人教版8年級數(shù)學(xué)下冊《平行四邊形》單元測試

考試時間：90分鐘；命題人：教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題20分）

一、單選題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，把矩形紙片ABC。沿對角線折疊，若重疊部分為AEBD,那么下列說法錯誤的是（）

B.AEK4和AEDC全等

C.折疊后得到的圖形是軸對稱圖形D.折疊后及E和NCBD相等

2、已知，四邊形力6m的對角線芯和劭相交于點0.設(shè)有以下條件：①AB=AD；②AC=BD；③2。=

CO,BO=DO-,④四邊形四切是矩形；⑤四邊形/成力是菱形；⑥四邊形相切是正方形.那么，下列推

理不成立的是（）

A.①④0⑥B.①③0⑤C.①②今⑥D(zhuǎn).②③二④

3、如圖，在菱形/比?中，AB=5,AC=8,過點6作即15于點￡,則龐的長為（)

D

4、如圖，把一張長方形紙片/成/沿對角線/C折疊，點6的對應(yīng)點為點夕，AB'與。C相交于點三

則下列結(jié)論正確的是（）

B'

B

A.Z.DAB'=ACAB'B.NACD=/B，CD

C.AD=AED.AE=CE

5、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所形成的新四邊形是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.三角形

第n卷（非選擇題80分）

二、填空題（5小題，每小題6分，共計30分）

1、如圖，四邊形A5CD和四邊形。跖VP都是邊長為4的正方形，點。是正方形ABCD對角線的交點,

正方形OAWP繞點。旋轉(zhuǎn)過程中分別交AB,BC于點E,F,則四邊形OEB尸的面積為

A/4D

2、如圖，在△/a'中，D,后分別是邊/C的中點，/6=50°.現(xiàn)將△/龐沿龐折疊點/落在三

角形所在平面內(nèi)的點為4,則/瓦加的度數(shù)為.

3、若一個菱形的兩條對角線的長為3和4,則菱形的面積為.

4、如圖，正方形紙片/反力的邊長為12,￡是邊必上一點，連接/反折疊該紙片，使點/落在/￡上

的G點，并使折痕經(jīng)過點8得到折痕剛點尸在/。上.若DE=5,則磔'的長為.

5、在菱形力8口中，N5=60°,8c=2cm,"為力5的中點，N為BC上一動點、（不與點6重合），將4

陽V沿直線腑折疊，使點3落在點￡處,連接DE,CE,當(dāng)△口應(yīng)為等腰三角形時，線段4的長為.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、如圖，已知中，ZACB=90°,E是四的中點，連接比；過點/作助〃比；過點。作切〃

EA,AD與CD交于點、D.

(1)求證：四邊形40是菱形；

(2)若48=8,NDAE=60°,則的面積為(直接填空).

2、如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，在欣中，ZACB=90°,

四邊形"'。是正方形，RtAAOKRtAAOD,Rt/\B0E^Rt￡\B0D.

若設(shè)正方形的邊長為x,則可以探究x與直角三角形/灰的三邊a,b,c之間的關(guān)系.

探究：'：RtXBOE^RtXBOD,

/.BD=BE=a-x,

■:Rt^AO0Rt&AOD,

：.AD=AF=b-x,

U：AB=BD^AD,

a-x^b-x=Ct

.a+b-c

(1)小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)利用叢川=生松+加松+必岐也可以探究正方形的邊長X與直角三角形力a'的三邊a,

b,c之間的關(guān)系.請你根據(jù)小穎的思路，完成她的探究過程.

(2)請你結(jié)合探究和小穎的解答過程驗證勾股定理.

A

3、如圖，已知在打△力比'中，ZACB=90°,切是斜邊N5上的中線，點￡是邊■延長線上一點，連

接力反DE,過點。作函1龐于點尸，豆DF=EF.

(1)求證：AD=CE.

(2)若CD=5,AC=6,求△/旗的面積.

4、如圖，在矩形A3CD中，AB=y[5-1,AD=2,且四邊形/WFE是一個正方形，試問點尸是BC的

黃金分割點嗎？請說明理由.(補全解題過程)

5、如圖，在口/四中，對角線〃'的垂直平分線反交力〃于點尸，交.BC于點、E,交”1于點。.求證:

四邊形/以才是菱形.

(小海的證明過程)

證明：?.?砂是/C的垂直平分線,

0A=OC,OE=OF,EFLAC,

...四邊形/以字是平行四邊形.

又,：EFLAC,

四邊形4￡沖是菱形.

(老師評析)

小海利用對角線互相平分證明了四邊形4以才是平行四邊形，再利用對角線互相垂直證明它是菱形，可

惜有一步錯了.

(挑錯改錯)

(1)請你幫小海找出錯誤的原因；

(2)請你根據(jù)小海的思路寫出此題正確的證明過程.

-參考答案-

一、單選題

1、D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意結(jié)合圖形可以證明吩砂，進(jìn)而證明△/跆陽此時可以判斷選項/、B、。是成立的,

問題即可解決.

【詳解】

解：由題意得:

△BCD^XBFD,

：.DC=DF,N年/490°；

/CBD=NFBD,

又：四邊形力55為矩形，

/.ZA=ZF^90°,DE//BF,AB=DF,

:./EDB=/FBD,DC=AB,

:.NED氏NCBD,

：.EB=ED,△故?為等腰三角形；

在△力跳'與△"應(yīng)中，

[BE=DE

?[AB=CD!

:.XABE^XCDE（血）；

又?.?△笈切為等腰三角形，

..?折疊后得到的圖形是軸對稱圖形;

綜上所述，選項A、B、C成立，

，不能證明D是正確的，故說法錯誤的是D,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用翻折變換的性質(zhì)，找出圖中隱含的等

量關(guān)系；借助矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識來分析、判斷、推理或解答.

2、C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件以及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定條件，對選項進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】

解：A、①④可以說明，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故A正確.

B、③可以說明四邊形是平行四邊形，再由①，一組臨邊相等的平行四邊形是菱形，故B正確.

C、①②，只能說明兩組鄰邊分別相等，可能是菱形，但菱形不一定是正方形，故C錯誤.

D、③可以說明四邊形是平行四邊形，再由②可得：對角線相等的平行四邊形為矩形，故D正確.

故選：C.

【點睛】

本題主要是考查了特殊四邊形的判定，熟練掌握各類四邊形的判定條件，是解決本題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)求得8。的長，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積等于：4。&9=。不￡,即可求得班的長

【詳解】

解：如圖，設(shè)AC3D的交點為0,

D

四邊形ABCD是菱形

:.AC±BD,AO=CO=-AC=4,DO=BO,CD=AB=5

2

在如AO3中，AB=5,AO=4

:.BO=ylAB2-AO2=3

:.BD=2BO=6

菱形的面積等于;AC-BD=CD-2E

.,B￡=l±LfZ=lx6x8=24

CD255

故選B

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，求得瓦）的長是解題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

【分析】

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得N的，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得/物華/力切，從而得到

NACANCAB',然后根據(jù)等角對等邊可得/廬位從而得解.

【詳解】

解：??,矩形紙片切沿對角線NC折疊，點夕的對應(yīng)點為夕，

：.ZBA(=ACAB',

'：AB//CD,

：.NBAC=NACD,

:./ACWNCAB',

：.AE=CE,

，結(jié)論正確的是D選項.

故選D.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的對邊互相平行，等角對等邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)

并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

5、B

【解析】

【分析】

先畫出圖形，再根據(jù)三角形中位線定理得到所得四邊形的對邊平行且相等，那么其必為平行四邊形，

然后根據(jù)鄰邊互相垂直得出四邊形是矩形.

【詳解】

解：如圖，E、F、G、H分別是A3、BC、CD、的中點，

EHBDFG,EFACHG,FG=-BD,EF=-AC,

22

...四邊形EFGH是平行四邊形，

,/ACLBD,

：.EFLFG,

???平行四邊形EFG”是矩形，

又?AC與瓦）不一定相等,

尸與尸G不一定相等,

，矩形EFGH不一定是正方形,

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形中位線定理、矩形的判定等知識點，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

二、填空題

1、4

【解析】

【分析】

過點。作垂足為G過點。作現(xiàn)比；垂足為〃，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為正方形。沏

的面積，等于正方形口面積的1.

4

【詳解】

如圖，過點。作“讓四，垂足為G,過點。作用，8G垂足為〃，

四邊形/成力的對角線交點為0,

：.OA=OC,ZABC=90°,AB=BC,

AOG//BC,OH//AB,

J四邊形OG筑是矩形，0能0*AB=gcB，NG〃斤90°,

??S四邊形OG8”=°G2=（；A8）2=gx4）2=4，

ZFO/fyZFOG=9Q°,ZEOG+ZFOG=90°,

：.ZFO/^ZEOG,

*：/OG氏/0眸9?！?OG=OH,

:.△OGE^XOHF,

??SAOGE-SAOHF，

S四邊彩OGBH—S四邊形OEBF>

S四邊形OEBF=4,

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等與性質(zhì)，補形法計算面積，熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運

用補形法計算面積是解題的關(guān)鍵.

2、80°

【解析】

【分析】

由翻折的性質(zhì)得//瓦1=/4座；由中位線的性質(zhì)得應(yīng)//6C,由平行線的性質(zhì)得//應(yīng)'=/6=50°,即

可解決問題.

【詳解】

解：由題意得：/ADE=/ADE；

,:D、后分別是邊力反/C的中點，

J.DE//BC,

:.NADE=/B=NAJ)E=5Q°,

，N4%=100°,

她/=180°-100°=80°.

故答案為：80°.

【點睛】

本題主要考查了翻折變換及其應(yīng)用問題；同時還考查了三角形的中位線定理等幾何知識點.熟練掌握

各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3、6

【解析】

【分析】

由題意直接由菱形的面積等于對角線乘積的一半進(jìn)行計算即可.

【詳解】

解：菱形的面積=3x4+2=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，△ABF^AGBF,距垂直平分2。先證△力價必△物￡,推出月尸的長，再

利用勾股定理求出方的長，最后在心△/第中利用面積法可求出/〃的長，可進(jìn)一步求出/G的長，GE

的長.

【詳解】

解：?.?四邊形力頗為正方形，

：.AB=AD=12,/物仄/氏90°,

由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，AABF^&GBF,以垂直平分/G,

D

：.BFVAE,A住GH,

：.ZBA^ZAB^9Q°,

又??,/用班N為廬90°,

J/AB卞/FAH,

:.XABMXDAE(ASA\

:?A后DE=5,

在上△/郵中，

^A/AB2+AF2=V122+52=13,

SAABF--AB?A丹-BF*AH,

22

，12X5=134%

?1比60

..Zl/F-----

13

120

：.AG=2At^—

13

,:A廝B2\3,

12049

，G^A^AG=13~—=—

1313

49

故答案為：—.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線段的長

度等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì).

5、cm或2cm

【解析】

【分析】

分兩種情況：①如圖1,當(dāng)妗加時，連接掰作加，理于G,由菱形的性質(zhì)得出/樂》於2,AD

//BC,AB//CD,得出N2CRN層60。,ZJ=120°,止/氏2,求出躲道，CG=\,BG=BC+CG=3,由折

疊的性質(zhì)得：EN=BN,E后B后AM,/MEN=/B=6Q°,證明△/圾絲△式感得出//=/〃游120°,證出

D、E、N三點共線，設(shè)阱吩x,則彈3-x,x+2,蒼.RtXDGN中,由勾股定理得出方程，解方程

即可；

②如圖2,當(dāng)或切上，CE=CD^AD,此時點￡與/重合，N與點C重合，C&CD=D皆DA,△口應(yīng)是等邊

三角形，B^BC=2（含彥龍這種情況）.

【詳解】

解：分兩種情況,

①如圖1,當(dāng)妗小時，連接掰作。GL8C于G,

圖1

?.?四邊形力腐?是菱形，

:.AB=CD=BO2,AD//BC,AB//CD,

吐/斤60°,ZJ=120°,

:.D芹AD=2,

'：DGLBC,

：.ZCDG=90°-60°=30°,

：.CG=^CD=1,

：.DG=yl3CG=y[3,BG=BOCG=3,

?.?〃為48的中點，

由折疊的性質(zhì)得：EN=BN,EM=BM=AM,/愈竹N氏60°,

在△/皿和△瓦泌中，AD=ED,AM=EM,DM=DM,

：.AAD儂叢EDM(SSS),

：.ZA=ZDEM=120°,

N磔忸NO仞片180°,

:.D、E、N三點共線,

設(shè)冊的x,則彈3-x,好x+2,在.RtADGN中,

由勾股定理得：(3-療+(由y=(x+2)2,

44

解得：A=—,即曲^gcm；

②當(dāng)或。時，C斤CFAD,此時點￡與/重合，N與點。重合，如圖2所示:

圖2

C5CFD左DA,△。片是等邊三角形，BJ^B(=2cm(符合題干要求)；

4

綜上所述，當(dāng)△口應(yīng)為等腰三角形時，線段劃的長為,cm或2cm；

4

故答案為gcm或2cm.

【點睛】

本題考查了折疊變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點共線、勾股定理、直角三

角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)見解析；(2)8^/3

【分析】

(1)由AD//CE,CD//AE,得四邊形/反/為平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，得C^AE,

可知四邊形/戊萬是菱形；

(2)由菱形的性質(zhì)可得當(dāng)N的斤60°時，N。斤30°,可求8G再根據(jù)勾股定理求出/G最后求面

積即可.

【詳解】

解：(1),：AD^CE,CD〃AE,

四邊形ADCE是平行四邊形.

VZACB=90°,E是A3的中點，

CE=AE=-AB,

2

二四邊形45CE是菱形；

(2)...四邊形4XE是菱形，ZDAE=6O°,

：.ZCAE=-Z￡>AE=3O°.

2

?.?在欣△ABC中，ZACB=90°,ZC4￡=3O°,AB=8,

CB=-AB=4,

2

22

AC=>JAB-BC=4A/3?

：.SVACB=^AC-BC=Sy/3.

【點睛】

此題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股

定理，三角形面積，能夠靈活運用菱形知識解決有關(guān)問題是解題的關(guān)鍵.

2、(1)x=證明見解析；(2)見解析

a+b+c

【分析】

(1)由正方形的性質(zhì)可得帕陽OFLAC,OEVBC,由RtAAOF^RtAAOD,可以推出循勿=陽再

由入板=%!。?+S^BOC+SAAOB可得］A。8C=wAC-OF+—BC-OE+—AB-OD,由此即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）和題目已知可得%=，由此利用完全平方公式和平方差公式求解即可.

2a+b+c

【詳解】

解：（1）如圖所示，連接%

:四邊形施TF是正方形，

：.0尺OE,OFLAC,OELBC,

*：RtXAOMRtXAOD,

：.。聲0D,

C.OEPOD^OE,

ZACB=90°,

^/\ABC~^AAOC+S^BOC+^/\AOB

：.-ACBC=-ACOF+-BCOE+-ABOD,

2222

即ab=x(a-\-b-\-c)

.ab

U9X—

a+b+c

EB

(2)?.?尤=^^=^^,

2a+b+c

(a+b+c)(a+6-c)=2ab,

(a+b)2-c2=2ab,

??+2ab+b~-c2=2ab,

"+62"2=0即a2+b2=(：2^

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平方差公式，完全平方公式，勾股定理的證明等

等，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意.

3、(1)見解析；(2)39

【分析】

(1)首先根據(jù)"?！?"占緒得出行'為龍的中垂線，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到切=解然

后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一