專題02實數(shù)

【知識回顧】

【思維導圖】

【平方根、算術平方根、立方根知識清單】

1.平方根

（1）平方根的定義：若r="，那么X叫做a的平方根.

（2）開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.

開平方運算的被開方數(shù)必須是非負數(shù)（開方數(shù)20）才有意義。

（3）平方與開平方互為逆運算：±3的平方等于9,9的平方根是±3

（4）一個正數(shù)有兩個平方根，且兩個平方根互為相反數(shù);

一個負數(shù)沒有平方根,即負數(shù)不能進行開平方運算；

0的平方根是0.

（5）符號：a（a'O）的正的平方根可用&表示，而也是a的算術平方根；

1

a(a^O)的負的平方根可用-板表示.

(6)x1=a<—>x-+4a

a是x的平方x的平方是a

x是a的平方根a的平方根是x

2.算術平方根

(1)算術平方根的定義：若，=口，且x>o,那么正數(shù)x叫做a的算術平方根；記為收1

規(guī)定：0的算術平方根是0.

(2)的結果有兩種情況：當a是完全平方數(shù)時，、份是一個有理數(shù)；

當a不是一個完全平方數(shù)時，、份是一個無理數(shù)。

(3)當被開方數(shù)擴大時，它的算術平方根也擴大；

當被開方數(shù)縮小時，它的算術平方根也縮小。

(4)夾值法及估計一個(無理)數(shù)的大小

(5)x1-a(xNO)<一>x-4a

a是x的平方x的平方是a

x是a的算術平方根a的算術平方根是x

(6)平方根和算術平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：

區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術平方根只有一個；

聯(lián)系在于正數(shù)的正平方根就是它的算術平方根，而正數(shù)的負平方根是它的算術平方根的相反數(shù)。

3.立方根

(1)立方根的定義：若％3=。，那么x叫做。的立方根。求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立

方。

(2)一個數(shù)。的立方根，記作媯，讀作：“三次根號?！保?/p>

其中a叫被開方數(shù)，3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。

(3)一個正數(shù)有一個正的立方根；

0有一個立方根，是它本身；

一個負數(shù)有一個負的立方根；

任何數(shù)都有唯一的立方根。

(4)x3-a<—>x-\[a

a是x的立方x的立方是a

x是a的立方根a的立方根是x

(5)廣=-短，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

【實數(shù)知識清單】

1.實數(shù)的概念及分類

(1)實數(shù)的分類

正有理數(shù)]

零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負有理數(shù)J

實數(shù)

正無理數(shù)1

>-

2

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

r-正實數(shù)

實數(shù)，o

一負實數(shù)

，整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)。

［零和正整數(shù)又叫自然數(shù)。

正整數(shù)、零、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

(2)無理數(shù)歸類

①開方開不盡的數(shù)，如J7,也等；

JI

②有特定意義的數(shù)，如圓周率口，或化簡后含有加的數(shù)，如一+8等；

3

③有特定結構的數(shù)，如0.1010010001…等；

(3)實數(shù)與數(shù)軸上點的關系：

每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來，

數(shù)軸上的點有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)，

實數(shù)與數(shù)軸上的點就是一一對應的

(4)實數(shù)大小的比較常用方法：

①數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

②求差比較：設a、b是實數(shù)，

a-b>boa>b；a-b=boa=b；a-b〈4oa〈b

③求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，—>1<4>a>b\—=1<4>a=b\—<1a<Z?;

bbb

④絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，貝1］時>性［U>a<Z?。

⑥平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則a2>O〃<人。

(5)實數(shù)的運算

運算定律

①加法交換律

②加法結合律(a-hb)+c=a+(b+c)

③乘法交換律ab-ba

④乘法結合律(ab)c=a(bc)

⑤乘法分配律a(b+c)=ab+ac

實數(shù)混合運算時，對于運算順序有什么規(guī)定？

實數(shù)混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二級運算，乘方為三級運算。同級

運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運算中如

有括號時，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。

二、【考點類型】

3

考點1:平方根、算數(shù)平方根、立方根

典例1：（22-23七年級上?浙江湖州?期中）若x,y滿足阿-5|+亞不1=0,則月P歹的值是.

【變式1］（23-24八年級上.陜西榆林?階段練習）若一個正數(shù)的兩個平方根分別是5a+1和a+5,則

a的值是.

【變式2］（2024七年級下.全國?專題練習）求下列各式中的X：

（1）3（久一1尸=363；

（2）3（%+2尸-81=0.

【變式3］（22-23七年級上?甘肅定西?期末）已知5n1-4的兩個平方根分別是±4,4九-爪的立方根

為

⑴求4nl+3幾的平方根；

（2）若p+2nl的算術平方根是3,求-10m-9n+3P的立方根.

【變式4］（23-24八年級上?山西長治.階段練習）完善下面表格，發(fā)現(xiàn)平方根和立方根的規(guī)律，并運

用規(guī)律解決問題.

X0.0640.6464640064000

Vx0.252980.88m252.98

訴n0.8618418,56640

（1）表格中的，n=

4

（2）從表格數(shù)字中可以發(fā)現(xiàn)：開算術平方根時，被開方數(shù)的小數(shù)點每向左（或向右）移動兩位，它的

算術平方根的小數(shù)點隨即向左（或向右）移動一位.請用文字表述立方根的變化規(guī)律：.

⑶若6=14.142,V7而=b,求a+b的值.

（參考數(shù)據(jù)：V2-1.4142,720~4.4721,V7?1.9129,V07~0.8879）

【變式5］（2024七年級下?全國?專題練習）已知26-2a的立方根是-2,4a+36的算術平方根是3.

（1）求a、b的值；

⑵求5a-6的平方根.

考點2：實數(shù)的分類

典例2：（22-23七年級上?浙江溫州?期中）以下是數(shù)學樂園中的“實數(shù)家族”，請給該“實數(shù)家族”分分

家吧.（填寫序號即可）

5

【變式1］（23-24七年級上?浙江溫州?期中）為了激發(fā)學生的興趣愛好，培養(yǎng)對數(shù)學學科的熱愛，某

校決定舉辦數(shù)學學科節(jié)活動.七年級某班需要在小明和小鹿兩位同學中選出一名志愿者協(xié)助活動，同

學們提議兩人從正負數(shù)相同的若干卡片中各抽取四張，若抽出的八張卡片中正數(shù)多則小明去：負數(shù)多

則小鹿去.以下是他們抽取的卡片：

21

27rV63.14-0.3V25-4

~7~2

（1）該班選出的志愿者是.

（2）請將以上卡片中的數(shù)字按要求填入相應的區(qū)域內：

整數(shù)負分數(shù)

【變式2］（23-24七年級上?浙江杭州?階段練習）把下列各數(shù)填在相應的表示集合的大括號內（填序

號）：

①-2,②7T,③-$④-|-3|,@-0.3,（7）-V4,@V5,（9）0,@1.1010010001...（§

兩個1之間依次多一個0）.

正數(shù)：｛...｝；

整數(shù)：｛…｝;

6

分數(shù)：｛…｝;

非負有理數(shù)：｛

無理數(shù)：｛

負實數(shù)：｛

【變式3](23-24七年級上.江蘇徐州?階段練習)把下列各數(shù)分別填入相應的集合里.-5,卜士

0,-3.14,y,-12,0.1010010001…(每相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次加1),+1.99,-(-6),一9

0.232323...

(1)有理數(shù)集合：｛...｝;

(2)無理數(shù)集合：｛...)；

(3)正數(shù)集合：｛...)；

(4)負數(shù)集合：｛...)；

(5)整數(shù)集合：｛...)；

(6)分數(shù)集合：｛...)；

考點3：實數(shù)與數(shù)軸

典例3：(23-24七年級上.浙江寧波?期中)把下列實數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大小(用“〈”連

接).

-(-2),V5,0,——8,-71,V2

?11??????

-4-3-2-101234

【變式1](23-24七年級上.福建福州?期中)已知數(shù)軸上不重合的三點A,B,C點A,3在數(shù)軸上表

示的數(shù)互為相反數(shù)，點A與點8之間的距離為根(點A在點8的左邊)，點。在數(shù)軸上表示的數(shù)為nm-l,

且根，〃均為整數(shù).

(1)若Tn=4,求點A,3在數(shù)軸上表示的數(shù)；

(2)若A,B到點C的距離相等，求27Tm+zn(:幾+3)與3G+zn)+1的差；

⑶若點3,。到點A的距離相等，求九的值.

7

【變式2］（23-24七年級上?四川成都?期中）【基本事實】

我們知道整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，為什么不是整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)呢？所有的分數(shù)都可以化成

小數(shù)的形式，是不是所有的小數(shù)都可以化成分數(shù)形式呢？我們可以舉例說明：有限小數(shù)0.2化成分數(shù)

的形式是；無限循環(huán)小數(shù)又該如何化呢？我們以無限循環(huán)小數(shù)0.7為例進行說明：設0.7=%,

由0.7=0.7777…可知，10%=7.7777...,所以10x=7+x,解方程，得x=，于是得0.7=彳故0.37

化成分數(shù)的形式是，所有有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)（填“是”或“不是”）有理數(shù)；而無限

不循環(huán)小數(shù)是不可以化成分數(shù)的，所以無（填“是”或“不是”）有理數(shù)，那么無限不循環(huán)小數(shù)能

通過數(shù)軸上的一個點來表示嗎？我們將以兀為例通過下列活動來探索：

【數(shù)學活動】

如圖,直徑為1的圓從原點出發(fā)沿數(shù)軸正方向滾動一周，圓上一點由原點。到達點。'，則。。'=.

判斷：（填“正確”或“錯誤”）

（1）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示.

（2）數(shù)軸上的點都表示有理數(shù).

（3）整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

【變式3］（23-24八年級上.江蘇連云港.階段練習）如圖，數(shù)軸上從左至右依次有C,。，A,B四個

點，分別對應的數(shù)字為x,0,1和百，且力B=C。.

COAB

_____?________?____________i?a

x016

（1）求AB的長，并求x的值；

⑵求的平方根.

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考點4：實數(shù)的大小比較

典例4：(23-24七年級上.浙江溫州?期中)現(xiàn)有四個實數(shù)：卜||,0,m-V4

(1)請在數(shù)軸上近似表示出上列四個實數(shù).

11111tli111A

-5-4-3-2-1012345

(2)請將上列四個實數(shù)按從小到大的順序排列，用連接.

<<<

(3)將上列四個實數(shù)分別填入相應的橫線上.

整數(shù)：;

分數(shù)：;

無理數(shù)：.

【變式1](23-24八年級上?江西九江?階段練習)“作差法”是數(shù)學中常用的比較兩個數(shù)大小的方法,

若a—6>0,則a>6；若a—6=0,則a=b；若a—6<0,貝！|a<6.

例如：比較遙-1與1的大小

由“作差法”得遍-1-1=75-2,

V4<5<9,

2<V5<3,

.\V5-2>0,

.?.V5-1>1.

請根據(jù)上述方法解答以下問題：

(1)"U的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

(2)比較4一回與一1的大小.

9

【變式2](2023八年級上?山東?專題練習)如圖，數(shù)軸上A點表示的數(shù)是位，尸是數(shù)軸上一動點.

????i.i]1A

-5-4-3-2-1012345

⑴在數(shù)軸上，把點A向左平移4個單位長度得到點8,求點8表示的數(shù)；

⑵若點C表示的數(shù)是8所表示數(shù)的相反數(shù)，求點C表示的數(shù)；

(3)若點尸從點A向點8以每秒3個單位長度向8運動，到達點8后又向A運動，到達A后再向8運

動,如此往復運動問當點P運動2022秒時，點尸與點C的位置有什么關系？請說明理由.

【變式3](23-24七年級下?全國?假期作業(yè))課堂上，老師出了一道題：比較牛與|的大小.

小明的解法如下：

鏟V19-2_2_V19-2-2_V19-4

?33.3-3

19>16,.-.V19>4.V19-4>0.

我們把這種比較大小的方法稱為作差法.

請仿照上述方法，比較下列各組數(shù)的大小:

(1)1一曲和1一班;

⑵守和米

10

考點5：實數(shù)的估值

典例5:(23-24八年級上?四川成都?階段練習)請閱讀:①如果a=%+y,其中x是整數(shù)，且0<y<1,

那么％=1,y=V2-1；

②已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式5-百。=2b+|遮一a,求a、b的值.

5—V3a=2b+|V3—a,

???5-V3a=(2b-a)+|V3(有理數(shù)部分和無理數(shù)部分對應相等).

(2

(2b—a=5a=--

???“_2,解得*,

I-a-3b=^

I6

請解答：

(1)如果夕=a+6,其中a是整數(shù)，且0<6<1,那么a=,b=.

(2)如果6+V1T的小數(shù)部分為m,6-VTT的整數(shù)部分為n,求m-n-VTT的值.

(3)己知x,y是有理數(shù)，并且滿足等式/一2y-=17-4或，求x+y的值.

【變式1](22-23七年級下?云南昆明?期末)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分不可

能全部寫出來.

材料一：估算法確定無理數(shù)的小數(shù)部分.

VA/4<V7<V9,即2<近<3,

，位的整數(shù)部分為2,

的小數(shù)部分為夕-2；

材料二：面積法求一個無理數(shù)的近似值，

已知面積為5的正方形的邊長是愿，

V2<V5<3,

設有=2+x(x為曲的小數(shù)部分，0<x<l),

畫出示意圖：由圖可知，正方形的面積由四個部分組成，S正方形=/+2久+2久+4,

正方形=5'

.'.X2+2%+2%+4=5,

略去得方程4x+4=5,

解得x=0.25,

11

即逐?2.25,

解決問題：

（1）結合你所學的知識，探究V1U的近似值（結果精確到0.01）；

（2）請總結估算小（n為開方開不盡的數(shù)）的一般方法.

【變式2]（22-23七年級下?四川廣安?期末）閱讀下列材料：

???V4<V7<V9,即2<夕<3,

V7的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（近-2）.

請你觀察上述的規(guī)律后試解下面的問題：

如果有的小數(shù)部分為a