新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第講解三角形

解題方法總結(jié)

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊=〃:Z?:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

tz>/7<=>A>B<=>sinA>sinB<=>cosA<cosB

a+b+ca+bb+ca+cabc

③合分比:=====-------=21\

sinA+sin5+sinCsinA+sin8--sinB+sinC---sinA+sinC----sinA---sinB---sinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=rr

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a-bcosC+ccosB,b-ccosA+acosC.

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

tan

③斜三角形中，-tanC=tan(A+3)='+'an'今tanA+tanB+tanC=tanA-tan3?tanC

1-tanA-tanB

(4)sin(A；%=cos三；cos(/；%=sin[

(3)解三角形多解情況

在AABC中，已知a,b和A時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

二cc

圖形X

AB；-.---BA'、-.....-B,An

AB

bsinA<a<b、入a>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無解

數(shù)

(4)在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答

案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

①若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

<2)若式子含有0,4c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

0若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

④代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

⑸含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

?同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí)，要用到A+B+C=

題型一：正弦定理的應(yīng)用

【典例1-1】在44BC中，“力,c分別為角A3,C的對(duì)邊，若tanA=3,B=^,be=2y/10,貝匹=

A.2B.3C.2-72D.372

【答案】B

/、sin2A+cos2A=l.—

【解析】由tanA=3,可得Ae0,g,根據(jù)sinA°進(jìn)而求出sinA=^^…巫，

vZ)-------=31010

、cosA

由3=；可得sinB=，cosB=，

422

則sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBeosA=義絲+叵乂叵一正,

..............1021025

由正弦定理可知2=包史=叵，

csinC4

又因?yàn)閎e=2A/10，解得b=^5，c=2^2，

&3M

由正弦定理可得a=更中=-泮一=3.

sinBV2

故選:B.

Q

【典例1-2】在44fiC中，內(nèi)角A,良。所對(duì)的邊分別為°,瓦c,若8=71r，b2=-ac,貝UsinA+sinC=

()

2回V39「"3?

AA.----RD.----------U.---Un.----

1313213

【答案】C

刀■q41

【解析】因?yàn)?=3,/=\砒，則由正弦定理得sinAsinC=§sin25=§.

9

由余弦定理可得:。2=a2+c2-ac=-ac,

4

131313

即:/+，=」,根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因?yàn)锳C為三角形內(nèi)角，PIOsinA+sinC>0,貝！JsinA+sinC=——.

2

故選：c.

【方法技巧】

(1)已知兩角及一邊求解三角形；

(2)已知兩邊一對(duì)角；

一大角求小角一解(銳)

一兩解一sinA<1(一銳角、一鈍角)

‘小角求大角一〈一解一sinA=1(直角)

無解一sinA〉1

(3)兩邊一對(duì)角，求第三邊.

A

【變式1-1］已知AABC中，4氏。對(duì)應(yīng)邊分別是°力,<?,若H-b?=bc,則工=.

【答案】2

【解析】因?yàn)閍?一/二人。，a2+c2—b2=2accosB,

所以c?+A=2accos5,即c+Z?=2acos5,

所以，由正弦定理得sinC+sin3=2sinAcosB,

因?yàn)閟inC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinC+sin5=2sinAcosB=sinAcosB+cosAsin5+sinB,

所以sinAcosB-cosAsin5=sinB,即sin(A—5)=sin5,

因?yàn)锳,B￡(0,兀),A—Be(—7i,7c),sinB>0,

所以A—5￡(0,7l),

所以A—5=B或(A—5)+5=兀，即A=2B或A=TI(舍)

A

所以?=2.

B

故答案為：2

【變式1-2】若的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,B+C=60°,a=3,則

sinA+sinB-sinC/、

--------；--------二()

a+b-c

A.2A/3B.3C.-D.6

66

【答案】B

【解析】在AABC中，B+C=60。，所以A=120。，所以吧4=sml20°=迫,

a36

由正弦定理以及比例的性質(zhì)可得：sinA+SinB-sinC=sinA=V3

a+b—ca6

故選：B

【變式1-3】在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,4c,已知2c—。=2從osA,則8=()

,兀c兀-271_571

A.-B.-C.一D.一

6336

【答案】B

【解析】因?yàn)?c-a=2Z?cosA,

由正弦定理，2sinC-sinA=2sinBcosA,

因?yàn)锳+5+C=7t,「.2sin(A+B)—2sinBcosA=sinA,

展開化簡(jiǎn)2sinAcosB=sinA.,/sinA>0,/.cosB=—,

2

jr

又3￡(0,7l),/.B=—.

故選:B.

題型二：余弦定理的應(yīng)用

【典例2-1]在中，角所對(duì)的邊分別為已知士二@

AABCA,B,Ca,b,c,2=2acosBcosC,

2b

其中，c吟,角8=.

【答案】|

【解析】根據(jù)余弦定理：得=2acosa」+"-c2,

2blab

b*2-c2+a2ca2+/72-c2

0即n----------=2cosBD----------------,

2b2b

因?yàn)镃wf,所以#0,

22b

1jr

所以cos5=],又0<5<兀，得B=w，

故答案為：—

【典例2?2】在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,a2+b2=2024c2,則

2tanAtanB

tanC(tanA+tanB),

【答案】2023

2tanAtanB_2________2

【解析】tanC(tanA+tanB)(11Jcos3cosA

rtanC-------+-------

vtanBtanAvsinBsinA

_2sinAsinB_2sinAsinB_2sinAsinB2sinAsinBcosC2QZ?COSC

tanC(sinAcosB+cosAsinB)tanCsin(A+B)tanCsinCsin2Cc2

labcosCa1+b2-c1

由余弦定理有:

22

又4+從=2024°2,所以原式="?0/4?4cr,—rc=2023.

c-

故答案為：2023

【方法技巧】

(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.

(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

〉0,則AABC為銳角三角形

若余弦值<=0,則△ABC為直角三角形.

<0,則AABC為鈍角三角形

【變式2-1]已知。也c分別為的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊，J!Lc(acosB-Z?sinA)=?2-Z72.^

A=.

【答案】v

4

【解析】在AABC中，由余弦定理得，cosB="+。。,代入得c(acos3—bsinA)=G-〃，

lac

(72_〃2)

貝Ijca——----------bsinA\=a2-b2,Bp22-b2-2bcsinA=Icr-2b2,

I2ac)a+c

即sinA=%!三二三=cosA,因?yàn)锳e(O,;r),但A=^時(shí)上式不成立，

2bc2

所以cosAw0,所以tanA=1,則A=f.

4

故答案為：y

4

【變式2?2】在銳角三角形ABC中，角A,民。所對(duì)的邊分別為。,瓦。，若

cos2B+cos2C+2sinBsinC=1+cos2A,則角A=.

【答案】y

【解析】因?yàn)閏os2B+cos2c+2sinBsinC=l+cos2A,所以

所以l-Zsin?B+l-2sin2C+2sinBsinC=2-2sin2A，/.sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC，

7,79_.b?+C?-Q?]八4兀4兀

.'.a2=b2+c2-becosA=---------------=—.?.*0<A<—,A=—.

2bc223

故答案為：y

【變式2-3】記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知/=3必+c?,則強(qiáng)士=

tanC

【答案】-2

【解析】因?yàn)?=3/+C2,所以4+〃一。2=4〃，所以+〃—=絲,

laba

BPcosC=—,由正弦定理可得cosC=2^!更，

asinA

所以sinAcosC=2sin3,所以sinAcosC=2sin(A+C),

所以sinAcosC=2sinAcosC+2sinCcosA,

BPsinAcosC=—2sinCcosA,

tanA

因?yàn)閏osAcosCwO,所以tanA=—2tanC,所以----=-2.

tanC

故答案為：-2

題型三：判斷三角形的形狀

【典例3.1】在△ABC中，若(。-acos3)sin3=(ccosC)sinA,則這個(gè)三角形是.

【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形

【解析】因?yàn)?々一々<：055)51115=3—。85。)511124,

所以，sinA(1—cossinB=(sinB—sinCcosC)sinA,

\'Q<A<TV,貝！JsinA〉0,所以，sinB-sinBcosB=sinB-sinCcosC,

BPbcosB=ccosC,所以，b-a+C———=c-a———,

2ac2ab

22222222224224

b(a+c-b)^c(a+b-c),即ab-b=ac-c，

整理可得?一電+/-。2)=0,即b=C或4=/+°2,

因此，融。為等腰或直角三角形.

故答案為：等腰或直角三角形.

【典例3-2］在dBC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,。，且B=2C,匕=伍，則(

A.AABC為直角三角形B.44BC為銳角三角形

C.AABC為鈍角三角形D.AABC的形狀無法確定

【答案】A

【解析】由b=6a，可得sinB=&sinA，

則sin2C=夜sin(兀—3C)=0sin3C,

sin2C=y/2sin2CcosC+41cos2C-sinC>

2cosc=2A/2cos2C+V2^2cos2C—1）,

即40cos2C—2cosc—夜二0，

由B=2C>C,故C只能為銳角，可得cosC=?2,

2

因?yàn)?<C<W，所以C=；,B=：.

242

故選：A.

【方法技巧】

（1）求最大角的余弦，判斷AABC是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

【變式3?2】已知AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是“，b,c,若bcosC+ccos3=b,且

a=ccosB,則AABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

[解析】bcosC+ccosB=bnsinBcosC+sinCeosB=sin5nsin（5+C）=sin5,

即sinA=sin5,故Q=b,

a=ccosB=>sinA=sinCeosB=>sin（B+C）=sinCeosB

=>sinBcosC+cosBsinC=sinCeosB=>sinBcosC=0,

因?yàn)?￡（0,兀），所以sinBwO,故cosC=0,

因?yàn)镃e（O/）,所以C=（

故AABC為等腰直角三角形.

故選：D

【變式3-2】在44BC中，角A、B、C所對(duì)的邊為“從c若耳=咽生則疑。的形狀是（）

ctanC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

sinB

【解析】在AABC中，由及正弦定理得、蔓=且零，而sinA>0,sin8>。，

c2tanCsin2CsmC

cosC

整理得sinBcosB=sinCeosC,即sin2B=sin2C,jfj]O<B<7i,O<C<7i,

jr

則0<23<2兀,0<2C<2;r,因止匕2B=2C或23+2C=TT,即8=C或B+C=—,

2

所以AABC是等腰三角形或直角三角形.

故選：c

題型四：三角形解的個(gè)數(shù)

C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若滿足。=6力=加,3=9的

【典例4-1]設(shè)在AABC中，角A、B、

0

△ABC不唯一，則機(jī)的取值范圍為（）

、

A.，退B.(0,廄

7

【答案】A

73_ma

【解析】由正弦定理，一b即/癡=丁，所以根=產(chǎn)了

smAsin3-2sinA

jrSTTTTI

因?yàn)锳ASC不唯一，即AASC有兩解，所以一<A〈一且AW—,即3<sinA<l,

6622

所以l<2sinA<2,所以《<」工<1,即也<〃z<JL

22sinA2

故選：A

7T

【典例4-2]若滿足ZABC=T，AC=6,8C=左的AABC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是

4

【答案】（0,6]U{6偽

【解析】已知3=￡,6=6,。=左，則由正弦定理三=上，則sinA=變左，

4sinAsin512

3

又ACO,：%）,當(dāng)6注<sinA<l時(shí)，A有兩解；

42

當(dāng)OvsinAW正或sinA=l時(shí)，A有唯一解，故左e（0,6]U{6&}.

2

故答案為：（0,6]U{66j

【方法技巧】

三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)

角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.

JT

【變式4-1】在44BC中，已知4=:，a=2,若有兩解，則邊8的取值范圍為一.

【答案】（2,4）

由圖可得，要使"RC有兩解，則bsinA<a<b,即:6<2<b,解得2Vb<4.

故答案為：（2,4）.

TT

【變式4-2］在AA8C中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，若6=10,A=-,且御。有唯一解,

6

則。的取值范圍是.

【答案】何。=5或。210}

10xsin

【解析】由正弦定理得。b八bsinAi5,

sinAsinBsinBsinBsinB

因?yàn)橛形ㄒ唤?，?dāng)sin3=l時(shí)，即NB=90。，

△ABC唯一，符合題意，得a=5；

當(dāng)sinBeg,“時(shí)，B有兩個(gè)值，不唯一，不合題意；

當(dāng)sinBe（0,，時(shí)，-^—=-^na=-^—2b,

I2」sinAsinBsin3

所以△ABC唯一，符合題意，得。210.

所以a的取值范圍為何。=5或。210}.

故答案為：{x|a=5或a210}.

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

【典例5-1】如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)〃的

仰角/MAN=45。，點(diǎn)C的仰角NC4B=60。，以及NMAC=75°.從點(diǎn)C測(cè)得NMG4=45°,己知山高

BC—300m,則山高M(jìn)N=m.

M

B

【答案】200

【解析】在"WC中，因?yàn)镹dB=6（）o,NABC=90o,BC=300,所以AC=t=2006,

sin60°

在aAMC中，因?yàn)镹M4C=75。，ZAfG4=45°,可得4MC=6O。，

ACAM所以所喂詈=2。。0,

sinZAMC-sinZACM

在直角AAACV中，MNAM-sinAMAN=20072xsin45°=200.

故答案為：200.

【典例5-2】如圖，某城市有一條公路從正西方向A。通過路口。后轉(zhuǎn)向西北方向。B,圍繞道路0408打

造了一個(gè)半徑為2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道MN,則VN的最小值為km.

【答案】40+4

【解析】如圖，設(shè)切點(diǎn)為尸，連接。P.由題意得NMON=135。,

設(shè)OM=akm,ON=&km,

在AOMN中，

MN2=a2+b2-2.abcos135°

=a2+b2+>/2ab>（2+0）a6,

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)取等號(hào).

設(shè)2OMN=a,則/OM0=45。一a,

Jb=-3—,

所以。=

sinasin（45。-a），

故""sinasin（45°—a）

16、16

-----------------------------產(chǎn)2-----<=■

2sin（2a+45。）-J22-J2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=22.5°時(shí)取等號(hào)）,

所以MN2>16(2+[)=]6(后+1)2，

2-V2

解得（女+1）,所以腦V的最小值為（4忘+4）km.

故答案為：40+4.

【方法技巧】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.

【變式5-1】如圖所示，A氏P,。在同一個(gè)鉛垂面，在山腳A測(cè)得山頂尸的仰角NQAP為

60。,/。48=30。，斜坡AB長(zhǎng)為沉，在8處測(cè)得山頂P的仰角NCBP為a,則山的高度尸。為（）

V3msin(a-30°

2sin(a

V3msin(a+30°)V3msin(6Z-3O0

s

C.D.--------7-------r

2sin(a-60。)2sin(a-60°]

【答案】D

【解析】如圖所示:

所以N2收=30。-90。+a=a-60。，

貝|JZPBA=180°—30°—a+60°=180°+30°—a,

在△PBA中，由正弦定理得，

sinZPBAsinZAPB'

1PAi_m

sin（180。+30。-a）sin（二-60。）

根sin（a—30°）

得附=

sin（a-60。）

在直角三角形PAQ中，Sin60。=登,

g/§sin（a30。）

得|P0|=

2sin（a-6001

故選:D

【變式5-2］如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的

距離為A8,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)尸

的仰角。的大?。ㄑ鼋?。為直線”與平面A8C所成角）.若AB=15m,AC=25m,/BCM=30。，則tan。

n5A/3

\-J.----------

9

【答案】D

【解析】由勾股定理可得，BC=20,過尸作尸PL3C,交BC于P,連結(jié)AP',

貝Ijtan6>=匕，設(shè)CP=x,則尸P'=CPtan30。=走x,

AP'3

在RtZXABC中，AB=15m,AC=25m,所以3c=20m,

貝i]cosZBCA=g,可得AP'=4625+x?-2x25xxg=6-40x+625，

2x昱是

所以tan3=/3=13;,3,

息

當(dāng)"=2,即％=與時(shí)，tan。取得最大值為等=x叵.

尤5439

5

故選：D.

題型六：倍角關(guān)系

【典例6-1】在44BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c（a,b,c互不相等），且滿足

Z?cosC=（2/?-c）cosB.

（1）求證：A=2B；

（2）若c=叵61，求cos3.

【解析】（1）證明：因?yàn)?。cosC=（26—c）cosB,由正弦定理，得sin6cosc=2sin6cos6—sinCeos6,

所以sin（3+C）=sin25,所以sinA=sin2B.

又因?yàn)?<A<〃，0<2B<2加,所以A=25或A+25=?.

若A+2B=?,又A+3+C=?,所以笈=c,與〃，b,c互不相等矛盾，

所以A=26.

jr

（2）由（1）知C=4一（A+3）=?—35,所以0<8<§.

因?yàn)閏="z，所以sinC=V^sinA,則sin（萬-3B）=0sin23,

可得sin3B=0sin28.

又因?yàn)閟in33=sin（2B+B）=sin25cosB+cos2BsinB

=2sinBcos2B+2sinBcos2B—sinB=3sinB—4sin3B

所以3sin5-4sin35=20sinBcosB

JT

因?yàn)樗詓in5>0,3-4sin2B=272cosB,

所以4cos2B-272cosB—1=0,

角軍得cosB=&土"，

4

又。<B〈三,得cosB=e+a.

34

【典例6-2】記VA5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若02=跳4+?,則（）

A.C<bB.C=2BC.D.”（0,3）

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)椤?=跳。+勾，a+b>c>0,所以。2>兒，所以c>從所以A錯(cuò)誤，

C2

對(duì)于B,因?yàn)閏?=/?（〃+人），所以由余弦定理得口/+，—4-ciba+bbc

lac2ac2c2c2b

sinC

所以由正弦定理得COS_B=-----,所以0m。=251115858=5近25,

2sin3

因?yàn)椤！辏?,兀），25￡（0,2兀），所以C=25或C+25二兀，

若。+25=兀，則A=5，所以i=b,此時(shí)/=優(yōu)〃+。）=。2+/,

所以c=4TT,則A=B=7—T,止匕時(shí)C=26,所以B正確,

24

對(duì)于C,由選項(xiàng)B可知C=26,所以5+C=36G(0,7i),所以所以C正確,

?口〃sinAsin(7i-B-C)sin(B+C)sinBcosC+cosBsinC

對(duì)于D,由正弦定理得一二二一=—―-------=-------=----------；------------

bsin5sinBsin5sin5

sinBcos2B+cosBsin2B

sinB

2sinBcos2B

二cos25+

sinB

=2cos25-1+2cos2B=4cos23-1,

因?yàn)锽Gf0,—,所以cosBw所以COS2BG

所以4cos23e（l,4）,所以（48025—1）?（0,3）,所以色（0,3）,所以D正確.

故選：BCD

【方法技巧】

解三角形中的倍角關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知

的一個(gè)角的大小，來求解其兩倍角的大小所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時(shí)提供更多的信息和

靈活性。

【變式6-1］在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為“、b、c,若A=23.

(1)求證：a1=bc;

23

(2)若cos5=1,點(diǎn)。為邊AB上一點(diǎn)，AD=-DB,CD=2A/6,求邊長(zhǎng)匕.

【解析】(1)A=2B,sinA=sin2B=2sinBcosB

/.a=2bxa+C-b2-bc\=O

lac

a1—b1—Z?c=O或b=c

IT

當(dāng)b=c時(shí)，C=B,A=2B=2C=-f.?.〃2=匕2+，=02+歷即82=兒,

2

綜上。2-b=bc

21

(2),,,cosB=-,；.sinB=—,sinA=sin2B=,cosA=cos2B=-

3399

撞，8SC3

/.sinC=sin(A+5)=

2727

aba_b_c

sinAsinBsinC36-27-21

設(shè)〃=36r,b=Tit,c=21t,/.AD=9t,DB=Ut

22

在△BCD中：(36，y+(12t)2—2x36fxl2/x

3

Lb)

62

【變式6-2］（多選題）在銳角AABC中，角ABC所對(duì)的邊分別為〃也c,且c=b+?cosA,則下列結(jié)論

正確的有（）

7171

A.A=2BB.5的取值范圍為

693

D

C.，的取值范圍為（點(diǎn)，石）-熹一熹+2smA的取值范圍為

b

【答案】ACD

【解析】因?yàn)閏=b+2Z?cosA,所以由正弦定理得51!1。=51115+2511158524,

又因?yàn)閟inC=sin(A+5),所以$111(4+5)=01115+251115(：0024,

即sinAcosB+sinBcosA=sinB+2sinBcosA,

整理得sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A—B)=sinB

對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)锳、B、。均為銳角，所以A—5=5,即A=25,故A項(xiàng)正確;

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)锳=25,4+5+。=兀，所以。=兀—35,

?.71兀

0<A<—0<2B<-

22

71

因?yàn)锳、B、C均為銳角，所以,0<B<~,即.0<B<-,解得￥<3〈乙

264

兀

0<C<-0<兀一35<—

[2[2

所以8的取值范圍為曰故B項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理得?=強(qiáng)=電浮=2cosB,

bsmBsmB64

所以cos3e(?,#),所以\=2cos8e(夜,石).故C項(xiàng)正確.

TTTTTTTT

對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，A=2B，由B項(xiàng)知，—<B<—,所以彳<4<大，

6432

*211。4tanA-tanB小.sinAcosB-sinBcosA八.sin(A-B).

所以----------+2sinA=---------------+2sinA4=--------；——；------------+2sinA4=.'.--+2sinA=

tan3tanAtanBtanAsinBsinAsinBsinA

sinB.A1c一

-------------b2sinA=-------b2sinA,Ai,

sinBsinAsinA32

吟,1）,所以11c一1cJ3

令/=sinA,貝be+2sinA—+2%,tE.(—,1)

tanBtanAt2

令與,D，貝巾'⑺=一：+2=壬口＞o,所以九⑺在（￥」）上單調(diào)遞增，

又吟）=吟力（1）=3,所以〃⑺e（孚,3）,即熹一++2SMA范圍為（孚,3），故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

題型七：三角形中的面積與周長(zhǎng)問題

滿足sinB-sinC

【典例7-1］已知AABC的內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為a,4c

sinAb+c

sinAsinB二——，且^AABC=1，貝U邊。.

5

【答案】卡

【解析】因?yàn)閟、'-sinC=?-",由正弦定理可得：絲￡=叵二3,

sinAb+cab+c

所以〃+/一由余弦定理可得：cosC=+.

2ab2

IT

因?yàn)榻仭?嘰所以c=“

因?yàn)镋we=；"sinC=l,所以ab=20，

c_a_b

由正弦定理可得:

sinCsinAsinB

一=與=回

所以sinCV2，即c=6

2

故答案為：75

【典例7-2】AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若6cosc+耳sinC-a-c=O.

⑴求8;

（2）若。=:且"RC的面積為3+石，求邊長(zhǎng)J

【解析】（1）△ABC中，bcosC+y/3bsinC-a-c=0?

由正弦定理得sin3cosC+\/^sin3sinC-sinA-sinC=0，

又sinA=sin（7i-B-C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

所以Gsin3sinC-cos3sinC-sinC=0,

由于?！辏?。,兀），sinCwO,有否sin5-cos3-1=0,

1jr

所以卜71”），所以△=71

sin,.又3e(0,兀)，則2一工6

zo6OJ3

（2）由（1）

6V21A/6+A/2

而sinA=sinx--1--x—=

2224

V6+V2A/3+15b當(dāng)6

由正弦定理有si*'in兀.Ti,從而a=?A/2C=

sin—42

1234

由三角形面積公式可知，融C的面積可表示為年C佟c(二￥

由已知“1BC的面積為3+6,可得生了02=3+6,所以c=20.

【典例7-3]己知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2bsin(A+升2。=c.

⑴求5

(2)若/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，且BD=2,。=3,求的面積.

【解析】(1