2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中的最值問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，在RtOAB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以點(diǎn)。為圓心、2為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)C是。上任意一點(diǎn)，連

接BC,OC.將OC繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，交(。于點(diǎn)連接AD.

(1)當(dāng)AO與。相切時(shí)，

①求證：是，。的切線;

②求點(diǎn)C到的距離.

⑵直接寫(xiě)出S^ACB的最大值與最小值的差.

四邊形AB。內(nèi)接于。，ZCAD=2ZBAC,連結(jié)8。交AC于點(diǎn)E.

(1)設(shè)N54C=m。，用含機(jī)的代數(shù)式表示的度數(shù);

⑵若OE=CE,求簽的值;

(3)若AC=2,求qABE面積的最大值.

。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)孔連接30.

圖1圖2圖3

⑴若"3C=35。，求NA4c的度數(shù).

(2)如圖2,連接BE,若AE=3,所=2,求的長(zhǎng).

(3)如圖3,連接OE,若(。的半徑為4,弦BC=4框,設(shè)OE=x,AE=y,求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最大

值.

4.如圖1,AB為半圓。的直徑，C為助延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)。，BELCD,交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交

半圓于點(diǎn)R已知。4=3,AC=2.

(2)如圖2,連接AF,尸為線段,上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線分別交CE,3E于點(diǎn)M,N,交圓。于點(diǎn)K,過(guò)

點(diǎn)P作尸"_LAB于點(diǎn)”.設(shè)尸H=x,MN=y.

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；

②延長(zhǎng)PN交半圓。于點(diǎn)。求當(dāng)x為何值時(shí)PK-PQ的值最大時(shí)，并求出最大值.

5.已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4cm的正方形，以點(diǎn)D為圓心，4cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)；。，點(diǎn)E是弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，DP

平分NCDE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,DP與BC交于點(diǎn)、F.

圖1圖2

(1)①求NAPD的度數(shù)

②如圖1，連接族,問(wèn)竺黑是否是定值,如是定值,試求出；如不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作即_LAB,垂足為“，設(shè)線段AE的長(zhǎng)為機(jī)，線段EH的長(zhǎng)為〃，求相一〃的最大值.

6.如圖1,AC為的直徑，AB=3C=4.點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與AC重合)，連接3DDC,AD.

(1)探究線段4DCD,9之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

⑵如圖2,若3￡)與AC相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E分別作跖工AD于點(diǎn)尸，EG_LCD于點(diǎn)G,求△?!￡戶(hù)與ECG面積之

和的最大值.

7.如圖，已知等腰VABC的底邊8C長(zhǎng)為8,。是等腰VABC的外接圓，弦AD與3C交于點(diǎn)E,"為BOC上的動(dòng)

點(diǎn)(不與8,C重合)，AM交BC于點(diǎn)、N.

(1)若AE=5石，ED=—,求48的長(zhǎng);

3

(2)求㈤V-NM的最大值；

⑶在(1)的條件下，若下是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E4交。于點(diǎn)G,當(dāng)AG=8時(shí)，求tan/AEB的值.

8.如圖，已知A3是，;。的直徑，過(guò)54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P作圓的切線PE,。為PE上的一點(diǎn)，連接ZM并延長(zhǎng)交。

于點(diǎn)C,G為。C上的點(diǎn)且OE=￡?G,EG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)孔

(1)求證：AF-CF'

⑵若將弧京沿8E翻折交半徑。8于點(diǎn)且AB=20,sinB=我，求3M的長(zhǎng)度；

10

⑶直線/是。的切線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的直線，點(diǎn)。為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，QC切：。于點(diǎn)C,現(xiàn)以QC

為直角邊作Rt.QCN,ZQCN=90°,ZCQN=3Q°,當(dāng)AB=20時(shí)求線段QN的最小值.

9.問(wèn)題探究

(1)如圖①，在VABC中，以為直徑作，O,BC、AC分別交＜。于點(diǎn)。、E,連接A。，AE=6.5,CD=5,

點(diǎn)E是AZ)的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng);

問(wèn)題解決

(2)如圖②是某生態(tài)公園的部分示意圖，是一條筆直的小溪流，VABC是小溪流旁的一塊綠地，點(diǎn)C、A在跖V

上，BC=800m,^BCM=105BAN=135.點(diǎn)、D、E、尸分別是邊ARAC.3c上的動(dòng)點(diǎn)，連接小、FE、ED,

為使游客有更好的觀景體驗(yàn)，需沿。廠修建玻璃橋，根據(jù)規(guī)劃要使在D=2/ABC.為節(jié)約成本，要使

玻璃橋。廠的長(zhǎng)盡可能的小?請(qǐng)問(wèn)玻璃橋DF的長(zhǎng)度存在最小值嗎？若存在，請(qǐng)求出玻璃橋。廠長(zhǎng)的最小值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=ZBAD=90°,AB為I。的直徑.

(1)若AD=2,AB=3C=8,連接OC、OD.

①求△COD的面積；

②試判斷直線CD與I。的位置關(guān)系，說(shuō)明理由.

(2)若直線CD與.：。相切于產(chǎn)，AO=x(x>0),AB=8.試用x表示四邊形ABC。的面積S,并探索S是否存在最小

值，寫(xiě)出探索過(guò)程.

11.問(wèn)題提出

(1)如圖①，線段在。4=4,OB=2,將08繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)360。，的最大值是一，最小值是一；

問(wèn)題探究

(2)如圖②，已知在中，BP=2,BC=4,在上取一點(diǎn)當(dāng)8。的長(zhǎng)為多少時(shí)，PD=gpC,說(shuō)明理

由.

問(wèn)題應(yīng)用

(3)如圖③，已知正方形42。的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)尸是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+；PC的最小值.

12.已知48為。的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)。為。上的動(dòng)點(diǎn)(兩點(diǎn)在A8的異側(cè)且都不與A,B重合)，連接C。與AB交

于點(diǎn)E,連接AC,BC.

(1)如圖1,若AB=10,AD的長(zhǎng)為!■兀?

①求/DC3的度數(shù)；

CF

②若"=6,求區(qū)的值;

⑵如圖2,若"=4,。團(tuán)60°'且對(duì)任意的點(diǎn)C,弦。上都有一點(diǎn)死使得〃4小，連接人豌寫(xiě)

出線段跳■的最小值.

13.AS、CD是：。的兩條弦，且A5=CD.

PA=PC

小明同學(xué)：從垂徑定理的角度聯(lián)想到輔助線：過(guò)點(diǎn)。作OFLCD,垂足為區(qū)F.

小華同學(xué)：從全等三角形的角度聯(lián)想到輔助線；連接AD、BC.

小剛同學(xué)：從等角對(duì)等邊的角度聯(lián)想到輔助線：連接AC.

請(qǐng)你從上面三位同學(xué)提供的方法選擇一種完成證明.

(2)如圖2,若(。的半徑為2,將A3沿著AB折疊，若折疊后的A8過(guò)點(diǎn)。，求CZ)的長(zhǎng).

(3)如圖2,若。的半徑為2,AC=BD,將A8沿著AB折疊，若此時(shí)NAOC=90。，請(qǐng)直接寫(xiě)出折疊后AB上的一

點(diǎn)到C。最小值.

14.如圖，在VABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C、尸的。。分別交

直角邊BC,AC于點(diǎn)M、N,連接

圖1圖2圖3

⑴當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到CPLA5的位置時(shí).

①如圖1,若。。與A3相切，則線段的長(zhǎng)為；

②如圖2,連接MN,若MN//AB,求線段的長(zhǎng)；

(2)如圖3,若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，則線段的最小值為；線段的最大值為:

(3)在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的取值范圍為.

15.如圖1所示，等文點(diǎn)P是劣弧BC上任意一點(diǎn)(不與C重合)，連接PA、PB、PC,

求證：PB+PC=PA.

圖2

［初步探索］.小明同學(xué)思考如下：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到..AQB,使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，可得尸、B、。三

點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問(wèn)題：

根據(jù)小明的思路，若圓的半徑為5,則P3+PC的最大值為一

［類(lèi)比遷移］.如圖2所示，等腰RtAABC內(nèi)接于圓。，/3AC=90，點(diǎn)尸是弧8C上任一點(diǎn)(不與3、C重合)，連

接24、PB、PC,若圓的半徑為5,求△BBC周長(zhǎng)的最大值.

［拓展延伸］.如圖3所示，等腰Rt^ABC,點(diǎn)A、3在圓。上，NBAC=90,圓。的半徑為5,連接OC,求OC的

最小值.

參考答案

1.⑴①詳見(jiàn)解析；②6

⑵8五

【分析】（1）①由切線的性質(zhì)得NADO=90。，再證30c咨AOD（SAS）,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得

ZBCO=ZADO=90°,即可證明BC是。的切線；②過(guò)點(diǎn)C作CE_LOB,垂足為E,則CE即為點(diǎn)C到08的距

離，根據(jù)SBg=；BC-OC=go2-CE即可求解；

（2）作直線OH_LAB于點(diǎn)”，交。于G和當(dāng)點(diǎn)C位于C1處時(shí)，S》CB取最小值，當(dāng)C位于G處時(shí)，S^CB取

最大值，則最大值與最小值的差為［AB.GC?.

【詳解】（1）①證明：：4。與＜。相切，

/ADO=90。，

?.*ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOB-ZAOC^Z.COD-ZAOC,

即ZCOB=ZAOD,

XVOB=OA,OC=OD,

：.BOC^_AOD（SAS）.

：.ZBCO=ZADO=90°.

又「oc是一。的半徑，

是。的切線；

②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CEJLQB,垂足為E,則CE即為點(diǎn)C到08的距離，

BC=y/OB2-OC2=742-22=243，

S=-BCOC=-OBCE,

BROnCr22

.fBCOC_2舟2_r-

0B4

即點(diǎn)C到的距離為G.

(2)解：RtOAB中，ZAOB^90°,04=03=4,

AB=VOA2+OB2="2+4：=4>/2?

如圖，作直線于點(diǎn)H,交C。于G和

由題意知，當(dāng)點(diǎn)C位于C1處時(shí)，S.ACB取最小值，當(dāng)C位于g處時(shí)，S^CB取最大值，

???S》CB的最大值與最小值的差=|AB-（C2H-C1H）=|AB-C1C2=1X4A/2X4=8V2.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握

切線的判定方法，找出S^ACB取最值時(shí)點(diǎn)C的位置.

2.⑴（90—〃7）。

⑵2

3

*

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是直角

的知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得/ABC=90。，再通過(guò)A3=AB，可得NADE=NACB=（90-〃z）。，然后在

△AED中通過(guò)內(nèi)角和定理即可求解；

（2）連結(jié)08,根據(jù)等角對(duì)等邊可得=再根據(jù)BC=BC，AB=AB>可證,然后通過(guò)相

似三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）作BGLAC,2G分別交AC,。于點(diǎn)凡G,連結(jié)AG,可得BG=2BF,?BAG2?BAC,然后根據(jù)

ZCAD=2ZBAC,可得BG=23尸=CO,求得S^BE=&亨*=四嚴(yán)=巧"，然后即可求解；

【詳解】（1）解：：AC為3。的直徑，

二ZABC=90°,

AB^AB>

：.ZADE=ZACB=（90-m）°,

?CAD2?BAC2nd,

ZAED=180°-ZADE-ACAD=180°-（90-m）°-2m°=（90-m）°.

（2）解:連結(jié)OB,如圖:

由（1）得：ZADE=（90-m）°fZAE?=（90-m）°,

???ZADE=ZAED,

AD=AE,

,BC=BC，AB=AB，

：.?CAD2?BAC?BOCfZADE=ZBCO,

：.人ADEs/\OCB,

.BC_PC

**DE-AD?

*.*AD=AE,

.BCOC

**DE-AEJ

'：OE=CE,

：.OE=-OC=-r,

22

13

*.*AE=OA+OE-r+—r=—r,OC=r,

22

.BCOC_2

，eAE-3；

（3）解：作5GLAC,BG分別交AC,O于點(diǎn)憶G,連結(jié)AG,如圖:

D

9：BG±AC,

：.BG=2BF,?BAG2?BAC,

'：ZCAD=2ZBACf

：.ZCAD=ZBAG,

：.BG=2BF=CD,

AE=AD,

._AE翳-_A。CD_S/D

9

??AABE~2~4~2

,**S/\ACD￡］，

?,S/\ABE￡5'

，力石石面積的最大值為g；

3.(l)Z^4C=70°

Q)BD=6

(3)y=-；/+4,y的最大值4

【分析】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理；

(1)由點(diǎn)E為VABC的內(nèi)心，可得AE和8E是VA3C的角平分線，則=NC4D,ZABE=/CBE,再根據(jù)圓

周角定理得到N/MC=N/MC=35。，即可得到NDBC=/BAD=/C4D=35。，最后根據(jù)

/&4C=/&4D+NC4D=70。求解；

(2)由ZABE=ZCBE,ZDBC=ZBAD=ZCAD,可得ZDBE=ABED,得到BD=DE,則DF=DE-EF=BD-2,

DA=DE+AE=BD+3,再證明得至|我=必，代入解方程即可；

DFDB

(3)連接OD交3C于連接03,過(guò)。作ON_LAD于N,先利用垂徑定理求出BD=DE=4,貝！J

22222

AD=DE+AE=4+yf再木艮據(jù)ON_LAD,得至！JA2V=ON=gAO=2+gy,OE-EN=ON=OD-DN,代入

后整理得到y(tǒng)=-y%2+4,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.

4

【詳解】(1)解：???點(diǎn)E為VABC的內(nèi)心，

???AE和班是VABC的角平分線，

AZBAD=ZCAD,ZABE=/CBE,

?:CD=CD，"BC=35。,

：.ZDBC=ZDAC=35°f

???ZDBC=ZBAD=ZCAD=35°f

???ABAC=ABAD+ACAD=70°；

(2)解：?；ZABE=/CBE,/DBC=ZBAD=/CAD,

:.ZDBE=/DBC+/CBE=ABAD+ZABE=/BED,

:?BD=DE,

?.?AE=3,EF=2,

DF=DE-EF=BD-2,DA=DE+AE=BD+3,

?：/DBC=/BAD,ZBDF=ZBDA,

^DBF^/\DAB,

.DBDA

??二,

DFDB

.DBBD+3

"BD-2"DB

解得80=6；

(3)解：連接交BC于"，連接。8,過(guò)。作0N_LAD于N,

??ABAD=ACAD,

BD=CD，

，OD垂直平分BC,

BM=-BC=2y/3,

2

:OB=OD=4,

OM=4OB--BM1="-R⑹2=2,

DM=OD-OM=4-2=2,

BD=y/DM2+BM2=*+（2m=4,

由（2）得BD=DE=4,

?「AE"=y,

：.AD=DE+AE=4+y,

9：ON.LAD,

：.AN=DN=-AD=2+-y,?ONE?OND90?,

22

EN=AN-AE=2--y,OE2-EN2=ON2=OD2-DN2,

2

OE=x,

:,/—，一9]=°僻=4?—12+gy1,

整理得y」f+4,

4

1

*.*y=——x29+4?4,

4

???當(dāng)x=0即。與E重合時(shí)，y=-/+4=4最大.

4

4.⑴空

25

、

⑵①y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式為＞=-不25x+8(OVXW7*2；②當(dāng)x為I36I時(shí)PK.P。的值最大，最大值為1空44

【分析】(1)連接8,先求出C。的長(zhǎng)，可得sinC=*=g,cosC=^=^,由此可求CE、鹿的長(zhǎng)，結(jié)合三

角形面積公式即可求解；

MNMF

(2)①證明,BCEsqNME■，可得=即可求解；

BCCE

②如圖，連接AK、FQ,證明AKR4s△尸尸Q,可得簪=暮，得到尸K.PQ=PA.尸尸，然后用含x的代數(shù)式表示

PAPQ

出E4.PF,最后根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,連接OD,

：.OD±CE.

'：OA=3,AC=29

：.OC=OA+AC=5,OD=OB=OA=3f

：.3C=AC+tM+QB=2+3+3=8,

?*-CD=yl0C2-0D2=V52-32=4,

.?.sinC?cosC=^=4

OC5OC5

BELCE,

3224

CE=BCcosC=—,BE=BCsinC=—,

55

S=-CE-BE=-X—X—=—

BCEE225525

(2)解：①：AB為半圓。的直徑，BELCD,設(shè)PH=x,MN=y,

：.ZAFB=900=ZE,

???AF//CE.

?:MN〃BC,

???四邊形APMC是平行四邊形，NPAH=NC,

PHPHx5

.CM=--------=—=—x

sinZPABsinC33，

5

3?5

ME=CE-CM=--------x

53

?:MN〃BC,

：.ZEMN=ZECB,/ENM=/EBC,

：.AEMN^AECB,

.MN_EM

325

--------x

.y_53

,,

5

y=x+8,

12

過(guò)點(diǎn)尸作/GLCB于點(diǎn)G,如圖2,

圖2

VZAFB=90°,AF//CE,AB=Q4+Q3=3+3=6,

424

AF=ABcosZFAB=6xcosC=6x—=—,

55

2424372

FG=AF?sinZFAB=——xsinC=——x—=——.

55525

???尸為線段AF上一點(diǎn)，

c72

0<x<—

25

???y關(guān)于1的函數(shù)表達(dá)式為y=-二工+80<x<—

②連接AK、FQ,如圖3,

E

圖3

???圓周角NK4P、NFQP所對(duì)的弧是KQ

ZKAP=ZFQP.

又?.?ZKAP=ZFQP,

：.AKPA^AFPQ,

?_P_K___P__F

??市一所’

.?.PKPQ=PAPF.

245

AF=—PA=-x,

53f

245

???PF=AF-PA=--------x,

53

,PA.PF=gx('_9x]=_"x2+8;c,

3I53J9

2

x=----8---=—36___-8___=144

???當(dāng)Zx[25125時(shí)，PK/Q有最大值，最大值為：4*(_空]-25,

當(dāng)x為36時(shí)，PK/Q的值最大，最大值為1罷44.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解直角三角形的應(yīng)用，

求一次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，準(zhǔn)確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.(1)①45。；②是定值為加

(2)2

【分析】⑴①首先由角平分線得到=然后由等邊對(duì)等角得到44即=90。-1乙位)￡,然后利用

22

三角形外角得到=NH3P，然后代入整理求解即可；

②如圖所示，連接BO,延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使。6=2尸，證明出點(diǎn)A,B,P,。四點(diǎn)共圓，得到/4SP=/ADG,然

后證明出.ABP烏仞G(SAS),得至IJNG=/APD=45°,APG是等腰直角三角形，得到黑=0,然后等量代換

即可求解;

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)￡)作DN_LAE于點(diǎn)N,首先利用三線合一得到AN=1AE=1根，然后證明出AHE^tDNA,

22

FH111

得到笠=黑，然后代入表示出〃病，然后得至打"一"=根根2=-5(租-40/+2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即

ADAN888

可.

【詳解】(1)解：①；DP平分NCDE,

：.ZEDP=-ZEDC,

2

?/AD=DE,

ZAED=1(180°-NADE)=90°-1NADE,

/.ZAPD=ZAED-ZEDP

=90°--ZADE--ZEDC

22

=90°-1(ZADE+ZEDC)

=90°--ZADC=45°；

2

②如圖所示，連接3￡),延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使OG=3P,連接AG,

圖1

:四邊形ABC。是正方形，

AZABD=45°=ZAPD,AB=AD,

...點(diǎn)A,B,P,。四點(diǎn)共圓，

：.ZABP+ZADP^180°,

,：ZADG+ZADP=180°,

ZABP^ZADG,

又：AB^AD,

一AB咤ADG(SAS),

：.AP^AG,

：.NG=ZAPD=45°,

???NB4G=90。，

???一APG是等腰直角三角形,

:爺=虛,

-3

.BP+DP

是定值行;

AP

(2)解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作DNLAE于點(diǎn)M

P

圖2

?:AD=ED,

：.AN=-AE=-m

22f

9：ZBAE+ZDAN=ZADN^ZDAN=9Q0,

：.ABAE=AADN,

XVZAHE=ZAND=90°,

:..AHESQNA,

n

T~

ADAN-m

2

12,

—m=4〃，

2

：.n=-m2,

8

2

21(m-4)+2,

8

8

...當(dāng)=4時(shí)，機(jī)-”取得最大值2.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定,

等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形.

6.⑴AD+CD=6BD,理由見(jiàn)解析

(2)4

【分析】本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答

本題的關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)ZM至點(diǎn)使得40=DC,連接先證明八45河四△CBD,進(jìn)一步證明NMBZ)=90。，再根據(jù)

勾股定理得出結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)E作硒，EC交AD或4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,證明..FENaGEC得出EN=EC,S_EFN=SEGC,

設(shè)EC=x,則AE=4亞-無(wú)，EN=EC=x，根據(jù)S鉆尸+SGEC='的得出二次函數(shù)解析式，由二次根式的性質(zhì)解

答即可.

【詳解】(1)解：AD+CD=《2BD,理由如下:

延長(zhǎng)D4至點(diǎn)使得AM=OC,連接

ZDCB+ZBAD=180°.

:.NMAB=NDCB.

在_ABM和ACBD中,

AB=CB,

<ZBAM=ZBCD,

AM=CD.

ABM—CBD.

:.BM=DB,/MBA=/CBD.

ZMBD=ZABD+ZMBA=ZCBD+ZABD=90°,

在中，MD=dBM?+BD。=血BD.

:.AD+CD=AD+AM=MD=y[2BD,

:.AD+CD=y[2BD.

(2)解：過(guò)點(diǎn)E作aVLEC交A。或AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

.AC為直徑，

.\ZABC=ZADC=90°.

AB=BC=4,

AB=BC,^ACB=^BAC=45°,BC=4母

,\ZADB=ZBDC=45°.

：.BD平分NADC.

又EG1CD,EFLAD,

/.EF=EG,NEFD=NEGD=NADC=90

二?四邊形瓦。G為正方形.

:.ZFEG=90°.

NE1EC,

:.ZNEC=90。.

/.ZFEN=90°-^NEG,NCEG=93—NNEG,

:.NFEN=NCEG.

在EFN和NEGC中，

'/FEN=ZGEC,

<EF=EG,

NEFN=ZEGC.

:.FEN—GEC.

EN=EC,SrE,rFiN=S.EZKGJC.,

設(shè)EC=x,貝!)AE=4&—x,EN=EC=x，

.■.SAEF+SGEC=SAEN=^AE-EN=^442-X)X=~(X-2^+4,

當(dāng)x=2亞,即E是AC的中點(diǎn)時(shí)(此時(shí)8。是的直徑)，S^N取得最大值，最大值為4.

即sAEF+SGEC最大值為4.

7.(D4A/5

⑵16

【分析】(1)連接DC,證.ABEsCDE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先求出BE,CE,過(guò)A作AH,3c于H,根據(jù)

等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)求出3”,運(yùn)用勾股定理求得A",A8,問(wèn)題得解；

(2)連接先證明，3MNs,Aav,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決，設(shè)BN=x,則NC=8-x,得到

AN-M0=x(8—x)=-￡+8%，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決；

(3)過(guò)2作皮，AC于L,利用面積相等求得比，然后利用三角函數(shù)正切的定義，在RtAW中，求得tanC=2,

4

在RtBCL中求出LC,進(jìn)一步求出AL,在RtABL中，求出tan/84L=§,接下來(lái)證，ABCS〃E4。，根據(jù)相似三

角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可求得tan/AEB的值.

【詳解】(1)解：如圖，連接。C,在，。中，ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADCf

:.AABE^/\CDE,

.AEBE

'~CE~~DEy

:.BEEC=AEED.

BC=8,設(shè)則EC=8—JGAE=5A/3,ED=—,

3

x(8-x)=5A/3x^-=5,

即％2—8X+5=0,

解得，%=4±VTT；

過(guò)A作AHLBC于H,如圖；

AB=AC,

:.BH=-BC=4；

2

在△AEH中,EH=\BE-BH\=s/H,由勾股定理：AT/?=4爐一位2=仁石尸一(不了=75一口=，

.-.AH=8,

在,AB//中，AB=y/AH2+BH2=A/82+42=^/80=4A/5-

AB=475.

(2)解：如圖，連接

ZMAC^ZMBC,ZAMB^ZACB,

BMN^.-.ACN,

,BNMN

"AN~NC'

:.ANNM=BNNC.

設(shè)BN=x,貝!]NC=8—尤，

/.AN-NM=x(8-x^=-x2+8x.

-l<0,

b8，

???當(dāng)x—五一代刁二4時(shí)，取AM有最大值.

，當(dāng)x=4時(shí)，河?地的最大值為-42+8><4=16.

，AMMil的最大值為16.

(3)解：如圖，過(guò)8作配_LAC于L.

在VABC中，AB=AC=4y[5,AH=8,BC=8.

S,Br=-BCAH=-ACBL,

,ABC22

…BCAH8x816君

BL=-----------=-=--------,

AC4755

在RtAf/C中，tanC=^=?=2,

HC4

在Rt3cL中，ZBLC=90°,tanC=^=2,

16A/5_Qfc1Qfe

.T「_BL_8亞,AL=AC-LC=4非---=^-,

..LC=----=--------=------55

225

16小

在RtABL中，/ALB=90。,tan/BAL=——==■—,

5

AG=BC=8f

...AG=BC^

AG+GB=BC+GB9BPAGB=GBC，

/.ZGAC=ZACB.

ZABC=ZACB,

/.AABC^AMC,

:.ZAFC=ZBAC,

4

tanZAFB=tanABAC=—,

3

4

綜上，tanZAFB的值為

M

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及二

次函數(shù)最值.解題關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，利用幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化問(wèn)題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程(如二次函數(shù)、相似比

例)求解.靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)和三角形相似性建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.(1)見(jiàn)解析

(2)8

八、10后

3

【分析】(1)連接OE、OF,由切線的性質(zhì)結(jié)合等邊對(duì)等角證明/FGC+/GFO=90。，得到O尸，AC,即可得出

結(jié)論；

(2)連接EM、AE,過(guò)E作垂足為設(shè)M點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為連接近由翻折結(jié)合圓內(nèi)接四邊

形可得=易證人4￡加為等腰三角形，推出E"平分AM,再求出AE=2回，易證ZAEH=NB,推出

—=^,求出AH=6,進(jìn)而得到AM=12,即可求解；

AE10

(3)連接。C、OQ,當(dāng)直線/時(shí)，QV最小，止匕時(shí)OQ=15,OC=10,求出QC=5如，即可求解.

【詳解】(1)證明：連接0區(qū)OF,

fP

a

Q

丁EP為圓。的切線,

NOEP=90。,

???/OEF+/DEF=9伊,

;OE=OF,

：./OEF=/OFE,

,:DE=DG,

：.ZDEG=ZDGE=ZFGC,

：.ZFGC+ZGFO=90°,

：.OFLAC,

AF=CF;

(2)解：連接石M、AE,過(guò)石作石尸垂足為H,設(shè)M點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為"，連接石”,即夕,

???四邊形A￡M5:。內(nèi)接四邊形,

???ZE4B+ZfiME=180°,

由翻折的性質(zhì)得NXM5=N￡MB,

???/EMB+/EMA=180。,

ZEMA=ZEAB,

工EM=AE,

???八4￡以為等腰三角形，

即平分AM,

〈AB是。的直徑，sin5=叵，

10

：.ZAEB=90°,

，AE=ABsin5=20xsin8==2730，

10

ZAEH+ZBEH=ZBEH+ZB=90。，

ZAEH=ZB,

：.sinZAEH=sinZB,

AH=sinZB=^

/.sinZAEH=——

AE10

AH=6,

AM=12,

：.BM=8,

(3)解：連接OC、OQ,

???AB=20,直線/是。的切線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的直線,

點(diǎn)。到直線/的距離為別+5=15,

,.,Rt.QCN中，ZQCN=90°,ZCQN=30°,

?a'

???當(dāng)。。最小值時(shí)，則QN有最小值,

???QC切。于點(diǎn)C,/QCN=90。，

AQC=ylOQ2-OC2,且OC=1AB=10為定值,

...當(dāng)OQ最小值時(shí)，則QC有最小值，

則當(dāng)直線/時(shí)，QC最小，即QN有最小值,

此時(shí)OQ=15,OC=10,

QC=5y/5,

?：ZCQN=30°,

..上=5

cos3003

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

9.(1)4)=12；(2)玻璃橋。廠的長(zhǎng)度存在最小值，玻璃橋。廠長(zhǎng)的最小值是(1。0"+300匹)m

【分析】本題屬于圓的綜合題，主要考查了三角形的外接圓問(wèn)題，圓周角定理，勾股定理與垂徑定理，解直角三角

形，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

(1)連接班，根據(jù)圓周角定理得到3E，AC,ADI3C,由點(diǎn)E是A。的中點(diǎn),得到AE=DE，得到ZABE=ZCBE,

根據(jù)等腰三角形得到AE=CE=6.5,根據(jù)勾股定理得到AD=JAC?-CD2=12；

(2)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到NACB=75。，/C4B=45°,三角形的內(nèi)角和定理ZB=180'ZACB-NaB=60。，

過(guò)C作C〃_LAB于得至1」/66=/。曲=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到8H=；8c=400m,

CH=AH=^BC=400y/3m,推出點(diǎn)8,F,E,。四點(diǎn)共圓，如圖②，設(shè)圓心為點(diǎn)P,半徑為「加，連接PO,PF,

2

連接FG,過(guò)點(diǎn)P作尸S，D尸于點(diǎn)S,根據(jù)圓周角定理得到BE是直徑，根據(jù)圓周角定理勾股ZFPD=120°,求得&=g廠,

貝|］元=且廠，得至?。荨?gt;F=2FS=2x/r=Gr,要使得DF最小，即「最小，而8E是直徑，BE=2r,當(dāng)BE_LAC時(shí)，BE

22

取得最小值，此時(shí)DF最小，得到二45后是等腰直角三角形，于是得到玻璃橋DF長(zhǎng)的最小值為(lOO卡+3OO0)m.

【詳解】解：(1)如圖，連接破，

:.BEVAC,AD.LBCf

點(diǎn)石是A￡)的中點(diǎn),

??AE=DE，

:.ZABE=/CBE,

ZAEB=ZBEC=90°,BE=BE,

：.ABE”.C啊ASA),

AE=CE=6.5,

■.AC=13,

CD=5,

AD=VAC2-CE>2=12；

(2)ZBCM=105°,ZBAN=135°,

r.ZACB=75°,ZCAB=45°,

.-.ZB=180O-ZACB-ZC4B=60°,

.-.ZD￡F=2ZB=120o,

過(guò)C作C〃_LAB于如下圖,

:.NCHB=/CHA=90°

：.ZBCH=90°-ZB=30°,ZACH=90°-Z.CAH=45°=ZCAH,

:.BH=^BC=400m,CH=^BC2-BH2=400招m，

CH=AH=^-BC=400>/3m,

AB=BH+AH=(400+4004)m,

ED工AB,

:.ZBDE=90°,

ZBFE=360°-120°-60°-90°=90°,

二點(diǎn)B,F,E,。四點(diǎn)共圓，

如圖②，設(shè)圓心為點(diǎn)P,半徑為「，連接尸D,PF,連接尸G,過(guò)點(diǎn)尸作PSLD尸于點(diǎn)S,

圖②

.?.BE是直徑,

QNFBD=60。,

ZFPD=120°,

又PF=PD,則ZPFD=ZPDB=30。，

:.PS=-r,貝I]FS=JFP2-PS2=立廠,

22

DF=2FS=2x—r=-j3r,

2

,要使得。戶(hù)最小，即「最小，而施;是直徑，BE=2r,

,當(dāng)3ELAC時(shí)，3E取得最小值，此時(shí)。尸最小，

此時(shí)一A3E是等腰直角三角形，

AB=(400+400^)m,

BE=^-AB=(200直+20076)m,

二r」BE=(100夜+100廂m,

2

DF=(100#+3OO0)m,

故玻璃橋長(zhǎng)的最小值為(100遙+3000)m.

10.⑴①20；②相切，見(jiàn)解析

(2)5=4、+^)存在最小值32,探索過(guò)程見(jiàn)解析

=

【分析】(1)①根據(jù)sCODS梯形458-SAOD—SBQC來(lái)解答；

②求直線CD與一。的圓心間的距離，然后根據(jù)此距離判斷直線CD與：。的位置關(guān)系;

(2)根據(jù)勾股定理求得關(guān)于x的方程，然后求二次函數(shù)的最值即可.

-

【詳解】(1)解：@s,COD=sa形ABCDSAOD-SBOC

=^(AD+BC)AB-^ADAO-^BCBO

=1(2+8)x8-1-2x4-1-8x4=40-4-16=20.

②過(guò)D作DELBC,E是垂足，從而四邊形ABED是矩形.

BE=AD—2,CE=6,DE=AB=8.

在RtAXDE中，8=10.過(guò)。作。尸，CD于尸，

AD

...點(diǎn)。到CO的距離等于＜。的半徑,

，直線CD與一0相切；

(2)解：如圖，

在四邊形ABC。中，直線CD與。相切于凡ZABC=ZBAD=90°

AD=x>0,設(shè)3C=y,貝!|CD=x+y,CE^y-x\,

.,.在Rt^CDE中，根據(jù)勾股定理，得

(y-x>+64=(x+y)z,于是y=電，x>0.

X

進(jìn)而S=—(AD+BC)-AB=-fxH---jx8=---j,x>0.

；?當(dāng)石一號(hào)=。，尤=4時(shí)，尤+更有最小值8,從而S有最小值32.

x

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的最值、直線與圓的位置關(guān)系，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，梯形的面積,

三角形面積.熟練掌握二次函數(shù)的最值和直線與圓相切的判定方法以是解題的關(guān)鍵.

11.(1)6,2；(2)當(dāng)8。的長(zhǎng)為1時(shí)，PD=-PC,理由見(jiàn)解析；(3)5

2

【分析】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).

(1)當(dāng)A,0,3三點(diǎn)共線，且點(diǎn)8在線段Q4的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)B在線段。4上時(shí)，即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)到了即可得到結(jié)論；

11

(3)如圖，在8C上取一點(diǎn)G,使得3G=1.由△尸3Gs△CSP,推出=—=推出P6=彳2。，推出

PCPB22

PD+gpC=DP+PG,由DP+PGNDG,當(dāng)。、G、尸共線時(shí)，PQ+；PC的值最小，最小值為OG=5.

【詳解】解：(1)當(dāng)A,0,8三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段04的延長(zhǎng)線上時(shí)，48的最大值是。4+03=6,

當(dāng)A,0,3三點(diǎn)共線，且點(diǎn)3在線段。4上時(shí)，AB的最小值是。4-。3=2,

故答案為:6,2；

(2)當(dāng)8。的長(zhǎng)為1時(shí)，PD=-PC,理由如下：

2

QPB=2,BC=4,BD=1,

:.PB2=A，BDBC=4,

PB2=BD-BC,

.BDBPI

"BP~BC~2'

又?./B=NB,

：.BPD^BCP,

,PDBD1

"PC~BP-2

:.PD=-PC；

2

(3)如圖，在8C上取一點(diǎn)G,使得BG=1,連接尸3,PG,DG,

、正方形的邊長(zhǎng)為4,

：.AB=BC=CD=^,

，CG=BC—BG=3,

DG=1DC°+CG=5,

PB_2_BC

，~PBr2.

PBBC

NPBG=NPBC,

BG-PB

：.APBG^ACBP,

?PG_BG_1

,,PC-PF-2J

P