2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《操作探究類綜合壓軸題》專項(xiàng)檢測卷（帶答案）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

i.綜合與探究

問題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級（2）班的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系

的數(shù)學(xué)活動，如圖，已知射線AMIIBN,連接48,點(diǎn)尸是射線4M上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)/不

重合），B&8D分另IJ平分N4BP和NPBN,分別交射線4M于點(diǎn)C,D.

探索發(fā)現(xiàn)：

“快樂小組”經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)乙4=60。時，ZCBD=Z71.請說明理由.

⑵不斷改變乙4的度數(shù)，NCBD與乙4卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，用含乙4的式子表示NCBD為

操作探究：

⑶"智慧小組”利用量角器量出乙4PB和"DB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系.他們驚

奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動時，無論點(diǎn)尸在4M上的什么位置，N4PB和N4DB之間

的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請寫出它們的關(guān)系，并說明理由.

⑷點(diǎn)P繼續(xù)在射線力M上運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動至U使NACB=N4BD時，請直接寫出2乙4BC+1N4的

結(jié)果.

2.綜合與實(shí)踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知NMON=30。，尸是邊OM上的一個定點(diǎn)，

OP=8,。是邊ON上一個動點(diǎn).

數(shù)學(xué)思考:

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(1)如圖①，當(dāng)PO=PQ時，求0Q的長.

操作探究：

(2)如圖②，在(1)的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)。向點(diǎn)O運(yùn)動，運(yùn)動到PQ與。N的內(nèi)角夾角為45。時，

其他條件不變，求。Q的長.

拓展探究：

(3)如圖③，在(1)的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)Q向點(diǎn)。運(yùn)動，運(yùn)動到NQP。=NPOQ時，求^OPQ的

面積.

3.中考新考法綜合與實(shí)踐在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“一副直角三角尺GEF和

HMN(Z.GEF=乙MHN=90。，4MNH=60。，4HMN=30。，AEGF=乙EFG=45°；”為

主題開展數(shù)學(xué)活動.

【操作發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①，ABWCD,把三角尺GEF的直角頂點(diǎn)E放在直線CD上，把三角尺HMN的直

角頂點(diǎn)H放在直線上，經(jīng)過點(diǎn)E,點(diǎn)G落在NM上.若NGEM=120。，乙DEF=

24。，求乙4HN的度數(shù)；

【拓展探究】

(2)如圖②，調(diào)整三角尺GEF和三角尺HMN的位置使得點(diǎn)G與點(diǎn)N重合，此時測

得./.FGM=19°,請你說明.UHG與4EF之間的數(shù)量關(guān)系.

4.綜合與實(shí)踐：

問題情境

在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以"正方形紙片的剪拼”為主題展開教學(xué)活動，如圖1,將一

張正方形紙片4BCD沿對角線剪開，得至!28。和△BCD,點(diǎn)。是對角線BO的中點(diǎn)，操作

探究；

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⑴圖1中的△BCD沿D4方向平移，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為少,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為夕，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為

。',反》與48交于點(diǎn)「,》廣與8￡)交于點(diǎn)、，得到圖2,則四邊形D'PBQ的形狀是什么形狀？

(2廣探究小組”的同學(xué)將圖1中的ABC。以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到△

BO點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為。與4B交于點(diǎn)E,連接40,0￡，交于點(diǎn)F,得到圖3,他們認(rèn)為

四邊形4ECN是菱形，"探究小組”的發(fā)現(xiàn)是否正確？請你說明理由.

5.在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

圖1圖2

(1)操作判斷

操作一：對折矩形紙片A8CD,使4。與BC重合，得到折痕MN,把紙片展平，連接MN；

操作二：在BC上選一點(diǎn)￡,沿4E折疊，使點(diǎn)8落在矩形內(nèi)部點(diǎn)尸處，把紙片展平，連接2E、

4F和EF.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)尸在MN上時，在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖1中所有

30。的角是.

(2)遷移探究

小棋同學(xué)將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ZBCD按照(1)中的方式操作，如圖2,改變點(diǎn)￡在BC上的位置(點(diǎn)E不與

點(diǎn)、B,C重合)，并延長EF交CD于點(diǎn)G,連接4G,求NE4G的度數(shù).

6.綜合與實(shí)踐

如圖1,已知菱形4BCD.

操作發(fā)現(xiàn)：

第一步，如圖1,將該菱形沿8。剪開后得到△48。和ADBC

第二步，如圖2,保持ABDC位置不動，將△4BD放置在ADEF位置，使乙EDB=2乙ADB,

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點(diǎn)F和點(diǎn)4對應(yīng)，點(diǎn)E和點(diǎn)B對應(yīng)，連接EB,FC

(1)猜想四邊形BCFE的形狀是；

(2)證明(1)中猜想正確.

實(shí)踐探究：

(3)若在圖2中BC=10cm,BD=2V10cm,將△DEF沿著射線EB方向平移acm,得到△

D'E'F',連接BE'CF',使四邊形BCPE，恰好為正方形,請求出a的值.

7.折紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，通過折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過程還蘊(yùn)

含著豐富的數(shù)學(xué)知識，在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以"正方形的折疊”為主題開展了數(shù)

圖③

(1)操作判斷:

在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊,使點(diǎn)4落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，把紙片展平，過M作EFII8C

交力B、CD、BP于點(diǎn)E、F、N,連接PM并延長交CO于點(diǎn)Q,連接BQ,如圖①，當(dāng)E為4B中

點(diǎn)時，APMN是..三角形.

(2)遷移探究:

如圖②，若BE=5,且ME-MF=10,求正方形A8CD的邊長.

⑶拓展應(yīng)用:

如圖③，若器=式門＞1)，直接寫出器的值為

8.綜合與實(shí)踐:

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（1）實(shí)踐操作：王老師讓同學(xué)們先畫出等邊ATIBC和等邊△4DE,將△力DE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到

某一位置，要求觀察圖形，提出問題并加以解決.

①如圖1,"慎思組"的同學(xué)們連結(jié)BE、CD,則BE與CD有何數(shù)量關(guān)系？"DC與"EB有何

數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②如圖2,得知"慎思組”的結(jié)論后，"博學(xué)組"的同學(xué)們又連接已知CD14E,4E=3,

CD=4,請你求出BD的長；

（2）類比探究：如圖3,"智慧組”的同學(xué)們畫出了等腰直角AABC和等腰直角AADE,其中

Z.BAC=^DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C在DE上，請你直接寫出CD、CE和BC之

間的數(shù)量關(guān)系.

9.綜合探究

直觀感知和操作確認(rèn)是幾何學(xué)習(xí)的重要方式，在AABC中，ABAC=90。，AB=2,AC=3.

⑴尺規(guī)作圖：如圖1,在A/IBC中，作乙4BC的角平分線交AC于點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖

痕跡）;

（2）操作探究：在（1）的條件下，將NC沿著過點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)C落在ANBC三邊所在

直線上（頂點(diǎn)除外），畫出示意圖；

⑶遷移運(yùn)用：

①如圖2,若E為4C邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為射線BA上一點(diǎn)，將AAEF沿著EF翻折得到AdEF,點(diǎn)4

的對應(yīng)點(diǎn)為4,當(dāng)NF4B=90。時，求4尸的長；

②如圖3,若點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，N是4C邊上一點(diǎn)，將aENC沿EN折疊至△ENC：點(diǎn)C的

對應(yīng)點(diǎn)為C',連接BN、BC,求ABNC，的面積的最大值.

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10.綜合與探究

問題情境

如圖1,在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,點(diǎn)、E,尸分別在邊40,48上，CF1BE,垂足

為G.

實(shí)踐操作

（1）若F是4B的中點(diǎn)，請直接寫出4E的長以及的值.

BE

（2）如圖2,隱去CF,作MN1BE,分別與AB,CD交于點(diǎn)M,N.若4E=1,求MN的長.

拓展延伸

（3）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，連接ME,EN,NB,請直接寫出圖中陰影部分的面積.

ffll圖2

11.綜合與實(shí)踐

提出問題：

小華在探究“圓錐的體積"時，想通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)“圓錐的體積與同它等底等高的圓柱的體積之

間的關(guān)系"，推導(dǎo)出圓錐的體積計(jì)算公式.（單位：cm）

操作探究：

（1）根據(jù)A號圓錐，小華應(yīng)選號圓柱與其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；（從B,C,D,E號中選一個）

（2）實(shí)驗(yàn)時發(fā)現(xiàn)，把A號圓錐裝滿水，倒入所選的圓柱，3次正好倒?jié)M，從而推導(dǎo)出圓錐的體

積是與它等底、等高圓柱體積的

⑶形成結(jié)論：若一個圓錐的底面半徑為r,高度為拉，則這個圓錐的體積P為.圓柱=

兀產(chǎn)八）

⑷生活應(yīng)用：蒙古包是草原上一道風(fēng)景線，它是由一個近似的圓柱和一個近似的圓錐組成

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（如圖）.

①這個蒙古包的占地面積有多大?

②這個蒙古包的內(nèi)部空間有多大?

（材料厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留兀）

12.綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以"正方形的折疊”為主題開展實(shí)踐活動.

操作一：如圖（1）,正方形紙片A8CD,點(diǎn)E是BC邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合）任意一點(diǎn),

沿4E折疊AaBE至IU2FE,如圖（2）所示；

操作二：將圖（2）沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)E的對稱點(diǎn)G落在力E上，得到折痕MN,點(diǎn)C的

對稱點(diǎn)記為H,如圖（3）所示；

操作三：將紙片展平，連接如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，回答下列問題：

①B,M,N三點(diǎn)一（填"在"或"不在"）一條直線上；

②4E和BN的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是一；

③如圖（5）,連接4N,改變點(diǎn)E在BC上的位置填"存在"或"不存在"）點(diǎn)E,使4N平分NZME.

（2）遷移探究

蘇鈕同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片4BCD,AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作，

得到圖（6）或圖（7）.請完成下列探究：

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①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時，如圖(6),BE和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

②當(dāng)DN的長為1時，請直接寫出BE的長.

13.綜合與實(shí)踐

折紙是一項(xiàng)有趣的活動，有的同學(xué)玩過折紙，可能折過小動物、飛機(jī)、小船等.在折紙過程

中，不僅可以得到一些美麗的圖形，還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識.

已知正方形紙片48CD的邊長為4.

實(shí)踐操作：

(1)如圖①，連接AC,將正方形紙片分別沿過點(diǎn)4和點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)。都落在

4C上，對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)9和點(diǎn)折痕分別與BC和4D交于點(diǎn)M,N.猜想線段力M與線段CN

之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是;

(2)將圖①的紙片展開，如圖②，順次連接點(diǎn)8,B',D,D',猜想四邊形BB'D。是什么

特殊四邊形，并說明理由；

操作探究：

(3)折疊正方形28C。，使點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)夕處，得到折痕EF(點(diǎn)E,尸分別是折痕與邊

BC和邊4D的交點(diǎn)).

①如圖③，若夕恰好是CD邊的中點(diǎn)，貝|力F的長為；

②如圖④，若AB，CE為等腰直角三角形，連接BF,BB',則四邊形AB2F的面積是

14.綜合與實(shí)踐：

問題情境：數(shù)學(xué)課上，小王和小東兩位同學(xué)利用三角板操作探究圖形.

操作探究L小王將兩塊全等的含45。角的直角三角板按如圖①方式在平面內(nèi)放置，其中兩

銳角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)4ABLAD.己知48長8cm,貝U點(diǎn)8、E之間的距離為寫出具體解答

過程)

操作探究2：小東將兩塊全等的含30。角的直角三角板按如圖②方式在平面內(nèi)放置.其中兩

個60。角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)4,2。與4C重合，已知AB長8cm,請你幫小東同學(xué)求出此對點(diǎn)8、E之

間的距離；

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操作探究3：隨后，小王將圖②中的△力DE換成了含45。角的三角板，同樣是頂點(diǎn)重合于點(diǎn)

A,AD與4C重合，已知直角邊力B與2D長均為8cm,他還想求點(diǎn)B,E之間距離，你能求出

此時點(diǎn)B,E之間的距離嗎？

15.綜合與實(shí)踐：

【課堂探究】在一堂主題為"幾何翻折問題的拓展與深化”的數(shù)學(xué)公開課上，王老師給同學(xué)們

每個人下發(fā)了一張平行四邊形紙片，并且給出了一些數(shù)據(jù)（如圖1）,并提出，其中平行四

邊形兩邊所成的銳角的正切值為土

【課前準(zhǔn)備】

（1）為了課堂的順利進(jìn)行，王老師先讓同學(xué)們求出了乙4C。=°;

【實(shí)踐操作】數(shù)學(xué)課開始后，王老師讓同學(xué)們在小組內(nèi)先動手實(shí)踐操作，對平行四邊形進(jìn)行

翻折探究翻折后圖形的性質(zhì).在同學(xué)們動手實(shí)踐的過程中，王老師隨機(jī)挑選了一個小組的操

作成果（如圖2）并進(jìn)行展示，接著將其抽象為了一個數(shù)學(xué)問題.

（2）如圖2,在（1）的條件下，點(diǎn)M在BC上運(yùn)動，點(diǎn)N在AM上運(yùn)動，點(diǎn)夕為△BM4沿著4M

翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn).求證：當(dāng)〃是8c中點(diǎn)時，點(diǎn)夕落在4D邊的中線上；

【思考討論】同學(xué)們經(jīng)過思考后，紛紛給出了自己對于這個問題的看法.王老師非常高興,

繼續(xù)將問題進(jìn)行了深入.

（3）如圖3,連接CB',B'D,AB',延長AD至F,連接B'F,FG.若乙CDB，=Z.B'AD,乙CB'D+

乙DB'F=LB'DA+乙CB'F,求證：FB'平分〃FC；

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【學(xué)以致用】同學(xué)們經(jīng)過本課的學(xué)習(xí)，對圖形再次進(jìn)行深入挖掘，在原來的基礎(chǔ)上設(shè)問：

（4）在（3）的條件下，請直接寫出的正切值.

16.綜合與實(shí)踐

⑴操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2.在

圖2中，四邊形力BCD為梯形，4B||CD,E、F是力D、BC邊上的點(diǎn).經(jīng)過剪拼，四邊形GH/K

為矩形.則AEDK三.

（2）探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、

圖5.在圖5中，E、F,G、H是四邊形ABCD邊上的點(diǎn).O/KL是拼接之后形成的四邊形.

①通過操作得出：AE與EB的比值為.

②證明：四邊形O/KL為平行四邊形.

⑶實(shí)踐與應(yīng)用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形2BCD剪成4

塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6,并簡單說明剪開和拼接過程.若不能，請說明理由.

17.綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓數(shù)學(xué)興趣小組以"畫菱形"為主題開展數(shù)學(xué)活動.請

仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

操作判斷：

操作一：將三角板4BC（的C2=30。）放置在圖紙上，延長直角邊A4,如圖①.

操作二：以點(diǎn)C為圓心、◎長為半徑作弧，以點(diǎn)/為圓心、NC長為半徑作弧，交助的延

長線于點(diǎn)E,交前弧于點(diǎn)。，連接CD,DE,則四邊形/CDE為菱形.

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（1）操作一中，判斷四邊形/CDE是菱形的依據(jù)可能是（填序號）

①四條邊都相等的四邊形是菱形

②對角線互相垂直的四邊形是菱形

③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

④對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

遷移探究：

（2）數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)探究，過程如下：如圖②，作半圓。及其直徑/反分別以點(diǎn)

8為圓心、大于一半的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M,N,作直線交半圓。于點(diǎn)C；

以點(diǎn)C為圓心、0C長為半徑作弧，交半圓。于點(diǎn)D,連接/。、。。、。。,得到四邊形/。。。.判

斷四邊形/OCD的形狀，并說明理由；

拓展應(yīng)用：

（3）如圖③，數(shù)學(xué)興趣小組利用含45。角的三角板/2C和（的1C=45。）圓規(guī)構(gòu)造了菱形

ABMN,已知點(diǎn)尸是線段上的一個點(diǎn)，AB=12,當(dāng)?shù)?=15。時，請直接寫出點(diǎn)尸到直

線的距離.

18.綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們開展以"矩形的折疊"為主題的數(shù)學(xué)活動.

圖①圖②圖③圖④

（1）操作判斷

操作一：如圖①，取一張矩形紙片4BCDQ4。＞48）.對折矩形紙片ABCD,使與BC重

合，得到折痕EF,把紙片展平，在EF上取一點(diǎn)H,連接AH、BH,總有AH=BH；

操作二：如圖②，第二次折疊紙片ABCD,使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,

得到折痕BM,把紙片展平，連接BN、MN、AN,由4B=BN,AN=BN,可知A4BN是等

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邊三角形；

根據(jù)以上操作，除等邊AABN的三個內(nèi)角外，寫出圖②中一個60。的角；

⑵探究提升

如圖③，延長MN交BC于點(diǎn)G,求證：ABMG是等邊三角形；

⑶拓展應(yīng)用

如圖④，第三次折疊紙片A8CD,使點(diǎn)。落在EF上的點(diǎn)Q處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)C,得到折

痕CP,把紙片展平，連接PQ、CQ.若點(diǎn)Q在點(diǎn)N的左側(cè)，MP=QN=1,則矩形ABCD

的面積為.

19.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“特殊四邊形"為主題展開數(shù)學(xué)活動.

AAT-----------------77。/FT1D

⑴操作判斷

操作一：對折菱形紙片4BCD,使點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，得到對角線折痕AC,把紙片展平；

操作二：在4C上選一點(diǎn)P,連接BP,并在BC延長線上取一點(diǎn)￡,使PE=BP.

根據(jù)以上操作：在圖中找出一個與N4C8相等的角；

⑵遷移探究

小華將菱形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片4BCD按照（1）中

的方式操作，

①當(dāng)點(diǎn)尸為AC中點(diǎn)時，DP與PE的數(shù)量關(guān)系是,NDPE與NABC的關(guān)系是.

②改變點(diǎn)尸在4C上的位置（點(diǎn)尸不與點(diǎn)/,C重合），①的結(jié)論是否仍然成立？請說明理

由.

⑶拓展應(yīng)用

在（2）的探究中，已知正方形ABCD紙片的邊長為1cm,當(dāng)CE=1cm時，直接寫出4P的長.

20.在綜合與實(shí)踐課上，王老師以"等腰直角三角形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

⑴操作驗(yàn)算

如圖1,△4BC是等腰直角三角形紙片，乙4c8=90。，。為力B上一點(diǎn)，AACD=30°.甲同

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學(xué)沿EF對折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在射線CD上，折痕分別交射線C4射線CB于點(diǎn)E、點(diǎn)尸.

圖1

①求筆的值；

Cr

②若力D=V2,求BD、，的值；

BD

⑵遷移探究

如圖2,AABC是等腰直角三角形紙片，N4CB=90。，。為線段4B上任意一點(diǎn).乙同學(xué)沿EF

對折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在射線CD上，折痕分別交射線C4射線C8于點(diǎn)E、點(diǎn)尸.

圖2

探究雪與黑的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

CFBD

⑶拓展應(yīng)用

如圖3,△ABC是等腰直角三角形紙片，乙4cB=90。，丙同學(xué)在取點(diǎn)D,使熊=也沿EB

對折，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在射線CD上，折痕交線段C4于點(diǎn)E,連接OE,求證：BE=3DE.

圖3

參考答案

1.(1)解:QAMWBN,

回入4+N4BN=180°,

又團(tuán)NA=60°,

第13頁共48頁

^ABN=180°一乙4=120°.

團(tuán)BC,8。分另lj平分NABP和NPBN,

II

國乙CBP=二乙ABP,乙DBP=LPBN,

22

111

國匕CBD=乙CBP+乙DBP=-/-ABP+-Z.PBN=二乙ABN=60°,

222

^CBD=/-A.

(2)解：回分另lj平分NAB尸和NPBN,

團(tuán)4CBP=上乙ABP,乙DBP="BN,

22

111

國匕CBD=乙CBP+乙DBP=-A.ABP+~PBN=~ABN,

222

回NZ+乙ABN=180°,

^ABN=180°

(3)解：AAPB=2/.ADB,理由如下:

回80分另lj平分乙PBN,

國乙PBN=2(NBD,

胤4MIIBM

團(tuán)NPBN=乙APB,乙NBD=Z-ADB,

^APB=2(ADB.

(4)解：^AM\\BN,

團(tuán)4AC8=乙CBN,

團(tuán)NACB=匕ABD,

國乙CBN=乙ABD,

^ABC+乙CBD=乙CBD+乙DBN,

團(tuán)乙ABC=乙DBN,

團(tuán)BC,8。分另lj平分乙48P和NPBN,

團(tuán)2乙48c=乙ABN,

胤4MliBM

團(tuán)+乙ABN=180°,

第14頁共48頁

111

回2"BC+*力=式〃+UBN）=-X18。。=90%

SZ.MON=30。，OP=8,

EICO=OPcos30°=8X曰=4V3,

回P。=PQ,

回APOQ是等腰三角形，

0OQ=2CO=8V3,

即。Q的長為8遮.

（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PD1OQ于點(diǎn)

0ZPDO=90°,N。=30°,OP=8,

0PD=|OP=4,OD=OPcos30°=4?

回NPQD=45°,4PDQ=90°,

回APDQ是等腰直角三角形，

0PD=DQ=4,

回。Q=OD+DQ-4A后+4；

（3）如圖所示，作QE1OP于點(diǎn)E,

第15頁共48頁

圖③

回4POQ=乙OPQ=30°,

團(tuán)。Q=PQ,

團(tuán)QE1OP,

WE=-OP=4QE=OE,tan30°=4x—=—,

2yf33

msAOPQ=-OP-QE=ix8x—=—.

2y233

3.解：(1)???乙GEM=120°,

???乙GEH=60°,

又回三角尺GEF,

???Z.GEF=90°,

:.CHEF=90°-60°=30°,

又???乙DEF=24°,

???乙HED=乙HEF+乙DEF

=30°+24°

=54°；

XvAB||CD,

???乙AHE=乙HED=54°,

又回三角尺HMN,

???(NHM=90°,

???乙AHN=乙NHM-Z.AHE

=90°-54°

=36°；

(2)???乙HGM=60°,Z.FGE=45°,A.FGM=19°

???乙HGE=60°+45°-19°=86°,

過點(diǎn)G作GP||AB,

第16頁共48頁

??.Z.AHG=乙HGP,

a48||CD,

回GP||AB||CD,

Z.CEG=Z-EGP,

又???乙HGE=乙HGP+(EGP,

??.Z.HGE=(AHG+“EG,

又??,乙GEF=90°,

Z.CEG=180°-90°-乙DEF,

???“EG=90°-乙DEF,

???lHGE=乙AHG+90°-乙DEF,

???86°=乙AHG+90°-乙DEF,

???乙DEF-AAHG=4°.

4.(1)解：v△夕CD是△BCD平移得到,

???BfDr||BD,AD||B'C,

???四邊形PBQ。是平行四邊形，

故答案為平行四邊形；

(2)解：正確，理由如下

???四邊形A8CD為正方形，UDB=乙CDB=45°,

.?.將△BCD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)45。后，點(diǎn)C，落在BD上，點(diǎn)夕落在的延長線上.

???AB1AD,CO'LAD,

AB||O'C.

???B'C1BD,AO1BD,

B'C||AO.

???四邊形4EBF是平行四邊形.

BD=B'D',AD=CD,

：.AB'=BC,

又乙EAB，=乙EC'B,ZB=乙B，=45°,

△AB'E=ALBE(AAS)

???AE=EC,

.??四邊形AEC'F菱形.

第17頁共48頁

5.解：(1)El沿MN折疊矩形48CD,

0XMBM=-AB,/.AMN=90°,

2

由折疊得：AF=AB,

1

^\AM=-AF,

2

AM1

^IsmZ-AFM=—=

AF2

^AFM=30°,

團(tuán)NAMN=Z.MAD=ZD=90°,

團(tuán)四邊形AMND是矩形，

財DIIMN,

^DAF=AAFM=30°,

^FAE=/-BAE=30°,

故答案為：^DAF,Z-AFM,Z.FAEf^BAE；

(2)團(tuán)四邊形ABC。是正方形，

團(tuán)AB=AD,Z-BAD=z_B=Z-D=90°,

將正方形紙片ABC。按照(1)中的方式操作，可得ANBE三△?!/￡?,

團(tuán)AF=AB,Z-AFE=Z-B=90°,Z-BAE=Z-FAE,

團(tuán)AF=AD,Z,AFG=Z.D=90°,

團(tuán)4G=AG,

0AAFG=△ADG9

團(tuán)/DAG=Z-FAG,

0ZBXF+^DAG=^FAE+4FAG=-^BAD=45°,

2

0ZE4G=^FAE+NFAG=45°

6.(1)解：猜想四邊形BCFE的形狀是矩形，

故答案為：矩形；

(2)證明：如圖，設(shè)力。與EB相交于點(diǎn)H,

第18頁共48頁

團(tuán)四邊形4BCD是菱形，

比48=AD=DC=BC,AD\\BC,

^ADB=乙ABD,Z.ADB=乙DBC,

由操作步驟，得乙FED=4ABD,DB=DE,

^Z-EDB=2(ADB,

團(tuán)NADE二乙ADB,

團(tuán)/ADE=乙FED,

^ADWEF,

^EF\\BC,

又回EF=AB=AD=BC,

團(tuán)四邊形BCFE是平行四邊形，

^DB=DE,乙ADE=4ADB,

團(tuán)O”1EB,

回乙EHD=乙DHB=90°,

團(tuán)40IBC,

國乙EBC=乙EHD=90°,

回四邊形EBC尸是矩形；

(3)解：作DM1BC,垂足為M,CN1DB,垂足為N,

團(tuán)四邊形A8C0是菱形，BC=10,BD=2V10,

團(tuán)OC=BC,

第19頁共48頁

WN=BN=V10,

在RtANBC中,CN=y/BC2-BN2=J102-(V10)2=3V10,

在^DMB^ACN8中，

0ZDBM=乙CBN,乙DMB=Z.CNB=90°,

0ADMBCNB,

「QMDB

回--=--，

CNBC

回華=亞，

3V1010

團(tuán)DM=6,

^\EB—12,

團(tuán)將△DE尸沿著射線EB方向平移a,四邊形BCF?為正方形，

當(dāng)四邊形BCVE，恰好為正方形時，貝UBE'=BC=10,

分兩種情況：

①點(diǎn)O在邊EB上，a=EB-10=2(cm)；

②點(diǎn)斤在邊EB的延長線上，a=EB+10=22(cm)；

綜上所述，a的值為2cm或22cm.

7.(1)解：?.?四邊形4BCD為正方形，

/-A=90°,ADWBC,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，入4PB=乙MPB,N4=乙BMP=90°,

???EFWBC,

：.EFWAD,

.-.乙APN=4PNM,

：.乙MPN=4PNM,

MN=MP,

???E為的中點(diǎn)，ENWAP,

??.N為BP的中點(diǎn)，PN=^BP,

：.MN=-BP,

2

???PN=MN=MP,

△PMN為等邊三角形；

第20頁共48頁

故答案為：等邊；

(2)解：???四邊形ABCO為正方形，

AB=BC=CD,^A=^C=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AB=BM,乙4=々BMP=90。,

BM=BC,Z-BMQ="=90°,

???BQ=BQ,

???Rt△BMQ=RtABCQ(HL),

??.MQ=CQ,

???EFWBC,

???四邊形EBCF為矩形，

.?.BE=CF=5,BC=EF,乙MFQ=乙BEM=90°,

???乙FMQ+乙FQM=90°,

???乙BMQ=90°,

???(FMQ+乙EMB=90°,

??.z_FQM=乙EMB,

MFQBEM,

tMF_FQ

??BE-EM9

???BE?FQ=MF?EM,

???ME-MF=10,

???BE?FQ=10,

5FQ=10,即FQ=2,

??.CQ=CF—FQ=5-2=3,

.?.MQ=CQ=3,

在Rt△MFQ中,MF=yjMQ2-FQ2=V32-22=V5,

ME=^=2V5,

??.EF=ME+MF=2V5+而=3^5,

BC=EF=3V5,即正方形ABC。的邊長為3遍；

(3)解：設(shè)MN=a,

第21頁共48頁

???BC—n-MN—na,

PA=PM=MN=a,PD=(n—l)a,

設(shè)CQ=x,則DQ=na—x,

???S四邊形/BMP+S四邊形BCQM+S^PDQ=S正方形ZBCO'

，?2SAABP+2S.CQ+SEDQ=S正方形.亦

2x|a-na+2x|na-%+1(n—l)a?(na—%)=(na)2,

整理得：na+nx+x=n2a,

n-l

???x=-----na,

n+l

???Cr?Q八=-九-一--1-na,

“n+l

n-l

CO——,1TCL77—1

.=九+i_'I'

BCnan+l*

故答案為：

n+l

8.解：(1)@BE=CD,^ADC=Z.AEB,理由如下：

0AABC^AADE是等邊三角形，

^\AB=AC,AE—AD,Z-BAC=Z.EAD,

^Z-BAE=Z.CAD,

在△84￡*與4CZO中，

BA=CA

Z-BAE=Z.CAD,

.AE=AD

[?]△BAE=△Ci4D(SAS),

團(tuán)BE=CD,Z-ADC=乙AEB；

②團(tuán)△ZDE是等邊三角形，CDLAE.

^AED=60°,/-ADC=30°,

^AEB=乙ADC=30°,

^BED=90°,

在RtZkBDE中，

團(tuán)BE=CD=4,DE=AE=3,

團(tuán)80=V32+42=5；

第22頁共48頁

(2)CD2+CE2=BC2.理由如下:

連接BE,如圖③，

^BAC=^EAD=90°,AD=AE

國匕BAE=/-CAD.乙D=乙AED=45°,

在△8/￡與4G4O中，

BA=CA

Z.BAE=/-CAD，

、AE=AD

BAE=△CAD(SAS),

國BE=CD,Z.D=乙AEB=45°,

團(tuán)乙BEC=90°,

^\BE2+CE2=BC2,

0CD2+CE2=BC2.

9.(1)解：如圖，即為所作，

B；M?*C

(2)解：如圖，作。EIBC于E,

B川’:、E(\?.?80平分4ABC,zX=90°,

AD=DE,

CD>DE,

???CD>AD,

第23頁共48頁

二。不是ac的中點(diǎn)，點(diǎn)c不能落在ac邊上，

當(dāng)沿直線0E折疊時，此時點(diǎn)C落在BC邊上，得到的圖形如圖所示,

(3)解：①第一種情況，如圖,

???/-FAE=90°,

?.?將△2EF沿著EF翻折得至以A'EF,點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)為4,

???/.FA'E=90°,AE=A'E,AF=A'F,

???乙FA'B=90°,

???點(diǎn)4、E、B在一條直線上，

???E為AC邊的中點(diǎn)，AC=3,

■2

??.AE=A'E=

2

BE=<AB2+AE2=J22+(|7=

■2q

A'B=BE+A'E=-+-=4,

22

設(shè)力F=A'F=%,貝UBF=AB+AF=2+X,

由勾股定理可得：BF2=A'B2+A'F2,

第24頁共48頁

???(x+2)2—x2+42,

解得：x=3,

：.AF=3；

第二種情況，如圖所示:

此時點(diǎn)F在上，由第一種情況可知：B,A,E三點(diǎn)共線，

=AE=1.5,BE=25,A'B=1,

團(tuán)在RtA4BF中,由勾股定理可得4產(chǎn)+1=Q—A'F)2,

解得：A'F=

4

EL4F=-；

4

綜上所述：4F的長為3或%

②?.?在△48C中，Z.BAC=90°,AB=2,AC=3,

BC=y/AB2+AC2=V13,

?.?點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，

???BE=CE=—,

2

S"EN=S&CEN，

???將△ENC沿EN折疊至AENCf,

S^CEN=SAC'EN'C'E=CE=

S^BEN=S^CEN=SAC’EN9

SABNd=SABEd+SAC'EN-S^BEN=SABEd'

設(shè)點(diǎn)C'到BC的距離為h,則SABEC，=；BE.h=；x爭=爭,

2224

_V13,

,,、QABNC，~、QABEC，一工"八'

如圖，當(dāng)C，E1BC時，點(diǎn)C，到BC的距離h最大，為當(dāng)，

第25頁共48頁

10.解：（1）國四邊形48CD是矩形,

團(tuán)乙4=/.ABC=ZC=90°,

團(tuán)CF1BE,

團(tuán)4CGB=90,

^BCF=90°-乙CBG=乙ABE,

[HABCFABE,

「BFBCCF

團(tuán)--=--=--,

AEABBE

即是4B的中點(diǎn)，

4CF4

團(tuán)--=-，--=一，

AE3BE3

9

^\AE=一；

8

（2）如圖.過點(diǎn)N作N。于點(diǎn)0.

0ZMO/V=乙BON=90°.

回四邊形4BCD是矩形，

團(tuán)乙4=Z.ABC=Z.C=90°,AD=BC=4.

^ABC=Z.C=（BON=90°,

團(tuán)四邊形BCN。是矩形.

?ON=BC=4.

團(tuán)在RtZkABE中，AE=1,AB=3,

團(tuán)BE=Vl2+32=V10.

團(tuán)MN1BE,

回4NM。+AABE=90°.

第26頁共48頁

團(tuán)在中，^LABE+A.AEB=90°,

^AEB=乙OMN.

又團(tuán)乙4=乙MON=90°,

[?]△ABEONM.

團(tuán)^A-B-=-B-E-，

ONNM

屋=場

4NM

，4V10

團(tuán)MN=---；

3

（3）0SF=Vio,MN=—,MN1BE,

3

回圖中陰影部分的面積=|xBExMW=|xViox第=

11.解：（1）根據(jù)A號圓錐，小華應(yīng)選B號圓柱與其進(jìn)行實(shí)驗(yàn);

故答案為B；

（2）圓錐的體積是與它等底、等高圓柱體積的3

故答案為|;

（3）由題意得：V=|?rr2/i；

故答案為己兀產(chǎn)八；

（4）解：①由題意得：兀（4+2尸=兀x2?=4兀（平方米），

答：這個蒙古包的占地面積4兀平方米.

②兀（4+2￥x2+|TT（4+2）2x3=8兀+4兀=127r（平方米）,

答：這個蒙古包的內(nèi)部空間有127r平方米.

12.（1）解:①E的對稱點(diǎn)為

???BF1EE',MF1EE',

:.B、F、M共線，

故答案為：在；

②由①知：B、F、M共線，N在FM上，

???AE1BN,

???LAMB=90°,

第27頁共48頁

???乙4BM+/.BAE=90°,

,??四邊形ABC。是正方形，

???/,ABC=乙BCN=90°,

AB=BC,

???乙CBN+/.ABM=90°,

???^BAE=乙CBN,

在aABE和△BCN中

NBAE=乙CBN

/.ABC=(BCN,

AB=BC

/.△ABE三△BCN(AAS),

???AE=BN,

故答案為：相等；

③不存在，理由如下：

假如存在，

v4N平分40g

???乙DAN=乙MAN,

??,四邊形ZBCD是正方形，

AM1BN,

???乙D=乙AMN=90°,

在△IMN和△MAN中

'乙D=乙AMN

乙DAN=乙MAN

、AN=ANN

DAN三△MAN(AAS),

???AM—AD,

vAD=AB,

???AB=AM,

???48是Rt2kABM的斜邊，

???AB>AM,

AB=AM與48>4M矛盾，

故假設(shè)不成立，所以答案為：不存在;

第28頁共48頁

(2)解：①篝=|，理由如下：

由(1)中的②得：

Z.BAE=乙CBN,

/-ABE=ZC=90°,

ABEBCN,

.BE_AB_2

**~CN~~BC~V

②當(dāng)可在。。上時，

CN=CD—DN=3,

由①知：AABEs^BCN,

.BE_AB_2

??CN—BC一3’

2

???BE=-CN=2,

3

當(dāng)N在4D上時，

AN=AD-DN=5,

???Z-BAE=乙CBN=乙ANB,

/-ABE=乙BAN=90°,

??.△ABENAB,

.BE_AB

??AB~AN9

BE_4

,t，=二，

45

??.BE=y,

綜上所述：BE=2或藍(lán).

13.(1)解：由折疊可得，^BAM=AB'AM=^BAC,乙DCN=^D'CN=：乙DCA,

回四邊形ABCD是正方形，

回AB=CD,NB=N。=90°,Z.BAC=ADCA=45°,

0ZBXM=Z-B'AM=乙DCN=力CN,

EIAABM=△CON(ASA),

EL4M=CN,

=/.D'CN,

第29頁共48頁

BAMWCN,

故答案為：AM=CN,AMWCN；

(2)解：四邊形BB'D。'是菱形，理由如下：

回四邊形2BCD是正方形，

^BAD'=/.DAB',AB=AB,

SAD'=AD',

0ABAD'=ADAB'(SAS),

B\BD'=DD',

同理可得，BB'=DB',

由折疊可得，AB=ABr,CD=CD',

EL4B——CD,

SAB'=CD',

S\AD'=CB',

^BAD'=NBCB'=45°,BA=BC,

0ABAD'mABCBYSAS),

SBD'=BB',

^BD'=BB'=DB'=DD',

回四邊形BB，DO是菱形；

(3)解：①如圖③，設(shè)4。與49相交于點(diǎn)M,

SB，是CD邊的中點(diǎn)，

1

WC=DB'=-2CD=2,

由折疊可得BE=B'E,AF=A'F,^A'B'E=zS=90°,N4=NA=90。,

設(shè)BE=B'E=x,貝l|CE=4—x,

在RtAB'CE中，CE2+CB'2=B'E2,

0(4—x)2+22—x2,

解得久=I，

0CF=4--2=2B'E=-2,

S^A'B'E=90°,

El/CB'E+KMB'D=90°,

第30頁共48頁

回NCB'E+AB'EC=90°,

^B'EC=

又回NC=ND=90°,

0AB'ECsxMB'D,

MDMB'DB'

O-1A

團(tuán)MD=MB'=—,

33

84

^\AM=AD-MD=4--=-,

33

回乙4'=乙4=90°,AA'MF=乙DMB',

[?]△A'MFDMB',

w=w，

DB'MB'

設(shè)力F=AF=a,貝！jFM=g-a,

4

「a

吟Q=芯3~，

3

整理得，|a=|,

1

團(tuán)a=一，

2

1

MF=?

②如圖④，設(shè)4。與相交于點(diǎn)G,

當(dāng)AB'CE為等腰直角三角形時，CB'=CE,^CB'E=45°,

=CE=m,則B'E=V^n,BE=4—m,

第31頁共48頁

回BE=B'E,

04—m=V2m,

0m=4A/2—4,

0CB,=C￡=4V2-4,

0D5,=4-（4V2-4）=8-4V2,BE=4-（4&-4）=8-4vL

SAA'B'E=90°,Z-CB'E=45°,

回NGB'D=45°,

回為等腰直角三角形，

SDG=DB'=8-4V2,ADGB'=45°,B'G=五DB，=V2（8-4&）=8A/2-8,

EL4G=4—（8—4V2）=4企-4,^A'GF=乙DGB'=45°,

回NA=90°,

回A&GF為等腰直角三角形，

^A'F=A'M,

0XF=A'F=A'M,

設(shè)2F=A'F=A'M=n,貝l|FG=AG-AF4A/2-4-n,

回乙4'=ZD=90°,AA'GF=乙DGB',

SiAA'GFDGB',

「FGA'F

-

團(tuán)rB'G=-D-Br7，

團(tuán)4調(diào)一4一九_n

?8^2-8-8-4收

解得?i=12-8V2,

0XF=A'F=A'M=12-8V2,

團(tuán)S四邊形4，B'BF=S正方形4，B，BF_SABCB'_^LB'DG~^I^ABF+^AA'FG

2

=4X4-|X4X（4V2-4）-1x（8-4⑨？-lx4x（12-8/）+|x（12-8A/2）,

=16-（8V2-8）-（48-32V2）-（24-16V2）+（136-96。，

=16-8V2+8-48+32V2-24+16V2+136-96企，

=88-56V2,

故答案為：88-56V2.