比較與估算比較與估算教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)本講是在分?jǐn)?shù)計(jì)算方面技巧的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)，只是從比較大小方面認(rèn)識(shí)它們，這一講主要介紹一些比較較為復(fù)雜的小數(shù)、分?jǐn)?shù)大小的方法，主要有通分子、通分母、倒數(shù)法、放縮法等。知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥一、小數(shù)的大小比較常用方法為方便比較，往往把這些小數(shù)排成一個(gè)豎列，并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù).(如果是循環(huán)小數(shù)，就把它改寫成一般寫法的形式)二、分?jǐn)?shù)的大小比較常用方法=1\*GB2⑴通分母：分子小的分?jǐn)?shù)小.=2\*GB2⑵通分子：分母小的分?jǐn)?shù)大.=3\*GB2⑶比倒數(shù)：倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小.=4\*GB2⑷與1相減比較法：分別與1相減，差大的分?jǐn)?shù)小．(適用于真分?jǐn)?shù))=5\*GB2⑸重要結(jié)論：①對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；②對(duì)于兩個(gè)假分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都小的分?jǐn)?shù)比較大．=6\*GB2⑹放縮法在實(shí)際解題的過程中，我們還會(huì)用到其它一些思路！同學(xué)們要根據(jù)具體情況展開思維！三、數(shù)的估算時(shí)常用方法（1）放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設(shè)法放大或縮小．使結(jié)果介于某兩個(gè)接近數(shù)之間，從而估算結(jié)果．（2）變換結(jié)構(gòu)：將原來算式或問題變形為便于估算的形式．例題精講例題精講模塊一、兩個(gè)數(shù)的大小比較【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級(jí)，一試方法一：<與1相減比較法>方法三：兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大，所以b大【答案】【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第六屆，迎春杯，決賽方法一：觀察可以發(fā)現(xiàn)A、B都很接近，且比它?。覀儾环琅c比較．【答案】【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【答案】【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空在a=×2002和b=×2003中，較大的數(shù)是______，比較小的數(shù)大______?！究键c(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，第1屆，希望杯，4年級(jí)，1試ba=×200320032003×2002=×2003+2003×200320030000××2002=2003×()=2003所以a比b大2003【答案】a比b大2003【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【答案】a【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空如果直接放縮：同樣如果如下進(jìn)行放縮：可見兩者中較大．【答案】較大【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【答案】更大【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空?qǐng)D中有兩個(gè)黑色的正方形，兩個(gè)白色的正方形，它們的面積已在圖中標(biāo)出(單位：厘米)．黑色的兩個(gè)正方形面積大還是白色的兩個(gè)正方形面積大?請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第五屆，華杯賽，口試()()19971996399319931992199319923985所以1997199619931992即1997199219961993，兩個(gè)白色正方形的面積大．【答案】兩個(gè)白色正方形的面積大【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空為了使選出的數(shù)最少，那么必須盡可能選擇較大的數(shù)．所以最少選擇11個(gè)即可使它們的和大于3.【答案】11個(gè)【考點(diǎn)】兩個(gè)數(shù)的大小比較【難度】4星【題型】填空【答案】比較大模塊二、多個(gè)數(shù)的大小比較【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空=1\*GB2⑴題目中存在循環(huán)小數(shù)，將所有小數(shù)位數(shù)補(bǔ)至相同的位數(shù)，如下所示：→1.121212121→1.120000000于是可以得出結(jié)果，是最大的數(shù)．對(duì)于循環(huán)小數(shù)的問題，首先考慮的就是將其展開，從中獲得足夠的信息，然后按照小數(shù)比較原則判斷，不處理而一味的觀察是沒有意義的．=2\*GB2⑵題目中出現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)，可以先把數(shù)分為兩個(gè)部分，一部分為小于1的數(shù)，一部分為大于等于1的數(shù)，然后兩部分內(nèi)部比較，無須兩部分間重復(fù)比較．②大于等于1的部分中，有整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)：1，1.667，，先將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，比較三數(shù)整數(shù)部分，發(fā)現(xiàn)都為1，然后比較其他部分：1.…<1.667，所以得到1<<1.667．即得：11.667.【答案】=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵11.667.在，，中，最小的數(shù)是______?！究键c(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2005年，希望杯，第三屆，五年級(jí)，一試【答案】在、、四個(gè)小數(shù)中，第二小的數(shù)是____【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，第七屆，走美杯，五年級(jí)，初賽【答案】【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽六，年級(jí)【答案】【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【答案】【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)愛好者夏令營（1）把下列各數(shù)按照從小到大的順序排列：，，，（2）(幼苗杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)把下列分?jǐn)?shù)用“”號(hào)連接起來：，，，，【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空=1\*GB2⑴我們可以用通分子的方法，可得：=2\*GB2⑵這五個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都不相同，要通分變成同分母的分?jǐn)?shù)比較麻煩．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五個(gè)數(shù)的公倍數(shù)．利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以將題中的各分?jǐn)?shù)化為分子都是60的分?jǐn)?shù)．我們稱之為“通分子比大小”的方法．也就是.【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，第十二屆，華杯賽，六年級(jí)，決賽【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【答案】【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空看式子前兩位相同，于是我們想到可不可以變成“前面部分一樣一個(gè)簡單算式”的形式．編號(hào)為1、2、3的三只螞蟻分別舉起重量為，，克的重物．問：金、銀、銅牌應(yīng)分別發(fā)給幾號(hào)螞蟻?【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第六屆，華杯賽，初賽【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【答案】103=1\*GB2⑴比大比小的分?jǐn)?shù)有無數(shù)多個(gè)，則分子為27的分?jǐn)?shù)是_________.(寫出一個(gè)即可)=2\*GB2⑵右面方框里填什么自然數(shù)時(shí)，不等式成立?１【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空=2\*GB2⑵分子549，可以把1看成，利用加成分?jǐn)?shù)原理得□13.【答案】=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵13比大，比小的分?jǐn)?shù)有無窮多個(gè)，請(qǐng)寫出三個(gè)：?！究键c(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，五年級(jí)，一試，，【答案】，，=1\*GB2⑴找出一個(gè)比大，比小的分?jǐn)?shù)。【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空=1\*GB2⑴方法一：任意兩個(gè)分?jǐn)?shù)，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分?jǐn)?shù)叫做加成分?jǐn)?shù)．加方法二：如果通分母，可以得到同分母分?jǐn)?shù)和．把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母擴(kuò)大2倍，可以找出一個(gè)比大，比小的分?jǐn)?shù)；如果把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大3倍，可以再得到兩個(gè)中間的分?jǐn)?shù)等等．我們也可以用類似的方法，通過通分子去找比大、比小的分?jǐn)?shù)．同學(xué)們可以自己試一試．根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)等值放縮分?jǐn)?shù)是處理分?jǐn)?shù)問題最常用的方法．【答案】=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵19【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空由于要求分母的和最小，則從最小的自然數(shù)開始考慮，1是不符合最簡真分?jǐn)?shù)要求的分母，因此可選擇的最小自然數(shù)為2，2只能放在第一個(gè)分?jǐn)?shù)上做分母．后面要找比小的最簡分?jǐn)?shù)：3、4依次被淘汰，5被選中放入第二個(gè)分?jǐn)?shù)中．依次規(guī)律，在下面9個(gè)算式中:【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空方法一：方法二：注意到每組內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積相等，均為．因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近，和越?。渲械?個(gè)算式中、最接近，所以第4個(gè)算式最小·【答案】第4個(gè)，（A）a>b>c（B）a>c>b（C）a<c<b（D）a<b<c【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2008年，第十三屆，華杯賽，初賽略【答案】甲、乙兩個(gè)天平上都放著一定重量的物體，問：哪—個(gè)是平衡的?【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】1997年，第六屆，華杯賽，初賽考慮除以3，所得的余數(shù)因?yàn)?78除以3余1，9763除以3也余1(只要看4＋7＋8，9十7＋6十3除以3的余數(shù))，所以478×9763除以3余1×1＝1，而除以3余2(即4＋6＋6＋6＋5＋1＋4除以3余2)，因此478×9763≠，從而天平甲不平衡．天平乙是平衡的.【答案】天平乙是平衡的用“＞”號(hào)把下列分?jǐn)?shù)連接起來：【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空這道題目本身并不難，孩子們用自己的辦法可以很快的做出來，但如果數(shù)字變的復(fù)雜些，那么我們就必須找到一個(gè)有效方法了。從這道題目，我們可以給大家展示另外2種典型思路。法1：法2:觀察可以發(fā)現(xiàn)分母都是4的倍數(shù)，所以我們不妨把分母都化為4，可得：【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第四屆，華杯賽，初賽，試題【答案】【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【答案】從1，2，3，4，5，6，7，8，9中隨意取出兩個(gè)數(shù)字，一個(gè)作分子，一個(gè)作分母，組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所有分?jǐn)?shù)中，最大的是，循環(huán)小數(shù)有個(gè)?！究键c(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，五年級(jí)，一試最大的為=9，循環(huán)小數(shù)的分母為3，分子為1、2、4、5、7、8；分母為6，分子為1、2、4、5、7、8；分母為7，分子為1、2、3、4、5、6、8、9；分母為9，分子為1、2、3、4、5、6、7、8；共28個(gè)?！敬鸢浮?；共28個(gè)（A）（B）（C）（D）【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】第十五屆，華杯賽，初賽則以上分式分別可以寫成：，，，，可以寫成，顯然最接近。【答案】D已知A15=B15=C15.2=D14.8.A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的是_____．【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第八屆，小數(shù)報(bào)，決賽【答案】B【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，第七屆，走美杯，初賽，六年級(jí)氣象局對(duì)部分旅游景區(qū)的某一天的氣溫預(yù)報(bào)如下表：景區(qū)千島湖張家界廬山三亞麗江大理九寨溝鼓浪嶼武夷山黃山氣溫(℃)11/18/43/227/1917/318/38/815/915/10/5其中，溫差最小的景區(qū)是______，溫差最大的景區(qū)是______。【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，第1屆，希望杯，4年級(jí)，1試．表中溫差從左到右分別為：10、4、5、8、14、15、16、6、14、5所以溫差最小的景區(qū)是張家界，溫差最大的景區(qū)是九寨溝?！敬鸢浮孔钚〉木皡^(qū)是張家界，溫差最大的景區(qū)是九寨溝模塊三、數(shù)的估算【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】2星【題型】填空這道題顯然不宜對(duì)分母中的11個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分求和．要求a的整數(shù)部分，只要知道a在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間．因?yàn)閍中的11個(gè)分?jǐn)?shù)都不大于，不小于，所以1111即１1.1由此可知a的整數(shù)部分是1．【答案】1【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，五年級(jí)，一試【答案】【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第三屆，華杯賽，復(fù)賽【答案】【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【答案】1【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，清華附中，入學(xué)測試大家馬上會(huì)被這個(gè)計(jì)算量嚇住了！這只是我們的第一次嘗試，如果不行我們還要再次細(xì)化分段，計(jì)算量的龐大讓我們有些止步了.那么我們有沒有更好的方法來解決這個(gè)問題呢？答案是：有！下面先讓我們來看看兩個(gè)例子：聰明的你從中會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)找“最小界限的新規(guī)律”，那么再讓我們回到原題來看看吧！【答案】【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校那么與最接近的整數(shù)是143．小結(jié)：由于只需要求與最接近的整數(shù)，而不是求的整數(shù)部分，所以進(jìn)行上述放縮已經(jīng)足夠．但是如果要求的整數(shù)部分，又該如何進(jìn)行呢？【答案】142【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，六年級(jí)【答案】【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【答案】400【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】4星【題型】填空【答案】1A8.88.988.9988.99988.99998，A的整數(shù)部分是________.【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第六屆，小數(shù)報(bào)，決賽方法一：A8.8544，A9545，所以A的整數(shù)部分是44.方法二：將原式變形后再估算A8.88.988.9988.99988.99998(90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)450.22222所以A的整數(shù)部分是44.【答案】44=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，的整數(shù)部分是?！究键c(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，學(xué)而思杯，6年級(jí)=110.2+110.02+110.002+110.0002+110.00002=550.22222所以的整數(shù)部分是54?！敬鸢浮?4已知x0.90.990.9990.9999999999．求x的整數(shù)部分．【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空方法一：要求x的整數(shù)部分，必須找到x介于哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即axa1，x的整數(shù)部分和n相等．可以先將原算式放大，把每個(gè)加數(shù)都看成1這樣結(jié)果是11010；然后將原算式縮小，把每個(gè)加數(shù)都看成0.9，結(jié)果是0.9109．可見原算式的結(jié)果介于10和9之間即9x10，所以x的整數(shù)部分是9．方法二：將原式變型后再估算．x0.90.990.9990.9999999999(10.1)(10.01)(10.001)(10.)10(0.10．010.0010.)100.1111111111所以x的整數(shù)部分是9．【答案】9計(jì)算8.011.248.021.238.031.22整數(shù)部分.【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】第五屆，華杯賽方法一：在8.011.248.021.238.031.22中，各式的兩個(gè)因數(shù)之和都相等.根據(jù)兩個(gè)數(shù)和一定時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近則乘積越大，所以8.011.248.021.238.031.22；則有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003，即29.28原式30，所以原式的整數(shù)部分是29.方法二：為了使計(jì)算簡便，可以把8.01、8.02、8.03分成整數(shù)和小數(shù)兩部分計(jì)算，小數(shù)部分可以進(jìn)行估算81.2481.2381.228(1.241.231.22)83.6629.280.011.240.021.230.031.22≈0.0110.0210.0310.06因?yàn)?.06不會(huì)影響整個(gè)算式的整數(shù)部分，所以整數(shù)部分是29．【答案】29老師在黑板上寫了七個(gè)自然數(shù)，讓小明計(jì)算它們的平均數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位）．小明計(jì)算出的答數(shù)是14.73，老師說：“除最后一位數(shù)字外其它都對(duì)了．”那么，正確的得數(shù)應(yīng)是______.【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空法1：因?yàn)?4.7這三個(gè)數(shù)字正確，14.7×7＝102.9，所以，這七個(gè)自然數(shù)的和只可能是103，104，……等，當(dāng)和為103時(shí)，平均數(shù)為103÷7≈14.71，當(dāng)和為104時(shí)，平均數(shù)為104÷7≈14．86，就不符已知條件了，所以，七個(gè)自然數(shù)的和是103，平均是14.71．法2：此題可以用放縮法：由題意知：14.70≤平均數(shù)≤14.79，所以這7個(gè)數(shù)的和介于102.90和103.53之間，又由于7個(gè)自然數(shù)的和必然是整數(shù)，所以是103。則正確的平均數(shù)是103÷7＝14.71.【答案】14.71有13個(gè)自然數(shù)，它們的平均值利用四舍五入精確到小數(shù)點(diǎn)后一位是26.9．那么，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是多少？【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空利用放縮法，13個(gè)自然數(shù)之和必然是整數(shù)，又有26.85平均數(shù)26.95，則這13個(gè)自然數(shù)的和介于1326.85和1326.95之間．即在349.05和350.35之間，所以只能是350．所以.923，則精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是26.92.【答案】26.92已知除法算式：1234567891011121331211101987654321．它的計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后的前三位數(shù)字分別是.【考點(diǎn)】數(shù)的估算【難度】3星【題型】填空各取被除數(shù)、除數(shù)前兩位，有：原式12320.375，原式13310.4194；在0.375～0.4194之間無法確定小數(shù)點(diǎn)后三位的準(zhǔn)確值，說明放縮的范圍太大.再各取被除數(shù)、除數(shù)前三位，有：原式.3930，原式.3974，仍無法確定；又各取被除數(shù)、除數(shù)前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.說明原式的結(jié)果在0.3953～0.3957之間，因此，小數(shù)點(diǎn)后前三位數(shù)分別是3，9，5.【答案】3，9，5.求