第七章相交線與平行線單元測試（提升卷）

一、選擇題

1.下列命題：

①兩相交直線組成的四個角相等，則這兩條直線垂直；

②兩相交直線組成的四個角中，若有一直角，則四個角都相等；

③兩直線相交，一角的兩鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線垂直；

④兩直線相交，一角與其鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線垂直.

其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

［分析］利用垂直的定義逐一進(jìn)行判斷后即可得到答案.

【解答】解：：①兩相交直線組成的四個角相等且和為360。，故每一個都為90。，故這兩條直線垂直

正確；

②兩相交直線組成的四個角中，若有一直角，則四個角都相等，正確；

③兩直線相交，無論什么時候一角的兩鄰補(bǔ)角相等，但不一定兩直線垂直，故錯誤；

④兩直線相交，一角與其鄰補(bǔ)角相等，則都為90°,故這兩條直線垂直，正確.

故正確的有3個，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是知道兩直線相交所成的四個角中，若有一個角為

直角，則這兩條直線垂直.

2.在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在練習(xí)過點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形,

【分析】根據(jù)垂線段的定義直接觀察圖形進(jìn)行判斷.

【解答】解：從左向右第一個圖形中，垂線段是線段，圖中畫的是射線，故錯誤;

第二個圖形中，BE不垂直AC,所以錯誤；

第三個圖形中，是過點(diǎn)A作的AC的垂線，所以錯誤；

第四個圖形中，過點(diǎn)B作的的垂線，也錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】過點(diǎn)8作線段AC所在直線的垂線段，是一條線段，且垂足應(yīng)在線段AC所在的直線上.

3.直線/上有A、B、C三點(diǎn)，直線/外有一點(diǎn)尸，若以=2on,PB=4cm,PC=3cm,那么P點(diǎn)到直線/

的距離是（）

A.等于2cwiB.小于2cm

C.不大于2cmD.大于2cm且小于3cm

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線段最短的性質(zhì)解答.

【解答】解：?：PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,

...P點(diǎn)到直線I的距離不大于2cm.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線的距離以及垂線段性質(zhì)，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，圖中的同旁內(nèi)角共有（）

A.7對B.8對C.9對D.10對

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在

第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角可得答案.

【解答】解：同旁內(nèi)角有：/A和NB,NA和/ADE,/A和/AEO,/A和/C,和/C,和

ZBDE,/C和NCED,和NCE。，ZADE^ZAED,共9對，

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形.

5.如圖，若直線則下列結(jié)論錯誤的是（）

5/,

W3

2

A.N1=N3B.N2=N3

C.Z4=Z5D.Z2+Z4=180°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：：直線

：.N1=N3,Z2+Z4=180°，Z4=Z5,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答.

A.ZB+ZF+ZD=ZE+ZGB.ZE+ZF+ZG=ZB+ZD

C.ZF+ZG+ZD=ZB+ZED.ZB+ZE+ZF=ZG+ZD

【分析】E作過尸作尸”〃AB,過G作GN〃AB,推出AB〃EA/〃GN〃CO〃F”，得出NB

=ZBEM,ZFEM=ZHFE,ZHFG=ZFGN,ZD=ZNGN,求出N2+NE尸H+NH尸G+N￡)=NBEM+

ZMEF+ZFGN+ZNGD即可.

【解答】

解：過E作過F作FH〃AB,過G作GN〃AB,

,JAB//CD,

：.AB//EM//GN//CD//FH,

：.ZB=ZBEM,ZFEM=ZHFE,ZHFG=ZFGN,ZD=ZNGN,

：.ZB+ZEFH+ZHFG+ZD=ZBEM+ZMEF+ZFGN+ZNGD,

：.ZB+ZEFG+ZD=ZEFG+ZFGD,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.

7.一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能

是（）

A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°

C.第一次向左拐50°,第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130

【分析】首先根據(jù)題意對各選項(xiàng)畫出示意圖，觀察圖形，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可得出答案.

【解答】解：如圖：

與0。

ABCD

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的判定.注意數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，注意掌握同位角相等，兩直線平行.

8.若/A和的兩邊分別平行，且/A比的2倍少30°,則的度數(shù)為（）

A.30°B.70°C.30°或70°D.100°

【分析】由/A和NB的兩邊分別平行，即可得或N4+/B=180°,又由NA比的2倍

少30。，即可求得的度數(shù).

【解答】解：和NB的兩邊分別平行，

或NA+NB=180°,

：/A比/B的兩倍少30°,

即/A=2N3-30°,

-30。或/B=70°.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的性質(zhì)與方程組的解法.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握由NA和的

兩邊分別平行，即可得或/4+/2=180°,注意分類討論思想的應(yīng)用.

9.如圖，ZvlBC沿著BC方向平移得到AA'B'C',點(diǎn)尸是直線A4'上任意一點(diǎn),若△ABC,△尸夕

C的面積分別為Si，S2,則下列關(guān)系正確的是（）

A.Si>&B.5i<52C.Sx=S2D.S\=2S2

【分析】根據(jù)平行線間的距離相等可知△ABC,△PB'C'的高相等，再由同底等高的三角形面積相等

即可得到答案.

【解答】解：

「△ABC沿著BC方向平移得到B'C,

：.AA'//BC',

:點(diǎn)尸是直線4V上任意一點(diǎn)，

.二△ABC,△PB,C'的高相等，

Si—S2，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段

平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等.

10.如圖a〃6,c與a相交，1與6相交，下列說法：

①若/1=/2,則N3=N4；

②若/1+/4=180°,則c〃&

③N4-Z2=Z3-Z1；

@Z1+Z2+Z3+Z4=36O°,正確的有（）

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐一進(jìn)行判斷求解即可.

【解答】解：

①若/1=/2,則a〃e〃從則N3=/4,故此說法正確；

②若/1+/4=180°,由a〃b得到，Z5+Z4=180°,則N1=N5,則c〃d；故此說法正確；

③由?！?得至!J,N5+/4=180°，由N2+/3+N5+180。-Nl=360°得，N2+N3+180。-Z4+18O0

-Z1=360°,則/4-/2=/3-/I,故此說法正確；

④由③得，只有Nl+N4=N2+N3=180°時，Zl+Z2+Z3+Z4=360°.故此說法錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，直線AB、C。相交于。點(diǎn)，ZAOE=9Q°,/I和/2互為對頂角:/I和/4互為鄰

補(bǔ)角;N2和N3互為余角;/I和/3互為余角;N2和N4互為鄰補(bǔ)角.

【分析】依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角以及余角的定義進(jìn)行判斷即可.有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別

是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角.只有一條公共邊，它們的

另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角.

【解答】解：直線A3、CD相交于。點(diǎn)，ZAO￡=90°,/I和N2互為對頂角：N1和N4互為鄰補(bǔ)

角；/2和/3互為余角；N1和/3互為余角；N2和/4互為鄰補(bǔ)角.

故答案為：對頂，鄰補(bǔ)，余，余，令K補(bǔ).

【點(diǎn)評】本題主要考查了鄰補(bǔ)角、對頂角以及余角的定義，鄰補(bǔ)角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中,

一個角的鄰補(bǔ)角有兩個.鄰補(bǔ)角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系.它們

都是在兩直線相交的前提下形成的.

12.如圖，有一個與地面成30°角的斜坡，現(xiàn)要在斜坡上豎起一根電線桿，設(shè)電線桿與斜坡所夾的角為/

1,當(dāng)/I的度數(shù)為60°6寸,電線桿與地面垂直.

【分析】將N1的一邊延長，找/I的對頂角與30°,90°的關(guān)系，再根據(jù)對頂角相等求N1.

【解答】解：如圖，要使則在AABC中，ZCBA=9Q°,

：.Z1=ZACB=9O°-30°=60°.

故答案為：60°.j---

【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線的定義，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解.

13.如圖，將網(wǎng)格中的三條線段A3、CD、EP沿網(wǎng)格線（水平和鉛直方向）平移，使它們首尾相接構(gòu)成三

角形，至少需要移動7格.

【分析】要使平移的個數(shù)最少，可將它們朝同一個點(diǎn)共同移動，此時需要平移的格數(shù)最少.

【解答】解：如圖，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個首尾相接的三角形，

【點(diǎn)評】本題考查平移的基本概念及平移規(guī)律，是比較簡單的幾何圖形變換.關(guān)鍵是要觀察比較平移前

后物體的位置.

14.如圖，AB//CD,將一副直角三角板作如下擺放，ZGEF=60°,ZMNP=45°.下列結(jié)論：①GE〃

MP；②/EFN=150°；③NBEF=75°；?ZAEG+ZPMN=ZGPM.其中正確的是①②③④.

【分析】①由題意可得/G=/MPG=90°,利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定GE〃MP；

②由題意可得/MG=30°,利用鄰補(bǔ)角即可求/E/W=150°；

③過點(diǎn)尸作“〃AB,可得FH〃CD,從而得/HFN=/MNP=45°,可求得/EF〃=105°,再利用

平行線的性質(zhì)即可求得/BEE=75°；

④利用角的計(jì)算可求得/AEG=NPMN=45°,NGPM=90,即可得出答案.

【解答】解：①由題意，?.?/G=NMPG=90°,

：.ZG=ZMPG=90°,

J.GE//MP,故①正確；

②由題意得/EFG=30°,

:.EFN=18Q°-ZEFG=150°,故②正確；

③過點(diǎn)F作FH〃AB,如圖，

,JAB//CD,

：.ZBEF+ZEFH=ISO°,FH//CD,

：.ZHFN=ZMNP=45°,

ZEFH=NEFN-Z.HFN=105°,

：.ZBEF^l80°-4EFH=75°,故③正確；

@'：ZGEF=60°,ZBEF=75°,

：.ZA￡G=180°-ZGEF-ZBEF=45Q,

,:NMNP=45°,

：.ZAEG+ZMNP=9Q°,

：/GPN=180°-ZMPN=1SO°-90°=90°,

ZAEG+ZMNP=ZGPM,故④正確.

綜上所述，正確的有4個.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

15.如圖，AB〃CD,尸2石平分/PiEB,P2/平分/PED，若設(shè)/尸1￡8=尤°，ZP\FD=y0則/p=(x+y)

度(用x,y的代數(shù)式表示)，若P3E平分/P2EB,尸3P平分NP2ED，可得/尸3,P《E平分/P3EB,P4F

1

平分/尸3即，可得…，依次平分下去，則/辦=(["7(x+y)度.

【分析】本題的關(guān)鍵是作過尸1的輔助線MN〃AB,然后利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，結(jié)合歸

納推理思想解決本題.

【解答】解：(1)如圖，分別過點(diǎn)尸1、P2作直線跖V〃A2,GH//AB,

:./PiEB=NMPiE=x°.

又,：AB〃CD,

：.MN//CD.

：.ZP\FD=ZFP\M=y°.

：.ZEPiF=ZEPiM+ZFPlM=x0+y°.

（2）;P2E平分NBEPi，P2F平分NDFPi，

1111

X

：.^BEP2=/BEPI=2°>乙DFP2=產(chǎn)DFP]=2y°-

111

同理可證:^EP2F=乙BEP2+DFP2=2^°+^y°=2（%°+y°）.

1-1-1

以此類推：P3=G）2（*°+y°），線=（毋（貓+y°），…，.=&廠（°+丫°）.

1

故答案為：（x+y）,（5）"7（工+了）.

【點(diǎn)評】主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，利用歸納推理的思想解決.

三、解答題

16.按要求畫圖：

①畫乙402=60°；

②在/AOB的內(nèi)部作OC平分/AOB；

③在射線OC上任取一點(diǎn)尸，使。尸=4cm,過點(diǎn)尸作。4、。8的垂線段，垂足分別為M、N；

④量得PM=2,PN=2.

【分析】①用量角器作出/4。2=60°即可；

②用量角器作出/AOC=30°,射線OC即為所求射線；

③在射線OC上任取一點(diǎn)尸，使。尸=4cm,過點(diǎn)尸作。4、。2的垂線段即可；

④量得PM、PN的長度填寫即可求解.

【解答】解：（1））如圖所示：

測量可得PM=2,PN=2.

故答案為：2；2.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)雜作圖，主要涉及量角器和刻度尺的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

17.已知：如圖，直線AB、C。相交于點(diǎn)O,OA平分/EOC,若/EOC：ZEOD=2：3,求的度

數(shù).

【分析】先設(shè)/EOC=2x,ZEOD=3x,根據(jù)平角的定義得2x+3尤=180°,解得x=36°,則/EOC=

2x=72°,根據(jù)角平分線定義得到/AOC=2/EOC=1X72°=36°,然后根據(jù)對頂角相等得到/

22

BOD=ZAOC=36°.

【解答】解：設(shè)/EOC=2X,ZEOD=3X,根據(jù)題意得2x+3x=18O°,解得x=36°,

：.ZEOC=2x=12°,

平分/EOC,

/.ZAOC=^.ZEOC=^-X72°=36°,

22

：.ZBOD=ZAOC=36°.

【點(diǎn)評】考查了角的計(jì)算，角平分線的定義和對頂角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是明確：1直角=90°；1平

角=180°,以及對頂角相等.

18.補(bǔ)全推理過程:

如圖，在AABC中，AOLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)￡在上，EFLBC于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作直線DG交AC于點(diǎn)

G,交EE的延長線于點(diǎn)”，ZB=50°,Zl+Z2=180°,求/”的度數(shù).

解：-：AD±BC,EFLBC,（已知）

：.AD//EF.（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）

：.Z2+ZEAD=1^0°.（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

VZl+Z2=180°,（已知）

.\Z1=ZEAD.（同角的補(bǔ)角相等）

：.AE//HG.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

AZB=ZBDH.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VZB=50",（已知）

：.ZBDH=5Q°.（等量代換）

,：AD1BC,（已知）

.,.ZADB=90°.（垂直的定義）

Z1+ZBDH+ZADB=180°,（平角定義）

.".Zl=180°-ZBDH-ZADB=40a.（等式性質(zhì)）

\'AD//EF,（已證）

AZH=Z1=40°.（兩直線平行，同位角相等）

【分析】先證明AO〃EE得/2+NEAQ=180°,進(jìn)而證明/1=NEA￡>,得AE〃HG,則

再求出N1=40°,然后由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：-：AD±BC,EF±BC,（已知）

〃所.（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）

.,.Z2+ZEAD=180o.（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

VZl+Z2=180°,（已知）

：.Z1=ZEAD.（同角的補(bǔ)角相等）

（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

：.ZB=ZBDH.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

?48=50°,（已知）

：.ZBDH=50°.（等量代換）

?：ADLBC,（已知）

：.ZADB=9Q°.（垂直的定義）

'：Z1+ZBDH+ZADB=1SO°,（平角定義）

.,.Zl=180°-ZBDH-AADB=W°.（等式性質(zhì)）

'：AD//EF,（已證）

.?./"=/1=40°.（兩直線平行，同位角相等）

故答案為：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；EAD；內(nèi)

錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直的定義；40,兩直線平行，同位角相等.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及補(bǔ)角的定義等知識，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

19.如圖，已知/FE4=/E4F,AE平分/CAF.

（1）求證：EF//AC-,

（2）若AC平分NA4P與/BAD互補(bǔ)，ZFEA-ZDAC=5Q°,求NP.

E

D

X/J>C

AB

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定解答即可；

（2）題干條件沒有給出任何一個具體角的度數(shù)，故可設(shè)其中一個角為羽用x表示其他的角，以N84方

與/BAD互補(bǔ)為等量關(guān)系列方程來求解.

【解答】（1）證明：TAE平分NC4R

ZEAF=ZEAC,

ZFEA=ZEAF,

：.NFEA=NEAC,

：.EF//AC；

（2）解：:AC平分NZMB

ZDAC=ZBAC

設(shè)NZMC=N3AC=x,則NZM5=2x

/FEA-ZDAC=50°

：.ZFEA=ZDAC+50°=x+50°

/./EAF=ZEAC=ZFEA=x+50°

：.ZBAF=ZEAF+ZEAC+ZBAC^x+50°+x+50°+x=3x+100°

,?NBA/與NBA?；パa(bǔ)

???ZBAF+ZBAD=ISO°

/.3x+100°+2x=180°

解得：x=16。

AZEAF=ZFEA=x+50°=66°

AZF=180°-ZFEA-ZEAF=180°-66°-66°=48°

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線的判定.第（2）小題的解題關(guān)鍵為設(shè)一個角度為羽利用

方程思想來求解具體角度.

20.如圖，已知DA_L48,OE1平分NA0C,CE平分/DCB,且Nl+N2=90°,試說明3C_LA3.

【分析】過E作/〃A0,交CD于F,求出NF￡C=N2=N3CE根據(jù)平行線的判定推出5C〃所,

即可得出答案.

【解答】解：

過E作所〃A0,交CD于F,

則NADE=ZDEF,

???。6平分NA。。，

JN1=ZADE,

：.Z1=ZDEF,

VZ1+Z2=9O°,

：.ZDEC=90°,

：.NDEF+NFEC=96°,

：.Z2=ZFEC,

YCE平分NZ)C3,

：.Z2=ZBCE,

：.ZFEC=ZBCE,

：.BC//EF,

J.BC//AD,

*：DA±AB,

：.BC±AB,

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義的應(yīng)用，能正確作出輔助線，并綜合運(yùn)用定理

進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

21.如圖，AB//CD,NA=NBDC.

(1)求證：AE//BD.

(2)若NAEC的平分線交CD的延長線于點(diǎn)尸，且N5OC=140°,N尸=22°.求NC跖的度數(shù).

A

B

Ei

【分析】(1)首先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可得N5DC+N5=180°,結(jié)合NA=N5D。易

得NA+N3=180。，然后根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”證明結(jié)論即可；

(2)過點(diǎn)石作EG/7A3,易得NA+NAEG=180°,進(jìn)而解得NAEG的值，再證明C0〃EG,由“兩

直線平行，內(nèi)錯角相等“可得/方56=//=22°,進(jìn)而求得NAE廠的值，然后根據(jù)角平分線的定義確

定NC跖的度數(shù)即可.

【解答】(1)證明：???A3〃C。，

AZB￡>C+ZB=180°,

,:/A=/BDC,

：.ZA+ZB=180°,

：.AE//BD；

(2)解：如圖，過點(diǎn)片作EG〃A3,

ZA+ZAEG=180°,

VZB￡)C=ZA=140°,

AZAEG=180°-ZA=40°,

'：AB//CD,AB//EG,N/=22°,

：.CD//EG,

：.ZFEG=ZF=22°,

：.ZAEF=ZAEG+ZFEG=62°,

???跖是NAEC的平分線，

：.ZCEF=ZAEF=62°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線等知識，理解并掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.【發(fā)現(xiàn)問題】

如圖①，小明同學(xué)在做光的折射實(shí)驗(yàn)時發(fā)現(xiàn):平行于主光軸MN的光線AB和CD經(jīng)過凹透鏡的折射后,

折射光線5E,。方的反向延長線交于主光軸MN上一點(diǎn)P.

【提出問題】

小明提出：/BPD,NA5P和NCO尸三個角之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【分析問題】

已知平行，可以利用平行線的性質(zhì)，把/BP。分成兩部分進(jìn)行研究.

【解決問題】

探究一：請你幫小明解決這個問題，并說明理由.

探究二：如圖②，ZP,ZAMP,NCNP的數(shù)量關(guān)系為/AMP=/P+/CNP；如圖③，已知NABC

=25°,ZC=60°,AE//CD,則145°（不需要寫解答過程）

利用探究一得到的結(jié)論解決下列問題：

如圖④，射線ME,NF分別平分/BMP和/CNP,ME交直線CD于點(diǎn)E,NF與NAMP內(nèi)部的一條射

線交于點(diǎn)若NP=2NR求的度數(shù).

【分析】探究一：由平行線的性質(zhì)推出NBPN=/ABP,ZDPN=ZCDP,

ZCDP,即可解決問題；

探究二：如圖②，由平行線的性質(zhì)推出/MKP=/CNP,由三角形外角的性質(zhì)即可得到/AMP=/P+

NCNP；

如圖③，由平行線的性質(zhì)推出NALC=/C=60°,求出/ALB=180°-ZALC=120°,由三角形外

角的性質(zhì)得到/54￡=/8+/女8=145°；

如圖④，由探究一的結(jié)論得到ZF=ZAMF+ZCNF,而/尸=2

111

ZF,i^liiZPMF=^ZAMP,又/PME="PMB,得到/'￡'=*AM3=90。.

【解答】解：探究一：NBPD=NABP+NCDP,理由如下：

如圖①，

?JAB//MN//CD,

：.ZBPN=ZABP,ZDPN=ZCDP,

：.ZBPN+ZDPN=ZABP+ZCDP,

：.ZBPD=ZABP+ZCDP.

探究二：如圖②，

ZAMP=ZP+ZCNP,理由如下:

'：AB//CDf

：.ZMKP=ZCNPf

ZAMP=NP+NMKP,

：.ZAMP=/P+/CNP.

如圖③，延長EA交3c于L

*：AE//CDf

：.ZALC=ZC^60°,

AZALB=1SO°-ZALC=12O°,

AZBAE=ZB+ZALB=25°+120°=145°.

故答案為：/AMP=/P+/CNP,145.

???射線ME,N尸分別平分尸和NCNP,

1

?,./PME=RPMB,ZCNF=ZPNF,

如圖④，

由探究一的結(jié)論得：NP=NAMF+/PMF+/CNF+NPNF,NF=NAMF+NCNF,

VZP=2ZF,

Z.AMF+NPMF+ZCNF+ZPNF=2ZAMF+2ZCNF,

9：ZCNF=ZPNF,

：.ZAMF+ZPMF=2ZAMF,

1

/.ZPMF=ZAMF=^ZAMP,

i

ZPMF+ZPME=*(ZAMP+ZPMB),

1i

/.ZFME^=^ZAMB=1x180°=90°.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出/2尸。=/43尸+NCDP,由此結(jié)論來解

決問題.

23.如圖，已知AB〃CD,C在。的右側(cè)，BE平分/ABC,OE平分/ADC,BE、DE所在直線交于點(diǎn)E.Z

ADC=10°.

(1)求/即C的度數(shù)；

(2)若/4BC=〃°,求/BE。的度數(shù)(用含〃的代數(shù)式表示)；

(3