第4章平面內的兩條直線

（試卷滿分120,考試用時120分鐘）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的

四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.下列各圖中，N1與N2是對頂角的是（）

2.平面內三條直線的交點個數(shù)可能有（）

A.1個或3個B.2個或3個

C.1個或2個或3個D.0個或1個或2個或3

3.如圖，利用三角尺和直尺可以準確的畫出直線CD,請將下面弄亂的操作步驟按正

確的順序排列好應是（）

①沿直尺下移三角尺；②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；

④作直線AB,并用三角尺的一條邊貼住直線AB.

A.④①②③B.④②①③C.④②③①D.④③①②

4.已知同一平面內的三條直線a,b,c,下列命題中錯誤的是（）

A.,：a//b,b//c,:.a//cB.':aVb,bLc,:.a//c

C.,：a//b,b_Lc,:.aLcD."：aLb,bLc,：.aS_c

5.如圖，CD,點E是直線48上的點，過點￡的直線/交直線CD于點尸，￡G平分/BEF

交C。于點G.在直線/繞點￡旋轉的過程中，圖中Z1,/2的度數(shù)可以分別是（）

試卷第1頁，共8頁

2

AEB

/1八

CD

TG

A.30°,110°B.56°,70°C.70°,40°D.100°,40°

同位角相等）

B.因為48〃CD（已知）,所以/3=/4（兩直線平行,內錯角相等）

C.因為（已知）,所以Zl=/2（兩直線平行,內錯角相等）

D.因為（已知）,所以/3=/4（兩直線平行,內錯角相等）

7.下列說法正確的是（）

A.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線

C.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離

D.在同一平面上，不重合的兩條直線，如果它們不相交，那么就一定平行

8.如圖，某農(nóng)戶將水渠的水通過引水管道引入麥田M處澆地，做法如下：過點M

則沿"N鋪設管道用料最省，能解釋這一做法的道理是（）

C.兩點確定一條直線

試卷第2頁，共8頁

D.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行

9.如圖，在四邊形/2CD中，ZC+ZZ>=180°,尸是5c上一點，連接/尸并延長至E點,

連接BE,G是N8上的一點，連接G尸.若NEBF=?DAE=27。,ZAGF=102°,

NBAF=34°,則下列結論錯誤的是（）

A.NAFB=81。B.ZE=54°

C.AD//BCD.BE//FG

10.如圖，A、B是直線加上兩個定點，C是直線〃上一個動點，且加〃%以下說法：①

三角形/3C的周長不變；②三角形A8C的面積不變；③NC的度數(shù)不變；④點C到直線加

的距離不變.其中正確的是（）

c.Ga

二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.如圖，給出下列結論：①/I與-2是同旁內角；②N1與/3是同位角；③/1與—4

是內錯角；④N1與是同位角；⑤N2與23是對頂角.其中說法正確的是—.（填序

12.泰勒斯被譽為古希臘及西方第一個自然科學家和哲學家，“兩條直線相交，對頂角相等”

就是泰勒斯首次發(fā)現(xiàn)并論證的.如圖，七年級數(shù)學課堂上論證“對頂角相等”時，進行了如下

推理：因為/1+/2=180。，Z2+Z3=180°,所以N1=N3.其中，得出Z1=N3使用的依據(jù)

試卷第3頁，共8頁

13.如圖，請你寫出一個條件使得4〃4（不再標注其他字母或數(shù)字），你寫的條件是.

14.如圖，己知48〃CD,/2=/3,Z1=60°,則N4的度數(shù)是.

15.在同一平面上，直線a,b,c是三條平行直線.如果直線a和6的距離為6,直線6和

c的距離為3,那么直線。和c的距離為.

16.如圖，尸是長方形48c。外一點，尸的面積為a.若的面積為6,貝UABPC的

面積為.（用含。、b的代數(shù)式表示）

17.如圖，已知△4BC,BC=5,△ABC的面積為12,點尸為邊8c所在直線上的一個動點,

連接/P,則點/P的最小值是.

18.如圖，在△4BC中，ZBAC=90°,將周長為14的ZUBC沿8C向右平移4個單位長度

試卷第4頁，共8頁

得到4)斯，連接4D,AC,DE交于點0,有下列結論：

?AC//DF,AC=DF；@DE1AC；③四邊形/5ED的周長是22；

④S四邊形71BEO=S四邊形CFDO?其中正確的結論有個.

三、解答題(本大題共8個小題，共66分.解答應寫出文字說明，證明過程或

演算步驟)

B,c,4均在網(wǎng)格線的交點處.

(1)將三角形N8C向下平移2格后得到三角形4月G，請在網(wǎng)格中畫出三角形4月G.

(2)將三角形N8C平移后得到三角形4與G，點A移動到4處，請補全三角形432cz.

⑶在(2)的基礎上，連接和8層，則44與8層的位置關系為.,數(shù)量關系為

20.如圖，直線相交于點O,￡O_LCZ).

⑴若/BOD=35。，求//OE的度數(shù)；

⑵若ZBOD:ZEOB=1:2,求/ZOE的度數(shù).

21.如圖，在四邊形/BCD中，CE平分/BCD,CE//AD,AADC+ADEC=\^°,

ZAED=50°,求的度數(shù).

試卷第5頁，共8頁

22.如圖，己知Gb_L8C于點尸，ADJ.BC于點、D,且/1=/2,求證：N4=NB.

23.如圖，NBCD的平分線交/4BC的平分線于點跖交AB于點、N,若Nl+N2=90。.

(1)求證：AB//CD.

⑵若4=30。，求N4NC的度數(shù).

24.如圖，/1=52°,N2=128°,NC=ND.

(1)AD與CE平行嗎？為什么？

(2)探索//與/斤的數(shù)量關系，并說明理由.

25.補全推理過程:

如圖，在△ABC中，4D18C于點。，點￡在48上，EF，BC于點、F,過點。作直線DG

交/C于點G,交跖的延長線于點兄4=50。，Zl+Z2=180°.求的度數(shù).

試卷第6頁，共8頁

B

H

F_

A匕-----X-XC

Lr

解：???ADIBC,EFIBC,（已知）

ZBFE=ABDA=90°,（_（1）_）

.-.AD//EF.（_②_）

,■.Z2+Z￡JD=180°.（一③_）

???Zl+Z2=180°,（已知）

=N_（!）_.（_⑤_）

.-.AE//HG.（_（6）_）

???ZB=ABDH.（_?_）

???Z5=50°,（已知）

ZBDH=50°.（一⑧_）

■：ADYBC,（已知）

ZADB=90°.

???Zl+ZBDH+ZADB=180。，（—⑨_）

.-.Zl=180°-ZBDH-ZADB=40°.（等式性質）

ADIIEF,（已證）

...Z77=Zl=40°,.

26.【閱讀理解】兩條平行線間的拐點問題經(jīng)常可以通過做一條直線的平行線進行轉化.

例如：如圖1,直線N8〃CD,求證:NB+ND=NBED

(1)把下面的解答過程補充完整,并填到相應的序號內.

解：過點E作直線即〃CD,

Z2=@

試卷第7頁，共8頁

AB//CD(已知)，EF//CD,

②，

:.ZB=@,

???N1+N2=NBED,

:.AB+AD=ABED.

(2)如圖2,直線48〃CD,若NBEP=160°,ZPFD=120°,貝!]NE尸尸=.

【方法運用】

(3)如圖3,直線48〃CD,點尸在的上方，NPEA,ZPFC,NEP廠之間有何數(shù)量關

系？請說明理由.

【聯(lián)想拓展】

(4)如圖4,己知/瓦叩=￡,NPE4的平分線和/P尸C的平分線交于點G,請你用含有力

的式子表示/G的度數(shù)，直接寫出結果.

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】本題考查了對頂角的判斷，有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的

兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.根據(jù)對頂角的概念判斷即可.

【詳解】解：觀察四個圖形，只有B中N1與N2是對頂角；

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了平行線與相交線，做到不重不漏是解題關鍵.根據(jù)相交線的定義，作出

所有可能的圖形即可得解.

【詳解】解：當平面內三條直線平行時，交點個數(shù)為0個；

當平面內三條直線交于一點時，交點個數(shù)為1個；

當兩條直線平行，另一條直線與之相交時，交點個數(shù)為2個；

當平面內三條直線兩兩相交時，交點個數(shù)為3個；

即平面內三條直線的交點個數(shù)可能有0個或1個或2個或3,

故選：D.

3.B

【分析】本題考查了畫平行線，根據(jù)同位角相等兩直線平行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是④②③①，

故選：B.

4.D

【分析】本題考查了平行線的性質和判定及平行公理，掌握平行線的性質和判定是解決本題

的關鍵.

根據(jù)平行線的性質和判定及平行公理逐個判斷得結論.

【詳解】解：因為平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故選項A正確；

垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故選項B正確、D錯誤.

垂直于一條直線6的直線，必垂直于b的平行線。，故選項C正確；

故選：D.

5.C

【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，以及鄰補角的性質，熟練掌握性

答案第1頁，共14頁

質并準確識圖是解題的關鍵.根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得NBEG,根據(jù)角平分線的

定義得到NBEF，根據(jù)鄰補角互補求出Z2即可求解.

【詳解】解：A,■.-ABZ/CD,

NBEG=Z1=30°,

?；EG平分NBEF,

ZBEF=2ZBEG=60°,

Z2=180°Z.BEF=120°,不符合題意；

B>-AB//CD,

NBEG=Z1=56°,

EG平分NBEF,

ZBEF=2/BEG=112°.

.?./2=180。-48m=68。，不符合題意；

C、AB//CD,

NBEG=Z1=70°,

???EG平分ZBEF,

ZBEF=2NBEG=140°,

.?./2=180。一48￡尸=40。，符合題意；

D.---AB//CD,

/BEG=Zl=100°,

EG平分ZBEF,

ZBEF=2NBEG=200°,

.-.Z2=360°-Z5￡F=160°,不符合題意.

故選：C.

6.B

【分析】本題考查平行線的判定和性質，根據(jù)平行線的判定和性質定理，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A.因為/8〃CD（已知），所以N5=N4（兩直線平行，同位角相等），原推

理正確，不符合題意；

B.因為/C〃臺。（已知），所以/3=/4（兩直線平行，內錯角相等），原推理錯誤，符合

題意；

C.因為48〃CD（已知），所以N1=N2（兩直線平行，內錯角相等），原推理正確，不符

答案第2頁，共14頁

合題意；

D.因為/C〃瓦3（已知），所以/3=/4（兩直線平行，內錯角相等），原推理正確，不符

合題意；

故選：B.

7.D

【分析】本題考查了平行公理，垂線的性質，點到直線的距離及直線和直線的位置關系，根

據(jù)平行公理，垂線的性質，點到直線的距離的定義及直線和直線的位置關系逐項判斷即可求

解，掌握以上知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：A、在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該選

項說法錯誤，不符合題意；

B、在同一平面內，經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，該選項說法錯誤，不符合

題意；

C、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，該選項說法錯誤，不符

合題意；

D、在同一平面上，不重合的兩條直線，如果它們不相交，那么就一定平行，該選項說法

正確，符合題意；

故選：D.

8.A

【分析】本題考查垂線段最短，理解垂線段最短的意義是正確解答的關鍵.

根據(jù)垂線段最短進行判斷即可.

【詳解】解：由題意得，解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是“垂線段最短”，

故選：A.

9.D

【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，先求出/D/E=81。，再證明得到

NAFB=NDAE=81。,據(jù)此可判斷A、C；過點￡作明〃4。，則EH///D〃BC,由平行線

的性質可得==/BEH=NEBF=27。,據(jù)此可判斷B；求出度

數(shù)，再求出的度數(shù)，進一步求出的度數(shù)即可判斷D.

【詳解】解：???/￡睨7=；/"￡=27。，

ZDAE=3/EBF=81°

答案第3頁，共14頁

???ZC+ZD=180°,

.■.AD//BC,故C結論正確，不符合題意

NAFB=/DAE=81。,故A結論正確，不符合題意;

如圖所示，過點E作〃/。，則即〃

ZAEH=/DAE=81°,ZBEH=ZEBF=27°,

ZAEB=ZAEH-ZBEH=54°,故B結論正確，不符合題意；

?；NBAF=34°,

ZBAD=ZBAF+ZDAE=115°,

???AD//BC,

ZABC=180°-ZBAD=65°,

ZABE=ZABC+ZCBE=92°,

ZAGF=102°,

NAGF字ZABE,

.?.BE與FG不平行，故D結論錯誤，符合題意；

故選：D.

10.C

【分析】本題考查了兩平行線間的公垂線段相等，等底等高的三角形面積相等等知識；根據(jù)

這些知識逐一判斷即可.

【詳解】解：：/、3為定點，

則N8為定值，

隨著點C的運動，/C+8C的長度是變化的，即A/BC的周長變化的；

故①錯誤；

由于兩平行線間的距離相等，即點C到底邊的距離不變，

即△N2C的面積不變；

故②正確；

答案第4頁，共14頁

隨著點C的運動，/c的度數(shù)是變化的；

故③錯誤；

???兩平行線間的距離相等，

即點C到直線機的距離不變；

故④正確；

綜上，正確的有②④；

故選：C.

11.①②##②①

【分析】本題考查了同旁內角，同位角，內錯角，對頂角，熟練掌握以上知識點是解題的關

鍵.

【詳解】解：4與N2是同旁內角，①說法正確；

N1與N3是同位角，②說法正確；

/I與/4不是內錯角，③說法錯誤；

N1與25不是同位角，④說法錯誤；

/2與N4是對頂角，⑤說法不正確；

故答案為：①②.

12.同角的補角相等

【分析】本題考查對頂角相等，補角的性質，根據(jù)同角的補角相等求解即可.

【詳解】解：?.?Nl+N2=180。，Z2+Z3=180°,

.?.N1和N3都是N2的補角，

,依據(jù)同角的補角相等可得4=/3,

故答案為：同角的補角相等.

13.Z1=Z2（答案不唯一）

【分析】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關鍵.利用平行

線的判定方法即可得到結果.

【詳解】解：,?,N1=N2,

或???N1=N3,

答案第5頁，共14頁

故答案為：/1=/2或/1=/3.

14.150°

【分析】本題主要考查平行的性質，熟練掌握平行的性質是解題的關鍵.根據(jù)平行的性質求

出/2=/3=30。，即可得到答案.

【詳解】解：/8〃CL>,

Zl=ZFEB,N3+N4=180。，

N2=N3=30。，

Z4=150°,

故答案為：150。.

15.3或9##9或3

【分析】本題考查了兩平行之間的距離，①當△在。、c之間，②當c在。、6之間，即可

求解，能根據(jù)平行線的不同位置進行分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：①當b在。、c之間，

a

,二直線。和c的距離為6+3=9；

②當c在。、6之間，

a

￡____________________直線a和c的距離為6—3=3；

b

故答案：3或9.

16.a+b##b+a

【分析】作于交/。于N,根據(jù)長方形的性質，三角形面積的公式，分割法

求面積解答即可.

本題考查了三角形的面積公式，分割法表示面積，熟練掌握三角形面積表示是解題的關鍵.

【詳解】解：作尸于交AD于N,

?.?四邊形是長方形，

AD//BC,4D=BC,

.-.PNLAD,MN=AB,

??,△48尸的面積為a.若AB尸。的面積為b,

S四邊形/BDP—S^ABP+SaBPD—a+b，

答案第6頁，共14頁

,:S四邊形43DP~~SAAPD+S^ABD，

AD-PN+-AD>MNa+b,

22

即;8C.PM=a+6

?'?S?BPC=a+b,

故答案為a+b.

17.4.8

【分析】本題考查了垂線段最短，根據(jù)點尸為邊8C所在直線上的一個動點，當NP_L8C時,

則點/P取最小值，運用三角形的面積公式列式計算，即可作答.

【詳解】解：?.?點尸為邊5c所在直線上的一個動點，

.,.當NPLBC時，則點NP取最小值，

■.■BC=5,ZUBC的面積為12,

止匕時12=—x/尸x2C=L*/尸x5,

.......22

解得/尸=4.8,

故答案為：4.8.

18.4

【分析】本題考查了平移的性質：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖

形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點

移動后得到的，這兩個點是對應點.連接各組對應點的線段平行且相等.也考查了平移的距

離以及圖形的面積.根據(jù)平移的性質逐一判定即可.

【詳解】解：???將周長為14的AABC沿BC向右平移4個單位長度得到力EF,

ZBAC=90°,

.-.AC//DF,AC=DF,AB=DE,BC=EF,AD=BE=CF=4,

ABAC=ZEDF=90°,

答案第7頁，共14頁

.■.DEIAC,四邊形MFD的周長

=AB+BC+CF+DF+AD=14+4+4=22.SAABC=SADEF,

SAABC-S^OEC=S/kDEF-,^AOEC>

?,?$四邊形4BE0一‘四邊形CFDO，

即結論正確的有4個.

故答案為：4.

19.(1)見解析

(2)見解析

⑶平行，相等

【分析】本題考查圖形的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關鍵，

(1)根據(jù)題中平移規(guī)律，平移后即可得到答案；

(2)點A移動到4處，平移規(guī)律為：從右平移4個單位，再向下平多1個單位，再將點8,

點、C,都按照此平移規(guī)律平移，得到層,C2,依次連接4，即可得到三角形44G;

(3)連接班和臺區(qū)，根據(jù)平移的性質可得答案.

【詳解】(1)解：將三角形向下平移2格后得到三角形/4G，如圖所示：

(2)解：???點A移動到4,平移規(guī)律為：向右平移4個單位，再向下平多1個單位，

???將點8,點C,都按照此平移規(guī)律平移，得到為］2,依次連接4，與，。2得到三角形

&BG,如圖所示：

答案第8頁，共14頁

(3)解：???一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行且相等,

.e.AA2//BB2,AA2=BB2,

(2)120°

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，垂線的定義，對頂角相等，熟知垂線的定

義是解題的關鍵.

(1)由垂線的定義得到/。?！?90。，再由對頂角相等得到44。。=/99。=35。，據(jù)此可

得答案；

(2)設=則/￡O8=2x,根據(jù)垂線的定義可得x+2x=90。，解方程求出

ZEOB=60°,則4OE=180?！狽￡OB=120。.

【詳解】(1)解；???EOLCQ,

.-.ZCO￡=90°,

???/BOD=35。,

??.NAOC=NBOD=35。,

：./AOE=NAOC+/COE=35。+90。=125。；

⑵解：設/=

?:/BOD:/EOB=1:2,

??.Z.EOB=2x,

-EO1CD,

???NEOD=90。，

/BOD+/EOB=90。,gp%+2x=90°,

???x=30°,

ZEOB=60°,

??.NAOE=180°-ZEOB=120°.

答案第9頁，共14頁

21.4=50。.

【分析】本題考查了平行線的判定和性質.利用平行線的性質求得ND￡C=/OC￡,再利用

角平分線的定義求得=推出/￡C5=/O￡C,得到?！辍˙C,據(jù)此求解即

可.

【詳解】解：???CE〃/。，

.??//。。+/。。￡=180。，

???AADC+ZDEC=1^0°,

??./DEC=ZDCE,

?,?CE平分/BCD,

NECB=NDCE,

/ECB=/DEC,

：.DE//BC,

?：ZAED=50°,

ZB=ZAED=50°.

22.見詳解

【分析】本題主要考查了平行線的判定以及性質，垂線的定義理解，由垂線的定義得出

/ADC=NGFD=90。,進而得出4O〃G/，由平行線的性質得出Z1=/3,結合已知條件得

出/2=/3,得出DE〃4B,再由平行線的性質得出NB=N4.

【詳解】證明：???G尸，BC,AD1BC

；,/ADC=/GFD=9。。,

AD//GF,

.-.Z1=Z3,

vN1=N2,

.?./2=/3,

'.DE//AB,

???/B=N4.

23.⑴證明見解析

(2)120°

【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線定義的應用，能綜合運用定理進行推理是解此

題的關鍵.

答案第10頁，共14頁

(1)根據(jù)角平分線定義求出ZDC8=2N2,N/3C=2Zl,結合Nl+N2=90。可證

ZDCB+ZABC=1^0,然后根據(jù)平行線的判定方法即可得出結論；

(2)先求出N2=60。，根據(jù)角平分線的定義求出/DCN=N2,然后根據(jù)平行線的性質即可

求解.

【詳解】(1)證明：???/DC8和/48C的平分線交于點￡,

...NDCB=2N2,ZABC=2Z1.

X'-'Zl+Z2=90o,

...ZDCB+NABC=2/2+2N1=2(N2+Nl)=2x90°=180°,

.-.AB//CD.

(2)解：vZ1=30°,Zl+Z2=90°,

Z2=60°.

?:CN平貨NDCB,

ZDCN=Z2=60°.

又?：AB//CD,

.?.NNNC=180°-60°=120°.

24.(1)平行，理由見解析

(2)NN=NF,理由見解析

【分析】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵.

(1)根據(jù)“同旁內角互補，兩直線平行”求解即可；

(2)根據(jù)平行線的判定與性質求解即可.

【詳解】(1)解：平行，理由如下：

VZ1=52°,N2=128°,

Zl+Z2=180°,

BD//CE；

(2)解：Z.A=Z.F,理由如下：

???BD//CE,

AABD=ZC,

VNC=ND,

ZABD=ZD,

答案第11頁，共14頁

:.AC//DF,

ZA=ZF.

25.見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質，垂線的定義，熟練掌握平行線的判定與性質

是解題的關鍵.根據(jù)平行線的判