專題22.1成比例線段【七大題型】

【滬科版】

?與幽底勿

【題型1成比例線段的概念】...................................................................1

【題型2成比例線段的應(yīng)用】...................................................................3

【題型3比例的證明】.........................................................................5

【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】..............................................................7

【題型5利用比例的性質(zhì)求參】................................................................8

【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】......................................................9

【題型7分割】..............................................................................12

。。分聲，1二

【知識點1成比例線段的概念】

1.比例的項：

在比例式a:b=c:d（即烏=￡）中,稱為比例外項，兒c稱為比例內(nèi)項.特別地，在比例式a:b=b:c

bd

（即中，A稱為a,c的比例中項，滿足b2=ac.

bc

2.成比例線段：

四條線段a,b,c,d中，如果a和6的比等于c和d的比，即@=￡,那么這四條線段a,b,c,d

bd

叫做成比例線段，簡稱比例線段.

【題型1成比例線段的概念】

【例1】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）不能與2,4,6組成比例式的數(shù)是（）

【分析】利用表示兩個比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出A、B,C、D選項的比值，即可判

斷.

【解答】解：A、/2=4：6,故A不符合題意；

B、2：3=4：6,故8不符合題意；

C、2：4#6：8,故C符合題意；

D、2：4=6：12,故。不符合題意；

故選：C.

【變式11】（2022秋?義烏市月考）已知線段a=2,b=6,則它們的比例中項線段為，百一

【分析】由題意線段c是a、b的比例中項，可知由此即可解決問題.

【解答】解：???線段c是a、b的比例中項，

??c~~cib，

a—1,b—6,

.'.c2=12,

Vc>0,

:.c=2W,

故答案為：2?

【變式12】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，用圖中的數(shù)據(jù)不能組成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根據(jù)對于四條線段a、6、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的

比相等，如ab=cd（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，進(jìn)而分別判

斷即可.

【解答】解：A、2：4=1：2=1.5：3,能組成比例，錯誤；

B、3：1.5=2：1=4：2,能組成比例，錯誤；

C、2：3W1.5：4；不能組成比例，正確；

。、1.5：2=3：4,能組成比例,錯誤；

故選：C.

【變式13］（2022秋?八步區(qū)期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形AEC7X,AB=8cm,BC=12cm,A'B'

=4cm,B,C=6cm.則線段AB',AB,B'C,2C是成比例線段嗎?

A\--------------------\D

AD1

B\-------lcB'

【分析】求出嘿，器的值判斷即可.

【解答】解：'：AB=Scm,BC=12cm,A'B'=4cm,B'C=6cm,

.ArBr_4_1BQ_6_1

**AB-8~29BC~12~2f

.ArBr_B，C，

??AB=BC,

AB,B,C,BC是成比例線段.

【題型2成比例線段的應(yīng)用】

【例2】（2022秋?渭濱區(qū)期末）已知△A8C的三邊分別為a,b,c,且（a-c）：（a+b）：（c-6）=

-2：7：1,試判斷△ABC的形狀.

【分析】設(shè)a-c=-24，a+b=7,c-b^l,再利用上分別表示出a、b、c,然后利用勾股定理的逆定

理進(jìn)行判斷.

【解答】解：（a-c）：（a+6）：（c-Z?）—-2：7：1,

ct-c=-2ka=3fc

?,?設(shè)a+b=7k,解得,b=4k,

c—b=kc=5k

Va2+b2=（3k）2+（4左）2=25次=（5左）2=c2,

1?△ABC為直角三角形，ZC=90°.

【變式21】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地

圖上，甲乙兩地的距離是（）

A.0.8cmB.8cmC.80cmD.800cm.

【分析】設(shè)地圖上，甲乙兩地的距離是我相，根據(jù)比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：設(shè)地圖上，甲乙兩地的距離是火人，

根據(jù)題意,得:X1

40000000500000

解得:元=80,

即地圖上，甲乙兩地的距離是80cm,

故選：C.

【變式22］（2022秋?杜爾伯特縣期末）一個班有30名學(xué)生，男、女生人數(shù)的比可能是（）

A.3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析】根據(jù)人數(shù)必須是整數(shù)，所以男、女生人數(shù)占的總分?jǐn)?shù)必須能被30整除，然后進(jìn)行計算即可解

答.

【解答】解：A、30+（3+2）=6,能得出整數(shù)的結(jié)果，故A符合題意;

B、304-（1+3）=7.5,不能得出整數(shù)的結(jié)果，故5不符合題意；

C、304-(4+5)=y,不能得出整數(shù)的結(jié)果，故C不符合題意；

D、30+(3+1)=7.5,不能得出整數(shù)的結(jié)果，故。不符合題意;

故選：A.

【變式23】(2022?臺灣)某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個社團，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團

的人數(shù)比例.若該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團的學(xué)生人數(shù)變化，下列

敘述何者正確？()

舞蹈社溜冰社魔術(shù)社

上學(xué)期345

下學(xué)期432

A.舞蹈社不變，溜冰社減少

B.舞蹈社不變，溜冰社不變

C.舞蹈社增加，溜冰社減少

D.舞蹈社增加，溜冰社不變

【分析】若甲：乙：丙=公6…則甲占全部的七，乙占全部的含，丙占全部的標(biāo)

【解答】解：由表得知上、下學(xué)期各社團人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下:

舞蹈社溜冰社魔術(shù)社

上學(xué)期3_94_12_5__15

12-3612-3612-36

下學(xué)期4_163_122_8

9—369—369—36

，舞蹈社增加，溜冰社不變.

故選：D.

比例的性質(zhì)示例剖析

xyc八

(1)基本性質(zhì)：%=、ad=bc(bd*0)—=—<=>3x=2y

bd23

xy23八、

(2)反比性質(zhì)：-=-^-=-(abcd^0)7=彳=_=_(z冷/0)

bdac23xy

/八一rruHacab4

(3)更比性質(zhì)：：=—=;或

bacaxyx2iy3/

或二=彳(個/°)

dc23y3x2

-=-(abed4)

ba

/八人rrxHaca+bc+d/77八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性質(zhì)：—=—o------=-------(bdwO)=a==二(y/0)

bdbdy3y3

.、i-r-aca—bc—di八、y3y—x3-2

(5)分比性質(zhì)：-==^—(bd^O)-=——=------(xwO)

babax2x2

/、八八一L“Haca+bc+d

(6)合分比性質(zhì)：;=二。一=--x2x+y2+3八、

baa-bc-a=°o=0°(z>wo，x*y)

y3x—y2—3

(Jbdw0,aw6,cwd)

(7)等比性質(zhì)：

234

已知一=一=一,則當(dāng)X+y+zwO時，

acm,八、

—=—=???=一z(Jb+d-\----1-〃wO)xyz

bdn2_3_4_2+3+4

a+c-\-----\-ma/77r小

n-----------------=—(b+d+L+〃w0)xyzx+y+z,

b+d-\-----1-nb

【題型3比例的證明】

【例3】（2022秋?汝州市校級月考）已知線段a,b,c,d（bWdWO）,如果§=三=匕求證：三=器.

bdb-db+d

【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)證明即可.

【解答】證明：由白卜匕

可得：a=bk,c=dk,

把。=必，c=dk代入匕=吧業(yè)=k,

b-db-d

把-必，c=dk代入簽=喏=匕

可得.匕￡=生￡

b-db+d

【變式31］（2022春?江陰市期中）如圖，點8,C在線段上，且AS：BC=AD：CD,求證：上+；=2.

ABCD

【分析】由已知條件得到警=累，即任泮=當(dāng)"，兩邊同除以AC,即可得到結(jié)論.

ABADABAD

【解答】證明：??噂=今

DCCD

.BCCDp.nAC-ABAD-AC

ABADABAD

.AC_AC

,*AB-1—1-ADf

??二+工2

AB十ADAC

【變式32］（2022秋?秦都區(qū)校級期中）已知:如圖，點。為三角形ABC內(nèi)部的任意一點，連接49并

延長交3C于點D

BD

證明：（1）S-BO_S“CO(2)S^ABO_

S^BODShCOD'S"COCD

S^ABO_絲

【分析】（1）由等高模型可知:煞由此即可解決問題.

S^BODODS^COD

（2）利用等高模型以及比例的性質(zhì)即可解決問題.

A0

【解答】證明：（1）???修s“c。AO

OD'S^cOD

S&BOD布,

?S&ABO_S^ACO

S&BODS&COD

(2),,SAABD_S&OBDBD

S^ADCS&ODCCD

?S4ABD-S4OBD_BD

>?—,

S^ADC-ShODCCD

?S&ABOBD

S^ACOCD

【變式33】（2022秋?岳陽縣期中）若a,b,c,"是非零實數(shù)且求證寢|=圖

21

【分析】由于(/+C)(/+4)=〃2。2+(?2。2+〃212+(?2d2,(ab+cd)(〃Z?+cd)=o^+Zabcd+c#,根據(jù)

比例的基本性質(zhì)得到〃d=bc,可得（次+，）（/+屋）=（ab+cd）Qab+cd）,從而得證.

【解答】證明：,??=?

bd

??ad'='bc,

*.*(層+，)(/+/)=足阱+?吩+足#+心存,

(ab+cd)(ab+cd)=WU+2abcd+心存,

2abed=心肝+足次

(?2+<?)(Z?2+J2)=(ab+cd)(ab+cd),

?a2+c2_ab+cd.

ab+cdb2+d2"

【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】

【例4】（2022秋?炎陵縣期末）已知鼻=：,貝畤=甘.

3a-b4b—9—

【分析】根據(jù)汽可得竽==,再根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解.

3a-b42b3

【解答】解：%

3a-b4

?3ci—b4

??~―f

2b3

.3a1_4

??-"-—f

2b23

,a_11

"b~9?

故答案為:5.

【變式41】（2022春?霍邱縣期末）若T=那么色的值等于（）

a4a

【分析】把心=：化成1一2=：,即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：=j

a4

?ib3

a4

?b_1

??一——,

a4

故選：B.

【變式42]（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）若^"沮6-2d+3產(chǎn)0,則廣鬻的值為（

0u/3D—2a+3j

【分析】先利用分式的基本性質(zhì)得到？=毛=II=3然后根據(jù)等比性質(zhì)解決問題.

b-2d3f3

【解答】解：?.彳=;=:=;,

baf3

?a_-2c_3e_1

??匕--2d_3f-3’

而b-2d+3尸0

?a—2c+3e1

??-.

匕-2d+3f3

故選：B.

【變式43】（2022春?棲霞市期末）下列結(jié)論中，錯誤的是（)

A.若衿i，r=|

B.若一,則洛

C.若2=9=；（b-d#O）,則仁=]

bci3b—d3

D.若￡=￡則a=3,6=4

【分析】分別利用比例的基本性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：A、若?貝?，，正確，不合題意；

B、若T則6（a-b）=b,故6a=76,貝吟=4正確，不合題意；

b6b6

C、若W=：=：（6-dWO）,則汽=；，正確，不合題意；

ba3b—a3

D、若￡=|，無法得出a，b的值，故此選項錯誤，符合題意.

故選：D.

【題型5利用比例的性質(zhì)求參】

【例5】（2022秋?蜀山區(qū)校級期中）已知：匕=也=9=左，則左=2或7.

xyz

【分析】能夠根據(jù)比例的基本性質(zhì)熟練進(jìn)行比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換.

【解答】解：此題要分情況考慮：

當(dāng)x+y+zWO時，則根據(jù)比例的等比性質(zhì)，得/=織空上=2；

x+y+z

當(dāng)x+y+z=O時，即x+y=-z,貝故填2或-1.

【變式51]（2022秋?灌云縣期末）已知且x+y=24.則%的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】設(shè)：=根據(jù)比例的性質(zhì)求出％=3攵，y=5怎根據(jù)x+y=24得出3Z+5女=24,求出左，再求

出x即可.

【解答】解：設(shè)：（=左，則戶3左，y=5k,

Vx+y=24.

???34+5左=24,

解得：k=3,

；.x=3X3=9,

故選：B.

【變式52】（2022秋?高州市期中）己知?=5=：,且3y=2z+6,求x,y的值.

356

【分析】由若：可設(shè)2=5=：=鼠這樣用人分別表示％、y、z,即x=3攵，y=5kfz=6k,再

356356

利用3y=2z+6,可得到關(guān)于左的方程，解方程得到攵的值，從而可確定x的值.

【解答】解:設(shè)：*=/

貝!Jx=3左，y=5匕z=6k,

???3y=2z+6,

???3X5k=2X6Z+6,

解得：k=2,

.?.x=3左=6,y=5左=10.

【變式53】（2022?雨城區(qū)校級開學(xué)）我們知道：若W=且6+dNO,那么：=^=冷.

（1）若b+d=0,那么〃、。滿足什么關(guān)系？

（2）若空=—=—=t,求產(chǎn)7-2的值.

abc

【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求得r的值，把r的值代入代數(shù)式即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）,.一=：，b+d=0,

bd

〃+c=0；

（2）①當(dāng)a+b+c^Q時，—=—=—=t=出±竺2=2,

abca+b+c

，於--2=22-2-2=0,

②當(dāng)a+b+c=0時,b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,

?b+ca+ca+b八

??--=---=---=t=1

abc-I,

.'.i1-t-2=0.

【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】

【例6】（2022秋?渝中區(qū)期末）閱讀理解：

已知：a,b,c,1都是不為0的數(shù)，且2求證：空=等.

bdbd

證明：?._=[

bd

,a+b_c+d

bd

根據(jù)以上方法，解答下列問題:

（1）若￡=|,求管的值;

(2)若且cWd,證明巴U=W

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成-=￡+1,再進(jìn)行計算即可得出答案;

⑵根據(jù)比例的性質(zhì)得出等=/等=等再分別相除即可得出答案.

【解答】解：⑴*=I

,a+ba,3「8

><----=-+11=-+1=

匕匕55

⑵V-=-

bd

.aici

??1—1,

bd

?a-b_c-d

bd

..a+b_c+d

?b-d

?a-b.a+b_c-d.c+d

**-b~~~b~~~d~~~d~

,a-b_c-d

',a+bc+d

【變式61】閱讀材料:

己知弓=弓=；片0,求號的值.

346x-y+z

解：設(shè)：=3=：=左（4NO）,則x=3左，y—4k,z—6k.（第一步）

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1(片片一，卜、

**x-y+z3k-4k+6k5k5,-

（1）回答下列問題:

①第一步運用了等式的基本性質(zhì),

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法,

由岳蕓利用了的基本性質(zhì).

（2）模仿材料解題:

已知z=2：3：4,求笥三的值.

【分析】(1)利用等式的基本性質(zhì)，代入消元法，分式的基本性質(zhì)，即可解答；

(2)仿照例題的思路，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：(1)①第一步運用了等式的基本性質(zhì)，

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法，

由工得:利用了分式的基本性質(zhì)，

故答案為：等式，代入消元，分式；

(2)9**x：y：z=2：3：4,

???設(shè)x=2Z,y=3左,z=4左,

?x+y+z_2k+3k+4k

x—2y+3z2fc—6/c+12fc

9k

~8k

_9

-8,

【變式62］(2022秋?椒江區(qū)校級月考)閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知a-七b=b9-c=二c-a(〃、b、?；ゲ幌嗟?，求x+y+z的值.

解：設(shè)一a-^b-=b-cc-a貝!J工=無(a-b)，y=k(/7-c)，z=k(c-a),

.\x+y+z=k(〃-b+b-c+c-a)=后?0=0,.?.%+y+z=0.

依照上述方法解答下列問題：

a,b,C為非零實數(shù)，且“+b+C=0,當(dāng)"上￡=匕空=3上時，求(a+b)(b+O(c+a)的值.

cbaabc

［分析］設(shè)-'=a-:+c=-a+b+c=k,利用比例的性質(zhì)得至lj-。=芯，a-b+c=kb,-a+b+c=ka,

cba

將三式相加可以求得k=l,所以利用等量代換和約分可以求得所求代數(shù)式的值.

【解答】解：設(shè)士=號￡=3f=匕

cba

所以a+b-c=kc①,

a-b+c=kb②,

-a+b+c=ka③,

由①+②+③，得

a+b+c=k(〃+Z?+c).

*.*a+b+cWO,

k=1.

??q+Z?=2c,Z?+C=2〃,C+〃=2Z?.

.(a+b)(b+c)(c+a)2cx.2ax.2b

??o

--------a-b--c-------=-----a--b-c----=8.

【變式63】(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)閱讀下面的解題過程，然后解題：

題目：已知唉=占=3(a、b、c互相不相等)，求無+y+z的值.

a-bb-cc-a

解：設(shè)貝(x=k(a-b)，y=k(b-c),z=ka)于是，x+y+z=k(a-b+b

a-bb-cc-a=k,J(c-

-c+c-a)=H0=0,

依照上述方法解答下列問題：已知：匕=組=也(x+y+z=0),求上匕的值.

xyzx+y+z

【分析】設(shè)注=±=也=左，根據(jù)比例的性質(zhì)得到x=y=z,計算即可.

xyz

【解答】解：設(shè)之=±=上=鼠

xyz

貝!Jy+z=xk,z+x=yk,x+y=zk,

.*.2(x+y+z)—k(x+y+z),

解得,k=2,

?\y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z,

解得，x=y=z,

則匕二一

x+y+z3

【知識點3分割】

如圖，若線段45上一點C,把線段A8分成兩條線段AC和5c(AC>3C),且使AC是A3和3C

的比例中項(即AC2=4?.BC),則稱線段AB被點C分割，點C叫線段AB的分割點，其中

4。=，|二2AB合061842,3C=正正ABa0.382AB,AC與43的比叫做比.(注意：對于線段A3

22

而言，分割點有兩個.)

【題型7分割】

【例7】(2022?青羊區(qū)校級模擬)如圖，點R是正方形ABC。的A8邊上線段AB的分割點，且AR>RB,

Si表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去Si,

S2剩余的面積，則Si：S2的值為1.

DC

【分析】設(shè)AB=a,根據(jù)比值用。表示出AR根據(jù)矩形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：設(shè)48=。，

:點R是邊AB邊上的分割點，AR>RB,

-AB^—a,

22

則BR=AB-AR=a--a=-a,

22

：.S1：S2=（亨a）2：ax等a=l,

故答案為：1.

【變式71］（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知點尸是線段A8上的一點，線段AP是P5和A3的比例中項，下

列結(jié)論中，正確的是（）

APBV5+1nPBV5+1-APV5-1cAPV5-1

A.A—P=---2---D.—AB=---2----C.-AB=---2---JD.—PB=---2---

【分析】根據(jù)分割的定義判斷即可.

【解答】解：??,點尸是線段A5上的一點，線段A尸是尸5和A3的比例中項，

：.AP2=PB^B,

，點尸是A3的分割點,

?AP__遍―］

??—,

AB2

故選：C.

【變式72］（2022秋?江都區(qū)校級月考）已知，點。是線段A8的分割點，若

（1）若AB=10cm,則AD=（5A/5—5）cm；

（2）如圖，請用尺規(guī)作出以AB為腰的三角形ABC；

（3）證明你畫出的三角形是三角形.

DR

【分析】（1）根據(jù)分割的概念計算即可；

（2）根據(jù)三角形的概念和尺規(guī)作圖的一般步驟作圖;

（3）根據(jù)分割的概念和三角形的概念證明即可.

【解答】解：（1）：點。是