2.3函數(shù)的對稱性、周期性、圖像（精練題組版）

題組一函數(shù)的對稱性

1.（24-25高三下,江蘇南京?開學考試）已知函數(shù)?。?以+12+_\一學，則函數(shù)『⑺的圖象的對稱中心

62x+13

的坐標為（）

A.（-1，-3）B.（—1,3）C.（—1,2）D.（-1,-2）

2.（24-25山東）已知函數(shù)7'（元）=二；，則下列函數(shù)的圖象關于原點對稱的是（）

x-2

A.y=/（%-2）-lB.y=f（x-2）+l

C.y=f（x+2）-lD.y=f（x+2）+l

3.（23-24湖南長沙）函數(shù)y=/（x）與函數(shù)y=2向-1圖象關于直線x=2對稱，則“4）的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

4.（24-25高三上?河南?開學考試）已知函數(shù)〃到=缶，則函數(shù)“X）的圖象的對稱中心的坐標為（）

A.（T-3）B.（—1,3）C.（―1,—2）D.（—1,2）

5.（2024?河北?二模）已知函數(shù)y=/（x-l）為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）+l的圖象（）

A.關于點（U）對稱B.關于點（1,-1）對稱

C.關于點（-M）對稱D.關于點對稱

6.（2025高三?全國?專題練習）函數(shù)〃%）=/一（：；%3+瑪%2-（：%+1的對稱軸為（）

A.x=\B.x=—lC.x=2D.x=—2

7.（24-25高三下?河南?階段練習）若函數(shù)/（x）的圖象關于直線x=-L對稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是（）

A.gW=/（x+l）B.g（x）=f（x-l）C.g（元）=4（尤+1）D.g（無）=4（xT）

8.（2024?甘肅張掖?模擬預測）（多選）已知直線x=l是函數(shù)〃x）圖象的對稱軸，則函數(shù)“X）的解析式可以

是（）

A.〃司=向B./（x）=eJ-1+e1-

C./（X）=COS71XD./（x）=x2-2|x|

9（2025?福建廈門?一模）若函數(shù)〃x）=ln（eg6+i）-x的圖象關于直線了=3對稱，則/'（x）的值域為（）

A.[In2-3,O）B.[ln2-3,4<o）c.[in3-2,0）D.[ln3-2,4w）

10.(2026高三?全國?專題練習)(多選)函數(shù)y=/(x)的圖象關于點V3,6)成中心對稱圖形的充要條件是函

數(shù)y=f(尤+a)-6為奇函數(shù)，給出下列四個結論，其中正確的是()

3

A.f(x)=x-\------1圖象的對稱中心是(2,1)

x-2

3

B./(%)=%+-----1圖象的對稱中心是⑵-1)

x-2

C.類比可得函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=。成軸對稱圖形的充要條件是V=f{x+a)為偶函數(shù)

D.類比可得函數(shù)＞=/(%)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是y=f(x-a)為偶函數(shù)

11.(24-25高三下?河南周口?開學考試)下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=In^4的圖象既不關于某點對稱也不關于某直線對稱

x-3

1|x-l|

B.函數(shù)＞==^+$皿(彳_1)2的圖象關于某直線對稱

l+eM''

C.函數(shù)、=-/+3/-2x+l的圖象關于某點對稱

D.函數(shù)y=ln士+(尤-2)3+尤+1的圖象關于某點對稱

12.(2026高三?全國?專題練習)己知函數(shù)y=與g("=ln(r-2)F-2的圖象關于點(-1,0)對稱，貝U

〃x)=-

題組二函數(shù)的周期性

1.(2026高三?全國?專題練習)已知奇函數(shù)的圖象關于直線x=l對稱且"1)=1,則〃2025)=()

A.-1B.1C.0D.3

2.(2026高三?全國?專題練習)己知定義在R上的函數(shù)“X),對任意實數(shù)x都有/(x+4)=-/(力，若函數(shù)

y=〃x—l)的圖象關于直線x=l對稱，且f(-l)=2,則〃2025)=()

A.1B.2C.3D.4

3.(2026高三?全國?專題練習)已知奇函數(shù)〃尤)滿足"5)=1,且/(x-2)的圖象關于x=3對稱，則“2025)

等于()

A.-1B.1C.0D.3

4.(2026高三,全國?專題練習)已知函數(shù)＞=/(%)的圖象既關于直線％=1對稱，又關于點(2,0)對稱，且當工￡。1]

X

時，/(%)=蠢，則/(2024)等于()

D.0

202420241012

5.(2025?山西?一模)已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù),且/(x)的一個周期為4,若〃l)+/(2)+…+〃2026)=2,

則/⑴=()

A.0B.1C.2D.3

6.(2025高三下?全國?專題練習)已知函數(shù)滿足/(X+3)=〃1T)+9/(2)對任意xeR恒成立，又函數(shù)

〃x+9)的圖象關于點(-9,0)對稱,且/(1)=2025,則〃53)=()

A.2024B.-2024C.2025D.-2025

7.(24-25高三上?安徽阜陽?期末)已知函數(shù)八X)的定義域為R,且〃龍+3)=-“X),"1-21)="1+2%),

17

/1)=2,/(2)=/(1)-/(0),則，/2)=()

k=l

A.2B.-1C.1D.-2

io

8.(2025?重慶?二模)已知是定義在R的奇函數(shù)，K/(X+2)=/(X-2).若"1)=2,則，/(/)=()

k=l

A.-2B.0C.2D.4

9.(2025?浙江嘉興三模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/⑴=1,9(無)"(3-x)*/W+/(x+3)=/(2025),

2025

則E/w=()

k=\

A.-1B.0C.1D.2

10.(24-25高三下?甘肅白銀?階段練習)已知函數(shù)/(尤)，g(x)的定義域均為R,/(X-1)為偶函數(shù)，g(x)為奇

函數(shù)，g(x)=/(l-x)+2,g(7)=2,貝ij/(2025)+g(2025)=()

A.-AB.0C.2D.2025

題組三函數(shù)性質的綜合應用一解不等式

1.(2025廣西)已知定義域為R的函數(shù)“X)滿足〃l+x)+〃l-x)=4,且當尤>1時，/(x)>%2+-^-8,

則不等式[〃尤)-2]111(尤-1)>。的解集為()

A.(2,+8)B.(1,+向C.(1,2)D.(2,e2)

2.(24-25安徽?階段練習)己知定義域為R的函數(shù)滿足/⑴=L且/(尤)+/(無)<0,則不等式

e

/(%+l)>—二的解集是()

e

A.(2,+oo)B.(—8,2)C.(0,+oo)D.(—00,0)

3.(2025?湖南?模擬預測)設函數(shù)〃x)=e—+1,則使得成立的x的取值范圍是()

A.%JB.G+BC.1司D.

4.(24-25高三下?甘肅白銀?階段練習)若函數(shù)〃x)=ln￡1,則不等式/(-/-4尤-2)+〃7x)<0的解集為

5.(2025?江蘇南京?一模)已知函數(shù)〃力=滔占-反則關于x的不等式，(刁+〃5*—6)>1的解集是

()

A.(-6,1)B.(2,3)C.(-oo,l)D.(2,+co)

(\

6.(2025?云南昆明?模擬預測)設函數(shù)f(x)=2'-2T-sinx,則使得了(log?%)-/logl%<2〃1)成立的x的取

I2)

值范圍是()

A.(-oo,2]B.(0,1]C.(0,2]D.[2,+oo)

7.(2025?山西呂梁?一模)設函數(shù)/(%)=%3—sin%+x+2,則滿足/(%)+"2-3x)<4的光取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(-oo,l)C.(3,-Foo)D.(-oo,3)

8.(2025?山東?模擬預測)已知函數(shù)〃%)=2-b+111k+42+1)-2》+1,則滿足〃。+1)+〃2。-3)22的。

的取值范圍是()

A.(-00,4]B.

.2]

C.D.

9.(2025?河南洛陽?模擬預測)已知函數(shù)〃尤)的定義域為(。,+力)，當x>l時，〃力>-2；且滿足

/(xy)=f(x)+f(y)+2,則關于/的不等式/(/)</(1-鼻+/(2)+2的解集為()

A.(-2,1)B.(-2,O)u(O,l)

C.(-x>,-2)^(1,2)D.(一;,0卜(0,1)

10.(2024?山東泰安?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=log2(4'+l)-x-l,貝U/■(2x—l)</(x-3)的解集為()

A.1-2,才B.2，+0°]

C.(-8,-2)u(g,+84

D.(-00,-2)U—,+oo

3

11.（2025?江西?一模）若定義在11上的增函數(shù)丁=/（可滿足/（1+力+/（1—力=0,則不等式/（1+111￡）+/（￡）>。

的解集為（）

A.RB.(0,+功C.(l,+oo)D.(0,1)

12.（2024?四川成都?模擬預測）已知函數(shù)且〃x+l）為偶函數(shù)，則滿足不等式

〃2+即7）<〃4）的實數(shù)機的取值范圍為（）.

A.（一8,-1）B.（2,+00）C.（-1,2）D.（-00,-1）U（2,+°0）

13.（2025山東濟寧?期中）已知函數(shù)〃尤）=3尤3一品+2,且/（片）+〃3。-4）>2,則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.（-4.1）B.（-oo,-l）u（4,+ao）

C.（roT）U（l,E）D.（-1,4）

題組四函數(shù)性質的綜合應用一比較大小

1..（2025?廣西桂林?二模）函數(shù)/（x）=ln|l-尤|+J*川?若。=/0=］3，。=〃1嗎3）,則的大小關

系是（）

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>b>cD.b>a>c

2.（2025河北邢臺?階段練習）已知函數(shù)〃尤+1）是偶函數(shù)，當1<玉<天時，［〃為）-〃々）］（%-％）>°恒成

立，設“=b=f（2）,c=/（3）,則a,b,c的大小關系為（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

3.（2025?天津）已知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對任意再,赴6⑵+8）,且舒口都有%）>（）

玉一“2

成立.若a="og318),b=f\Inc,則。，瓦。的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

4.（2025,湖南邵陽?二模）定義在R上的函數(shù)〃x）滿足〃x）-/（2-x）=0,且〃x）在［1,+向上單調(diào)遞增，設

a=/(-9),6=L，c=/(log417),則()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

5.（23-24寧夏銀川?期中）定義在R上的函數(shù)y=滿足以下條件：①=②對任意

和々40，—），當斗片子時都有］（?：［（』）>0,則/卜近），/（7T）,/（一3）的大小關系是（）

A./(TI)>/(-3)>/(-V7)B./(TT)>/(-77)>/(-3)

C./(TT)</(-3)</(-V7)D./(K)</(-V7)</(-3)

6.（2025吉林松原?階段練習）設〃尤）定義域為R,對任意的x都有〃x）=/（2-x）,且當時，/（x）=2v-l,

7.（2025?福建福州?模擬預測）已知函數(shù)的定義域為R,/（%-l）=/（x）+/（%-2）,且435）>〃25）,

f（30）>/（10）,則下列結論中一定正確的是（）

A./（20）>100B.f（20）<1000C.f（30）>1000D,/（30）<10000

8.（2025湖南）已知函數(shù)〃x）=2|x+時+log3（x+m）2.若/（x+1）為偶函數(shù)，。=6=/（?）,c=/卜0,

則（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

題組五函數(shù)4大性質的綜合應用

1.（24-25河南）（多選）已知函數(shù)/（耳=坨卜-3|,則（）

A.“X）的圖象關于直線x=3對稱B./（2025）</（-2025）

C./（X）無零點D.〃x）在（-j3）上單調(diào)遞增

2.（2025高三?全國?專題練習）（）哦度設定義在R上的函數(shù)“X）與g（x）的導函數(shù)分別為/'⑴和g'（x）,若

/（x+2）-g（l-x）=2,/,（x）=g,（x+l）,且g（x+l）為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）

A.g（l）=0B.函數(shù)g'（x）的圖象關于直線尤=2對稱

20252024

c.￡/（%）g（%）=0D.￡g（k）=0

k=lk=l

3.（2025?安徽?一模）（多選）已知定義在R上的偶函數(shù)“X）滿足〃。）=2"（3-x）+〃x）=l,設在R上

的導函數(shù)為g(x),則()

A.g(2025)=0

2025

C.g(x+6)=g(x)D.￡/(“)=1011

n=l

4.(2025?江西)(多選)設函數(shù)的定義域為R,7(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當xe[l,2]時,

/(x)=a-log2x.則下列結論正確的是()

A./(1)=1B./(8)=-1

206100

c.Ef⑻=7D.E好⑻=5。

k=\左=1

5.(2026高三?全國?專題練習)(多選)設函數(shù)JG)的定義域為R,/(2x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù),

當xe[0,l]時，f(x)=a^+b.若/(0)+/(3)=-1,則()

A.b=-2B./(2024)=0C./(x)為偶函數(shù)D./Q)的圖象關于點(g,0)對稱

6.(2025?河北秦皇島?二模)(多選)記定義在R上的函數(shù)“X)與g(x)的導函數(shù)分別為/'(x)和g'(x),若

/(x+3)—g(3—x)=4,r(x)=g'(x+2),且g(x+2)+g(2—x)=0,貝I]()

A.=B.g'(x)的圖象關于直線x=2對稱

2025

c./(尤)是周期函數(shù)，且其中一個周期為8D.￡g(i)=0

1=1

題組六函數(shù)圖像

1.(2025?天津河北?二模)函數(shù)/■(口=(2-，-2，)8$天的圖象大致為()

6.

7.（2025?江西新余?模擬預測）尸是平面直角坐標系宜萬內(nèi)一點，我們以x軸正半軸為始邊，射線OP為終邊構

成角。e[0,2萬],。尸的長度「作為。的函數(shù)，若其解析式為：r=|2sin2q+bin4e|,則尸的軌跡可能為：（）.

A.B.

8.

1.（2025高三?全國?專題練習）（多選）已知定義在R上的函數(shù)/'（X）,且/⑴=；,若

f[x-y)=2f[x}f[y)-f(x+y),則()

A./（0）=1B.f（x）是偶函數(shù)

C./（x+3）是奇函數(shù)D.”2024）=

2.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知函數(shù)了⑺滿足〃x+y+l）=〃x）+/（y）,則下列結論一定正確的是（）

A.〃x）+l是奇函數(shù)B./（尤-1）是奇函數(shù)

C.〃力-1是奇函數(shù)D./（x+1）是奇函數(shù)

3.(2025黑龍江)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且Ax+y)+/(x-y)=2f(x)f(y),/(0)=1,/(3x+l)=-/(-3x+1),

2024

則￡/(%)=()

k=0

A.-2B.-1C.0D.1

4.(2025北京)已知函數(shù)〃x)滿足〃x+y)+〃尤-="I)、，則下列結論不正確的是()

A./(O)=3B.函數(shù)/(2x-l)關于直線x對稱

C./(x)+/(0)>0D.“X)的周期為3

5.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)(多選)已知函數(shù)AM的定義域為R,設g(x)為"X)的導函數(shù)，

/(尤+y)+/(x-y)=f(x)/(l-y),/(1)^0,/(2)=0,貝|()

A./(1)=2B.g⑴=0

C.g(x)是奇函數(shù)D./(x+l)+/(x+2023)=0

6.(2024,新疆烏魯木齊?一模)(多選)若函數(shù)/⑺的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),〃2)=-1,

則()

A./(0)=0B./(尤)為偶函數(shù)

30

C./(尤)的圖象關于點(1,0)對稱D.^f(0=-1

i=l

題組八函數(shù)新定義

1.(2025?河北衡水?模擬預測)(多選)數(shù)據(jù)處理過程中常常涉及復雜問題，此時需要利用符號。來衡量某個

操作的復雜度.設定義在全體正整數(shù)上的函數(shù)“X)與g(x),若存在正常數(shù)c,同時存在常數(shù)上eN+，使任意尤>發(fā)

時，"(x)|Wc|g(x)|,則稱/(x)是O(g(x))的復雜函數(shù)，則下列函數(shù)中，滿足/(x)是O(g(x))的復雜函數(shù)有()

(設?！本鶠榉橇銓崝?shù))

A./(x)=100,g(x)=lnxB.f(x)=2x2+x,g(x)=2X-3x

n

x

C.f(x)=9-2~,g(x)=3-*D./(無)=Z4x'，gM=anx"

i=0

2.(2025?上海奉賢?二模)函數(shù)y=〃力的導函數(shù)為y=g(x),若存在實數(shù)%,使得成立，則

稱函數(shù)y=〃x)具有％性質，下列函數(shù)y=〃x)具有七性質的函數(shù)是()

1,

A.'=0一"B.y=sin尤C.j=D.y=—In

2

3.(2025?貴州?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，將函數(shù)/(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉a(0°<a<180。)

后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱/(X)為"a旋轉函數(shù)".則y=2'90。旋轉函數(shù)(填："是"或

者"不是"）；若/（》）=竺上是45。旋轉函數(shù)，則。的取值范圍是

X

2.3函數(shù)的對稱性、周期性、圖像（精練題組版）

題組一函數(shù)的對稱性

1.（24-25高三下,江蘇南京?開學考試）已知函數(shù)〃同=以+12+_\一學，則函數(shù)『⑺的圖象的對稱中心

62x+13

的坐標為（）

A.(-1,-3)B.(-1,3)C.(-1,2)D.(-1,-2)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)“引=為+人+=）-平,

62x+13

11―9—X1015

/(-2-X)=-(-2-X)3+-(-2-X)2+H---------

T62X+13

貝情〃力+/(-2-X)=Y,

故函數(shù)〃尤）的圖象的對稱中心的坐標為（T-2）.

故選：D.

2.（24-25山東）己知函數(shù)/（切==，則下列函數(shù)的圖象關于原點對稱的是（）

x-2

A.y=f（x-2）-lB.y=f（x-2）+\

C.y=f(x+2)-lD.y=/(x+2)+l

【答案】C

x—3x—2—1]1

【解析】因為/（》）=

x—2x—2x—2

所以當函數(shù)圖象向左平移2個單位，再向下平移一個單位,

可得函數(shù)y=/（x+2）-1=-工的圖象,

X

由反比例函數(shù)圖象知，關于原點對稱.

故選：C

3.（23-24湖南長沙）函數(shù)y=〃尤）與函數(shù)y=2?1-1圖象關于直線1=2對稱，則/（4）的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】設g(%)=2x+i-1,

因為函數(shù)y=/（%）與函數(shù)y=g（%）圖象關于直線工=2對稱,

所以"4)=g(O)=2T=L

故選：A

4.(24-25高三上?河南?開學考試)已知函數(shù)=則函數(shù)〃x)的圖象的對稱中心的坐標為()

A.(-L—3)B.(—1,3)C.(―1,—2)D.(—1,2)

【答案】C

(-1+x)21

【解析】因為1+x)+1_封=

—1+x+1—1—x+1

所以函數(shù)“X)的圖象關于點(-1,-2)對稱.

故選：C

5.(2024?河北?二模)已知函數(shù)y=〃x-l)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=〃x)+l的圖象()

A.關于點(U)對稱B.關于點(1,-1)對稱

C.關于點(-M)對稱D.關于點對稱

【答案】C

【解析】函數(shù)y=/(x-i)為奇函數(shù)，圖象關于(0,0)對稱，

將函數(shù)j=/(X-1)向左平移一個單位可得函數(shù)y=/(X)，

則函數(shù)y=關于(-1.o)對稱，

所以函數(shù)y=〃x)+l的圖象關于(-U)對稱.

故選：c.

6.(2025高三?全國?專題練習)函數(shù)/(力=/-端%3+瑪%2-(2江+1的對稱軸為()

A.x=lB.x=—lC.x=2D.x=—2

【答案】A

【解析】由題意：

4312344

/(x)=C>.(-l)°+C；x-(-l)+cy-(-I)+C^-(-l)+CX-(-I)=(x-l),

可由偶函數(shù)y=d的圖像向右平移i個單位得到，所以函數(shù)八%)的對稱軸為％=1,

故選：A.

7.(24-25高三下?河南?階段練習)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=-l對稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是()

A.g(x)=/(x+l)B.g(x)=/(x-l)C.g(x)=xf(x+l)D.g(x)=xf(x-l)

【答案】D

【解析】因為/(x)的圖象關于直線x=-l對稱，將f(x)向右平移1個單位長度，

所得圖象關于y軸對稱，即f(x-l)為偶函數(shù)，B選項錯誤；

因為/(x)的圖象關于直線x=-l對稱，將向左平移1個單位長度，

〃x+l)關于直線尤=-2對稱，不能得出/(x+1)的奇偶性，A,C選項錯誤；

對于D：g(x)+g(-x)=V(^-l)-V(-x-l)=0,g(-x)=—g(x)可得函數(shù)為奇函數(shù)，D選項正確；

故選：D.

8.(2024?甘肅張掖?模擬預測)(多選)已知直線x=l是函數(shù)"X)圖象的對稱軸，則函數(shù)“X)的解析式可以

是()

A.小)=向B./(x)=eJ-1+e1-

C./(X)=COS7LXD.f(x)=x2-2\x\

【答案】ABC

【解析】A：函數(shù)圖象由y=1圖象沿x軸向右平移1個單位，

X

再把X軸下方的圖象關于X軸對稱翻折到X軸上方，故關于直線X=1對稱，故A正確；

B：函數(shù)/(x)=ei+ej的圖象是由y=ex+e-”圖象沿x軸向右平移1個單位得到的，

而函數(shù)y=e，+eT是偶函數(shù)，關于>軸對稱，

其圖象沿x軸向右平移1個單位后的圖象剛好關于直線x=1對稱，故B正確；

C：令口=far，左eZ,則該函數(shù)的對稱軸為直線犬=左，左eZ,故x=l符合題意，故C正確；

D：/(-1)=-1,/(3)=3,顯然1)關"3),

故此函數(shù)不是關于直線x=l對稱的，故D錯誤.

故選：ABC.

9(2025?福建廈門?一模)若函數(shù)"x)=ln(eg6+i)-x的圖象關于直線彳=3對稱，則〃x)的值域為()

A.[In2-3,O)B.[ln2-3,^o)C.[in3-2,0)D.[ln3-2,4<x>)

【答案】B

【解析】依題意，/(%)=In(e-6+1)-x=In(e^6+e-j,其圖象關于直線x=3對稱，

則/(0)=/⑹,

所以ln(e，+e°)=ln(e6T+ei),所以r+e°=e6T+/，解得0=2,

所以〃x)=ln(e，-6+eT),此時〃6-月=ln(e，+1)=〃"，滿足題意；

因為e*->0,b>0,e>6+「N2Jefx日=之,當且僅當即x=3時等號成立，

e

所以〃x)Zln2-3,

故選:B.

10.(2026高三?全國?專題練習)(多選)函數(shù)y=/(x)的圖象關于點M3力成中心對稱圖形的充要條件是函

數(shù)y=f(x+a)-6為奇函數(shù)，給出下列四個結論，其中正確的是()

3

A.f(x)—x-\------1圖象的對稱中心是(2,1)

x-2

3

B.f(x)=x+-----1圖象的對稱中心是(2,-1)

x-2

C.類比可得函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=。成軸對稱圖形的充要條件是y=f(x+a)為偶函數(shù)

D.類比可得函數(shù)>=/(%)的圖象關于直線x=。成軸對稱圖形的充要條件是>=f(x-a)為偶函數(shù)

【答案】AC

【解析】y=x+：是奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為(0,0),將丫=》+；的圖象向右平移2個單位長度，

再向上平移1個單位長度得〃x)=x-2+—3=+1=尤+—3=-1的圖象，

尤一2x-2

3

因此/。)=尤+—^-1圖象的對稱中心是(2,1),A正確，B錯誤；

x-2

若函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線了=。成軸對稱圖形，則將其圖象向左平移。個單位長度得>的圖象,

y=f(x+“)的圖象關于直線x=0,即>軸對稱，則y=f(x+a)為偶函數(shù)，反之也成立，C正確，D錯誤.

故選：AC

11.(24-25高三下?河南周口?開學考試)下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=ln±=的圖象既不關于某點對稱也不關于某直線對稱

x-3

1|x-l|

B.函數(shù)>==^+5皿(彳_1『的圖象關于某直線對稱

C.函數(shù)、=-9+3尤2-2x+l的圖象關于某點對稱

D.函數(shù)y=ln--+(尤-2丫+尤+1的圖象關于某點對稱

4-x

【答案】BCD

【解析】對A,令〃x)=lnM，則/(4一H++

X~J1—XX—311—XX—JJ

所以函數(shù)y=ln?m的圖象關于點(2，°)對稱，故A不正確；

1_lX-1l、2,、1一朋c、

對B,令g(x)=----er^+sin(x-l),所以g(l—x)=-----rr+sinx=.g(l+x),

1+e111+e11

所以函數(shù)y=g可+sin(x-1)2的圖象關于直線尤=1對稱，故B正確；

對"C,因為/一丁+3f—2%+1=—(X—1)+(兀-1)+1,

所以y=—%3+3/_2x+l的圖象可由函數(shù)丁=_/+%的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，

而函數(shù)》=-丁+%是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，

因此函數(shù)丁=-無3+3/_2x+l的圖象關于點(1,1)對稱，故C正確；

對D,因為；y=lnJ^+(X-2)3+x+l=ln^^：t^+(x-2y+(x-2)+3,

所以函數(shù)y=ln士+(工-2丫+》+1的圖象可由函數(shù)、=山六+爐+龍的圖象向右平移2個單位再向上平移3

個單位得到，

設/z(x)=ln-------\-x3+x(-2<x<2),貝!Jh(-x)=In------+(-x)3-x=-In---------x3-x=-h(x),即h(x)是奇函數(shù),

2-x2+x2-x

圖象關于原點對稱，

因此函數(shù)了=111/—+(尤-2)3+》+1的圖象關于點(2,3)對稱，故D正確.

故選：BCD.

12.(2026高三?全國?專題練習)已知函數(shù)y=〃x)與g(x)=ln(-x-2)-x-2的圖象關于點(-1,0)對稱，貝U

/W=-

【答案】-lnx—x

【解析】設M(x,y)是y=/(x)圖象上任意一點，且點M關于點(-1,0)的對稱點為(孫〃)，

x+m

-------=—1

2

可得<，解得利=-2一羽冏=一丁,

出=0

[2

將其代入函數(shù)g(x)=ln(-x-2)-尤-2,可得—y=lnx+x,所以y=-lnx-尤，

即/(x)=-lnx-x.

故答案為：-Inx-x.

題組二函數(shù)的周期性

1.(2026高三?全國?專題練習)已知奇函數(shù)〃x)的圖象關于直線x=l對稱且"1)=1,則“2025)=()

A.-1B.1C.0D.3

【答案】B

【解析】的圖象關于直線x=l對稱，.?.〃f)=〃x+2),

又/(X)為奇函數(shù)，，/(-x)=-/(x)，，/(x+2)=-/(x),

.?.〃x+4)=〃x),.?"(x)是以4為一個周期的周期函數(shù)，

.?"(2025)=/(4x506+l)=/⑴=1.

故選：B.

2.(2026高三?全國?專題練習)已知定義在R上的函數(shù)“X),對任意實數(shù)x都有“X+4)=-/(%),若函數(shù)

y=〃尤—1)的圖象關于直線x=l對稱，且/(—1)=2,則“2025)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】將函數(shù)y=/■(*-1)的圖象向左平移1個單位即可得到函數(shù)〃x)的圖象，

由函數(shù)y=/(x-i)的圖象關于直線》=1對稱，

可知函數(shù)/(x)的圖象關于y軸對稱，故/(x)為偶函數(shù)，

又由〃x+4)=-/⑺，得〃x+8)=—〃x+4),則〃x+8)=〃尤)，

所以是周期為8的偶函數(shù)，則“2025)=/(1+253x8)=/(1)=/(-!)=2.

故選：B.

3.(2026高三?全國?專題練習)已知奇函數(shù)"X)滿足"5)=1,且〃x-2)的圖象關于x=3對稱，貝葉(2025)

等于()

A.-1B.1C.0D.3

【答案】B

【解析】了=/(彳-2)的函數(shù)圖象向左平移2個單位得到了="尤)的圖象，

因函數(shù)/(尤-2)的圖象關于直線》=3對稱，則〃彳)的圖象關于直線x=l對稱，

貝廳(f)=〃x+2)

因/'(X)為奇函數(shù)，貝1J/(—x)=—/(x),貝！|/(2+x)=—/(x),

貝4(4+x)=-〃x+2),得/?(4+x)=〃x),

所以〃x)是周期為4的周期函數(shù)，

貝U〃2025)="505x4+5)="5)=1.

故選：B

4.(2026高三?全國?專題練習)已知函數(shù)y=/(x)的圖象既關于直線x=l對稱，又關于點(2,0)對稱，且當xe[0,l]

時，/(%)=蠢X，則/(2024)等于()

311

A.------B.------C.------D.0

202420241012

【答案】D

【解析】因為函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱，可得f(x)=/(2-x),

又因為函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(2,0)對稱,可得/(2+x)+/(2-x)=0,

所以f(2+尤)=-f(x),可得/(4+x)=-/(x+2)=f⑺,

所以函數(shù)/(x)的周期為4,

因為當小。H時,小)=蠹’所以〃20245(4x506+。)=〃。)=。.

故選：D.

5.(2025?山西?一模)已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，且了⑺的一個周期為4,若〃1)+/(2)+…+”2026)=2,

則/⑴=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】由題＜；?瑞)'故/(-2)=/(2)=0.又〃3)=/(-1)=一/⑴，/(4)=/(0)=0,故

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

結合周期性可知〃1)+/(2)+…+/(2026)=506[〃1)+"2)+/(3)+”4)]+/⑴+"2)="1),

故"1)=2.

故選：C

6.(2025高三下?全國?專題練習)已知函數(shù)"%)滿足/(X+3)=/(1T)+9〃2)對任意xeR恒成立，又函數(shù)

〃x+9)的圖象關于點(-9,0)對稱,且〃1)=2025,則〃53)=()

A.2024B.-2024C.2025D.-2025

【答案】D

【解析】因為對任意xeR,都有〃x+3)=/(l-x)+9/⑵,

令x=—l,得〃2)=〃2)+9〃2),解得"2)=0,則尤+3)=/(1_耳,

即〃x+4)=〃r),所以函數(shù)〃x)的圖象關于直線尤=2對稱.

又函數(shù)〃彳+9)的圖象關于點(-9,0)對稱，則函數(shù)“X)的圖象關于點(0,0)對稱，

即函數(shù)”X)為奇函數(shù)，所以〃X+4)=〃T)=—〃X),

所以/(x+8)=—〃龍+4)=〃力，所以8是函數(shù)〃x)的一個周期，

所以/(53)=/(7x8-3)=〃-3)=-〃3)=-/⑴=-2025.

故選：D

7.(24-25高三上?安徽阜陽,期末)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且/(x+3)=-〃x),“1-2x)=/(l+2x),

17

"1)=2,/(2)=/(1)-/(0),則E"3()

k=\

A.2