2.3函數(shù)的對稱性、周期性、圖像（精練試卷版）

單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的。

1.（2024.河南.模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=lg（Jd-2x+ll+x-l）圖象的對稱中心是（）

A.（U）B.C.（2,1）D.（2。

2.（2025?廣東?一模）若函數(shù)〃彳）=1+1+產(chǎn)，+（了+6）2關(guān)于直線》=2對稱，貝熊+匕=（）

A.1B.3C.5D.7

3.（2025?天津河西?一模）已知函數(shù)/（x）=e2，+e"2,則（）

A./（九+1）為奇函數(shù)B.為偶函數(shù)

D—T

C.1）為奇函數(shù)為偶函數(shù)

4.（2024?陜西商洛?一模）已知函數(shù)/（%）=—2/—3X+2,若不等式+5）>4成立，則〃的取值范

圍是（）

A.(-OO,-2)U(3,+8)B.(—2,3)C.(—oo,—3)U(2,+℃)D.(—3,2)

5.（2025?湖南長沙?二模）函數(shù)/的部分圖象大致是（）

6.（2024?江西景德鎮(zhèn)?一模）函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,/（2x+l）是奇函數(shù)，當(dāng)x>l時/⑺=1鳴（21-1）,則

/(尤)2。的解集是()

A.[0,1)52,內(nèi))B.[0,l]u[2,+a))

C.(-00,0)32,+8)D.(-oo,0]u[2,+oo)

7.（23-24寧夏銀川?期中）定義在R上的函數(shù)y=〃x）滿足以下條件：①“f）-"x）=0,②對任意

%,電€[0,笆)，當(dāng)X產(chǎn)々時都有"?二；(/)>0,則/卜近)，/(無)，/(一3)的大小關(guān)系是()

A./(Tt)>/(-3)>/(-V7)B./(Tr)>/(-V7)>/(-3)

C./(Tr)</(-3)</(-V7)D./(Tt)</(-V7)</(-3)

8.(2025北京)已知函數(shù)〃x)滿足〃x+y)+〃x-y)=§〃x)〃y),〃l)=5,則下列結(jié)論不正確的是()

A./(O)=3B.函數(shù)/(2x-l)關(guān)于直線尤=；對稱

C./(x)+/(0)>0D.的周期為3

二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選

對得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.(2025云南)已知直線尤=1是函數(shù)圖象的對稱軸，則函數(shù)的解析式可以是()

A.=B./(x)=ex-1+e1-"

C./(x)=COS7LXD.f(x)=x2-2\x\

10.(2025哈爾濱)已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于(1,2)中心對稱，若“X)一;(4一」=27，貝|]()

A.八4一5司;/(5a2)=]B./⑵+"4)=4

C.y=〃x+l)-2為奇函數(shù)D.y=/(2+x)+2x為偶函數(shù)

11.(2025,安徽?一模)己知定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足〃0)=2,〃3-x)+〃x)=l,設(shè)在R上的導(dǎo)函

數(shù)為g(x),則()

A-g(2025)=0B.=；

2025

C.g(x+6)=g(無)D.^/(n)=1011

n=l

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(24-25高三下?山東?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=(x+2乂2/+亦+力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，則0+25=.

13(2025?新疆?模擬預(yù)測)已知函數(shù)+1'轉(zhuǎn)°,則不等式/(x+l)+/(x-l)>2的解集為—.

[x+x+l,x<0

14.(2025?江西上饒?一模)已知函數(shù)〃x)=e2i-ef+sin'》一：)+1,貝I]不等式/(Y+2x-3)+〃2-x)<2

的解集為.

四.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(2025黑龍江鶴崗?期末)已知函數(shù)〃無)=署^是定義在(-U)上的函數(shù)，〃T)=-"力恒成立，且

⑴確定函數(shù)“X)的解析式;

⑵用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(X)在(-1,1)上是增函數(shù);

⑶解不等式”XT)+“X)<0.

16.(2025?上海青浦?模擬預(yù)測)對于函數(shù)y=/(x),其中/(x)=log°尤

⑴若函數(shù)y=〃尤)的圖像過點(diǎn)(4,2),求f(2x-2)<f(x)的解集；

⑵求證：當(dāng)〃=應(yīng)時，存在x使得了(尤+l),/(ox),f(x+2)成等差數(shù)列.

17.(2025?上海崇明?二模)B/(x)=log3(x+a)+log3(6-%).

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請說明理由;

⑵若a>—3且a/0,解關(guān)于x的不等式/(x)</(6-x).

18.(2025山西)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/5)=二|二生是奇函數(shù).

2'+m

⑴求實(shí)數(shù)相，”的值；

(2)若對于任意的不等式/(?-2)+〃2。-詞20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.(2024?上海靜安?一模)如果函數(shù)y=f(尤)滿足以下兩個條件，我們就稱函數(shù)y=f(尤)為U型函數(shù).

①對任意的xe[o,l],</(x)>l,/(l)=3；

②對于任意的x,ye[0』，若無+y41,則〃龍+y)2〃x)+/(y)-1.

求證：

⑴丁=3、是。型函數(shù)；

⑵U型函數(shù)y=在[0』上為增函數(shù);

⑶對于U型函數(shù)y=〃尤)，有了由$+15為正整數(shù)).

2.3函數(shù)的對稱性、周期性、圖像(精練試卷版)

單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的。

1.(2024?河南?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=lg(Jd-2x+ll+x-l)圖象的對稱中心是()

A.(U)B.C.(2,1)D.(2。

【答案】B

【解析】易知/(x)=lg[j(x-l)2+1。+X-1)的定義域?yàn)镽,

所以可得/(2-x)=lg[j(l-xy+10+l-x；

因此/(尤)+/(2—尤)=lg[j(l-J)2+10+l-x]+lg(j(x-l)2+10+J-l]

即函數(shù)〃尤)滿足〃x)+〃2—x)=l,因此的對稱中心為11,萬

故選：B

2.(2025?廣東?一模)若函數(shù)〃X)=6加+#“+漢+力2關(guān)于直線》=2對稱，貝3+6=()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】由題意函數(shù)/(x)=e'+1+#*+(x+4關(guān)于直線*=2對稱，

故/(4一x)=/(%),即e5T+eI+x+(4-x+bf=et+1++(x+b)2,

a4+I5a

即e5T(1-)+e-(l-e-)+(4+26)(4-2x)=0,

5-xwl

即(1-e"H)(e-e)+(4+2Z?)(4-2x)=0,

故需滿足l-e"H=0且4+26=0,即a=5,b=-2,

貝Ua+6=3,

故選：B

3.(2025?天津河西?一模)己知函數(shù)/(x)=e2，+e.2,則()

A./(x+1)為奇函數(shù)B./[尤+；)為偶函數(shù)

C./(x—l)為奇函數(shù)D.為偶函數(shù)

【答案】D

2jc2j：2

［解析］f(x)=e+e--^eR,則/(O+l)=/(l)=e+eT#O,即故A錯誤；

/(O-l)=f(-l)=e-2+l^O,故C錯誤；

；1e+「，/，；+J=l+e—二貝廳［+一:+1］,故B錯誤；

f^-^=e2x-'+e-2x-',f^-x-^=e-2x-'+e2x-',貝ij/1x-g］=,故D正確.

故選擇：D.

4.(2024?陜西商洛?一模)已知函數(shù)/(X)=-2XJ3X+2,若不等式-1)+/(-"5)>4成立，則。的取值范

圍是()

A.(―8,—2)D(3,+8)B.(一2,3)C.(~°°,—3)U(2,+℃)D.(—3,2)

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=/(x)—2=—2%3—3x,貝|g(—x)=2%3+3%=—g(x),故g。)是奇函數(shù).

不等式f(〃—1)+/(一0一5)>4等價于不等式/(°2_1)—2+f(-a-5)-2>0,

即不等式g(a2-l)+g(-"5)>0.

因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(〃T)>g(a+5).

易證g(x)是R上的減函數(shù)，則/一1<°+5,即。2_°_6<0,解得一2<"3.

故選:B.

xx

e_e-

5.(2025?湖南長沙?二模)函數(shù)〃x)=,。的部分圖象大致是()

%+因一2

【答案】D

【解析】〃x)=；'；：：有意義可得爐+國一2-0,

X+X—2

故,「+國-2=（國-1）（國

所以XH-1或XH1,

所以函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,-1）3-1,1）51，^），定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

e-x-e

又〃T）=TOO,

所以函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，所以函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,

令〃x）=0可得，]一1=0,所以e2，=l,故x=0,

所以函數(shù)/（x）有且僅有一個零點(diǎn)，零點(diǎn)為0,

當(dāng)0〈元<1時，函數(shù)y=在（0,1）上單調(diào)遞增，函數(shù)>，在（0,1）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=0「b在（0,1）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0<x<l時，0<e*-ef<e-L

e

又當(dāng)0<x<l時，x?+國-2=（國-1乂忖+2）<0,

所以當(dāng)0<x<l時，/（x）<0,

選項(xiàng)A的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)B的圖象在（0,1）內(nèi)的函數(shù)值為負(fù)，

選項(xiàng)C的圖象對應(yīng)的函數(shù)有3三個零點(diǎn)，

故選項(xiàng)ABC不能同時滿足上述所有要求，而選項(xiàng)D同時滿足以上所有要求，

故選：D.

6.（2024?江西景德鎮(zhèn)?一模）函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,〃2x+l）是奇函數(shù)，當(dāng)彳>1時/⑺=log2（2，~-1）,則

/（尤）20的解集是（）

A.[0,l）u[2,+a>）B.[0,l]u[2,+co）

C.（-℃,0）32,+oo）D.（-oo,0]u[2,+oo）

【答案】B

【解析】回/（2x+l）是奇函數(shù)，

0/（2x+l）+/（-2x+l）=O,即〃尤）關(guān)于（1,0）點(diǎn)對稱.

又函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)镽,故〃1）=0.

當(dāng)尤>1時〃月=1嗎(21-1),

/、log(2x-1-l)>0

令〃工”0,即卬2),解得M2.

x>l

根據(jù)對稱性可知當(dāng)了<1時，0<x<l.

綜上所述，/⑺對的解集是[0』U[2,+8).

故選：B.

7.(23-24寧夏銀川?期中)定義在R上的函數(shù)>=〃力滿足以下條件：①〃-x)-/(x)=0,②對任意

^,x2e[O,+w),當(dāng)x產(chǎn)丁時都有"?二仁)〉。,則外一6)，/㈤，〃一3)的大小關(guān)系是()

A./(Tt)>f(-3)>/(-V7)B./(Tt)>f(-A/7)>/(-3)

C./(Tt)<f(-3)</(-A/7)D./(Tt)</(-V7)</(-3)

【答案】A

【解析】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)y=〃x)滿足條件/'(T)-/(X)=O,

所以函數(shù)“X)是偶函數(shù)，

對任意玉,we[0,4<0),當(dāng)玉R超時都有"*)‘㈤>0,

再-%2

所以不妨設(shè)%>%2，則有/(芭)-/(々)>。0_/(%)>/(々),

因此尤e[0,+oo)時，函數(shù)/'(%)是增函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)“X)是偶函數(shù)，

所以/上夜)=/(b)，〃一3)=/(3),

因?yàn)闊o目0,飲)時，函數(shù)/'(x)是增函數(shù)，

所以〃兀)>“3)>/(4),BP/(7C)>/(-3)>/(-V7),

故選：A

8.(2025北京)已知函數(shù)〃x)滿足〃尤+y)+〃尤-y)=§〃x)〃y),“1)=5,則下列結(jié)論不正確的是()

A./(O)=3B.函數(shù)/(2x-l)關(guān)于直線x=g對稱

c./(x)+/(o)>oD.〃x)的周期為3

【答案】D

【解析】解法一：

令尤=1,尸0,則2/(1)=|〃1)〃0),解得/(O)=3,A正確；

令x=0,貝U/(y)+/(-y)=§/(O)/(y)=2/(y),

所以/(y)"(—y)，即〃x)是偶函數(shù)，

所以〃2尤-1)=〃-2%+1)=/[2(1-尤)-1],所以函數(shù)〃2x-l)關(guān)于直線x對稱，B正確；

?

令…，則f(2x)+/(0)=§產(chǎn)(力20,

令t=2x,則〃f)+〃O)NO,所以〃x)+〃0)20,C正確;

令y=i,貝!!/(*+1)+〃彳_1)=/(*)①，

所以f(x+2)+/(x)=/(x+l)②,

①②聯(lián)立得〃x+2)=-/(xT),

所以〃x+3)=—"力,/(x+6)=-/(x+3)"(x),即〃力的周期為6,D錯誤;

解法二：

構(gòu)造函數(shù)/(X)=3coS"1x,

滿足〃1)=白，且+〃尤_y)=3cosg(x+y)+3cosg(x_y)=6cosmxcosgy=]〃x)〃y),

.f(O)=3cos0=3,A正確；

y(2x-l)=3cos^(2x-l)=3cosf^x-^

=3cos

0jr-IOjp

因?yàn)椤?x-l)表示y=3cos]x的圖象向右平移!■個單位，且y=3cos守x的圖象關(guān)于y軸對稱，

1jr

所以〃2xT)關(guān)于直線苫:耳對稱，B正確；由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知〃尤)+〃0)=3coS]X+lZ0,C正確;

T=女=6

“X)的周期/一7T一°,D錯誤；故選：D

3

五.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選

對得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(2025云南)已知直線尤=1是函數(shù)〃x)圖象的對稱軸，則函數(shù)〃x)的解析式可以是()

A.=B./(x)=ex-1+e1-"

C./(x)=COS7LXD.f(x)=x2-2\x\

【答案】ABC

【解析】A：函數(shù)圖象由>=工圖象沿x軸向右平移1個單位，

X

再把X軸下方的圖象關(guān)于X軸對稱翻折到x軸上方，故關(guān)于直線x=l對稱，故A正確；

B：函數(shù)“6=ei+ej的圖象是由y=e*+e-，圖象沿x軸向右平移1個單位得到的，

而函數(shù)>=ex+e-x是偶函數(shù)，關(guān)于>軸對稱，

其圖象沿x軸向右平移1個單位后的圖象剛好關(guān)于直線x=l對稱，故B正確；

C：令7tx=hr,keZ,則該函數(shù)的對稱軸為直線x=左，左eZ,故x=l符合題意，故C正確；

D：f(-l)=-l,/(3)=3,顯然〃一1)，〃3),

故此函數(shù)不是關(guān)于直線x=l對稱的，故D錯誤.

故選：ABC.

10.(2025哈爾濱)已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于(1,2)中心對稱，若“可一;(4一1=2-x，則()

45x2

A./(-M+/(-)=1B./(2)+/(4)=4

C.y=〃x+l)-2為奇函數(shù)D.y=/(2+x)+2x為偶函數(shù)

【答案】ACD

【解析】對于A,因?yàn)?⑺的對稱中心為(1,2),所以"4—x)+〃x—2)=4,

將x變?yōu)?x,變形得："4-5X)+〃5X2)=],故選項(xiàng)A正確；

4

對于B由A選項(xiàng)知A(4—x)+/(%—2)=4,BP/(4-x)=4-/(x-2),

結(jié)合已知一x)=〃小小一2)一4a-,

44

即/(%)+/(%-2)=12-4],

令％=4,得/(4)+/(2)=12—4x4=T,故選項(xiàng)B錯誤；

對于C,由〃X)的對稱中心為(1,2)得/。―%)+〃％+1)=4,

貝廳(l-x)-2=-"(x+l)-2],

令g(x)=/(x+l)-2,貝ljg(-x)=-g(x),定義域?yàn)镽,

所以＞=/(%+1)-2為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

對于D,對小—Jr,

4

.c/口f(x+2)-/(4-A--2)

令x=x+2得：-----------------=2-x-2=-x,

4

即〃x+2)-/(2—x)=Yx,故/(x+2)+2x=/(2—x)—2x,

令〃(x)=〃x+2)+2x,定義域?yàn)镽,所以=,

所以y=/(2+x)+2x為偶函數(shù)，故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.

1L(2025,安徽?一模)已知定義在R上的偶函數(shù)〃尤)滿足〃0)=2,〃3-x)+〃x)=l,設(shè)在R上的導(dǎo)函

數(shù)為g(x)，則()

A.g(2025)=0

2025

C.g(x+6)=g(x)D.275)=1011

n=l

【答案】ACD

【解析】由題得了(-無)=/(力,所以一I'(f)=/'(x)即一g(-x)=g(x),

所以g(x)是奇函數(shù),故g(0)=0,

又由/(3-x)+〃x)=l得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，f(-x)+/(x+3)=l,

所以f(x)+/(x+3)=l,^/(x+3)=/(3-x)=/(x-3),

所以f(x+6)=f(x),即函數(shù)y(x)是周期為6的函數(shù)，

所以g(x)也是周期為6的函數(shù),即g(x+6)=g(x),

由f(3—x)+1(x)=l求導(dǎo)得一/'(3—x)+/'(x)=。即g(x)=g(3—x),

所以g(3)=g(0)=0,

對于A,g(2025)=g(6x337+3)=g(3)=0,故A正確；

對于B,由ga)=g(3r),g(-x)=-g(x)無法確定g[￡|的值，故B錯誤；

對于C,由上g(x)也是周期為6的函數(shù)，即g(x+6)=g(x),C正確；

對于D,由/(—x)+〃x+3)=l得/⑴+/(2)=1,

且/(0)+/(3)=1即〃3)=-1,且〃-1)+/(4)=1即*4)=1寸⑴,

且〃一2)+/(5)=1即"5)=1-〃2),/(6)=/(0)=2

所以〃5)+〃4)=1-7(2)+1-/(1)=2-1=1,

所以〃1)+/(2)+〃3)+〃4)+/(5)+〃6)=1-1+1+2=3,

2025337x6+3

所以￡/(〃)=X/(?)=337X3+/(1)+/(2)+/(3)=1011,故D正確.

n=ln=l

故選：ACD

六.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(24-25高三下?山東?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃尤)=(尤+2乂2/+以+力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，則4+26=

【答案】6

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/("=(》+2乂2/+依+6)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

所以函數(shù)y=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，

所以函數(shù)y=/(x+l)為奇函數(shù)，故/(x+l)+/(-x+l)=0,

斯以(x+3)(2f+(XX+4x+2+。+6)+(-x+3)(2x~-cix-4x+2+a+Z?)=0,

所以2(。+4)x?+12%2+6(2+a+/?)=0,

所以a=—10,6=8,

所以a+26=6.

故答案為：6.

13(2025?新疆?模擬預(yù)測)已知函數(shù)=+Lx*°,則不等式〃x+i)+/a—1)>2的解集為_

x+x+l,x<0

【答案】(。,+功

【解析】設(shè)乂=2石+1,彳20,%均隨著了的增大而增大，所以%在［0,+功為增函數(shù)，

3

y2=x+x+l,x<0,則=3%2+1>0,所以％在(一°°,。)為增函數(shù)，

且當(dāng)x=0分別代入%、%，可得%L)=%Lo=l，

所以/'(x)在R上單調(diào)遞增，

令g(x)=〃尤+l)+/(xT)，則g(無)在R上單調(diào)遞增，

又g(O)=〃l)+〃-l)=2.

不等式f(x+l)+/(x-l)>2=g(O)的解集為(O,+e).

故答案為：(。,+8).

14.(2025?江西上饒?一模)已知函數(shù)/(切=621-廣2，+5抽色工一￡|+1,則不等式/'卜2+2%-3)+〃2-#42的

解集為.

【答案】

［解析］一同=9口一e2i-sin,x-3+1,

則〃X)+/(1T)=2,gp/(l-x)=2-/(x),

團(tuán)2-/(2-x)=/(x-l),

0/(X2+2X-3)+/(2-X)<2,

2

0/(X+2X-3)<2-/(2-X)=/(X-1),

回尸(x)=2e2^+2e'-2^+$osg一:423。2叱-|=4-^>0,

即函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

I3x2+2x—3<x—1,BPx2+%—2<0,0(x+2)(x—1)<0,

即—2<x<l.

故答案為：［-2』.

七.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(2025黑龍江鶴崗?期末)已知函數(shù)〃尤)=署^是定義在(-M)上的函數(shù)，〃T)=-"力恒成立，且

⑴確定函數(shù)“X)的解析式；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(X)在(-M)上是增函數(shù);

⑶解不等式T)+“X)<0.

【答案】=4

1+X

(2)證明見解析

⑶聞

7(0)=。

b=Qx

【解析】(1)由題意可得2,解得"1,所以｛)==?經(jīng)檢驗(yàn)滿足奇函數(shù).

%%(%一々)(1一個2)

則〃百)一〃馬)=

(2)設(shè)一1<%<%2<11+X；1+%2(1+4(1+X；)

回一1<玉<%2<1,0-l<X1X2<1,且石一工2<0,貝!J1一玉工2>0,

則/(%)-/仁)<。，即/。)</(蒼),所以函數(shù)/(X)在(T1)上是增函數(shù).

(3)a/(x-l)+/(x)<0,0/(x-l)<-/(^)=/(-%),

-1<x-1<1

回/(X)是定義在(—1,1)上的增函數(shù)，回，-1〈尤<1,得0<x<g,

X—1<-X

所以不等式的解集為

16.(2025?上海青浦?模擬預(yù)測)對于函數(shù)>=/(尤)，其中/(尤)=log”x(a>0,aRl).

⑴若函數(shù)V="尤)的圖像過點(diǎn)(4,2),求/(2x-2)</(x)的解集；

(2)求證：當(dāng)“=應(yīng)時，存在x使得”x+l)J(or)J(x+2)成等差數(shù)列.

【答案】⑴(1,2)

(2)證明見解析

【解析】(1)已知函數(shù)y=/(》)=1084》的圖像過點(diǎn)(4,2),

所以log04=2,即°2=4,因?yàn)?。所以?2,

則fM=log2x.

函數(shù)/(x)=log2x的定義域?yàn)?0,+電,且在定義域上單調(diào)遞增.

2x—2>0

由/(2%-2)</(%)可得<x>0,

2x-2<x

解得l<x<2,所以不等式的解集為(1,2).

(2)當(dāng)"五時，/(x)=log^x,f(x+1)=log^(x+1),

/(or)=log點(diǎn)(&x)=log應(yīng)y/2+log^尤=1+log④尤,/(x+2)=log應(yīng)(x+2).

若〃x+l)、f(ax)./(x+2)成等差數(shù)列，則2/(斕=/(x+l)+/(x+2),

即20+log忘x)=log也(x+1)+log應(yīng)(x+2).

所以2+21og^x=log^[(x+1)(%+2)],

22

即log應(yīng)(揚(yáng)2+log應(yīng)x=log也(%+3x+2),

即log也(2x?)=log點(diǎn)(x?+3x+2),則2/=爐+3左+2,移項(xiàng)可得x2-3x-2=0.

對于，兀二次方程X。-3x-2=0,A=(—3)-—4x(—2)=9+8=17>0,

所以方程有實(shí)數(shù)解，即存在x使得了(尤+D、/(G)、/(尤+2)成等差數(shù)列.

17.(2025?上海崇明?二模)已知/(尤)=log3(x+a)+log3(6-x).

⑴是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請說明理由；

⑵若a>-3且aW0,解關(guān)于尤的不等式/(元)<f(6-x).

【答案】(1)存在實(shí)數(shù)a=6,使得函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)

(2)答案見解析

【解析】(1)存在實(shí)數(shù)a=6,使得函數(shù)>=/(無)是偶函數(shù).

[x+a>0[x>—a

要使函數(shù)/(x)=log3(x+a)+log3(6-x)有意義，須滿足IC，即<a，

[6-x>0[x<6

顯然-a<6,即。>-6,函數(shù)、=/。)的定義域。=(一。,6).

當(dāng)。片6時，函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時必然存在xeZ)且-x任￡>,此時函數(shù)y=/(x)不是偶函數(shù).

當(dāng)a=6時,/(X)=log3(x+6)+log3(6-x),

函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)?-6,6),對于任意的xe(-6義),都有分(-6,6),

并且/(-x)=log3(-x+6)+logs(6+x)=/(x)

因此函數(shù)y=/(尤)是一個偶函數(shù)

綜上所述，存在實(shí)數(shù)。=6,使得函數(shù)丁=/(幻是偶函數(shù)

(2)由/(x)W/(6-尤)，得Iog3(x+a)+log3(6-x)Vlog3(6-x+a)+log3X

x+a>0,

6-x>0,

所以<且(％+。)(6-％)?(6-1+〃)%①.

6-x+a>0,

x>0

由①得，ax>3a.

因?yàn)?>一3且aw0,

所以當(dāng)一3<〃<0時，-a<x<3,

當(dāng)a>0時，3Wx<6.

綜上可得：當(dāng)-3<。<0時，不等式/(%)</(6-％)的解集為