矩形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）

姓名：班級(jí)：得分：

注意事項(xiàng)：

本試卷試題共30題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷

規(guī)定的位置.

一.解答題（共30小題）

1.（宜春期末）如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

到點(diǎn)E使CF=BE,連接OF.

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

2.（歷下區(qū)期末）如圖，菱形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O,BE//AC,AE//BD,EO與AB交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形是矩形；

3.（濮陽(yáng)期末）如圖，在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

連接2。，EC.

（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；

（2）若/A=50°,①則當(dāng)°時(shí)，四邊形是矩形；

②則當(dāng)。時(shí)，四邊形BECO是菱形.

E

4.（武漢期中）如圖，在菱形4BCD中，AB=6,/D4B=60°,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交射線。于點(diǎn)M連接MQ,AN.

（1）求證：四邊形AMLW是平行四邊形；

（2）填空:

①當(dāng)AM的值為時(shí),四邊形AMDN是矩形;

②當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是菱形.

5.（南充模擬）如圖，回ABC。的對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作。ELBC于E,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)R使

BF=CE,連接AF,0F.

（1）求證：四邊形AEED是矩形.

（2）若AO=7,BE=2,ZABF=45°,試求0P的長(zhǎng).

6.（海安市月考）如圖，在△ABC中，AB^AC,。為邊8C的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，AC,

OE相交于點(diǎn)C.

（1）求證：四邊形AOCE是矩形;

（2）若NAOE=90°,AE=2,求矩形AOCE對(duì)角線的長(zhǎng).

7.（工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，BE//AC,AE//BD,OE與AB

交于點(diǎn)F.

（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由;

（2）若0E=5,AC=8,求菱形ABC。的面積.

8.（鼓樓區(qū)期末）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線所與邊A。、BC交

于點(diǎn)E、F,ZCAE=ZFEA,連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE是矩形；

（2）若AB=5,AC=2底直接寫(xiě)出四邊形AFCE的面積.

9.（延邊州二模）如圖，在平行四邊形ABC。中，過(guò)點(diǎn)。做于E,點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE,連

接ARBF.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）若CF=3,BE=5,A尸平分/ZM8,求平行四邊形A8CZ）的面積.

10.（下陸區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)O,BE//AC,AE//BD,OE與AB交于

點(diǎn)、F.

（1）試判斷四邊形AEB。的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）若OE=10,AC=16,求菱形ABC。的面積.

11.（荔灣區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形A8CD中，BC=^AB,E是線段A8上一點(diǎn)，滿足AE=48E,連接。E,

CE.

(1)求。E與CE的長(zhǎng)度之比；

(2)取線段CD的中點(diǎn)尸，連接并延長(zhǎng)EP至G,使EG=2EF,連接。G,CG,請(qǐng)判斷四邊形EDGC的

形狀，并給予證明.

12.(安陽(yáng)期末)如圖，平行四邊形A8CD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)。，且04=08.

(1)求證：ZABC=90°；

(2)若4。=4,ZA0D=60°,求C￡)的長(zhǎng).

13.(西湖區(qū)校級(jí)月考)已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，M、N分別是A。和2C的中點(diǎn).

(I)若AC=CD,求證：四邊形AMCN是矩形；

(2)若/AC￡)=,則四邊形AMCN是菱形.

14.(澗西區(qū)校級(jí)期中)如圖，四邊形A8C。是平行四邊形，/8=60°,點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線

與8A的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸，BC=2

(1)求證：取△OCE；

(2)連接AC、DF,填空

①當(dāng)AB=時(shí)，以A、C、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；

②當(dāng)AB=時(shí)，以A、C、。、產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

15.(下城區(qū)期末)如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)。，于點(diǎn)E,DF1AC

于點(diǎn)RS.AE=DF.

(1)求證：四邊形A8C。是矩形.

16.(婁星區(qū)期末)如圖：矩形A8C￡)中，AB=2,BC=5,E、尸分別在A。、BC上,且。E=B尸=1.

(1)判斷ABEC的形狀，并說(shuō)明理由？

(2)判斷四邊形瓦是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；

(3)求四邊形EFPH的面積.

17.(南京一模)(1)如圖①，在四邊形ABC。中，NA=NC=90°,AB=CD,求證：四邊形ABC。是矩

形;

(2)如圖②，若四邊形A8CD滿足NA=/C>90°,AB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

DAD

18.(海州區(qū)期末)平行四邊形ABC。中，過(guò)點(diǎn)。作DELA2于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在C。上，CF^AE,連接

AF.

(1)求證：四邊形BEDE是矩形；

(2)若AF平分/54。，且AE=2,DE=4,求矩形BFDE的面積.

19.(古冶區(qū)期中)如圖，菱形A8CD的對(duì)角線AC和8。交于點(diǎn)0,分別過(guò)點(diǎn)C、炸CE//BD,DE//AC,

CE和DE交于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形ODEC是矩形；

(2)當(dāng)/4。2=60°,4。=10時(shí)，求CE和AE的長(zhǎng).

20.(解放區(qū)校級(jí)月考)如圖，點(diǎn)。是菱形A8C。對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE〃。。，過(guò)點(diǎn)。作?！辍ˋC,

CE與。E相交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形OCE。是矩形.

(2)若AB=4,NA8C=60°,求矩形0c即的面積.

21.(古冶區(qū)期中)如圖，在回A2CD中，AB>AD,平分/ADC,AFLBC于點(diǎn)尸交。E于G點(diǎn)，延長(zhǎng)

BC至H使CH=BF,連接。X.

(1)證明：四邊形AFHQ是矩形；

(2)當(dāng)AE=A/時(shí)，猜想線段A3、AG,8尸的數(shù)量關(guān)系，并證明.

22.(五華縣期末)在矩形ABCD中，4B=3,BC=4,E,尸是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A,C同

時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為lc"/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0WK5.

(1)AE=,EF=

(2)若G,”分別是AB,0c中點(diǎn)，求證：四邊形EG"是平行四邊形.

(3)在(2)條件下，當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形EGW為矩形.

23.(長(zhǎng)春模擬)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AB^BC,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,3。平分NABC,

過(guò)點(diǎn)。作。EL2C,交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接0E.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)若DC=2迷，AC=4,求0E的長(zhǎng).

24.(靖江市校級(jí)期中)已知：分別以△ABC的各邊為邊，在8C邊的同側(cè)作等邊三角形4BE、等邊三角形

CBO和等邊三角形ACT,連結(jié)。E,DF.

(1)試說(shuō)明四邊形。EAF為平行四邊形.

(2)當(dāng)AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形。EAF為矩形？并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形。EAF為菱形.直接寫(xiě)出答案

25.(蓮湖區(qū)期末)如圖，在平行四邊形ABC。中，P是A8上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,8重合)，CP=CD,過(guò)點(diǎn)尸

作PQLCP,交于點(diǎn)。，連接C。，ZBPC=ZAQP.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)當(dāng)AP=3,AO=9時(shí)，求A。和C。的長(zhǎng).

26.(二七區(qū)校級(jí)期中)如圖，△ABC中，分別以AB、AC為邊在AABC外作等邊三角形A3。和等邊三角

形ACE,連接C。、BE,四邊形AOFE是平行四邊形.

(1)求證：△ACDHAEB；

(2)當(dāng)/BAC的度數(shù)為時(shí)，平行四邊形AOEE是矩形；當(dāng)/BAC的度數(shù)為時(shí)，平行四

邊形4。巫不存在；

(3)當(dāng)AABC滿足時(shí)，平行四邊形AOEE是菱形.

27.(道里區(qū)校級(jí)期中)在四邊形ABCZ)中，AB=BC,AD=CD,AC和8。交于點(diǎn)。，CE//BD,DE//AC,

EE

D,

CE和DE交于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：四邊形OOEC是矩形；

(2)如圖2,連接OE,當(dāng)A￡>〃8C時(shí)，在不添加任何輔助線及字母的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有的

平行四邊形.

28.(道里區(qū)校級(jí)月考)如圖，在四邊形48C。中，AC、8。相交于點(diǎn)O,AD//BC,ZADC=AABC,OA

=OB.

(1)如圖1,求證：四邊形ABC。為矩形；

(2)如圖2,尸是邊上任意一點(diǎn)，PELBD,PFLAC,E、尸分別是垂足，若AZ)=12,AB=5,求

PE+尸尸的值.

29.(雨花區(qū)期中)如圖，菱形A8CD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)￡>作。E〃AC且。E=連

接AE交。。于點(diǎn)R連接CE、0E.

(1)求證：四邊形OCED為矩形；

(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,ZABC=60°,求AE的長(zhǎng).

30.(大余縣期末)如圖，在矩形A8C。中，AB=8,BC=16,點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A

停止，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是每秒1個(gè)單位，連

接尸。、AQ.CP.設(shè)點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形A8Q尸是矩形；

(2)當(dāng)f=6時(shí)，判斷四邊形AQCP的形狀，并說(shuō)明理由.

矩形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）

姓名：班級(jí)：得分：

注意事項(xiàng)：

本試卷試題共30題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷

規(guī)定的位置.

一.解答題（共30小題）

1.（宜春期末）如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

到點(diǎn)E使CF=BE,連接OF.

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且AD=BC,等量代換得到8C=EF,推出四邊形AEED是

平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得Ar>=4B=BC=10,由勾股定理求出AE=8,AC=4y/5,再由直角三角形斜邊上的

中線性質(zhì)即可得出答案.

【解析】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形，

,:BE=CF,

：.BC=EF,

：.AD^EF,

'：AD//EF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

"：AE±BC,

：.ZAEF=90°,

四邊形AEED是矩形；

（2）解：：四邊形ABCQ是菱形，40=10,

.,.Ar>=A2=BC=10,

VEC=4,

.*.BE=10-4=6,

在RtAAB￡中，AE=y/AB2-BE2=V102-62=8,

在RtAAEC中，AC=>JAE2+EC2=V82+42=4西，

.四邊形ABCD是菱形，

；.OA=OC,

OE=1AC=2V5.

2.（歷下區(qū)期末）如圖，菱形A8C￡）對(duì)角線交于點(diǎn)。，BE//AC,AE//BD,EO與A8交于點(diǎn)?

（1）求證：四邊形AEB。是矩形；

【分析】(1)先證明四邊形AEBO為平行四邊形，由菱形的性質(zhì)可證明/8。4=90°,從而可證明四邊

形AEB。是矩形；

(2)依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到EO=A8,然后依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到A8=CQ,得OE=CO=3即可.

【解析】(1)證明：；2E〃AC,AE//BD

...四邊形AEBO是平行四邊形.

又???菱形ABC。對(duì)角線交于點(diǎn)0

：.AC±BD,即/AOB=90°.

四邊形AEB。是矩形.

(2)解：：四邊形是矩形，

：.EO=AB,

在菱形ABC。中，AB=CD.

：.EO=CD=3.

3.(濮陽(yáng)期末)如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)，交A8延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

連接8。，EC.

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)若/A=50°,①則當(dāng)80°時(shí)，四邊形BECQ是矩形;

②則當(dāng)NA￡>E=90°時(shí)，四邊形BEC。是菱形.

【分析】(1)由A4s證明△20EgZ\C。。，得出OE=。。，即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)得到出)LAE,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到/A￡C=40°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到CBE=ZA=50a,求得/BOE

=90°,根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：???四邊形ABC。為平行四邊形，

J.AB//DC,AB=CD,

：.ZOEB=ZODC,

又?.?。為BC的中點(diǎn)，

:.BO=CO,

Z.OEB=M)DC

在△BOE和△(%)￡)中，\A.BOE=乙COD,

BO=CO

?MB0E沿ACOD(A4S)；

：.OE=OD,

...四邊形BECD是平行四邊形；

(2)解:①當(dāng)NAZ)E=80°時(shí)，四邊形BECO是矩形；

理由：VZA=50°,ZADE=80°,

AZAE￡>=50°,

ZA=ZAED,

：.AD=DE,

"：AB=CD=BE,

：.BD±AE,

：.ZDBE=90°,

四邊形BECD是平行四邊形,

，四邊形8ECO是矩形;

②當(dāng)乙4?！?90°時(shí)，四邊形BECZ）是菱形,

VZA=50°,ZADE=90°,

/.ZA￡￡>=40°,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

.'.AD//BC,

：.ZCBE=ZA=50°,

:./BOE=90°,

：.BC±DE,

.,.四邊形BECD是菱形,

故答案為：80,90.

4.（武漢期中）如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZDAB^60°,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊上一

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交射線C。于點(diǎn)N,連接AN.

（1）求證：四邊形是平行四邊形;

（2）填空:

①當(dāng)AM的值為3時(shí),四邊形是矩形;

時(shí)，四邊形是菱形.

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得再由點(diǎn)E是A。邊的中點(diǎn)，可得AE=OE,從而可證

明△NDE0（A4S）,則NE=ME,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案;

（2）①當(dāng)AM的值為3時(shí)，四邊形AMDN是矩形.根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可判定；②

當(dāng)AM的值為6時(shí)，四邊形AMDV是菱形.根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定.

【解析】解：（1）證明：???四邊形ABCD是菱形,

.,.AB//CD,

ZDNE=ZAME,ZNDE=ZMAE,

?..點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn),

：.AE=DE,

.,.在△NOE和中，4NDE咨4MAE(AAS),

:.NE=ME,

???四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①當(dāng)AM的值為3時(shí)，四邊形AMOV是矩形.理由如下:

?..四邊形ABCD為菱形，

.\AB=AD=6,

???點(diǎn)E是AO邊的中點(diǎn)，

1

：.AE=^AD=3f

.\AM=AE=3,

,：ZDAB=60°,

是等邊三角形，

:?EM=AE,

1

?:NE=EM=5MN,

；?MN=AD,

???四邊形AMDN是平行四邊形，

???四邊形AMDN是矩形.

故答案為：3；

②當(dāng)AM的值為6時(shí)，四邊形AMDN是菱形.理由如下：

AB—AD—6,AM=6,

：.AD=AM,

*：ZDAB=60°,

...△AMD是等邊三角形，

：.ME.LAD,

.四邊形AMDN是平行四邊形，

二四邊形AMDN是菱形.

故答案為：6.

5.(南充模擬)如圖，回ABC。的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,過(guò)點(diǎn)。作。ELBC于E,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)R使

BF=CE,連接AF,OF.

(1)求證：四邊形AEEO是矩形.

(2)若AD=7,BE=2,ZABF=45°,試求OF的長(zhǎng).

【分析】(1)證四邊形4尸磯＞是平行四邊形，/DEF=90°,即可得出結(jié)論.

(2)求出CE=B尸=5,貝IFC=FE+CE=12,證出△ABE是等腰直角三角形，得出4/二尸8=5,在Rt

△AFC中，由勾股定理求出AC=13,由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC,再由直角三角形斜邊上的中

線性質(zhì)即可得出答案.

【解析】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

；BF=CE,

：.FE=BC,

二四邊形AFED是平行四邊形，

'JDELBC,

:.NDEF=90°,

四邊形是矩形.

(2)解：由(1)得：ZAF￡=90°,FE=AD,

VAD=7,BE=2,

:.FE=1,

：.FB=FE-BE=5,

：.CE=BF=5,

：.FC=FE+CE=7+5=12,

VZABF=45°,

AAfiF是等腰直角三角形，

：.AF=FB^5,

在Rtz^AbC中，由勾股定理得：AC=y/AF2+FC2=V52+122=13,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,

：.OF=|AC=學(xué).

6.（海安市月考）如圖，在△ABC中，AB^AC,。為邊8C的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC,

相交于點(diǎn)C.

（1）求證：四邊形AOCE是矩形；

（2）若/AOE=90°,AE=2,求矩形AOCE對(duì)角線的長(zhǎng).

【分析】（1）先判定四邊形AOCE是平行四邊形，再結(jié)合4B=AC,推出/AOC=90°,即可得出結(jié)論;

（2）證出矩形AOCE是正方形，即可解決問(wèn)題.

【解析】（1）證明：???四邊形ABDE是平行四邊形，

：.BD=AE,BD//AE,

?.?。為BC的中點(diǎn)，

：.CD=BD,

：.CD=AE.

四邊形ADCE是平行四邊形.

又,.?A2=AC,。為邊BC的中點(diǎn)，

：.AD.LBC,

：.ZADC=90°,

二四邊形ADCE是矩形.

（2）解：：四邊形AOCE是矩形，ZAOE=90°,

矩形ADCE是正方形，

.*.CE=AE=2,ZAEC=90°,

：.AC=V2A￡=2V2,

即矩形ADCE對(duì)角線的長(zhǎng)為2VL

7.(工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中)如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，BE//AC,AE//BD,OE與AB

交于點(diǎn)F.

(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由;

(2)若OE=5,AC=8,求菱形ABC。的面積.

【分析】(1)先證四邊形AEBO為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得/4。8=90°,從而可得四邊形AEB。

是矩形；

(2)根據(jù)勾股定理和菱形的面積公式解答即可.

【解析】解：(1)四邊形4EBO是矩形，理由如下：

\'BE//AC,AE//BD

四邊形AEBO是平行四邊形.

又：菱形4BCD對(duì)角線交于點(diǎn)0

：.AC±BD,即NAOB=90°.

四邊形AEBO是矩形；

(2)?.,四邊形ABC。是菱形，

1

：.OA=^AC=4fOB=OD,ACLBD,

???四邊形AEBO是矩形，

：.AB=OE=5,

OB=NAB2—。/2=^/52—42=3,

：.BD=2OB=6,

11

???麥形ABCD的面積=^ACXBD=X6=24.

8.(鼓樓區(qū)期末)如圖，在菱形A8CD中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線硬與邊A。、BC交

于點(diǎn)E、F,ZCAE=ZFEA,連接AF、CE.

(1)求證：四邊形AR7E是矩形；

(2)若A3=5,AC=2愿，直接寫(xiě)出四邊形A尸CE的面積.

AED

BFC

【分析】(1)求出OA=OE=OC=OR根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)

矩形的判定得出即可；

(2)根據(jù)勾股定理得出AF2^AB2-BF2=AC?-CF2,即52-(5-x),=(2V5)2-求出x,即得

出CP=2,根據(jù)勾股定理求出AR再求出矩形AFCE的面積即可.

【解析】(1)證明：

：.OA=OE,

?..四邊形ABCD是菱形，

J.AD//BC,

：.ZOCF=ZOAE,ZOFC=ZOEA,

：.ZOFC=ZOCF,

'：OF=OC,

?.,。為AC的中點(diǎn)，

：.OA=OC,

：.OA=OC=OE=OF,

四邊形AFCE是平行四邊形，AC=EF,

二四邊形AFCE是矩形；

(2)解：設(shè)CV=x,

:四邊形ABCD是菱形，43=5,

：.BC=AB=5,

：.BF=5-x,

.四邊形APCE是矩形，

ZAFC=90°=ZAFB,

在RtAAFB和RtAAFC中，由勾股定理得：AF2=AB2-BF2^AC2-CF2,

即52-(5-x)2=(2V5)2-?,

解得：x=2,

即CF=2,

則AF—y/AC2—CF2=J(2V5)2—22=4,

四邊形AFCE的面積是AFXCF=2X4=8.

9.(延邊州二模)如圖，在平行四邊形ABC。中，過(guò)點(diǎn)。做。于E,點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE,連

接AF、BF.

(1)求證：四邊形8陽(yáng)E是矩形；

(2)若CP=3,BE=5,AF平分/D48,求平行四邊形ABC。的面積.

【分析】(1)先求出四邊形8陽(yáng)E是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可;

(2)根據(jù)勾股定理求出DE長(zhǎng)，即可得出答案.

【解析】證明：(1).??四邊形A8CQ是平行四邊形，

J.AB//DC,

:DF=BE,

...四邊形BFDE是平行四邊形，

"：DE±AB,

：.ZDEB=90°,

二四邊形BFDE是矩形；

(2)尸平分

NDAF=ZFAB,

???平行四邊形ABC。，

：.AB//CD,

：.ZFAB=ZDFA,

：.ZDFA=ZDAF,

：.AD=DF=5,

在RtAADE中，DE=y/AD2-AE2=V52-32=4,

平行四邊形ABCD的面積=A2?Z)E=4X8=32,

10.（下陸區(qū)期末）如圖，菱形A8C。的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,BE//AC,AE//BD,與AB交于

點(diǎn)、F.

（1）試判斷四邊形AEB。的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）若OE=10,AC=16,求菱形4BCZ）的面積.

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可證明/BOA=90°,然后再證明四邊形AEBO為平行四邊形，從而可證明

四邊形AEB。是矩形；

（2）根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式解答即可.

【解析】解：（1）四邊形AEBO是矩形.

證明：\'BE//AC,AE//BD

四邊形AEBO是平行四邊形.

又：菱形4BCD對(duì)角線交于點(diǎn)0

：.AC±BD,即NAOB=90°.

四邊形AEBO是矩形.

（2）?.,菱形ABCD,

：.OA=8,

VOE=10,

.\AE=6,

：.08=6,

/.AABC的面積=^AC?。8=*x16x6=48,

???菱形ABC。的面積=2Z\A8C的面積=96.

11.（荔灣區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABC。中，BC=^AB,E是線段AB上一點(diǎn)，滿足AE=4BE,連接。E,

CE.

（1）求。E與CE的長(zhǎng)度之比；

（2）取線段CD的中點(diǎn)R連接并延長(zhǎng)E尸至G,使EG=2ER連接。G,CG,請(qǐng)判斷四邊形即GC的

形狀，并給予證明.

【分析】（1）設(shè)BC=2a,則42=5。，由矩形的性質(zhì)2AD=BC=2a,CD=AB=5a,ZA=ZB=90°,

再由已知得AE=4a,然后由勾股定理求出￡>￡=2有。，CE=后,即可得出答案；

（2）先證四邊形EOGC是平行四邊形，再由勾股定理的逆定理得△CQE是直角三角形，NCED=90°,

即可得出結(jié)論.

【解析】解：⑴設(shè)BC=2a,則AB=5a,

.四邊形ABCD是矩形，

：.AD=BC=2a,CD=AB=5a,ZA=ZB=90°,

'：AE^=4BE,

'.BE—a,AE—^a,

:.DE=VXD2+AE2=7（2cz）2+（4a）2=2充a,CE=VBC2+BE2=V（2a）2+a2=V5tz,

DE2V5a

*----------------------------7，

''CE~V5a'

（2）四邊形EDGC是矩形，理由如下：

是C￡）的中點(diǎn)，

CF=DF,

,:EG=2EF,

：.EF=GF,

四邊形EDGC是平行四邊形，

由（1）得：DE=2乘a,CE=V5a,CD=5a,

：.DE1+CE1=CD2,

...△CDE是直角三角形，ZCE￡>=90°,

四邊形EDGC是矩形.

12.（安陽(yáng)期末）如圖，平行四邊形48c。中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)。，且。4=08.

(1)求證：ZABC=90°；

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AO=OC,BO=OD,求出AC=BD,根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)推

出即可；

（2）根據(jù)矩形性質(zhì)求出NABC=90°,求出△A。。是等邊三角形，解直角三角形求出即可.

11

【解析】（1）證明：在平行四邊形ABC。中，。4+。。=m力。，OB=OD=^BD

又；OA=OC,

：.AC^BD,

四邊形4BCD是矩形，

AZABC=90°；

（2）解：：四邊形ABCD是矩形，

/.ZADC=90°,OA=OD,

又：/AO￡）=60°,

/\AOD是等邊三角形,

：.OA=AD=4,

：.AC=2OA=S,

在RtAMCD中，CD=yjAC2-AD2=V48=4次.

13.（西湖區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在平行四邊形A8C。中，M、N分別是A。和8C的中點(diǎn).

（1）若AC=C￡>,求證：四邊形AA/CN是矩形；

（2）若/AGD=90°,則四邊形AMCN是菱形.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)和矩形的判定定理即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解析】證明：（1）由已知得AO〃BC,AD=BC,

,：M.N分別是和BC的中點(diǎn)，

：.AM=^AD,CN=^BC,AM=CN,

"：AM//CN,AM=CN,

...四邊形AMCN是平行四邊形；

'：AC=CD,M是AZ）的中點(diǎn)，

；.NAMC=90°,

?/四邊形AMCN是平行四邊形，

四邊形AMCN是矩形；

（2）當(dāng)/ACO=90°,四邊形AMCN是菱形，

?.,”是AD的中點(diǎn)，

：.AM=CM,

?.?由（1）知，四邊形AMCN是平行四邊形，

二四邊形AMCN是菱形.

故答案為：90°.

14.（澗西區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形A2C。是平行四邊形，ZB=60°,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線

與54的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)RBC=2

（1）求證：AAFE義ADCE；

（2）連接AC、DF,填空

①當(dāng)AB=1時(shí),以A、C、。、尸為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；

②當(dāng)48=2時(shí),以A、C、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

【分析】(1)由44s即可得出結(jié)論；

(2)①先證四邊形AC。尸是平行四邊形，再證AD=CR即可得出結(jié)論;

②先證四邊形AC。尸是平行四邊形，再證AOLCF,即可得出結(jié)論.

【解析】(1)證明：???四邊形A3。是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZF=ZDCE,

,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

NF=乙DCE

中，\z.AEF=乙DEC,

.AE=DE

：./\AFE^/\DCE(A4S)；

(2)解：如圖，由(1)得：^\AFE^/\DCE,

：.AF=CD,

5L,：AF//CD,

四邊形AC。/是平行四邊形，

①當(dāng)AB=1時(shí)，四邊形ACZ)F是矩形，理由如下：

由(1)得：EF=EC,AF=CD=AB=1,AE=DE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC=2,AD//BC,

.?.AE=Z)E=1=AB,ZEAF=ZB=60°,

...△AEF是等邊三角形，

：.AE=EF,

:.AE=DE=EF=EC,

：.AD=CF,

???平行四邊形ACQ尸是矩形；

故答案為：1；

②當(dāng)AB=2時(shí)，四邊形ACDP是菱形，理由如下:

\'AB=BC=2,48=60°,

：.AABC是等邊三角形，

：.AC=AB=AF,

,:EF=EC,

：.CF±AD,

...四邊形AC。尸是菱形；

15.(下城區(qū)期末)如圖，平行四邊形A8CD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，AEL5D于點(diǎn)E,DFLAC

于點(diǎn)R>AE^DF.

(1)求證：四邊形A8C。是矩形.

【分析】(1)證△AEO會(huì)△。尸O(A4S),得出。4=?！?gt;,則AC=8￡),即可得出四邊形A8CD是矩形.

(2)由矩形的性質(zhì)得出/42。=/氏4。=90°,OA=OB,則NOAB=NOA4,求出NBAE=36°,則

ZOBA=ZOAB=54°,即可得出答案.

【解析】(1)證明：：四邊形A2C。是平行四邊形，

OA=OC=-AC,OB=OD=%D,

'：AE±BD于點(diǎn)E,DFLAC于點(diǎn)R

ZAEO=ZDFO=90°,

(AAEO=乙DFO

在△AEO和△。尸。中，\/.AOE=乙DOF,

(AE=DF

：.AAEO^ADFO(A4S),

：.OA=OD,

：.AC^BD,

四邊形ABC。是矩形.

(2)解：由(1)得：四邊形ABC。是矩形，

AZABC=ZBAD=9Q°,OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

,/ZBAE：/EAD=2：3,

AZBA￡=36°,

：.ZOBA=ZOAB^90°-36°=54°,

AZEAO=ZOAB-ZBA￡=54°-36°=18°.

16.(婁星區(qū)期末)如圖：矩形A8CD中，AB=2,BC=5,E、P分別在A。、8c上，且。E=BP=1.

(1)判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由？

(2)判斷四邊形是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；

(3)求四邊形的面積.

【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出CO=2,根據(jù)勾股定理求出CE和BE,求出C^+BE2的值，求出BC?,

根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形￡）班尸和AECP,推出￡8〃尸尸，EF//HP,

推出平行四邊形EFPH,根據(jù)矩形的判定推出即可;

（3）根據(jù)三角形的面積公式求出CR求出ER根據(jù)勾股定理求出PR根據(jù)面積公式求出即可.

【解析】(1)△BEC是直角三角形：

理由是：

?.?矩形ABC。，

Z.ZADC=ZABP=9Q°,AD=BC=5,AB=CD=2,

由勾股定理得：CE=y/CD2+DE2=V22+l2=V5,

同理8E=2遙，

.".C￡2+BE2=5+20=25,

"：BC-=52=25,

.,.B￡2+C￡2=BC2,

：.ZBEC=90°,

」.△BEC是直角三角形.

(2)解：四邊形EF7也為矩形，

證明：?..矩形A8CD,

：.AD=BC,AD//BC,

?：DE=BP,

四邊形DEBP是平行四邊形，

J.BE//DP,

'：AD=BC,AD//BC,DE=BP,

：.AE=CP,

四邊形AECP是平行四邊形，

.,.AP//CE,

二四邊形是平行四邊形，

VZBEC=90°,

平行四邊形EfPH是矩形.

(3)解：在RtAPCD中FC±PD,

由三角形的面積公式得：PD-CF=PC-CD,

.4x24r=

:.EF=CE-CF=衣-&娟=1V5,

"：PF=y/PC2-CF2=|V5,

S矩形EFPH=EF*PF-|,

8

答：四邊形EFPH的面積是g.

17.(南京一模)(1)如圖①，在四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,AB=CD,求證：四邊形ABC。是矩

形；

(2)如圖②，若四邊形ABCD滿足NA=NC>90°,AB=CD,求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

【分析】(D如圖①，連接2。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO=CB,得到四邊形ABCD是平行四邊

形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)如圖②，分別過(guò)點(diǎn)8、。作BELA。于點(diǎn)￡。F，BC于點(diǎn)R根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8￡=

DF,AE=CF,得到根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：如圖①，連接

；NA=NC=90°,

"：AB=CD,BD=DB,

：.RtAABD^RtACDB(HL),

：.AD=CB,

四邊形ABCD是平行四邊形，

VZA=90°,

四邊形ABC。是矩形；

(2)解:如圖②，分別過(guò)點(diǎn)2、。作BELAZ)于點(diǎn)E,DFLBC于點(diǎn)、F,

:NBAD=NBCD,

：.ZBAE=/DCF,

VZAEB=ZCFZ)=90o,AB=CD,

，△ABE也△C。尸(AAS),

：.BE=DF,AE=CF,

由(1)可得四邊形EBFO是矩形,

：.ED=BF,

：.AD=BC,

'：AB^CD,AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形.

18.(海州區(qū)期末)平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)。作。ELA8于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在CD上，CF=AE,連接

AF.

(1)求證：四邊形8FDE是矩形；

(2)若A尸平分NBA。，且A￡=2,DE=4,求矩形8aE的面積.

【分析】(1)根據(jù)有一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形即可判定.

(2)首先證明4。=。凡求出AO即可解決問(wèn)題.

【解析】(1)證明：???四邊形A8CD是平行四邊形,

：.AB=CD,AB//CD,

J.DF//BE,

"：CF^AE,

：.DF=BE,

...四邊形BFDE是平行四邊形，

'JDELAB,

；.NDEB=90°,

四邊形BFDE是矩形.

(2)解：-JAB//CD,

，NBAF=NAFD,

「AB平分NBA。，

：.ZDAF=ZBAF,

：.ZDAF=Z.AFD,

：.AD=DF,

在RtZ\A￡>E中，VAE=2,DE=4,

：.AD=7AE2+DE2=V22+42=2后

：.DF=2yf5,

...矩形BFDE的面積=￡>PXZ)E=2遙X4=8A/5.

19.(古冶區(qū)期中)如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC和3。交于點(diǎn)。，分別過(guò)點(diǎn)C、作CE〃BD,DE//AC,

CE和DE交于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形ODEC是矩形；

(2)當(dāng)/ADB=60°,AZ)=10時(shí)，求CE和AE的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ODEC是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出NDOC=90°,

根據(jù)矩形的判定得出即可；

(2)求出OD,根據(jù)勾股定理求出A0,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)勾股定理求出即可.

【解析】(1)證明：,：DE//AC,CE//BD,

...四邊形ODEC是平行四邊形，

:四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,即/。OC=90°,

平行四邊形OOEC是矩形；

(2)解：：在Rt/XAOO中，ZADO=60°,

：.ZOAD=3Q°,

1

VAD=10OD=^AD=5,

：.AO=y/AD2-OD2=5V3,

.四邊形ABC。是菱形，

.*.AC=2A0=10V3,

;四邊形。。EC是矩形，ZACE=90°,CE=OD=5,

在RtZkACE中，由勾股定理得：AE=yjAC2+CE2=J(10V3)2+52=5V13.

20.(解放區(qū)校級(jí)月考)如圖，點(diǎn)。是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE〃。1),過(guò)點(diǎn)。作。E〃AC,

CE與DE相交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形OCEO是矩形.

(2)若42=4,NABC=60°,求矩形OCED的面積.

【分析】(1)由條件可證得四邊形CODE為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)可求得NCOr>=90°,則可證

得四邊形CODE為矩形；

(2)首先推知△ABC是等邊三角形，所以AC=4,則OC=%C=2,根據(jù)勾股定理知OD=V42-22=2百,

結(jié)合矩形的面積公式解答即可.

【解析】(1)證明：：CE〃。。，DE//AC,

四邊形OCED是平行四邊形.

又???四邊形A8CO是菱形，

J.ACLBD,即/CO￡)=90°,

四邊形OC即是矩形.

(2)解：：在菱形ABCD中，48=4,

：.AB=BC=CD=4.

又：/ABC=60°,

.,.△ABC是等邊三角形，

；.AC=4,

1

：.OC=^AC=2,

：.0D=V42-22=2V3,

，矩形OCED的面積是2百X2=4V3.

21.(古冶區(qū)期中)如圖，在回ABC。中，AB>AD,OE平分/ADC,AP_LBC于點(diǎn)尸交。E于G點(diǎn)，延長(zhǎng)

BC至H使CH=BF,連接08.

(1)證明：四邊形是矩形；

(2)當(dāng)AE=A尸時(shí)，猜想線段A3、AG.的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃2C,AD^BC,求出&。=切，根據(jù)平行四邊形的判定得

出四邊形AFHD是平形四邊形，再根據(jù)矩形的判定得出即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出A8〃C。，求出N1=N3,推出AE=A￡>,根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)得

出4。=￡)8,求出△ZMG四根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/2=/3=/印)知，ZAGD^ZM,求

出NM=NC￡)M即可.

【解析】(D證明：：四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

,:CH=BF,

：.FH=BC,

：.AD=FH,

二四邊形AFHD是平形四邊形，

'：AF±BC,

AZAFH=90°,

???平行四邊形AbHO是矩形;

(2)猜想：AB=BF+AG,BFCH

證明：如圖，延長(zhǎng)BE到M,使HM=AG,連接OM,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB//CD,

AZ1=Z2,

,.,DE平分NAOC,

???N2=N3,

???N1=N3,

：.AE=AD,

VAE=AF,

：.AF=AD,

四邊形AFHD是正方形,

：.AD=DH,NGAD=NDHM=9U°,

在△D4G和△OHM中

AD=DH

乙DAG=乙DHM,

AG=HM

:?△DAGmdDHM(SAS),

：.Z2=Z3=ZHDM,ZAGD=ZMf

■:AF//DH,

：.ZAGD=ZHDG=N2+NCDH=/MDH+/CDH,

：./M=/CDM,

：.CD=CM=CH+HM,

,:BC=AD=FH,

：.BC-CF=FH-CF,

：.BF=CH,

\'AB=CD,HM=AG,

：.AB^BF+AG.

22.(五華縣期末)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,尸是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A,C同

時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為Icm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0WK5.

(1)AE=t,EF=5-2f或2L5

(2)若G,”分別是AB,0c中點(diǎn)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形.

(3)在(2)條件下，當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形EGW為矩形.

【分析】(1)由勾股定理求出AC=5,由題意得出AE=b=f,即可得出￡F=5-2t或2t-5,

(2)由“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)判定；

(3)由“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”判定四邊形EGF8為矩形時(shí)f的取值.

【解析】(1)解：：四邊形ABC。是矩形，

AZB=90°,

：.AC=7AB2+BC2=V32+42=5,

由題意得：AE=CF=t,

；.即相遇前為：EF=AC-AE-CF=5-2t；

EF相遇后為：EF=AE+CF-AC=2t-5；

故答案為：f,5-2/或2「5；

(2)證明：?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,AD//BC,ZB=90°,

：.AC=>JAB2+BC2=V32+42=5,ZGAF=ZHCE,

■:G、H分別是AB、DC的中點(diǎn),

：.AG=