4.4對數(shù)函數(shù)【知識梳理】知識點一對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．知識點二對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點性圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值特點x∈(0,1)時，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時，y∈(－∞，0]對稱性知識點三不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的相對位置一般地，對于底數(shù)a>1的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸；對于底數(shù)0<a<1的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越小越靠近x軸．知識點四反函數(shù)的概念一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．(1)y＝ax的定義域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定義域．(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性相同．但單調(diào)區(qū)間不一定相同．【基礎(chǔ)自測】1．函數(shù)y＝eq\f(log2x－1,\r(2－x))的定義域是()A．(1,2]B．(1,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，2)【答案】B【詳解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2－x>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,x<2，))∴1<x<2.∴函數(shù)的定義域為(1,2)．A．n<m<1 B．m<n<1C．1<m<n D．1<n<m【答案】D3．函數(shù)f(x)＝logax＋a2－2a－3為對數(shù)函數(shù)，則a＝________.【答案】3【詳解】依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－3＝0，,a>0，,a≠1，))解得a＝3.4．如果函數(shù)f(x)＝(3－a)x與g(x)＝logax的增減性相同，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】1<a<2【詳解】若f(x)，g(x)均為增函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>1，,a>1，))即1<a<2；若f(x)，g(x)均為減函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<3－a<1，,0<a<1，))無解．故1<a<2.5．函數(shù)f(x)＝ln(1－2x)的單調(diào)減區(qū)間為____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【例題詳解】一、對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用例1(1)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念即得.所以ABC均為對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).故選：D.【答案】C【分析】由對數(shù)式有意義列不等式求的取值范圍.故選：C.【答案】9故答案為:9.A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④⑥【答案】C【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可判斷.故選：C.【答案】3【分析】首先求出對數(shù)函數(shù)表達式，再代入求值即可.故答案為：二、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域【答案】D故選：D.【答案】C故選：C.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知集合A={x|y=}，B={x|y=ln|x1|}，則A∩B=（

）A．{x|x≥0} B．{x|x>1}C．{x|0≤x<1或x>1} D．{x|0≤x<1}【答案】C【分析】化簡集合A、B，根據(jù)集合交集定義即可求出答案.故選:C三、對數(shù)函數(shù)的圖象問題A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)平移性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖像即可求解.故選：DA． B． C． D．【答案】C故選：C.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進行求解即可.故選：B.【分析】根據(jù)冪函數(shù)過點求出，再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出所過定點.A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱【答案】A故選：AA． B．C． D．【答案】A故選：A.【答案】故答案為：.四、比較大小【答案】A故選：A(2)比較下列各組值的大小：③log0.57，log0.67；④log3π，log20.8.②因為函數(shù)y＝log1.5x是(0，＋∞)上的增函數(shù)，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.③因為0>log70.6>log70.5，所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5)，即log0.67<log0.57.④因為log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.【答案】B故選：B.(2)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c【答案】D【詳解】a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的圖象，當(dāng)x＝2時，由圖易知log32>log52>log72，∴a>b>c.五、解對數(shù)不等式A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域可知充分性不成立；由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定必要性成立.故選：B.【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解出條件和結(jié)論中的兩個不等式，通過解集的包含關(guān)系判斷結(jié)果．故選：A【分析】根據(jù)給定的不等式，利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.六、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出復(fù)合函數(shù)的遞增區(qū)間即可.故選：D【分析】根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域，進而確定單調(diào)增區(qū)間即可.【答案】BD【分析】利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解.故選：BD.【答案】D故選：D．七、反函數(shù)A． B．10 C．12 D．【答案】C故選：C.【答案】D故選：D.【分析】先解出，然后再將互換即可得其反函數(shù).【答案】2故答案為：2【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)性質(zhì),列方程,求解即可.故答案為:.【分析】互換，即可求出原函數(shù)的反函數(shù)及定義域.【課堂鞏固】【答案】D【分析】根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性，可判斷a的范圍，結(jié)合特殊值的函數(shù)值可判斷c的范圍，即得答案.故選：DA． B．C． D．【答案】B故選：B.【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.故選：B.【答案】D【分析】利用冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小即可.故選：D【答案】C故選：C.【答案】B故選：B【答案】B在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，故選：B【答案】ACD真數(shù)能取遍所有大于0的數(shù)，故值域為R，D對.故選：ACD.【答案】CD故選：CD.【答案】CD【分析】求出對數(shù)不等式的解集，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.故選：CD【答案】故答案為：；.【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可得到結(jié)果.【答案】16故答案為：16【答案】故答案為：【答案】27【分析】由對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)求解，故答案為：27【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；作出函數(shù)圖象如圖，17．已知函數(shù)f(x)=ln(ax2+2x+1)．(1)若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．（2）根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解出答案.【課時作業(yè)】【答案】B【分析】分別討論分子和分母的定義域，即可得到函數(shù)的定義域.故選：B.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)恒過定點及其函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐一進行判斷即可所以滿足條件的為①圖像；故選：D【答案】A【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果.故選:A．【答案】A【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.故選：A【答案】A【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小即可.故選：A【答案】D故選：D【答案】A故選：A．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出的范圍.故選：D.【答案】ABD故選：ABD.【答案】AD故選：AD.【答案】AC結(jié)合圖象可知b可大于1，可小于1或等于1，B錯誤；故選：【答案】BD故選：BD【分析】作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解不等式.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出原函數(shù)，在求出對應(yīng)的反函數(shù)