專題3二次函數(shù)與幾何

類型1?二次函數(shù)與線段

類型方法(已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)Pi(久1，%),P2(x2'y2))

p

P\

豎直線段長度

如圖1.若PiP211y軸,則PR=|yi-y2|-

X

表小P2

圖1

y

水平線段長度

p、一——P)

如圖2,若P1P2IW軸，則PiP2=|x2-xi|.

表小0X

圖2

斜線段(不與如圖3,若.PF?不平行于坐標(biāo)軸，則可利用.P1P2與坐標(biāo)軸夾角

坐標(biāo)軸平行)長度的銳角三角函數(shù)值得到.P$2與PiA,的數(shù)量關(guān)系，或利用勾股定

表小2

理可得P1P2=_a?+8—y2).圖3

類型突破B

編寫說明：例題由淺入深設(shè)置，先練透每個(gè)類型，再綜合，難度和綜合性循序漸進(jìn)易練習(xí).

例1.1領(lǐng)跑原創(chuàng)拋物線y=a/+.+。與x軸相交于點(diǎn)A(--1,O),B(3,O),與y軸相交于點(diǎn)C(0,3).

(1)拋物線的解析式為；

⑵若直線丫=kx+n經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，則直線BC的解析式為;

()考向1：線段的最值

⑶如圖1,若D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DFLx軸,垂足為F'jBC。于點(diǎn)E,求線段

DE的最大值；/K\

例1題圖1

(4)如圖2,若P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN回BC,垂足為N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(0<

m<3),當(dāng)m為何值時(shí)，線段PN有最大值?最大值為多少?

(0)考向2：線段和差的最值

(5攻口圖3,已知拋物線上一點(diǎn)F(g-3,連接CF交x軸于點(diǎn)G,P是直線CF上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)P作PDLx軸交CF于點(diǎn)D,作PE〃x軸交CF于點(diǎn)E,求PD+PE的最大值;

()考向3：線段之比的最值

(6)如圖4,若P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP與直線BC相交于點(diǎn)D,當(dāng)笠的值最大時(shí)，求

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(?)考向4：線段的數(shù)量關(guān)系

(7)如圖5,已知拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E,與直線y=-x相交于點(diǎn)F.

①求證:OF〃BC;

若D是直線OF上的任意一點(diǎn)，且BC=DF,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

例1題圖5

(8)如圖6,連接AC,若P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQMC交AB于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)

D,若DP=DQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

例1題圖6

【拓展——思維能力有提升】

例1.1在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)M的坐標(biāo)為-1，-[6一?(其中m為實(shí)數(shù)).當(dāng)P

M的長為最小值時(shí)，求m的值.

ox

例1.1題備用圖

例1.2如圖，拋物線y=x2-4x+3與直線y=-x+3相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，

直線y=-x+3與拋物線y=x2-4x+3的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C.D是拋物線y=x2-4x+3±A,B兩點(diǎn)之間的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括點(diǎn)A,B),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD,n),令CD?=根當(dāng)n取何值時(shí)，m的值最小?最小值是多少?

例1.2題圖

類型2?二次函數(shù)與面積

編寫說明：將此類難題的核心要點(diǎn)總結(jié)，結(jié)合例題加深理解，再練綜合題目易有解題思路、

類型方法

分割法：過動(dòng)點(diǎn)A作y軸的平行線交已知端點(diǎn)坐標(biāo)的線段CB于點(diǎn)D,分別過點(diǎn)B,C作BF

1AD,CE1AD,,垂足分別為F,E.

求邊不與

坐標(biāo)軸平行的

三角形面積

圖1圖2

如圖1,3SRABC=SMB。+4co=-(BF+CE}.

變形：如圖2,SLABC=SLACD—S-BD=\AD{CE-BF).

利用平行線轉(zhuǎn)化面積如圖3,過點(diǎn)D作.DE||BC交拋物線于點(diǎn)E,連接CE,BE,SSLBDC=SLBEC.

等面枳問

題

l0\K

圖3

類型突破

編寫說明：例題由淺入深設(shè)置，先練透每個(gè)類型，再綜合，難度和綜合性循序漸進(jìn)易練習(xí).

例2已知拋物線y=-/+2x+3與x軸相交于點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),與y軸相交于點(diǎn)C(0,3),直線BC的函數(shù)解析

式為y=-x+3.

(?)考向1：面積的最值

(1)如圖1,若D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD,BD,AC.

①求△DBC的最大面積；

求四邊形ABDC的最大面積及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)如圖2,若P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHLx軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作

PGXBC于點(diǎn)6.求4PQG面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

()考向2:面積和差的最值

(3)如圖3,D是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)D作口￡〃丫軸交線段BC于點(diǎn)E，已知點(diǎn)

連接AF,AD,DF,OEWdAAFD的面積為土,△OBE的面積為S?，令S=S1-S2.求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

例2題圖3

(?)考向3：面積之比的最值

(4攻口圖4,若D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接CD,AC,直線AD交直線BC于點(diǎn)⑶設(shè)仆CDE

1

的面積為Si,△ACE的面積為S2，求f的最大值；

()考向4：面積的數(shù)量關(guān)系

(5)如圖5,P是拋物線的頂點(diǎn),Q是拋物線上除點(diǎn)P之外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若ABCQ與4BCP的面積相等，求

點(diǎn)Q的坐標(biāo).

類型3?二次函數(shù)與角

編寫說明：將此類難題的核心要點(diǎn)總結(jié)，結(jié)合例題加深理解，再練綜合題目易有解題思路.

類型方法

構(gòu)造“K”型全等(或相似)：已知.AACD=90°,AC=CD,如圖1,過點(diǎn)A作ABLB

C于點(diǎn)B,過點(diǎn)D作DEXBC于點(diǎn)E.結(jié)論:△ABC絲ACED.

D

特殊角45°,90°

15C七

圖1

編寫說明：例題由淺入深設(shè)置，先練透每個(gè)類型，再綜合，難度和綜合性循序漸進(jìn)易練習(xí).

例3.在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-x2+(zn-2)x+爪-1與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C(0,3).

(1)拋物線的解析式為_____________________說物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

()考向1：特殊角

⑵如圖1,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E,連接EC,把線段EC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF,

EF交拋物線于點(diǎn)G,求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；

⑶如圖2，把直線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線AG,AG交拋物線于另一點(diǎn)G,求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

()考向2：角的數(shù)量關(guān)系——等角

(4攻口圖3,過點(diǎn)C作CD||4B交拋物線于另一點(diǎn)D，連接BC,BD,若F是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重

合)，連接BF交y軸于點(diǎn)E,在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在乙FBC=/CBD?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

(5)如圖4,設(shè)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接BC,BD,判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得乙PCB=NDBC.若存

在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(6)如圖5,連接AC,BC,在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使乙CBP=NOHC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由；

例3題圖5

()考向3：角的數(shù)量關(guān)系一倍半角

(7)如圖6,連接AC,在拋物線上取點(diǎn)F,連接FA,使/FAB=2/ACO,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

類型4?二次函數(shù)與幾何圖形

類型突破

編寫說明：例題由淺入深設(shè)置，先練透每個(gè)類型，再綜合、難度和綜合性循序漸進(jìn)易練習(xí).

例4.|每領(lǐng)跑改編|在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+2%+3與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C(0,3).

()考向1：特殊三角形

⑴如圖1,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E,Q為線段DE上一點(diǎn)，連接AC,BC,BQ,CQ.當(dāng)

ZACO=ZCBQ時(shí)，判斷△BCQ的形狀，并說明理由；

⑵如圖2,E是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//y軸，交直線BC于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)

E作ED_LBC于點(diǎn)D.

①若△EDFgABGF,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

連接人兄口吐若小DEGs^FBA,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(0)考向3：(特殊)平行四邊形

例5.|領(lǐng)跑原創(chuàng)|如圖1,拋物線為=ax2-4ax+6與y軸相交于點(diǎn)C,與直線1:y=4相交于點(diǎn)F,G(點(diǎn)F在

點(diǎn)G的左側(cè)),頂點(diǎn)是D,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E,四邊形DFEG是菱形.

⑴求拋物線的解析式；

(2)A為拋物線力上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t.

①如圖2,點(diǎn)B在y軸上，T是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形ABTE(按逆時(shí)針方向排列)是正方形，求點(diǎn)

A的坐標(biāo)；

如圖3,連接AC,AO,以AC,AO為鄰邊構(gòu)建CQ。，，隨著點(diǎn)A的移動(dòng)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡組成的圖象的解析式是.

%=--

⑶在⑵的條件下,N(0,n)是線段OC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)O重合)，已知矩形HIJK的頂點(diǎn)H(-n,n),I(n,n),J(n,0),K(-n,0),

函數(shù)y2在矩形HIJK內(nèi)部的函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，4<n的取值范圍.

/JU

例5題圖1例5題圖2例5題圖3

2.綜合提升練

1.新新考向?新定義定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“平

衡點(diǎn)”例如，點(diǎn)(-1、1)是函數(shù)y=x+2的圖象的“平衡點(diǎn)”.

⑴在函數(shù):①y=-：y=x2+x+l;③y=-x-l;④y=-x2-3x-4的圖象上，存在“平衡點(diǎn)”的函數(shù)是；(填序號(hào))

⑵設(shè)函數(shù)y=-2)0)與y=-2x+m的圖象的“平衡點(diǎn)，分別為點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A作ACLx軸,垂足為匚當(dāng)4

ABC為等腰三角形時(shí)，求m的值；

(3)若將函數(shù)y=-/+4%的圖象繞y軸上一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有1個(gè)呼衡點(diǎn)”時(shí),求點(diǎn)M

的縱坐標(biāo).

2.如圖，拋物線y=-/+?+c與x軸相交于A(-l,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.

⑴拋物線的解析式為；

⑵有一寬度為1的直尺平行于y軸，直尺兩長邊被線段BC和拋物線截得兩線段DE,FG.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

t,且0<t<2,當(dāng)四邊形DEGF為平行四邊形時(shí)，求t的值.

第2題圖

3.新新考向?新定義【概念感知】

我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1,對(duì)稱軸相同，且函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)稱為“友好對(duì)稱二次函

數(shù)',例如：y=3x2+6x-3的“友好對(duì)稱二次函數(shù)"為y=-2x2-4x-3.

【特例求解】

⑴丫=-,2的“友好對(duì)稱二次函數(shù)，為；y=梟2+x-5的，，友好對(duì)稱二次函數(shù)，，為

____9

【性質(zhì)探究】

(2)關(guān)于“友好對(duì)稱二次函數(shù)”、下列結(jié)論正確的是_________；(填序號(hào))

①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒有“友好對(duì)稱二次函數(shù)”；

二次項(xiàng)系數(shù)為扣勺二次函數(shù)的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”是它本身；

③y=ax2-2ax+3的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為y=(1-d)x2-2(1-a)x+3;

④任意兩個(gè)“友好對(duì)稱二次函數(shù)”與y軸一定有交點(diǎn)，與x軸至少有一個(gè)二次函數(shù)有交點(diǎn).

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖，二次函數(shù)L1：y=a/-4ax+l(a豐1)與其“友好對(duì)稱二次函數(shù)"L2都與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,C分別

在J、L2上，點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)均為m(0<m<2),它們關(guān)于Lx對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)B'.C.連接BB，,BC,CC,CB.

①若a=3,且四邊形BBCC是正方形，求m的值；

若m=l,且四邊形BB'C'C的鄰邊之比為1:2,直接寫出a的值.J

全國視野

考法拓展

4.2024大連模擬在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/-6a比經(jīng)過點(diǎn),，朗)，拋物線上點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)月?丫2<0時(shí)，求m的取值范圍；

(3)過點(diǎn)A作x軸的垂線I】，過點(diǎn)B作y軸的垂線.匕直線，排2交于點(diǎn)C,以AC,BC為邊作矩形ACBD、

①求tan/ABC的值；

線段AB與x軸相交于點(diǎn)E,以BE為邊作矩形BEFG，使矩形BEFG在x軸的下方或上方，且EF>AB.當(dāng)矩

形ACBD與矩形BEFG重合部分圖形的面積是矩形ACBD面積的弼，求m的值

專題3二次函數(shù)與幾何

例1解(l)y=-x2+2x+3點(diǎn)撥分別代入A,B,C三點(diǎn)，列方程組求解即可.

(2)y=-x+3點(diǎn)撥分別代入B,C兩點(diǎn)，列方程組求解即可、

⑶設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m(0<m<3),

貝！］D(m--m2+2m+3),￡(m>—m+3)

?.點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，

DE=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m=—(m—|)+:

?.當(dāng)m=|時(shí)，DE取得最大值，最大值為；

(4)根據(jù)題意，得P(m>-m2+2m+3).

如圖L過點(diǎn)P作PQlly軸，交BC于點(diǎn)Q.

.,.zPQN=zOCB,Q(m,-m+3).

???點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方,

???PQ=—m23+2m+3—(―m+3)=—m2+3m.

???B(3,0),C(0,3)〃.OB=OC=3

/.zOBC=zOCB=45°.

/.zPQN=zOCB=45°.

???PN⑦BC,???sinNPQN=林

.?.PN=PQ?sin45°=(—m2+3m)xj=-J(m—|)+--乎.

v—^<0,0<m<3,

當(dāng)a=|時(shí)，PN取得最大值，最大值為季

_3

⑸設(shè)直線CF的解析式為y=sx+t.將點(diǎn)C(0,3),F@-3代入，得解得廣=-5,

，直線CF的解析式為y=-|%+3.當(dāng)y=0時(shí)，一|x+=3,=o,解得x=2.

22(7,9

lTs+z=一T-

.KG的坐標(biāo)為(2,0).「QG=2.

,「PD_Lx軸,PEllx軸,

.?.zDPE=zCOG=90°,zDEP=zCGO.

crPDPEPDoc3

?ADnPnEc,△AC「OG.?*?—=—,**?—=—=—.

OCOGPEOG2

25

???PE=-PD..'.PD+PE=-PD.

33

設(shè)jP(np—根2+2m+3)很D(np—|m+3).

??點(diǎn)P在點(diǎn)D的上方,.PD=—病+2zn+3-

--3m+1Q3

245

??.PD+PE=n----.

48

57

0,0<m<

.?.當(dāng)m=:時(shí)、PD+PE取得最大值,最大值為票

⑹如圖2,過點(diǎn)P作PGlly軸，交BC于點(diǎn)G.

設(shè).P(p'-p2+2p+3)(0<p<3)廁G(p,-p+3).

?.點(diǎn)P在點(diǎn)G的上方，

PG=—p2+2p+3—(—p+3)=—p2+3P.

?.PGIIOQ/.APDG-'AODC.

2

.PD=PG^-P+3P=_1(^+1

ODOC33V2/4

-1<0:.當(dāng)p=|時(shí).常勺值最大.

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(|，?).

⑺①證明：根據(jù)題意，得拋物線的對(duì)稱軸為直線X=1.把x=l代入y=-x,得y=-l;F(L-l).

?.E(1,0),.-.EO=EF=1.

?.-zOEF=90°,/.zEOF=zOFE=45°.

?.OB=OC=3,zBOC=90o,.-.zOCB=zOBC=45°.

.,.zOBC=zEOF./.OFllBC.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)F的右下方時(shí)，過點(diǎn)D作DG^EF于點(diǎn)G,

.?.zDGF=90°=zOEF./.DGllx軸.

.?.zGDF=zEOF=45°..-.zOBC=zGDF.

XzBOC=zDGF=90°,BC=DF,

.".ABOC^DGF./.OB=GD=3,OC=GF=3.

設(shè)D(t,-t),則G(l,-t).

..GD=1-1;(-1=3.解得t=4.「.D(4,-4).

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)F的左上方時(shí)，記為D)過點(diǎn)6作D，G」EF于點(diǎn)G'.

同理可證,ABOC斗D'G'F.」.0B=G'D'=3.

GD=1—1—t=3.

解得t=-2;D'(-2,2).

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-4)或(-2,2).

⑻如圖4,過點(diǎn)P作PGLAB于點(diǎn)G交直線BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF^AB交直線BC于點(diǎn)F.

..NAOC=NQGP=NFQB=90。.

-.A(-1,0),C(0,3),-OA=1,OC=3.

設(shè)P(m>—m2+2m+3)(0<m<3)”則E(m,-m+3).

???點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方，

PE=—m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m.

'.ACIIPQ,.'.zCAO=zPQG.

XZAOC=ZQGP,/.AACO-AQPG.

=>生="即—=--------

GQGP'GQ-m2+2m+3'

GQ=g(—m2+2m+3).

OQ—OG-GQ=m—(—m2+2m+3)=|m2+

-m—1.Qf-m2+-m—1<0).

3<133J

1111\

-m9z+-m—L——m9z——m+4.

(33337

ii

???OF=——7nz7——_|_4

=33m

???NQGP+NFQB=180°,..FQIIPG.

..NFQD=NEPD.

又NFDQ=NEDP,DQ=DP,."FDQVAEDP.

，QF=PE,即-|m2—|m+4=—m2+3m.

解得m-L=2,m2=3(不合題意，舍去).

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2.3).

例1.L解：根據(jù)勾股定理，得PM2=(m-l-0)2+(-^m-

.?.當(dāng)7n=一泄、PM的長最小.

x=m—1,

一題多解設(shè)｛_39_3?

V-----771---.??y----X—3.

/44J4

，點(diǎn)M在直線y=-卜-3上運(yùn)動(dòng).

???PM的長最小值等于點(diǎn)P到直線y=-1-3的最短距離.

根據(jù)"垂線段最短"，得點(diǎn)P至［I直線y=-1久-3的最短距離為當(dāng)PM_L直線y=-|x-3于點(diǎn)M時(shí)的P

乂長.

如圖、設(shè)直線y=—|x—3分別交x、y軸于點(diǎn)A、B.

把y=0代入，得一9%—3=0.解得x=-4.

把x=0代入得y=-3.

.-.A(-4.0).B(0,-3)./.OA=4s0B=3.

???NAOB=90。,.?.在RfAOB中、根據(jù)勾股定理、得AB=VOX2+OB2=V42+32=5.

smZABO=—=-.cosZABO=—=

AB5AB5

?.P(O,2),B(O,-3),.-.PB=5.

-.-PM±AB..-.zPMB=90°.

.n〃ccPM4n“ccBM3

sm^MBP=—=-，cosNMBP=—=

PB5PB5

.?.PM=4,BM=3.

i1

???SVBM=-PM-BM^-PB-\m-l\,

-1x4x3=-1x5x|m-l|.

22

解得機(jī)=一(或m=?(不合題意，舍去).m=-1.

例1.1題圖

例12解:：:y=/—4久+3=(x—2)2—1,

，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).

在y=-x+3中，令x=(X得y=3;

令y=0得x=3冷x=2彳導(dǎo)y=l.

.-.A(0,3).B(3,0),C(2,l)...-l<n<3.

2

把點(diǎn)D(xD,n)代入.y=x—4x+3得好—4xD+3—n.好—4支。=n—3.

如圖，過點(diǎn)D作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為E.

A222222

在RtCDE中根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)(CD=DE+CE,EPm-(xD—2)+(n—l)=蜉—4xD+n—2n+5.

m=n2—n+2=(n—+：(—1<n<3).

?：l>0,.?.當(dāng)n=泄，m的值最小，最小值為:

例1.2題圖

例2.解:(1)①如圖1,過點(diǎn)D作DFLOB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E.設(shè)D(.m>-m2+2m+3)(0<m<3)則E(m,-m

+3).

.?點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，

DE=—m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m.

?.B(3,0),.-.OB=3.

???SMBC=SACDE+SABDE=-OF+^DE-BF=|DE-OB=|(-m2+3m)X3=-|m2+|m=-|

=-<0,

2

當(dāng)m=|時(shí),SADBC取得最大值，最大值為

Zo

②.A(-L0),B(3,0),C(0,3),，AB=4,OC=3.

11

??.SUBC=-AB'OC=-x4x3=6.

?S四邊形ABDC—S—BC+S*DBC'

.■.S四邊形ABDC的最大值為6+2=V

oo

此時(shí)機(jī)=|.，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(|，當(dāng))

(2)設(shè)P(m>—m2+2m+3)(0<m<3),貝!]Q(m,-m+3).

,?點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方，，PQ=—m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m=—(TH—|)+1.

?.當(dāng)mu|時(shí),PQ取得最大值,最大值為[

?.OB=OC=3,zBOC=90o,.'.zOCB=45°.

---PH±x軸〃?.NPHB=9(T=NB0C.，PHIIOC.

..NPQG=NOCB=45°.

-.-PG±BC,.-.zPGQ=90o..-.zGPQ=45o=zPQG.

???PG=GQ=PQ-sinNGPQ=/PQ.

???S"QG="G?GQ=3XfpQXfpQ=ipQ2.

pZzLZ4

.?.當(dāng)機(jī)=用寸，SAPQS取得最大值，最大值為ixg)2=g,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(尊號(hào).

(3)如圖2,設(shè)DE交AF的延長線于點(diǎn)H,

設(shè)。(加—病+2m+3),則E(m,-m+3).

設(shè)直線AF的函數(shù)解析式為y=kx+b.

把點(diǎn)A(-l,0),F(0,-1代入，得

0=—Zc+hk=--

二",解得｛—?

2D-------

2

11/II'

???y=——x-----???H

J22

11'

???DH=-m2+2m+3———m——=—m2H.—5m+,7

22,22

???^^AFD=^LAHD-S^FHD'

ii1.5,7

-??S]=S=-DH-(m+1)--DH-m=-DH=——m2+-m+

hAFD22244

17Q

S2=S2OBE=508,(—m+3)=--m+

539、1111133

???S=S—S=—-1m2z+I-mH?--7-----/----3m+?-912Im-----=——

1224422.244232,

?.D是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，,0<m<3.W<0,.-.爪=甘時(shí)，S取得最大值，最大值為此時(shí)

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(寓)

⑷如圖3,過點(diǎn)D作DF_Lx軸于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作ANJ_x軸交BC于點(diǎn)N.

.?.zNAB=zDFB=90°..-.DMIIAN.

.".ADME-AANE.-..-.DE=DAN.

t_DE_DM

''S2~AE~AN'

設(shè)D(a，—Q?+2a+3)(0Va<3),,則M(a,-a+3).

??點(diǎn)D在點(diǎn)M的上方,

?*.DM=—4+2a+3-(—a+3)=-a?+3a.

,「A(-LO)",.把x=-l代入y=-x+3彳導(dǎo)y=l+3=4.

，N(-L4).，AN=4.

SiDM-a2+3a1(3\29

S2AN44\2716

o,.?.當(dāng)a=|時(shí),)的值最大,最大值為4

4ZbZlo

(5)如圖4,過點(diǎn)P作PQiIIBC,交拋物線于點(diǎn)Qx.

.P是拋物線的頂點(diǎn)，y=—/+2x+3=—(%—+4,

-P(l,4).

???PQUBC,直線BC的解析式為y=-x+3,

，設(shè)直線PQi的解析式為y=-x+n.

把點(diǎn)P(l,4)代入彳導(dǎo)-l+n=4.解得n=5.

，直線PQi的解析式為y=-x+5.

聯(lián)立｛，=或：Z解得｛:二:或仁I1

y=—xz+2%+3.y-4一$

.■.Qi(2,3).

如圖4,過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)G,在直線PG上取GH=PG.

在y=-x+3在令x=L得y=2.

.■.G(l,2)..-.GH=PG=4-2=2..-.H(l,0).

過點(diǎn)H作直線Q2Q3IIBC,交拋物線于點(diǎn)Q2,Q3.

同理可得，直線Q2Q3的解析式為y=-x+l.

亞+ry=-x+l,

聯(lián)V"｛2InIn

y=—x+2x+3.

3+V173-V17

X=-------,X=-------,

解得｛一］｛

y=--------y=--------.

/2/2

.?”(手'嚀)&(手,產(chǎn)).

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3)或(咨匕節(jié)竺)或(手，三身)，

例3.解：(l)y=-x2+2x+34L4)點(diǎn)撥把點(diǎn)C代入，可得m=4，整理易得拋物線的解析式為y=-/+2x+

3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式為y=-(%-1尸+4.因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

(2)/C(0,3),-OC=3.

由y=—x2+2x+3——(x—I)2+4彳導(dǎo)E(1,O)、

.QE=1、

如圖L過點(diǎn)F作FH±x軸,垂足為H.

.?.NEHF=90°=NCOE...NOCE+NOEC=90。.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知NCEF=90°,CE=EF.

..NHEF+NOEC=90°...NOCE=NHEF.

又NCOE=NEHF,CE=EF,."OCE?HEF.

.QE=HF=LOC=HE=3;.F(4,1).

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b.

把點(diǎn)E(1,O)、F(4,l)代入、得

”—工

4?：°;解得｛:工

3

.,直線EF的解析式為y=|x-|,

y=—x2+2%+3.11

聯(lián)立｛11得-%——=—%2+2%+3.

y=-x——,33

：33

解得%!=中，久2=三等(不合題意，舍去).

oo

..點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為5+V145

6

⑶如圖2,過點(diǎn)C作CHJ.AC,交AG于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作MN^OC,過點(diǎn)A作AM^MN于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作H

N±MN于點(diǎn)N.

..NACH=NM=NN=NMCO=90°=NAOC.

二四邊形AOCM是矩形/MAC+zACM=NNCH+NACM=90。.

..NMAC=NNCH,AM=OC,MC=AO.

?.NACH=90°/CAH=45°,

..NCHA=45°=NCAH「.AC=CH.

XZM=ZN,ZMAC=ZNCH,/.AACM^ACHN.

，MC=NH,AM=CN.

?.C(0,3),--CN=AM=OC=3.

當(dāng)y=0時(shí)，一久2+2x+3=0.

解得——1,%2=3.

.-.A(-1,0),B(3,0)..-.NH=MC=AO=1..-.H(3,2).

設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b.

把點(diǎn)A(-l,0),H(3,2)代入得

—k+b=0，解得f-2，

3k+b=2蝌守%、

2,

.,直線AH的解析式為y=|x+j.

25

y=—x+2%+3,r__iX=-,

聯(lián)立｛1j解得｛二小2

-7

y=-x+-,y—u

/22174

'57'

.?點(diǎn)G的坐標(biāo)為——)——

,24,

(4)存在.

???CD\\AB,—x2+2x+3=3

解得XI=0,X2=2...D(2,3)...CD=2.

?.B(3,0),.-.OB=OC=3,/.zOCB=zCBO.

；CDIIAB,；.NDCB=NCBO.

.,.zDCB=zOCB.

又NFBC=NCBD,BC=BC,

.".△EBC^DBC..-.CE=CD=2..-.E(O,I).

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+1.

把點(diǎn)B(3,0)代入相3k+l=0解得k=-\.

二直線BE的解析式為y=-|x+l.

聯(lián)立一｛y—?+1解得｛二’

y

y-?JV=——，9

.??點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1，昔).

⑸存在.

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，設(shè)P為Pi.連接DC,CPi,過點(diǎn)B作BE_LBC,交CP】的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D

作DH_Ly軸于點(diǎn)H,作DGJ_x軸于點(diǎn)G.

?.B(3,0),C(0,3),D(l,4),

.-.OB=3,OC=3,BG=2,DG=4,DH=1,HC=1.

在RtAOCB,RtADGB,RbHDC中，根據(jù)勾股定理相1BC=3立,BD=2p,CD=V2

???CD2+BC2=BD2,

."BCD是直角三角形，且NBCD=90。.

,■.zBCD=zCBE=90°.

又CB=BC/ECB=NDBC,

."ECB%DBC；BE=CD=&

?.OC=OB=3/COB=90°,

..NOCB=NCBO=45°...NEBM=45°.

過點(diǎn)E作EM，x軸于點(diǎn)M.

ANBEM=45°=NEBM.

??.BM=ME=BE-sinNEBM=V2xsin45°=1.E(4,1).

設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b.

把點(diǎn)C(0,3),E(4,l)代入彳導(dǎo)1解得d=一之

4化+b=Lb=3.

二直線EC的解析式為y=-1x+3.

5

y=—x2+2%+3,—nX=-,

聯(lián)立｛尸T+3.解得CrH'

耳｛7

/4

'57'

，點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(—)一

.24.

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，設(shè)P為P2.

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n.

把點(diǎn)B(3,0),D(l,4)代入得

3m+n=0鏟/日=—2

m+n=4,牛彳可n=6,

直線BD的解析式為y=-2x+6.

,zP2CB=zDBC,.'.BDllP2C.

，設(shè)直線P2c的解析式為y=-2x+p.

把點(diǎn)C(0、3)代入得p=3.

，直線P2c的解析式為y=-2x+3.

聯(lián)立"丁江］解得｛浮或宜上

.?點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(4,-5).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(|，：)或(4,-5).

⑹存在.

如圖4,設(shè)BP交y軸于點(diǎn)K.

由(5)可得,AB=4,BC=3V2

.?NCBP=NOAC/OBC=NOCB=45°,

.".ACAB-AKBC.

CB_AB.3V2_4_9

—=—,--=-三.KC=

KCBCKC3V22

?.C(0,3),/.K(0,-|

設(shè)直線BK的解析式為y=lx+4.

把點(diǎn)B(3,0),K(o,-I代入，得

_1

3t+d=0,t

2

1d=々解得｛

2d1=--

2

.,直線BK的解析式為y=j%-|.

13x=——3

聯(lián)立｛"三一5’解得2

29

y=—%+2%+3.y=一

/4

..點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一I―

⑺當(dāng)點(diǎn)在第一象限的拋物線上時(shí),記為如圖,在軸上取一點(diǎn)使過點(diǎn)作軸

FFi,5yH,CH=AH,F1F1G±x

于點(diǎn)G.

例3題圖5

/.zAHO=2zACO/zF1GA=90°.

?.zF1AB=2zACOr-.zAHO=zF1AB.

???CH=0C-0H,，AH=3-0H.

在RbOAH中,,??根據(jù)勾股定理，。鄧+OH2=AH2,I2+0H2=（3-0H）2.

40A3

?**0H=—1**,tan?zS4/i。==—.

3OH4

.-.tan^AHO=tan^AB=^=-.

1AG4

???點(diǎn)Fi在第一象限的拋物線上，

.二設(shè)FI（TP—九2+2九+3）,幾>0,—n2+2n+3>0

2

OG—n,FrG——n+2n+3.AG=n+1.

—712+2?I+33

-----------------=~.

n+l4

解得n=-1（不合題意，舍去）或n=:

???-n2+2n+3=—????\

161\416/

當(dāng)點(diǎn)F在第四象限拋物線上，n>0,—/+2幾+3<0.

過點(diǎn)F?作F2MJ_x軸于點(diǎn)M.

???OM=n,F2M=n2—2n—3.AH=n+1

同理可得n=?（負(fù)值已舍）、尸2一

綜上所述，