10cm，△BCF的面積＝△CDF的面積＋△BDE的面積＝5＋10＝15（cm2），因?yàn)锳E＝EC，得出△BCE的面積＝△BAE的面積，△FCE的面積＝△FAE的面積，所以△ABF的面積＝△BCF的面積＝15（cm2），因?yàn)椤鰽BD的面積＝△ABF的面積＋△BDF的面積，所以△ABD的面積＝15＋5＝20（cm2）由CD＝2BD，可得△ACD的面積＝2×△ABD的面積＝2×20＝40（cm2），因?yàn)椤鰽BC的面積＝△ACD的面積＋△ABD的面積，所以△ABC的面積＝40＋20＝60（cm2），據(jù)此解答即可?！驹斀狻咳鐖D連接CF，因?yàn)镃D＝2BD，所以△CDF的面積是△BDF的2倍，因?yàn)椤鰾DF的面積為5cm2，所以△CDF的面積是5×2＝10cm2，△BCF的面積＝△CDF的面積＋△BDF的面積＝5＋10＝15（cm2）因?yàn)锳E＝EC，所以△BCE和面積＝△BAE的面積，△FCE和面積＝△FAE的面積，所以△ABF的面積＝△BCF的面積＝15（cm2）因?yàn)椤鰽BD的面積＝△ABF的面積＋△BDF的面積，所以△ABD的面積＝15＋5＝20（cm2）因?yàn)镃D＝2BD，所以△ACD的面積＝2×△ABD的面積＝2×20＝40（cm2）因?yàn)椤鰽BC的面積＝△ACD的面積＋△ABD的面積所以△ABC的面積＝40＋20＝60（cm2）所以這張硬紙塊的面積為60cm2?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積與高和底的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出△ABD的面積?！敬鸢浮?60平方厘米注意可以運(yùn)用圖形的特點(diǎn)，分割轉(zhuǎn)化成其他的圖形，巧妙求出面積。本題把梯形轉(zhuǎn)化成三角形，運(yùn)用三角形的面積與底和高的關(guān)系求出梯形的面積。例4．（2024·江蘇常州·小升初真題）如圖，將一個(gè)由圓柱和圓錐組合成的容器（圓柱的高是8厘米，圓錐的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把這個(gè)容器正放，那么容器內(nèi)水面的高是()厘米。【答案】5【分析】根據(jù)題意把這個(gè)容器正放，那么水都流到圓柱，那么容積水面的高＝倒置圓柱部分水的高＋圓錐部分變圓柱后水的高，倒置時(shí)圓柱部分的高為（7－3）厘米，圓錐部分水變圓柱后的高與圓柱等底等體積，那么圓柱的高是圓錐的，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?－3）＋×3＝4＋1＝5（厘米）如果把這個(gè)容器正放，那么容器內(nèi)水面的高是5厘米。例5．（2024·四川·小升初真題）有一玻璃密封器皿如圖1，測(cè)得其底面直徑為20，高為20?，F(xiàn)內(nèi)裝藍(lán)色溶液若干，如圖2放置時(shí)，測(cè)得液面高10。如圖3放置時(shí)，測(cè)得液面高16。該玻璃密封器皿總?cè)萘繛?)。（結(jié)果保留）變式1．（2024·全國(guó)·小升初模擬）如圖所示，已知四邊形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，且四邊形EDFB的面積是10平方厘米，則四邊形ABCD的面積是()平方厘米。【答案】20【分析】連接B、D兩點(diǎn)，將圖形分成a、b、c、d四個(gè)部分，如圖所示：E為AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，可知：a與b的面積相等，c與d的面積相等。已知四邊形EDFB的面積（b與c的面積和）是10平方厘米，則四邊形ABCD的面積是四邊形EDFB的面積的2倍。據(jù)此解答?！驹斀狻窟B接B、D作輔助線，將圖形分成a、b、c、d四個(gè)部分。因?yàn)?，E為AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，所以，a與b、c與d兩個(gè)三角形分別是等底等高，即面積相等。四邊形EDFB的面積＝b＋c＝10平方厘米四邊形ABCD的面積＝a＋b＋c＋d＝2×（b＋c）10×2＝20（平方厘米）所以，四邊形ABCD的面積是20平方厘米?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線，利用線段的中點(diǎn)，將圖形分成幾個(gè)部分，再根據(jù)等底等高的三角形面積相等的特征求出部分圖形已知面積與整體面積的關(guān)系巧求面積。【答案】12【點(diǎn)睛】根據(jù)三角形底邊的關(guān)系找出三角形的面積關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。變式3．（2024·江蘇·小升初模擬）在平行四邊形ABCD中，AE＝EF＝FB，AG＝2CG，三角形GEF的面積是6平方厘米，求平行四邊形ABCD面積?！敬鸢浮?4平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，AE＝EF＝EB，由此可知三角形AEG＝三角形EFG＝三角形FBG，三角形ABG的面積＝6×3＝18平方厘米；AG＝2CG，由此可知三角形CBG的面積＝三角形ABG面積÷2，即三角形CBG的面積＝18÷2＝9平方厘米，三角形ABC的面積＝三角形ABG的面積＋CBG的面積＝18＋9＝27平方厘米，平行四邊形ABCD的面積＝三角形ABC的面積×2，用27×2，即可解答?！驹斀狻咳切蜛BG的面積：6×3＝18（平方厘米）三角形CBG的面積：18÷2＝9（平方厘米）三角形ABC的面積：18＋9＝27（平方厘米）平行四邊形ABCD的面積：27×2＝54（平方厘米）答：平行四邊形ABCD的面積是54平方厘米?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是利用三角形等底等高，求出三角形面積，再利用三角形面積求出平行四邊形面積。變式4．（2024六年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，圓柱玻璃容器里面裝有水，水中浸沒著一個(gè)高15厘米的圓錐形鉛錘，圓柱容器和圓錐鉛錘的底面直徑之比為5∶4，如果把鉛錘取出，那么容器中的水面高度將下降多少厘米？【答案】3.2厘米【分析】已知圓柱容器和圓錐鉛錘的底面直徑之比為5∶4，可知它們的底面半徑之比為5∶4，底面積之比為25∶16；因?yàn)閳A錐形鉛錘完全浸沒在水中，從水中取出鉛錘，那么容器中的水面會(huì)下降，水下降部分的體積等于圓錐形鉛錘的體積，它們的體積之比為1∶1；根據(jù)圓柱的高h(yuǎn)柱＝V÷S，圓錐的高h(yuǎn)錐＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圓錐鉛錘的高之比；已知圓錐形鉛錘的高是15厘米，根據(jù)比的應(yīng)用的解題方法，求出一份數(shù)，進(jìn)而求出容器中水面下降的高度?！驹斀狻繄A柱容器和圓錐鉛錘的底面半徑之比為5∶4；圓柱容器和圓錐鉛錘的底面積之比為52∶42＝25∶16；圓柱容器中水面下降部分的體積與圓錐鉛錘的體積之比為1∶1；圓柱容器中水面下降高度和圓錐鉛錘的高之比為：（1÷25）∶（1×3÷16）＝∶＝（×400）∶（×400）＝16∶75圓柱容器中的水面高度下降：15÷75×16＝0.2×16＝3.2（厘米）答：容器中的水面高度將下降3.2厘米?！军c(diǎn)睛】求出圓柱容器中水面下降高度和圓錐鉛錘的高之比是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)比的應(yīng)用的解題方法求解。變式5．（2024·河南·小升初模擬）如圖，一個(gè)果汁瓶，它的瓶身呈圓柱形，容積為462毫升。當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)液面高為12厘米，瓶子倒放時(shí)，空余部分高為2厘米。瓶?jī)?nèi)裝有果汁多少毫升？【答案】396毫升【分析】要求瓶?jī)?nèi)果汁的體積，則需先求出瓶子的底面積。圓柱形瓶子的體積即是它的容積，圓柱的體積＝底面積×高；由于果汁在瓶?jī)?nèi)的體積不變，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，所以假設(shè)瓶身全部呈圓柱形的話，放正時(shí)液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圓柱的高，即（12＋2）厘米；結(jié)合容積為462毫升，用容積除以圓柱的高，就能得到瓶子的底面積，從而根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，求出果汁的體積?！驹斀狻?62毫升＝462立方厘米圓柱的底面積：462÷（12＋2）＝462÷14＝33（平方厘米）瓶?jī)?nèi)果汁的體積：33×12＝396（立方厘米）396立方厘米＝396毫升答：瓶?jī)?nèi)裝有果汁396毫升?！军c(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是理解前后兩次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。題型6、差不變思想（原理）【解題技巧】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來(lái)求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。例1．（2024·全國(guó)·小升初模擬）如圖，大小兩個(gè)長(zhǎng)方形部分重疊，算一算兩塊沒有重合的陰影部分面積的差是多少？（單位：厘米）【答案】28平方厘米【分析】大長(zhǎng)方形沒有重合的陰影部分的面積等于大長(zhǎng)方形面積減去重合部分面積，小長(zhǎng)方形沒有重合的陰影部分的面積等于小長(zhǎng)方形面積減去重合部分面積；因?yàn)橹睾厦娣e相等，所以兩塊沒有重合的陰影部分面積差就是大長(zhǎng)方形面積與小長(zhǎng)方形面積差，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)解答即可?！驹斀狻?×8－5×4＝48－20＝28（平方厘米）沒有重疊的陰影部分面積相差28平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的面積重疊問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是理解沒有重合的陰影部分面積差就是大長(zhǎng)方形面積與小長(zhǎng)方形面積差。例2．（2023·福建莆田·小升初真題）如圖，直徑AB＝20厘米，陰影部分Ⅰ的面積比陰影Ⅱ的面積大7平方厘米，求BC的長(zhǎng)？【答案】15厘米【分析】根據(jù)圖可知Ⅲ是半圓和三角形ABC的公有部分，陰影部分Ⅰ的面積比陰影Ⅱ的面積大7平方厘米，也就是說(shuō)半圓比三角形ABC的面積大7平方厘米，又因?yàn)橐阎睆?，可求出半圓的面積，用半圓面積減去7平方厘米就是三角形的面積，最后根據(jù)三角形的面積公式可以求出BC的長(zhǎng)。【詳解】由題意可知：＝3.14×102÷2＝3.14×100÷2＝157（平方厘米）由圖可知，Ⅰ＋Ⅲ＝半圓面積，Ⅱ＋Ⅲ＝SABC，又因?yàn)殛幱安糠症竦拿娣e比陰影Ⅱ的面積大7平方厘米，所以：SABC＝157－7＝150（平方厘米）SABC＝BC×AB÷2150＝BC×20÷2BC＝15（厘米）答：BC的長(zhǎng)為15厘米。【點(diǎn)睛】此題考查了組合圖形的面積和轉(zhuǎn)化的思想。例3．（2024·遼寧·小升初模擬）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是10厘米，寬是8厘米。三角形ADF的面積比三角形BEF的面積大20平方厘米，涂色部分的面積是多少平方厘米？【答案】20平方厘米【分析】因?yàn)槿切蜛DF的面積比三角形BEF的面積大20平方厘米，三角形ADF和三角形BEF同時(shí)加上三角形BDF的面積，可得三角形ABD的面積比涂色部分的面積大20平方厘米。根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，求出三角形ABD的面積，涂色部分的面積＝三角形ABD的面積－20平方厘米，據(jù)此列式解答。【詳解】10×8÷2－20＝40－20＝20（平方厘米）答：涂色部分的面積是20平方厘米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是看懂三角形ABD和涂色部分之間的關(guān)系，掌握并靈活運(yùn)用三角形面積公式。變式1．（2025·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，大圓半徑是5厘米，小圓半徑是2厘米，涂色部分重疊在一起。大圓、小圓沒有重疊的部分的面積相差多少平方厘米？【答案】65.94平方厘米【分析】根據(jù)題意，大圓沒有重疊部分面積＝大圓面積－重疊部分面積；小圓沒有重疊部分面積＝小圓面積－重疊部分面積；大圓沒有重疊部分面積－小圓沒有重疊部分面積＝大圓面積－重疊部分面積－（小圓面積－重疊部分面積），去掉括號(hào)，大圓沒有重疊部分面積－小圓沒有重疊部分面積＝大圓面積－重疊部分面積－小圓面積＋重疊部分面積，即大圓沒有重疊部分面積－小圓沒有重疊部分面積＝大圓面積－小圓面積，根據(jù)圓的面積公式：圓的面積＝πr2，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.14×52－3.14×22＝3.14×25－3.14×4＝78.5－12.56＝65.94（平方厘米）答：大圓、小圓沒有重疊的部分的面積相差65.94平方厘米。變式2．（2024·四川·小升初模擬）如圖，ABCD是平行四邊形，BC＝8cm，EC＝6cm，陰影部分面積比△EFG的面積大12cm2，求FC的長(zhǎng)?！敬鸢浮?.5厘米【分析】由圖可知，△EFG＋梯形BCFG＝△BCE，陰影部分＋梯形BCFG＝平行四邊形ABCD，根據(jù)陰影部分與△EFG的面積差表示出平行四邊形ABCD與陰影部分的面積之差，利用三角形的面積計(jì)算公式計(jì)算出△BCE的面積，再求出平行四邊形ABCD的面積，最后利用“高＝平行四邊形的面積÷底”求出FC的長(zhǎng)?！驹斀狻糠治隹芍?，陰影部分面積－△EFG＝12cm2（陰影部分＋梯形BCFG）－（△EFG＋梯形BCFG）＝12cm2平行四邊形ABCD－△BCE＝12cm2△BCE的面積：8×6÷2＝48÷2＝24（cm2）平行四邊形ABCD的面積：24＋12＝36（cm2）FC的長(zhǎng)度：36÷8＝4.5（厘米）答：FC長(zhǎng)4.5厘米?！军c(diǎn)睛】分析題意求出平行四邊形ABCD的面積是解答題目的關(guān)鍵。題型7、容斥原理（韋恩圖）【解題技巧】容斥原理這個(gè)詞可能聽起來(lái)比較陌生，它還有另一個(gè)名詞，重疊法。如果運(yùn)用得當(dāng)，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時(shí)，能起到事半功倍的作用。重點(diǎn)要理解容斥原理在求解陰影部分面積時(shí)的妙用。例1．（2024·全國(guó)·小升初模擬）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以正方形的四邊為直徑作半圓，那么陰影部分的面積是．【答案】9.12平方厘米【詳解】求圓形面積問(wèn)題的關(guān)鍵是把不規(guī)則的圓形包含在一個(gè)規(guī)則圖形中，再由這個(gè)規(guī)則圖形面積減去若干個(gè)規(guī)則圓形的面積．此圖中若把四個(gè)半圓面積加起來(lái)（陰影部分被加了兩次）是正方形面積加陰影面積，因此陰影部分面積為．例2．（2024·全國(guó)·小升初模擬）如圖，△ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝AC，以BC、AC分別為直徑畫半圓，兩個(gè)半圓的交點(diǎn)D在AB邊上，求圖中陰影部分的面積．【答案】3.85平方厘米【分析】?jī)蓚€(gè)半圓的面積和減去直角三角形ABC的面積是陰影部分的面積據(jù)此解答。【詳解】大半圓的面積：3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方厘米）；小半圓的面積：3.14×（4÷2÷2）2÷2＝3.14×1÷2＝1.57（平方厘米）三角形的面積：4×（4÷2）÷2＝4×2÷2＝4（平方厘米）陰影部分面積：6.28＋1.57－4＝7.85－4＝3.85（平方厘米）答：陰影部分的面積為3.85平方厘米?！军c(diǎn)睛】掌握三角形的面積以及圓的面積公式，關(guān)鍵是要搞清楚哪些部分是被重復(fù)計(jì)算的，要仔細(xì)分析題目找出陰影部分面積的計(jì)算方法。例3．（2025六年級(jí)下·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖所示，A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片，它們重疊放在一起蓋住的面積是18，且A與B，B與C，C與A公共部分的面積分別是5、3、4，求A、B、C三個(gè)圖形公共部分（陰影部分）的面積?！敬鸢浮?【分析】首先根據(jù)題目說(shuō)明，令A(yù)＝8，B＝9，C＝11.根據(jù)容斥定理代入計(jì)算，即可求得A、B、C的公共部分面積。【詳解】設(shè)陰影部分的面積是x，由容斥原理知28－（5＋3＋4）＋x＝18，故x＝2答：A、B、C三個(gè)圖形公共部分（陰影部分）的面積為2.例4．（2324六年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）求下圖陰影部分的面積。（單位：米。）

【答案】6平方米【分析】觀察圖形可知，陰影部分面積＝直徑是3米的圓的面積一半＋直徑是4米的圓的面積一半＋底是3米，高是4米的三角形面積－直徑是5米的圓的面積一半，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2＝3.5325＋6.28＋6－9.8125＝6（平方米）陰影部分的面積是6平方米。變式1．（2024·全國(guó)·小升初模擬）已知如圖中正方形的邊長(zhǎng)為2，分別以其四個(gè)頂點(diǎn)為圓心的直角扇形恰好交于正方形中心，求圖中陰影部分的面積．（答案用π表示）【答案】2π﹣4．【詳解】試題分析：兩弧所夾葉形部分，就是以正方形兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心、以邊長(zhǎng)為半徑所作的兩段圓弧圓與正方形的邊圍成的兩個(gè)扇形扇的重疊的部分，所以，葉形部分的面積=兩個(gè)扇形面積﹣正方形面積，一個(gè)扇形面積=2×2π÷4=π，正方形面積=2×2=4，進(jìn)而解決問(wèn)題．解：S兩弧所夾葉形部分面積：2×2×2π÷4﹣2×2=2π﹣4答：圖中陰影部分的面積是2π﹣4．點(diǎn)評(píng)：完成此題，關(guān)鍵在于作出輔助線，轉(zhuǎn)化條件，解決問(wèn)題．變式2．（2025六年級(jí)下·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，甲、乙、丙三個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一個(gè)頂點(diǎn)在甲的中心點(diǎn)上，丙的一個(gè)頂點(diǎn)在乙的中心點(diǎn)上，并且甲和丙沒有交集。這三個(gè)正方形的覆蓋面積是多少？【答案】103平方厘米【分析】把正方形甲乙分別旋轉(zhuǎn)成何丙同樣的位置，不難發(fā)現(xiàn)，甲和乙重合的面積為甲的四分之一，乙和丙重合的面積為乙的四分之一。所以這三個(gè)正方形覆蓋的面積等于三個(gè)正方形的面積之和減去重合的兩部分的面積，據(jù)此即可解答問(wèn)題。【詳解】4×4＋6×6＋8×8－2×2－3×3＝16＋36＋64－4－9＝103（平方厘米）答：這三個(gè)正方形的覆蓋面積是103平方厘米。變式3．（2025六年級(jí)下·全國(guó)·競(jìng)賽）在桌面上放置3個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片。它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，1，2，3三部分的面積和為80，3張紙片共同重疊的面積是陰影部分，求陰影部分的面積？【答案】38平方厘米【分析】根據(jù)題意和容斥原理可知，從三個(gè)圓片的總面積里去掉蓋住桌面的總面積以及三部分的面積和，然后除以2（因?yàn)槭莾蓚€(gè)重疊在一起，所以要除以2），由此即可求出答案。【詳解】（100×3－144－80）÷2＝（300－144－80）÷2＝（156－80）÷2＝76÷2＝38（平方厘米）答：陰影部分的面積是38平方厘米。變式4．（2024.廣東六年級(jí)期中）在桌面上放置個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個(gè)陰影部分的面積的和多少是平方厘米？題型8、平面圖形的拼切重組問(wèn)題（含翻折）【解題技巧】平面圖形的拼接裁剪是小升初比較?？嫉膱D形變化問(wèn)題，從知識(shí)綜合與難度層次方面來(lái)看，與圓形相關(guān)的拼切裁剪問(wèn)題是主要考察點(diǎn)，其次是特殊四邊形的拼接裁剪，一般來(lái)講，拼接裁剪造成的圖形變化，相對(duì)容易理解，可以嘗試畫出示意圖再觀察變化特點(diǎn)。例1．（2024·四川樂(lè)山·小升初真題）學(xué)完平行四邊形和三角形的面積計(jì)算方法后，幾位同學(xué)嘗試解決梯形面積的問(wèn)題，想法有以下幾種。三位同學(xué)的想法中，（

）。甲：（上底＋下底）×高÷2＝梯形面積乙：4÷2＝2（cm）（3＋5）×2＝16（cm2）丙：3×4÷2＝6（cm2）5×4÷2＝10（cm2）6＋10＝16（cm2）A．甲對(duì) B．乙對(duì) C．丙對(duì) D．三人都對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，可以把兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，也可以把一個(gè)梯形沿高的一半剪成兩個(gè)梯形，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)平移拼成一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式；還可以把一個(gè)梯形分割為兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式。據(jù)此解答?！驹斀狻坑煞治龅茫杭资莾蓚€(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式；乙是把一個(gè)梯形沿高的一半剪兩個(gè)梯形，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)平移拼成一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式；丙是把一個(gè)梯形分割為兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式推導(dǎo)出梯形的面積公式；所以三位同學(xué)的想法都是正確的。故答案為：D【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用。例2．（2024·山東·小升初模擬）如圖，把一個(gè)圓沿半徑分成若干等份，拼成一個(gè)寬4cm的近似的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是cm，圓的面積是cm2?！敬鸢浮?2.5650.24【分析】把一個(gè)圓剪拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的一半，寬等于圓的半徑，圓的面積等于長(zhǎng)方形的面積；根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr，求出圓的周長(zhǎng)，再除以2，即是近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝ab，求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積，也就是這個(gè)圓的面積?！驹斀狻块L(zhǎng)方形的長(zhǎng)：3.14×4×2÷2＝12.56（cm）圓的面積：12.56×4＝50.24（cm2）這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12.56cm，面積是50.24cm2。【答案】29.6【分析】如下圖，由題意可知：△ABD折疊后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，陰影部分的周長(zhǎng)＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即陰影部分的周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，把長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬的數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可。

【詳解】（10＋4.8）×2＝14.8×2＝29.6（cm）所以陰影部分的周長(zhǎng)是29.6cm。【點(diǎn)睛】解決此題關(guān)鍵是明確折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等。例4．（2024·浙江杭州·小升初真題）三條邊長(zhǎng)分別是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，將它的最短邊對(duì)折與斜邊相重合（如下圖），那么，圖中陰影部分面積是()平方厘米?！敬鸢浮?【詳解】根據(jù)分析得，BD＝6（厘米）AD＝10－6＝4（厘米）三角形ADE的面積∶三角形BDE的面積∶三角形BCE＝AD∶BD∶BC＝4∶6∶6＝2∶3∶3三角形ABC的面積＝×6×8＝24（平方厘米）【點(diǎn)睛】此題主要考查等底等高的三角形面積相等，關(guān)鍵是找準(zhǔn)面積的比。例5．（2425六年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）同學(xué)們，“觀察—猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”是我們常用的數(shù)學(xué)探究方法。在邊長(zhǎng)為5厘米的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形，怎樣求剩余部分的面積呢？妙妙想出了兩種不同的方法（如圖）。這兩種方法都是求的陰影部分的面積，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。仔細(xì)觀察這個(gè)等式，想一想：是不是任意兩個(gè)數(shù)都具有這樣的特征呢？（1）請(qǐng)舉2個(gè)例子驗(yàn)證：①102－62＝（

）×（

）

②

（2）如果用a和b表示兩個(gè)數(shù)（且a＞b），這樣的規(guī)律可以表示為：a2－b2＝（

）×（

）（3）根據(jù)以上結(jié)論計(jì)算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（

）【答案】（1）①（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（2）（a－b）×（a＋b）（3）【詳解】（1）①102－62＝100－36＝64（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（答案不唯一）（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）＝×××××＝變式1．（2025·浙江·小升初模擬）把一個(gè)半徑為5cm的草編圓形茶杯墊按下圖所示的方法剪開，得到三角形的底是()cm，高是()cm，面積是()?！敬鸢浮?1.4578.5把一個(gè)半徑為5cm的草編圓形茶杯墊按下圖所示的方法剪開，得到三角形的底是31.4cm，高是5cm，面積是78.5。變式2．（2024·江蘇·小升初模擬）有一個(gè)正方形，如果先截去寬5分米的長(zhǎng)方形，又截去寬8分米的長(zhǎng)方形，那么面積比原來(lái)減少194平方分米。原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)是多少分米？【答案】18分米【分析】【詳解】194＋5×8＝194＋40＝234（平方分米）234÷（5＋8）＝234÷13＝18（分米）答：原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)是18分米?！军c(diǎn)睛】主要是找到正方形的邊長(zhǎng)與減少部分的面積的關(guān)系，據(jù)此逐步往下解此題。變式3．（2024·全國(guó)·小升初真題）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是5，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在處，且點(diǎn)在△ABC外部，則陰影圖形的周長(zhǎng)等于()．【答案】15【詳解】本題考查不規(guī)則圖形周長(zhǎng)的計(jì)算方法．周長(zhǎng)是指圍成圖形的所有線的總長(zhǎng)．可以先用筆畫一畫陰影圖形的周長(zhǎng)都包含哪些線的長(zhǎng)，再找這些線的長(zhǎng)與等邊△ABC的邊長(zhǎng)有什么關(guān)系．陰影圖形的周長(zhǎng)是A＇D＋DB＋BC＋CE＋EA＇的總和，又根據(jù)折疊可知，△ADE與△A＇DE關(guān)于直線DE軸對(duì)稱，即線段A＇D＝AD，EA＇＝EA．所以陰影圖形的周長(zhǎng)＝A＇D＋DB＋BC＋CE＋EA＇＝AD＋DB＋BC＋CE＋EA＝﹙AD＋DB﹚＋BC＋﹙CE＋EA﹚＝AB＋BC＋CA＝△ABC的周長(zhǎng)＝5×3＝15．【答案】114【分析】我們可以按照題意，找張紙條折疊一下，根據(jù)圖形的折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和180°和四邊形的內(nèi)角和360°結(jié)合計(jì)算即可。延長(zhǎng)圖2，AE到H，由于紙條是長(zhǎng)方形，四個(gè)角都是直角，所以EH與GF平行，圖1折疊成圖2，即圖1的∠DEF＝∠HEF＝22°，再根據(jù)翻折不變性，圖2的∠HEF＝∠FEG＝22°，即∠AEG＝180°－22°－22°＝136°，四邊形ABGE的內(nèi)角和是360°，所以∠EGB＝360°－90°－90°－136°＝44°；即∠EGF＝180°－44°＝136°。三角形EGF的內(nèi)角和是180°，∠GFE＝180°－22°－136°＝22°；∠FGC＝180°－∠EGF＝180°－136°＝44°。四邊形GFDC的內(nèi)角和是360°，即∠GFD＝360°－44°－90°－90°＝136°。根據(jù)翻折不變性，圖2的∠GFD＝圖3的∠GFD＝136°，所以圖3的∠EFD＝∠GFD－∠GFE＝136°－22°＝114°?！军c(diǎn)睛】熟練掌握翻折不變性的方法是解題的關(guān)鍵。變式5．（2025六年級(jí)·江蘇培優(yōu)）如圖1，長(zhǎng)方形木塊長(zhǎng)12厘米、寬5厘米，長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)13厘米，正方形木樁邊長(zhǎng)為17厘米。木塊從圖1的位置開始，沿木樁的邊緣滾動(dòng)，滾動(dòng)過(guò)程如圖2、圖3所示。木塊滾動(dòng)一周后回到原位置，那么點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)厘米。（π＝3）【答案】129【分析】如圖：通過(guò)觀察可知，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑＝一個(gè)半徑是5厘米的圓周長(zhǎng)的一半＋一個(gè)半徑是13厘米的圓周長(zhǎng)＋一個(gè)半徑是12厘米的圓周長(zhǎng)的一半，根據(jù)圓周長(zhǎng)公式：C＝2πr，代入數(shù)據(jù)分別求出每部分的長(zhǎng)度，再相加即可?！驹斀狻?×3×5÷2＋2×3×13＋2×3×12÷2＝15＋78＋36＝129（厘米）點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)129厘米。題型9、立體圖形的拼切重組問(wèn)題【解題技巧】幾何體的表面積增減變化問(wèn)題主要有三種，一是切片問(wèn)題，表面積會(huì)相應(yīng)增加，二是是拼接問(wèn)題，表面積會(huì)相應(yīng)減少，三是高的變化引起的表面積變化。例1．（2024·河北保定·小升初真題）用三種不同的方式對(duì)完全相同的圓柱進(jìn)行切分。已知圓柱的底面直徑是2厘米，第一種切分方式表面積會(huì)增加平方厘米；第二種切分方式表面積會(huì)增加10平方厘米；第三種切分方式表面積會(huì)增加平方厘米。但無(wú)論怎樣切，體積都是立方厘米?！敬鸢浮?.2857.85【詳解】3.14×（2÷2）2×2＝3.14×12×2＝3.14×1×2＝6.28（平方厘米）10÷2÷2＝5÷2＝2.5（厘米）2.5×（2÷2）×2＝2.5×1×2＝5（平方厘米）3.14×（2÷2）2×2.5＝3.14×12×2.5＝3.14×1×2.5＝7.85（立方厘米）用三種不同的方式對(duì)完全相同的圓柱進(jìn)行切分。已知圓柱的底面直徑是2厘米，第一種切分方式表面積會(huì)增加6.28平方厘米；第二種切分方式表面積會(huì)增加10平方厘米；第三種切分方式表面積會(huì)增加5平方厘米。但無(wú)論怎樣切，體積都是7.85立方厘米。例2．（2023·四川成都·小升初真題）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度都是質(zhì)數(shù)，且長(zhǎng)＞寬＞高。將這個(gè)長(zhǎng)方體平切兩刀，豎切兩刀，得到9個(gè)小長(zhǎng)方體，這9個(gè)小長(zhǎng)方體表面積之和比原來(lái)長(zhǎng)方體表面積多624平方厘米。求原來(lái)長(zhǎng)方體的體積。【答案】455立方厘米【分析】已知1刀增加2個(gè)切面，平切兩刀增加4個(gè)（長(zhǎng)×寬）的長(zhǎng)方形面積，豎切兩刀增加4個(gè)（長(zhǎng)×高）的長(zhǎng)方形面積，增加的總面積是624平方厘米，所以長(zhǎng)×寬×4＋長(zhǎng)×高×4＝624，4×長(zhǎng)×（寬＋高）＝624，先把624分解質(zhì)因數(shù)，624＝2×2×2×2×3×13，已知長(zhǎng)是質(zhì)數(shù)且最大，則長(zhǎng)為13厘米，寬＋高＝12，又已知寬和高也是質(zhì)數(shù)，且寬＞高，則把12拆分成2個(gè)質(zhì)數(shù)相加，也就是12＝5＋7，據(jù)此得出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答即可?！驹斀狻?24＝2×2×2×2×3×13長(zhǎng)＞寬＞高長(zhǎng)是13厘米，2×2×3＝1212＝5＋7寬為7厘米，高為5厘米，13×7×5＝455（立方厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是455立方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了質(zhì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、長(zhǎng)方體體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。例3．（2024·山東·小升初模擬）如果把一個(gè)圓柱體的木料沿著與底面平行的方向截成兩部分，表面積就增加6.28平方分米；如果沿著直徑截成兩部分，表面積就增加8平方分米。圓柱的體積是立方分米?！敬鸢浮?.28【詳解】圓柱的底面積：6.28÷2＝3.14（平方分米）底面半徑的平方：3.14÷3.14＝1（平方分米）因?yàn)?＝1×1，所以圓柱的底面半徑是1分米。圓柱的底面直徑：1×2＝2（分米）圓柱的高：8÷2÷2＝2（分米）圓柱的體積：3.14×2＝6.28（立方分米）所以圓柱的體積是6.28立方分米。例4．（2024·遼寧·小升初模擬）用個(gè)棱長(zhǎng)的小正方體拼成大正方體，再?gòu)囊粋€(gè)頂點(diǎn)處拿走個(gè)小正方體后，把剩下的幾何體涂上顏色（如下圖），剩下的幾何體中三面涂色的小正方體個(gè)數(shù)是（

）。A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)大正方體的組成個(gè)數(shù)可知大正方體有個(gè)頂點(diǎn)，再根據(jù)拿走個(gè)小正方體處應(yīng)該有個(gè)三面涂色的解答即可?！驹斀狻恳?yàn)閭€(gè)棱長(zhǎng)的小正方體拼成大正方體，所以大正方體的棱長(zhǎng)為，所以大正方體有個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)閺囊粋€(gè)頂點(diǎn)處拿走個(gè)小正方體，所以剩下的個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體三面都涂色，拿走的個(gè)小正方體頂點(diǎn)處有個(gè)小正方體三面涂色，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了小正方體組成大正方體的體積以及表面積等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題目信息得到大正方體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵。例5．（2023·浙江寧波·小升初真題）我市游泳健身中心的室內(nèi)泳池長(zhǎng)50米，寬25米。最淺處水深1.2米，最深處水深1.6米。（1）“泳池的容積是多少立方米？”對(duì)這一數(shù)學(xué)問(wèn)題以下兩位同學(xué)展開了過(guò)論。請(qǐng)根據(jù)他們的思考過(guò)程解決問(wèn)題。①小朱同學(xué)：“它不是一個(gè)長(zhǎng)方體，但可以通過(guò)割或補(bǔ)的方法（如下圖），就可以變成長(zhǎng)方體了，所以它的容積大小范圍就在（

）立方米和（

）立方米之間?！雹谛′h同學(xué)：“兩個(gè)完全一樣的泳池可以拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體（如下圖）。這樣就能計(jì)算出它的容積啦?！闭?qǐng)根據(jù)小鋒的方法計(jì)算該泳池的容積。（2）如果在空的泳池內(nèi)以均勻的注水速度（140立方米/小時(shí)）往池內(nèi)灌水，選一選，下面哪幅圖能表示出泳池最深處水位的變化情況？（

）（3）根據(jù)以上信息綜合思考。第（2）題圖中的a表示的數(shù)是（

）小時(shí)?！敬鸢浮浚?）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5【分析】（1）①割去一部分是指使該泳池變成高為泳池最淺處水深1.2米的長(zhǎng)方體，底面積不變；則該長(zhǎng)方體體積為50×25×1.2＝1500（立方米）補(bǔ)上一部分是指使該泳池變成高為泳池最深處水深1.6米的長(zhǎng)方體，底面積不變；則該長(zhǎng)方體體積為50×25×1.6＝2000（立方米）泳池體積最小為：被割去一部分之后的體積，最大為：被補(bǔ)上一部分之后的體積，所以它的容積大小范圍就在1500立方米和2000立方米之間。②兩個(gè)完全一樣的泳池可以拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的高為1.6＋1.2＝2.8米，底面積不變；則該長(zhǎng)方體體積為50×25×2.8＝3500（立方米），可求出泳池體積為3500÷2＝1750（立方米）。（2）在空的泳池內(nèi)以均勻的注水速度往池內(nèi)注水，則首先填滿⑴①中割去部分，則填滿該部分時(shí)恰好達(dá)到1.6－1.2＝0.4米水深，填滿該部分前，隨著水位上升，其水所占體積的高度和底面積隨著時(shí)間增長(zhǎng)都增大，該部分水的體積變化呈逐漸增大的趨勢(shì)，又因?yàn)檫x項(xiàng)C填滿該部分的過(guò)程即高度達(dá)到0.4米前呈逐漸增大的趨勢(shì)，且深度變化不斷放緩，所以答案應(yīng)該是選項(xiàng)C。（3）由⑴②得泳池體積為1750立方米，填滿冰池需要1750÷140＝12.5（小時(shí)），所以a表示的數(shù)是12.5小時(shí)?！驹斀狻浚?）①50×25×1.2＝1500（立方米）50×25×1.6＝2000（立方米）所以容積大小范圍就在1500立方米和2000立方米之間。②50×25×（1.6＋1.2）÷2＝1250×2.8÷2＝3500÷2＝1750（立方米）答：泳池的容積是1750立方米。（2）根據(jù)分析得，下面圖C能表示泳池最深處水位的變化情況。（3）1750÷140＝12.5（小時(shí)）所以圖中的a表示的數(shù)是12.5小時(shí)。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的體積（容積）公式的實(shí)際運(yùn)用，學(xué)會(huì)通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖獲取并分析數(shù)據(jù)，解決實(shí)際的問(wèn)題。變式1．（2024·河南三門峽·小升初真題）如下圖所示，趙磊把一個(gè)底面直徑是4dm，高為3dm的圓柱分割成大小完全相等的兩部分，則（

）。（圓周率取3）A．方法一表面積增加的多 B．方法二表面積增加的多C．兩種方法表面積增加的一樣多 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】圓柱的表面積＝2個(gè)底面面積＋側(cè)面面積，把圓柱按照平行于高的方向切割（方法一），增加兩個(gè)長(zhǎng)方形面積，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是底面直徑，寬是圓柱的高。把圓柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加兩個(gè)底面面積。根據(jù)S長(zhǎng)方形＝ab，S圓＝πr2解答。【詳解】方法一表面積增加：4×3×2＝12×2＝24（dm2）方法二表面積增加：3×（4÷2）2×2＝3×22×2＝3×4×2＝24（dm2）所以兩種方法增加的表面積一樣多。故答案為：C變式2．（2024·海南·小升初模擬）一個(gè)圓柱形木塊若切成4塊（如圖1），表面積增加48平方厘米；若切成3塊（如圖2），表面積增加50.24平方厘米，若削成一個(gè)最大的圓錐（如圖3），體積減少()立方厘米?！敬鸢浮?5.12【分析】如圖2所切，增加4個(gè)底面，增加的面積（50.24平方厘米）＝底面面積×4，則底面面積＝50.24÷4＝12.56（平方厘米）。根據(jù)圓的面積：S＝πr2，那么r2＝12.56÷3.14＝4＝22，r＝2厘米。如圖1所切，增加4個(gè)長(zhǎng)方形的面，增加的面積是48平方厘米，則1個(gè)長(zhǎng)方形面積（直徑×高）＝48÷4＝12（平方厘米）；用12÷直徑即可求出高。若削成一個(gè)最大的圓錐，則圓錐和圓柱等底等高，圓錐的體積是圓柱的。圓柱的體積：V＝sh，圓柱的體積：V＝sh，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，分別求出圓柱、圓錐的體積，再相減即可求出減少的體積。【詳解】50.24÷4＝12.56（平方厘米）12.56÷3.14＝4（平方厘米）4＝22這個(gè)圓柱的底面半徑是2厘米。48÷4÷（2×2）＝48÷4÷4＝3（厘米）12.56×3－12.56×3×＝37.68－12.56＝25.12（立方厘米）體積減少了25.12立方厘米?！军c(diǎn)睛】掌握?qǐng)A柱切割的特點(diǎn)，通過(guò)增加的面積，求出圓柱的底面半徑和高是解題關(guān)鍵。變式3．（2024·福建·小升初模擬）有一個(gè)長(zhǎng)方體，先后沿不同方向切了三刀（如圖），切完第一刀后得到的2個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4個(gè)小長(zhǎng)方體表面積之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和是752平方厘米。那么，原來(lái)長(zhǎng)方體六個(gè)面中面積最小的是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】每切一刀，切面與原來(lái)長(zhǎng)方體中的兩個(gè)平行面的面積相等，切完第三刀后，增加一個(gè)原來(lái)大長(zhǎng)方體的表面積，根據(jù)切完第三刀后所有面的表面積之和求出原來(lái)大長(zhǎng)方體的表面積，切完第一刀后增加兩個(gè)切面的面積，是2個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和與原來(lái)大長(zhǎng)方體的表面積之差；切完第二刀后增加的兩個(gè)切面的面積，是4個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和與切完第一刀2個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和的差；切完第三刀后增加的兩個(gè)切面的面積，是8個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和與切完第二刀4個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和的差，再除以2求出一個(gè)切面的面積，最后比較大小即可?！驹斀狻看箝L(zhǎng)方體的表面積：752÷2＝376（平方厘米）（472－376）÷2＝96÷2＝48（平方厘米）（632－472）÷2＝160÷2＝80（平方厘米）（752－632）÷2＝120÷2＝60（平方厘米）因?yàn)?8平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原來(lái)長(zhǎng)方體六個(gè)面中面積最小的是48平方厘米。答：原來(lái)長(zhǎng)方體六個(gè)面中面積最小的是48平方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的切拼，根據(jù)每次增加部分的面積求出長(zhǎng)方體三個(gè)不同面的面積是解答題目的關(guān)鍵。變式4．（2024·浙江杭州·小升初真題）用32個(gè)棱長(zhǎng)1cm的白色小正方體與32個(gè)棱長(zhǎng)1cm的藍(lán)色小正方體拼成一個(gè)大正方體。如果使藍(lán)色的面向外露的面積最大，那么這個(gè)大正方體的6個(gè)面上有()cm2是藍(lán)色的?！敬鸢浮?2【分析】大正方體頂點(diǎn)處小正方體有3個(gè)面露在外面，大正方體棱上（不含頂點(diǎn)處）小正方體有2個(gè)面露在外面，把32個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的藍(lán)色小正方體放8個(gè)頂點(diǎn)處，剩下32－8＝24個(gè)放在大正方體的棱上（不含頂點(diǎn)處），由于一條棱可以放2個(gè)，那么12條棱可以放：12×2＝24個(gè)，正好放完，這樣藍(lán)色的面向外露的面積最大，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算即可?！驹斀狻?×1×3×8＋1×1×2×（32－8）＝1×1×3×8＋1×1×2×24＝24＋48＝72（cm2）用32個(gè)棱長(zhǎng)1cm的白色小正方體與32個(gè)棱長(zhǎng)1cm的藍(lán)色小正方體拼成一個(gè)大正方體。如果使藍(lán)色的面向外露的面積最大，那么這個(gè)大正方體的6個(gè)面上有72cm2是藍(lán)色的。變式5．（2025·全國(guó)·小升初模擬）把如圖所示的正方體分成三個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體A的表面積是長(zhǎng)方體B表面積的，長(zhǎng)方體C的表面積是長(zhǎng)方體B表面積的，則長(zhǎng)方體A的體積是長(zhǎng)方體C體積的幾分之幾？【答案】【分析】假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)是1，可以表示出三個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和是10，然后把長(zhǎng)方體B的表面積看作“12”，根據(jù)題意，表示出長(zhǎng)方體A和B的表面積，進(jìn)而表示出每個(gè)長(zhǎng)方體占三個(gè)表面積之和的幾分之幾。據(jù)此表示出A和C的表面積、側(cè)面積以及高，然后根據(jù)長(zhǎng)方體A和C的底面積相等，體積之比就等于A和C的高之比，據(jù)此解答即可?！驹斀狻吭O(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，三個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和為1×1×6＋1×1×4＝10因?yàn)殚L(zhǎng)方體A的表面積是長(zhǎng)方體B表面積的，長(zhǎng)方體C的表面積是長(zhǎng)方體B表面積的。將長(zhǎng)方體B的表面積看作“12”因?yàn)槿齻€(gè)長(zhǎng)方體的底面積相等，所以長(zhǎng)方體A的體積是長(zhǎng)方體C體積的。答：長(zhǎng)方體A的體積是長(zhǎng)方體C體積的。【點(diǎn)睛】解答這道題的關(guān)鍵在于理解表面積和體積之間的關(guān)系，并通過(guò)設(shè)數(shù)法逐步求解。1．（2024六年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，已知大圓半徑為6cm，四個(gè)小圓的面積相等。陰影部分面積是多少平方厘米？（分合割補(bǔ)法）【答案】72平方厘米【分析】每個(gè)小圓中有兩個(gè)空白橢圓形，將它們平均分成兩部分，則圓中的陰影部分可補(bǔ)到空白部分，則每個(gè)小圓中的陰影部分可割補(bǔ)成一個(gè)陰影小正方形，4個(gè)陰影小正方形組成了一個(gè)大陰影正方形，大正方形的對(duì)角線就是大圓的直徑，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)＝對(duì)角線×對(duì)角線÷2?！驹斀狻浚?×2）×（6×2）÷2＝12×12÷2＝72（平方厘米）答：陰影部分面積是72平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是把不規(guī)則陰影部分的面積通過(guò)分合割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方形的面積進(jìn)行求解。2．（2025六年級(jí)下·河北·專題練習(xí)）求陰影部分的面積。（單位：厘米）【答案】1.14平方厘米【分析】先把圖中陰影部分的左下角部分從中間一分為二，分別平移到右上邊的陰影部分旁邊，如圖所示：，則陰影部分的面積就等于半徑是2厘米的圓面積的減去一個(gè)底和高都是2厘米的三角形的面積，據(jù)此結(jié)合圓的面積＝πr2，三角形的面積＝底×高÷2代入數(shù)據(jù)列式計(jì)算即可?！驹斀狻?.14×22×－2×2÷2＝3.14×4×－4÷2＝12.56×－2＝3.14－2＝1.14（平方厘米）3．（2024·新疆·小升初模擬）如圖所示，陰影部分的面積是cm2?！敬鸢浮?.41【分析】如圖：1的面積＋2的面積＋3的面積＝大圓的面積的一半，3的面積＋4的面積＋5的面積＝小圓的面積的一半，小圓的面積的一半＋大圓的面積的一半＝1的面積＋2的面積＋3的面積×2＋4的面積＋5的面積，陰影部分的面積＝1的面積＋3的面積＋5的面積，小圓的面積的一半＋大圓的面積的一半－（2的面積＋3的面積＋4的面積）＝1的面積＋3的面積＋5的面積＝陰影部分的面積，而2的面積＋3的面積＋4的面積＝三角形的面積，所以陰影部分的面積＝小圓的面積的一半＋大圓的面積的一半－三角形的面積，據(jù)此解答。【詳解】3.14×（6÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－6×4÷2＝3.14×32÷2＋3.14×22÷2－24÷2＝3.14×9÷2＋3.14×4÷2－12＝14.13＋6.28－12＝20.41－12＝8.41（平方厘米）即陰影部分的面積是8.41平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題整體較難，關(guān)鍵是找到陰影部分的面積與圓的面積、三角形的面積之間的關(guān)系，利用圓的面積和三角形的面積公式，求出結(jié)果。4．（2024·浙江·小升初模擬）ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑。已知AB＝BC＝10厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米。（的值取3.14）【答案】32.125平方厘米【分析】，如圖所示，將原圖中的等腰三角形ABC添補(bǔ)成正方形ABCE，連接DE，整個(gè)圖形由正方形ABCE和直徑為10厘米的半圓組成，也是三角形ADE和兩個(gè)陰影部分面積組成，D是半圓周的中點(diǎn)，三角形ADE的高是：圓的半徑＋等腰直角三角形腰的長(zhǎng)，即：10＋10÷2厘米，三角形ABE的底等于三角形ABC的腰，即：AE＝AB＝10厘米，陰影部分面積＝（正方形面積＋半圓面積－三角形ADE的面積）÷2，即可算出?！驹斀狻咳鐖D所示，將原圖中的等腰三角形ABC添補(bǔ)成正方形ABCE，連接DE[10×10＋3.14×（10÷2）2÷2－10×（10＋10÷2）÷2]÷2＝[100＋3.14×25÷2－10×15÷2]÷2＝[100＋78.5÷2－150÷2]÷2＝[100＋39.25－75]÷2＝[139.25－75]÷2＝64.25÷2＝32.125（平方厘米）答：陰影部分面積是32.125平方厘米?！军c(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是做出合適的輔助線，將圖形進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，利用已知的條件求的陰影部分的面積。5．（2024六年級(jí)下·山東·專題練習(xí)）求陰影部分的面積，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，E、F、G、H是正方形各邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算四個(gè)扇形的弧圍成的陰影部分面積。【答案】8平方厘米【詳解】如下