專題2如何利用“一邊一角”構(gòu)造全等、相似

難點(diǎn)分解練

核心歸納

編寫說明：將此類難題的核心要點(diǎn)總結(jié)，結(jié)合例題加深理解，之后練綜合題目易有解題思路.

類型何時(shí)用輔助線解題通法

截取角的另一組邊相等(DF=AC)利用“SAS”的方法當(dāng)題目中某個(gè)三角形

構(gòu)造全等必ABC^ADEF),(△ABC)的一個(gè)內(nèi)角(/BA

已知一組角

C

F/C)已知(或推導(dǎo)出)與其他角

相等(/A=/D)和

(/D)相等，且/BAC的鄰邊

一組邊(角的鄰

通過在相等邊的另一端點(diǎn)處作一組等角(NE=NB).

(或?qū)?與/D的鄰邊(或?qū)?/p>

邊)有數(shù)量關(guān)系(如

利用“ASA”的方法構(gòu)造全等⑦ABC^ADEF).

AB=DE)邊)有數(shù)量關(guān)系(已知或所

—邊

求)，那么就以/D為一個(gè)內(nèi)

一等角Ak---------------?DL-------?E

角，構(gòu)造一個(gè)與/BAC所在

已知一組角以有數(shù)量關(guān)系的邊(EC)為腰構(gòu)造等腰△CEF，彳導(dǎo)到等

三角形(△ABC)全等(相似)

相等(/BAC=/角(/BCA=NEFD)繼而利用“AAS”的方法證明全卷F(AA

的三角形，來變換邊、角的

段△

D)和一組邊(角BCDEF).

DD位置與其他條件組合新的全

的對(duì)邊)有數(shù)量

等、等腰、相似、直角三角

關(guān)系(如BC=E

形或特殊四邊形解決問題.

C)匕“Cb

截取角的另一組邊相等(DF=AC),利用“SAS”的方法

已知一組角

構(gòu)造全等必ABC^ADEF).

互補(bǔ)(ZA-1Z通過互補(bǔ)角找到等角，

—邊

卜

EDG=180°^[]—再利用一邊一等角的思路解

一互補(bǔ)角

組邊(角的鄰邊)有加-------.----------------二E題.

數(shù)量關(guān)系(如A

通過在相等邊的另一端點(diǎn)處作一組等角(NE=NB).

二

BDE)利用“ASA”的方法構(gòu)造全等6ABC^ADEF).

C'f'

>4^—J'，

類型突破

編寫說明：每類例題由淺入深設(shè)置，包含該類型的經(jīng)典情況且在不同幾何圖形背景下，讓學(xué)生先練透每個(gè)類型，

抓住核心本質(zhì)后再綜合練習(xí).

類型1?一邊一等角

例1如圖，在△ABC中,NACB<90。,過點(diǎn)A作BC的平行線AM,D是AM上一點(diǎn)(AD>AC),連接CD,E是AC

的延長線上一點(diǎn)CD=BE,NE=NCDA.求證:AC=BC.

例2.如圖，在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在DA的延長線上，連接0E,將射線0E繞

點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)NBCD的度數(shù)得到的射線與CD的延長線相交于點(diǎn)F,探究0E與0F的數(shù)量關(guān)系.

例2題圖

類型2.一邊一互補(bǔ)角

例3如圖，△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)D,且AD=AB,E是CB的延長線上一點(diǎn)，且ED=EB,F是平面內(nèi)一

點(diǎn)，且AC=kCF,ZACB=ZFCB,G是BC上一點(diǎn)，且FG=GC點(diǎn)M,N分別在FG和ED的延長線上，連接CM,AN,已知

ZM與/N互補(bǔ).

(1)探究AN與CM的數(shù)量關(guān)系；(用含k的代數(shù)式表示)

⑵若,AN=AC=2,DN=l,k=2,AD=2或求MG的長.

例3題圖

2.綜合提升練

1.已知乙4CD=90°,AC=DC,,MN是過點(diǎn)A的直線，D8E1MN于點(diǎn)B.

⑴如圖1,求證：BD+AB=V2CB;

⑵①當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí),猜想BD,AB和CB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD,AB和CB之間的數(shù)量關(guān)系.

⑶在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)乙BCD=30°,BD=魚時(shí)，求CB的長.

2.如圖1,小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰R3ABC中,CA=CB,NC=

90。,過點(diǎn)B作射線BDLAB,垂足為B.

【動(dòng)手操作】

⑴如圖2、若點(diǎn)P在線段CB上，連接PA,并過點(diǎn)P作PELPA交BD于點(diǎn)E,根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中

ZPBE的度數(shù)為；

【問題探究】

(2)根據(jù)⑴所畫圖形，探究線段PA與EP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖3、若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，過點(diǎn)P作PALPE交BD于點(diǎn)E探究線段BA,BP與BE之間的數(shù)量關(guān)

第2題圖1第2題圖2第2題圖3

3【問題背景】

在口ABCD中,/ADB=90。,點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長線上，連接EF,DG/FED=^ADG

AD_DG

BD-EF

【特例感知】

⑴如圖L當(dāng)k=l時(shí),試探究AG與DF之間的數(shù)量關(guān)系；

【類比遷移】

(2)如圖2,當(dāng)k=8時(shí)，寫出AD,ED和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題解決】

(3)在(2)的條件下、當(dāng)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，連接BE,求tanZEBF的值.

第3題圖1第3題圖2第3題備用圖

4在4ABC中，AB=","BC的平分線交AC于點(diǎn)D,在AB的延長線上截取BE,使BE=CD,連接DE交

BC于點(diǎn)F.

⑴如圖1,當(dāng).4CAB=60°,AB=2時(shí)，求DE的長；

(2)如圖2,當(dāng)^CAB中60°時(shí),求證:BE=2BF;

(3)如圖3、H是BC的中點(diǎn).連接AH分別交DE,BD于點(diǎn)G,K.當(dāng)AB=6,CD=2時(shí)，①求BC的長

直接寫出KG的長.

5.【問題情境】

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：

如圖1,在△ABC中，點(diǎn)D在AB上,NADC=NACB.求證:/ABC=/ACD.

【獨(dú)立思考】

⑴請(qǐng)解答王老師的問題；

【實(shí)踐探究】

(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請(qǐng)你解答.

“如圖2、延長CA至點(diǎn)E,使CE=BD,連接BE,交CD的延長線相交于點(diǎn)F,點(diǎn)G,H分別在BF、BC上,GB=CD、

NBGH=NBCF.在圖中找出與BH相等的線段，并證明”;

【問題解決】

⑶如圖3,在⑵的條件下，ABAC=90°,tanZ/lBC=|.

①求證:AC=2AE;

若AB=4,求BH的長.

專題2如何利用“一邊一角”構(gòu)造全等、相似

例1.解:如圖，在AE上取一點(diǎn)N,使EN=DA,連接BN.

ZE=ZCDA,BE=CD,.\ABEN^ACDA.

,>.BN=CA,ZDAC=ZENB.

AM〃BC,ZDAC=ZBCA..\ZENB=ZBCA.

；.BN=BC.，AC=BC.

例2.解如圖，在ED上取一點(diǎn)G,使OG=OD.

-,.ZOGD=ZODG.

四邊形ABCD是菱形,，NODG=/ODC,AD〃BC.

ZOGD=ZODC,ZBCD=ZADF.

ZOGE=ZODF.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/EOF=NBCD=/ADF.

,?ZE+ZEOF=ZF+ZADF,AZE=ZF.

XZOGE=ZODF,OG=OD,.,.AOGE^AODF.

；.OE=OF.

例3.解:⑴如圖在EC上取一點(diǎn)H,使EN=EH,連接AE.

"?AD=AB,ED=EB,AE=AE,

AADE^AABE.NAEN=/AEH.又EN=EH,AE=AE,AAEN^AAEH.

ZN=ZAHE,AN=AH.

VZN與/M互補(bǔ),/AHE與/AHC互補(bǔ)，

ZM=ZAHC.

"?FG=GC,ZACB=ZFCB,.\ZF=ZFCB=ZACB.

@；.AAHC^ACMFAHM=ACF=CF=k.

VAN=AH,.*.ANM=k,l即AN=kCM.

⑵如圖過點(diǎn)A作AK±EC于點(diǎn)K.AZAKH=90°.

由題意，得.AB=AD=242,ED=EB.

由(1)可知,AN=AH=AC=2,EN=EH.

AAHC=乙ACH,HK=jwC,EN-ED=EH-EB,即DN=BH=1.

/.BK=1+HK.

「在RtAABK和RtAAHK中，根據(jù)勾股定理，AK2+.BK2=AB2,AK2+HK2=AH2,

AB2-BK2=AH2-H”即

2

(2夜『-(1+HK)2=2-HR2.解得HK=|

；.HC=2HK=3.

,/AC=kCF=2,k=2,CF=1.

由⑴可知,NF=NFCB=NACB]AHC^ACMF.

???ZF=ZFCB=ZACB=ZAHC,ACF=HC//=2.

.,.△AHC^AGFC,MF=I

AH_2_3_2

:空，即-????GF

GF~FCGF-1-31

_32_5

MG=MF-GF

一23一6

1.解:⑴證明:如圖1,過點(diǎn)C作CEJ_CB,交MN于點(diǎn)E、AZACB+ZACE=90°.

XZACD=ZACB+ZDCB=90°,/ACE=/DCB、

VDB±MN,.\ZABD=90°.

"/ZACD+ZABD+ZD+ZCAB=360\

ZD+ZCAB=180°.

"?ZEAC+ZCAB=180°,.\ZEAC=ZD.

又AC=DC,ZACE=ZDCB,△ACE^ADCBS

；.AE=DB,CE=CB.

在RtABCE中，根據(jù)勾股定理，得BE=VCE2+CB2=V2CF.

?.?AE+AB=BE,；.BD+AB=V2CB.

(2)4B-BD=42.CB.

證明:如圖2,過點(diǎn)C作CELCB,交MN于點(diǎn)E.

ZECB=ZECD+ZDCB=90°.

又/ACD=/ECD+ZACE=90°,.\ZACE=ZDCB.

,?ZEAC+ZACD=ZD+ZEBD,ZACD=ZEBD=90°,

ZEAC=ZD.

又AC=DC,；.AACE^ADCB.

；.AE=DB,CE=CB.

在RtABCE中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)BE="玉+CB?=V2CB.

,/AB-AE=BE,AB-BD=V2CB.

@BD-AB=V2CB.

詳解如圖3,過點(diǎn)C作CELCB,交MN于點(diǎn)E.

同理①得4ACE^ADCB.

；.AE=DB,CE=CB.

在RtABCE中，根據(jù)勾股定理，得BE=VC￡2+CB2=V2CB.

VAE-AB=BE,.*.BD-AB=V2CB.

⑶當(dāng)C,D兩點(diǎn)在直線MN異側(cè)時(shí)，如圖4,過點(diǎn)C作CELCB,交MN于點(diǎn)E,連接AD.

由(2)①可知，AB—BD=五CBAACE=ADCB.

'：AC=DC,CE=CB.ZACD=ZECB=90°,

ZCAD=ZCEB=45°,ZACE=ZBCD=30°.

ZEAC=ZCEB-ZACE=15°.

ZBAD=ZCAD-ZEAC=30°.

BD

...在RtAABD中，AB==V6.

tanz.BADtan30°

???AB—BD=42CB,V6-V2=V2CB.CB=百一1.

M\

當(dāng)C,D兩點(diǎn)在直線MN同側(cè)時(shí)，如圖5,過點(diǎn)C作CELCB,交MN于點(diǎn)E,連接AD.

由(1)可知，BD+AB=V2CB,AACE三ZDCB.

同理上種情況得AB=-^―=*=瓜

tanz.BADtan30°

???BD+AB=V2CB,???V2+V6=y[2CB.CB=V3+1.

綜上所述，CB的長為代-1或魂+1.

2.解:⑴如圖1,PE即為所求.

D、

第2題圖1

135。點(diǎn)撥,??ZPAC+ZAPC=ZAPC+ZEPB,

ZPAC=ZEPB.

NBEP+NEBA=NPAB+NAPE,，ZBEP=ZPAB.

???ZBEP+ZEPB=ZPAB+ZPAC=45°.

.*.ZPBE=135°.

(2)PA=EP.理由如下：

如圖2,在AC上取一點(diǎn)F,使CP=CF,連接PF.

ZC=90°,AZPFC=45°,ZPAF+ZAPC=90°.

.,.ZAFP=135°.

由(1)知NPBE=135o.，NAFP=NPBE.

VPA±PE,.\ZAPE=90°.

JZEPB+ZAPC=90°.AZPAF=ZEPB.

CA=CB,CF=CP,???AF=PB.

又NPAF=NEPB,NAFP二NPBE,

J△AFP必PBE.JPA=EP.

第2題圖2

⑶當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖2.

CA=CB,ZC=90°,JZBAC=ZABC=45°.

??.BC=BA*sin^BAC=—BA.

2

由(2)知NPFC=45RAFP^APBE.

.：PC=FP-s^PFC=^FP,FP=BE.

「PC若BE.

■■-BP=BC-PC=^BA-^BE,

BA-BE=夜BP.

當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長線上時(shí)，如圖3,過點(diǎn)P作PGXPB交AB的延長線于點(diǎn)G.

VPAXPE,/.ZGPB=ZEPA=90°.

/GPB+NAPB=NEPA+NAPB,即NGPA=NBPE.

ZABC=ZPBG=45°,ZGPB=90°,

ZG=45°=Z.PBG.

：.PG=PB,BP=BG-sinG=即BG=&BP.

'：ZABE=90°,ZABC=45°,NEBP=45°=NG.

又PB=PG,ZBPE=ZGPA,

△BPE^AGPA..\BE=GA.

,/GA-BA=BG,ABE-BA=夜BP.

綜上所述,1BA-BE=&BP或.BE-BA=五BP.

3.解:⑴如圖1,在AD上截取DH=ED,連接HG.

當(dāng)k=l時(shí),AD=BD,DG=EF.

XZGDH=ZFED,DH=ED,/.ADHG^AEDF.

/.HG=DF,ZDHG=ZEDF,.\ZAHG=ZBDC.

ZADB=90°,AD=BD,.\ZA=ZABD=45°.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,：.ZCDB=ZABD=45°.

AAAHG=45°=NA

/.AG=HG=DF.

第3題圖1

(2)4。=2V3DF+V5ED.理由如下：

如圖2,在AD上取一點(diǎn)M,使/DMG=/EDF,連接MG.

ZAMG=ZCDB.

,?ZGDM=ZFED,ZDMG=ZEDF,AGDM^AFED.

DMMGDG,

???—=—=—=K.

EDDFEF

???fc=V3,DM=WED,MG=WDF.

四邊形ABCD是平行四邊形,，AB〃CD.

ZABD=ZCDB=ZAMG.

ZA=ZA,.\AABD^AAMG.

■A■■z,—=K/Ir—-',^AGM=乙ADB=90°

根據(jù)勾股定理，得力M=yjAG2+MG2=2MG.

：.AM=2V3DF.

,.?AD=AM+DM,.\AD=2V3DF+V3ED.

(3)如圖2.過點(diǎn)E作ENLBD于點(diǎn)N.

.-.乙ENF=90°=ZXGM.

ZCDB=ZAMG,；.AEDN^AAMG.AM=MG=ENG.

設(shè)DN=x.：.瑞=親=鼠，即ED=2x,EN=8x.

設(shè)DF=m,貝!]MG=V3m.AAG=3m.

??,在R3ABD中,G是AB的中點(diǎn).,.DG=AG=3m.

???EF=V3m.

在RtAEFN中,???根據(jù)勾股定理，NF2+EN2=EF2,NF=x+m,

.?.(%+m)2+(V3x)2=(V3m)2.m=2%(負(fù)值已舍).

???DF=2x.

???AD=2V3DF+V3￡D,AD=4V3x+2痔=6限

/.BD=6x..\BN=BD-DN=5x.

...在RtABNE中.tanNEBF=—=—=

1BN5x5

4解⑴如圖1,過點(diǎn)D作DHLAB于點(diǎn)H.

/.ZAHD=90°.

VAC=AB,ZCAB=60°,

.二△ABC是等邊三角形,/ADH=30。.

/.AB=BC=AC=2.

,?BD平分ZABC,AD=DC=1.

在RtAADH中,：ZADH=3O°,AD=1,

???AH=-,DH=ADxcos^ADH=1Xcos30°=—.

22

13

BH=AB-AH=2--=-.

22

BE=CD=1,???EH=BH+BE=-

2

在RtADHE中，根據(jù)勾股定理，得

DE=y/DH2+HE2=J(乎了+住了=V7.

(2)如圖2、過點(diǎn)D作DH〃AB交BC于點(diǎn)H.

VAB=AC,；.ZC=ZABC.

VDH/7AB,.'.NDHC=/ABC=NC、ZHDF=ZBEF.ZHDB=ZABD..\CD=DH.

：CD=BE,；.DH=BE.

又/DFH=/EFB.△DFH^AEFB..\HF=BF.

VBD平分/ABC,；.ZABD=ZHBD=ZHDB.

DH=BH=BE.BE=2BF、

一題多解如圖3,過點(diǎn)D作DH〃AB交BC于點(diǎn)H,連接EH.

VAB=AC,AZC=ZABC.

?.?DH〃AB,???ZDHC=ZABC=ZC.ACD=DH.

???CD=BE..??DH=BE.

又DH〃AB、???四邊形DBEH是平行四邊形,

...FH=FB=^BH,BD\\EH.

：.ZBHE=ZDBH.ZDBA=ZBEH.

〈BD平分NABC,

ZDBA=ZDBH=ZBHE=ZBEH.

???BH=BE..?.BE=2BF.

第4題圖3

⑶如圖4,過點(diǎn)D作DM〃AB交BC于點(diǎn)M.

①由(2)得CD=DM=BE=BM,BF=MF.

AB=AC=6,CD=2,AD=4,BM=2.BF=MF=1.

n4cCDCM2

???DM\\AB,'.—=——=

11DABM4

CM=1..\BC=CM+BM=3.

4

第4題圖4

②KG的長為警.

詳解由①，得BC=3,BF=MF=CM=1,BM=2.

：H是BC的中點(diǎn),AC=AB,，AH_LBC,HC=HB=|

如圖4,過點(diǎn)D作DNLBC于點(diǎn)N.

由(2)、得CD=DM.：.MN=CW=|CM=|.

在RtACND中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)

DN=yJCD2-CN2=—.

2

ZDNC=ZAHC=90°,AGH//DN.

.,.△GHF^ADNF,AKBH^ADBN.

GH_FHKH_BH

,?DN-FN'DN-BN'

133

???FH=