正方形的性質(zhì)與判定重難點題型

京三

【知識點1正方形的定義】

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

【知識點2正方形的性質(zhì)】

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角

線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).④兩條對角線將正方形分

成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸

【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】

【例1】（2021春?海珠區(qū)校級期中）如圖，以正方形A8CD的一邊為邊向外作等邊△ADE,則/A8E

的度數(shù)是.

【變式1-1］（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，E為正方形ABCZ）外一點，AE=AD,BE交AD于點尸,ZADE

=75°,則°.

1

E

【變式1-2]（2021春?海淀區(qū)校級月考）如圖，在正方形A3C。內(nèi),以A8為邊作等邊△ABE,則/3EG

【變式1-31（2021春?大興區(qū)期中）在正方形ABC。外側(cè)作直線AP,點B關(guān)于直線AP的對稱點為E連接

BE,DE,其中OE交直線AP于點？連接AE,若NB4B=20°,求尸的度數(shù).

【總結(jié)】

【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】

【例2】（2021春?崇川區(qū)校級月考）如圖，正方形A8C￡）的邊長為1,點E在對角線83上，且

22.5°,則BE的長為.

2

【變式2-1］（2021春?余杭區(qū)月考）邊長為4的正方形ABC。中，點、E、尸分別是A3、BC的中點，連結(jié)

EC、ED,點G,反分別是EC、。尸的中點，連結(jié)GH則GH的長為.

【變式2-2］（2021春?南開區(qū)期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEPG,點G在CD上，A8=5,CE=2,

T為AF的中點，求CT的長.

【變式2-3］（2021春?恭江區(qū)校級月考）正方形ABC。的邊長為3,E、尸分別是A8、BC邊上的點，且/

EDF=45°.

（1）求證：EF=AE+CF；

3

【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長）】

【例3】（2020春?儀征市期末）正方形ABCQ中，A8=4,點E、F分別在BC、CQ上，且BE=CF,線

段BAAE相交于點。若圖中陰影部分的面積為14,則△A3。的周長為.

【變式3-1]（2021春?倉山區(qū)期中）如圖，在正方形ABC。中，48=4,點￡,尸分別在CD,上，CE

=DF,BE,CF相交于點H.若圖中陰影部分的面積與正方形A8CD的面積之比為3：4,則△BCH的

C.2A/5+4D.2V6+4

【變式3-2]（2021春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC與2。相交于點。，E為

2C上一點，CE=6,尸為。E的中點.若。尸的長為1,則△（7￡萬的周長為（）

A.14B.16C.18D.12

【變式3-3]（2021春?河西區(qū)期中）將5個邊長為251的正方形按如圖所示擺放，點4,A2,A3,4是正

方形的中心，則這個正方形重疊部分的面積和為（）

4

A.2cm2B.1cm2C.4cm2D.6cm

【總結(jié)】

【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】

【例4】（2020秋?和平區(qū)期末）如圖，若在正方形A8C。中，點E為C。邊上一點，點F為AD延長線上

一點，且。則AE與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.

【變式4-1］（2020春?西山區(qū)期末）如圖（1）,正方形A8C。的對角線AC,BD相交于點。，￡是AC上

一點，連接。E,過點A作垂足為M,AM與8。相交于點尸.

（1）直接寫出。￡與。尸的數(shù)量關(guān)系：；

（2）如圖（2）若點E在AC的延長線上，于點M,AM交8。的延長線于點F,其他條件不變.試

探究OE與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式4-2］（2020春?安陽縣期末）四邊形ABC。是正方形，G是直線BC上任意一點，BELAG于點E,

5

DiLLAG于點足當(dāng)點G在8C邊上時（如圖1）,DF-BE=EF.

（1）當(dāng)點G在3c延長線上時，在圖2中補全圖形，寫出。尸、BE、的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）當(dāng)點G在CB延長線上時，在圖3中補全圖形，寫出。尸、BE、跖的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

【變式4-3］（2021春?天河區(qū)校級期中）如圖，已知四邊形ABC。是正方形，對角線AC、8。相交于O.

（1）如圖1,設(shè)￡、廠分別是A。、上的點，且NEOF=90°,線段AR和所之間存在一定的數(shù)

量關(guān)系.請你用等式直接寫出這個數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,設(shè)E、F分別是上不同的兩個點，且/EOF=45°,請你用等式表示線段AE、8尸和

所之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【題型5正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用】

【例5】（2020秋?周村區(qū)期末）（1）如圖1的正方形ABC。中，點、E,尸分別在邊BC,CD上，ZEAF

=45°,延長CD到點G,DG=BE,連接EE,AG.求證：EF=FG；

（2）如圖2,等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點M,N在邊BC上，且/跖1N=45°.若

BM=1,CN=3,求A/N的長.

6

【變式5-1］（2021春?余杭區(qū)月考）已知正方形ABCO如圖所示，連接其對角線AC,乙BCA的平分線CF

交于點尸，過點2作尸于點N,交AC于點過點C作CPLCP,交延長線于點P.

（1）求證：BF=DP；

（2）若正方形4BC。的邊長為4,求△AC尸的面積；

【變式5-2］（2021春?莆田期末）如圖1,在正方形ABCD中，ZAEF^90°,且E尸交正方形外角的平分

線CF于點尺

（1）若點￡是8C邊上的中點，求證：AE=EF；

（2）如圖2,若點E是的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，那么結(jié)論"AE=EF"

是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3,若點E是8c邊上的任意點一，在AB邊上是否存在點M,使得四邊形。是平行四邊

形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.

【變式5-3］（2021春?江津區(qū)期中）在正方形A3CD中,對角線AC、2。相交于點。，點￡在線段0c上,

點尸在線段A3上，連接BE,連接所交8。于點已知

7

（1）如圖1,求證：EB=EF；

（2）如圖2,點N在線段￡尸上，AN=EN,AN延長線交。8于H,連接。凡求證：DF=<2AH.

【總結(jié)】

【知識點3正方形的判定】

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

【題型6判定正方形成立的條件】

【例6】（2020春?上蔡縣期末）下列說法正確的個數(shù)是（）

①對角線互相垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

②對角線相等或有一個角是直角的菱形是正方形；

③對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；

④對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式6-1]（2020春?建湖縣期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,8C的垂直平分線所交于點

D,交于點E,且BE=BF,添加一個條件，仍不能證明四邊形8ECF為正方形的是（）

8

B

A.BC=ACB.BD=DFC.AC=BFD.CF±BF

【變式6-2]（2020春?開原市校級月考）已知四邊形是平行四邊形，再從四個條件中，選兩個作為

補充條件后，使得四邊形ABCO是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（）

?AB=BC,

②NABC=90",

?AC=BD,

?AC±BD

A.選①②B.選①③C.選②③D.選②④

【變式6-3]（2020秋?陜西期中）如圖，E、F、G、X分別是48、BC、CD、D4的中點.要使四邊形EFGH

是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是.

【總結(jié)】

【題型7正方形判定的證明】

【例7】（2020秋?富平縣期末）如圖，已知四邊形ABC。是矩形，點E在對角線AC上，點尸在邊CD上

（點E與點C、。不重合），BE1.EF,且/A8E+/CEF=45°.求證：四邊形ABC。是正方形.

9

【變式7-1](2021春?婁星區(qū)校級期中)已知，如圖，在RtZiABC中，NACB=90°,E1是兩銳角平分線

的交點，EDLBC,EF1AC,垂足分別為。，F(xiàn),求證：四邊形CDEF是正方形.

【變式7-2](2020春?新鄉(xiāng)期末)如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC,對角線3。平分/ABC,P是BD

上一點，過點尸作PM_LA。，PN±CD,垂足分別為A/、N.

(1)求證：NADB=/CDB；

(2)若/AOC=。時，四邊形是正方形，并說明理由.

【變式7-3](2020秋?渠縣期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,。是8c中點、尸是AC中點，4"是4

A8C的外角NMAC的平分線，延長。F交AN于點E,連接CE.

(1)求證：四邊形ADCE是矩形；

(2)若AB=2C=4,則四邊形AOCE的面積為多少？

(3)直接回答：當(dāng)△A3C滿足時，四邊形AOCE是正方形.

10

【總結(jié)】

【題型8正方形的判定與性質(zhì)綜合】

【例8】（2021春?天心區(qū)期中）四邊形ABC。為正方形，點E為線段AC上一點，連接。E,過點E作跖

LDE,交射線8C于點尸，以DE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.

（1）如圖，求證：矩形。EFG是正方形；

（2）若A8=4,CE=2^2,求CG的長度；

（3）當(dāng)線段。E與正方形A8C。的某條邊的夾角是40°時，直接寫出/EEC的度數(shù).

備用圖

【變式8-1]（2020秋?青山區(qū)期末）如圖，已知四邊形A8CD為正方形，AB=4V2,點E為對角線AC上

一動點，連接。E、過點E作￡尸，。E.交BC點、F,以DE、為鄰邊作矩形OEBG,連接CG.

（1）求證：矩形。EFG是正方形;

（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

【變式8-2]（2020春?南充期末）如圖，在矩形ABC。中，的平分線交于點E,于點R

OG_LAE于點G,DG與EF交于點、O.

(1)求證：四邊形A8EF是正方形;

(2)AD=AE,求證：AB=AG；

(3)在（2）的條件下，已知AB=1,求。。的長.

11

【變式8-3](2020春?鄒城市期末)如圖，回428中，NA=45°,過點D作即_LA。交AB的延長線于

點、E,5.BE=AB,連接8。，CE.

(1)求證：四邊形8OCE是正方形；

(2)P為線段2C上一點，點M,N在直線AE上，且尸ZDPN^ZBPM.求證：AN=V2PB.

【總結(jié)】

12

正方形的性質(zhì)與判定-重難點題型

【答案版】

正方形的性質(zhì)與判定

【知識點1正方形的定義】

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

【知識點2正方形的性質(zhì)】

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角

線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).④兩條對角線將正方形分

成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸

【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】

【例1】（2021春?海珠區(qū)校級期中）如圖，以正方形48CD的一邊為邊向外作等邊則/ABE

的度數(shù)是.

【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD=AE,NBAE=150°,進而可求得/ABE=

15°.

【解答】解：?..四邊形428是正方形,

J.AB^AD,ZBAD^90°,

13

是等邊三角形，

：.AD=AEfZDAE=60°,

AZBAE=ZBAD+DAE=150°,AB=AE,

：./ABE=/AEB,

i

/.ZABE=(180°-NBAE)=15°,

故答案為：15。.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推

理是本題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2021春?黃浦區(qū)期末)如圖，E為正方形A8C0外一點，AE=AD,BE交AD于點F,ZADE

=75°,貝!JNAFB=°.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得N4EO=NAD￡=75°,由三角形內(nèi)角和求出頂角ND4E的度數(shù)，根

據(jù)正方形的性質(zhì)得△A8E為等腰三角形，再由直角三角形的兩銳角互余得答案.

【解答】解：???AE=A0,

AZAED=ZADE=75°,

：.ZDAE=180°-75°-75°=30°,

???四邊形ABC。是正方形，

：.ZBAD=90°,AB=AD,

：.AB^AE,

：./ABE=/AEB,

VZBAE=900+30°=120°,

180°-120°

ZABE==30°,

2

AZAFB=90°-30°=60°.

14

故答案為：60.

【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，正方形的四個角都是直角，且各邊都相等；在幾何證明中常運用等

邊對等角和等角對等邊來證明邊相等或角相等；在三角形中，要熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和直角三

角形的兩個銳角互余.

【變式1-2]（2021春?海淀區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABC。內(nèi)，以為邊作等邊△ABE,則/BEG

【分析】本題通過正方形的性質(zhì)得到4B=BC=CD=ZM,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=9Q°，在

由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AE=BE,ZEAB=ZABE=ZAEB^60°.進而得到NAOE=NAED=

75°,

從而得到答案即可.

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB^BC^CD^DA,ZABC^ZBCD^ZCDA^ZDAB^9Q°.

又?.?三角形ABE是等邊三角形,

：.AB=AE=BE,ZEAB=ZABE=ZAEB=60°.

：.ZDAE=ZDAB-ZEAB=9Q°-60°=30°,

：.AE=AD,

：.ZADE=ZA￡D=75°,

：.ZBEG=1800-ZDAE-ZAEB=180°-75°-60°=45°.

故答案為：45.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2021春?大興區(qū)期中）在正方形A8CQ外側(cè)作直線AP,點8關(guān)于直線AP的對稱點為E連接

BE,DE,其中。E交直線AP于點孔連接AE,若NB4B=20°,求NAD尸的度數(shù).

15

E

PB

【分析】由對稱的性質(zhì)可得AE=AB,NE43=40。，即可求得NE4O的度數(shù)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得

ZADF=ZAEDf進而可求解.

【解答】解：???點5關(guān)于直線AP的對稱點為E,

：.AP是對稱軸,

：.ZPAB=ZPAE=20°,

AZEAB=2ZBAP=40°,AE=ABf

???四邊形ABC。是正方形,

：.ZBAD=90°,AB^ADf

/.ZEAZ)=130o,

.\AE=ADf

：.ZADF=ZAED,

180°-130°

JZADF=25°.

2

【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得AE=AO是解題的關(guān)鍵.

【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】

【例2】（2021春?崇川區(qū)校級月考）如圖，正方形A8CD的邊長為1,點E在對角線8。上，且

【分析】先由勾股定理求出8D,再求出根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：過E作EfUAB于R

設(shè)EF=x,

:四邊形ABCD是正方形,

：.AB=AD,ZBAD=9Q°,ZABD=ZADB=45

16

：.BD=y/2AB=V2,EF=BF=x,

:?BE=y[2x,

'：ZBAE=22.5°,

AZDAE=90°-22.5°=67.5°,

AZAE￡>=180°-45°-67.5°=67.5°,

/.ZAED=/DAE,

:?AD=ED,

:?BD=BE+ED=V2x+1=V2,

?—V2

??x-1—2~J

：.BE^y/2-l,

故答案為：V2-1.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；證明三角

形是等腰三角形，列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2021春?余杭區(qū)月考）邊長為4的正方形A8CD中，點E、F分別是AB、8c的中點，連結(jié)

EC、FD,點、G,H分別是EC、。尸的中點，連結(jié)GH,則GH的長為.

【分析】連接CH并延長交于P,連接PE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/A=90°,AD//BC,AB=AD=

BC=4,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=CF=2近,根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接CH并延長交A。于P,連接PE,

17

.四邊形ABC。是正方形，

—90°,AD//BC,AB=A￡)=BC=4,

,:E,一分別是邊AB,BC的中點，

1

：.AE=CF=^x4=2f

9：AD//BC,

：.ZDPH=/FCH,

在APDH和△Cf77中，

2DPH=乙FCH

"HP=乙FHC,

、DH=FH

:?XPDH空叢CFH(A4S),

:?PD=CF=2,

：.AP=AD-PD=2,

：.PE=7Ap2+/￡2=V22+22=2V2,

??,點G,H分別是EC,尸。的中點，

GH=^EP=V2.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì).

【變式2-2](2021春?南開區(qū)期中)如圖，正方形43。和正方形CEFG,點G在C。上，AB=5,CE=2,

T為AF的中點，求CT的長.

BE

18

【分析】連接AC,CF,如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC=VLAB=542,CF=V2CE=2V2,ZACD

=45°,ZGCF=45°,則利用勾股定理得到AF=回，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到

CT的長.

【解答】解：連接AC、CF,如圖，

四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，

：.AC=V2AB=5A/2,CF=V2C￡=2V2,ZACD=45°,ZGCF=45°,

AZACF=45°+45°=90°,

在Rt/XACF中，AF=J(5V2)2+(2V2)=V58,

為AP的中點，

CT=^AF=粵，

CT的長為運.

2

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相

等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一

切性質(zhì)，也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).

【變式2-3](2021春?恭江區(qū)校級月考)正方形ABC。的邊長為3,E、尸分別是A3、BC邊上的點，且/

EDF=45°.

(1)求證：EF=AE+CF；

(2)當(dāng)AE=1時，求取的長.

【分析】(1)延長BC至使C//=AE,連接。H,可得ADAEm△DCH,貝UZADE=Z

19

CDH；由于NAOE+N尸0c=45°,所以NC+NHCD=45°,可得NEDF=/HDF,這樣△成加式△

HDF,可得EF=FH,結(jié)論得證；

（2）設(shè)EF=x,由（1）的結(jié)論可知。/=元-1,BF=4-x,在Rt△班戶中，由勾股定理列出方程，解

方程即可求解.

【解答】解：（1）證明：延長5。至使CH=AE,連接。H,如圖，

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CDfZA=ZDCE=90°.

?二△DAE?LDCH(SAS).

:?DE=DH,ZADE=ZCDH.

VZAZ)C=90°,NEO尸=45°,

???/ADE+/FDC=45°.

.\ZFDC+ZCDH=45°.

即NFDH=45°.

:?NEDF=NFDH=45°.

在AEDF和甲中，

DE=DH

乙EDF=乙HDF.

、DF=DF

???△EDF咨dtiDF(SAS).

：.EF=FH.

'：FH=FC+CH=FC+AE,

：.EF=AE+FC,

(2)設(shè)跖=x,則F7/=x.

???正方形ABC。的邊長為3,

：.AB^BC=3.

VAE=1,

20

：.BE=2,CH=\.

：.FC=x-1.

:.BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x.

在RtZxBEF中，

'：BE1+BF2=EF2,

22+(4-x)2=x2.

解得：x=

：.EF=|.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，勾股定理.證明一條線段等于兩

條線段的和的題目一般采用補短法或截長法，通過構(gòu)造三角形的全等來解決.

【題型3正方形的性質(zhì)(求面積、周長)】

【例3】(2020春?儀征市期末)正方形A8CD中，AB=4,點,E、尸分別在BC、CD±,MBE=CF,線

段BE、AE相交于點O,若圖中陰影部分的面積為14,則△A3。的周長為.

1

【分析】由“&4S”可證△ABE0可得SAABE=S.BCF,/BAE=/CBF,可求SAABO=/X(4X4

-14)=1,可得24。?8。=4,由勾股定理可求AO+BO的值，即可求解.

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,

又；BE=CF,

:.AABE咨ABCF(SAS),

/.SAABE=SABCF,/BAE=/CBF,

???^△A30=S四邊形ECTO,ZBAE+ZAEB=90°=ZCBF+ZAEB=Z.AOB,

???圖中陰影部分的面積為14,

1

S^ABO=2x(4X4-14)=1,

21

1

XAOXBO=1,

2

.,.2AO?BO=4,

'：AB2^AO2+BO2=16,

：.(AO+BO)2=20,

"0+80=2后

AABO的周長=AB+AO+BO=2遍+4,

故答案為：2代+4.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出AO+BO的值是本題的

關(guān)鍵.

【變式3-1](2021春?倉山區(qū)期中)如圖，在正方形48。中，AB=4,點、E,尸分別在CD,上，CE

=DF,BE,CB相交于點"若圖中陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為3：4,則△BCH的

周長為()

A.2V5-4B.2V5C.2V5+4D.2V6+4

【分析】先計算出正方形的面積，再由比例求出空白部分的面積,通過證明ABCEg△(7￡)尸可求解SNCH，

NBHC=90：再由勾股定理及完全平方公式可求解BH+C”的長，即可求出ABCG的周長.

【解答】解：：四邊形A8C。為正方形，BC=CD=AB=4,NBCE=NCDF=90°,

??S正方形ABCD=16，

???S陰影：S正方形A5co=3：4,

3

,?S陰影=4x16=12,

，S空白=16-12=4,

在△3CE和/中，

BC=CD

乙BCE=Z.D=90。，

CE=DF

:?ABCEmACDF(SAS),

22

SABCH=S四邊形EQF”=2,ZHBC=ADCF,

9：ZDCF+ZHCB=90°,

：?/HBC+NHCB=90°,

AZBHC=90°,

：.BH2+CH2=BC2=16,BH?CH=4,

：.（BH+CH）2=B序+*+2阪CW=16+2X4=24,

：.BH+CH=2V6,

/.ABCH的周長為BH+CH+BC^2y/6+4,

故選：D.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及面積的和差相關(guān)知識，關(guān)鍵是證明全等

兩個三角形面積全等，得到△2C8面積.

【變式3-2］（2021春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在正方形A8C。中，對角線AC與8。相交于點。，E為

BC上一點，CE=6,尸為?！甑闹悬c.若。尸的長為1,則△（7￡萬的周長為（）

A.14B.16C.18D.12

【分析】由正方形的性質(zhì)及三角形的中位線可求得BE=2,由直角三角形斜邊上的中線可求得ACE尸的

周長為EQ+EC,利用勾股定理可求解即的長，進而可求解.

【解答】解：在正方形ABCD中，BO=DO,BC=CD,ZBCD=90°,

?.?尸為DE的中點,

OF為ADBE的中位線，ED=2CF=2EF,

：.AC￡F的周長為EF+EC+FC=ED+EC,

OF=\,

:.BE=2OF=2,

,:CE=6,

：.BC=BE+CE=2+6=8,

23

：.CD=BC=8,

在RtzXCED中，NECD=90°,CZ）=8,CE=6,

：.ED=VCD2+CE2=V82+62=10,

/XCEF的周長為EF+EC+FC=ED+EC=10+6=16,

故選：B.

【點評】本題主要考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，三角形的中位線，求解的長是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2021春?河西區(qū)期中）將5個邊長為2c機的正方形按如圖所示擺放，點4,&2,北，4是正

方形的中心，則這個正方形重疊部分的面積和為（）

A.2cm2B.1cm2C.4cm2D.6cm2

【分析】在正方形ABCD中，作AiEJ_AO,AiF±DC,即可證得：△4ENq△AiMF,則四邊形4MA2N

的面積=四邊形EA1FA2的面積=4正方形ABCD的面積，據(jù)此即可求解.

【解答】解：如圖，

在正方形ABC。中，作4E_LAD,AiF±￡>C,

兩邊相交于M和N,

ZAiEN=ZAiMF=90°,

ZEAiN+ZENAi=90°,

NEAiN+N曲1M=9O°,

:?/ENAi=NFA\M,AiE=AiFf

24

AAiETV^AAiMF(ASA),

四邊形A1MA2N的面積=四邊形EAxFAi的面積=視正方形A8CD的面積，

同理可證，另外三個陰影四邊形的面積都等于三正方形ABC。的面積，

4

圖中重疊部分（陰影部分）的面積和=正方形ABC。的面積=4CW2,

故選：C.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線，證得：四邊形4M4W的面積=四邊形E4刑2

1

的面積=!正方形ABCD的面積是解題的關(guān)鍵.

【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】

【例4】（2020秋?和平區(qū)期末）如圖，若在正方形A8CD中，點E為。邊上一點，點F為延長線上

一點，且。E=￡>R則AE與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.

【分析】延長AE交CT于點G,根據(jù)四邊形ABC。是正方形，證明△AQEgZXCDF,進而可得AE=CT,

AE±CF.

【解答】解：AE=CF,AEA.CF,理由如下：

：.AD=CD,ZADC=ZCDE=90°,

在和△CDP中，

25

AD=CD

AADE=乙CDF,

.DE=DF

：./\ADE^/\CDF（SAS）,

：.AE=CF,ZDAE=ZDCF,

VZDCF+ZF=90°,

：.ZDAE+ZF=90°,

：.AG±CF,

即AE±CF.

：.AE^CF,AE±CF.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì).

【變式4-1］（2020春?西山區(qū)期末）如圖（1）,正方形ABC。的對角線AC,8。相交于點O,E是AC上

一點，連接。E,過點4作??！?垂足為ALAM與8。相交于點尺

（1）直接寫出OE與。尸的數(shù)量關(guān)系：；

（2）如圖（2）若點E在AC的延長線上，AMIDE于點M,AM交BD的延長線于點F,其他條件不變.試

探究?！昱c。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對角線垂直且平分，得到。2=。4,又因為所以NME4+N

MAE=9O°=ZAFO+ZMAE,從而求證出△AO歹絲ZXBOE,得至UOE=。？

（2）由"ASA”可證△AO/絲△80E,得至UOE=OF.

【解答】解：（1）?.?正方形A2C￡＞的對角線AC、2。相交于點。，AMIDE,

：.ZAOD=ZDOE=ZAME=90°,OA=OD,

：.ZMEA+ZMAE=90°=ZAFO+ZMAE,

：.ZAFO^ZMEA,

在△AOF和△￡>(□￡中,

26

Z-AFO=Z.MEA

AO=DO,

￡.AOF=乙DOE=90°

/./\AOF^/\BOE(ASA),

JOE=OF,

故答案為：OE=OF；

(2)OE=OF,

理由如下：

,正方形ABC。的對角線AC、相交于點O,AMIDE,

：.ZAOD=ZDOE=ZAME=90°,OA=OD,

：.ZMEA+ZMAE^90°=ZAFO+ZMAE,

：.ZAFO=ZMEA,

在△AOF和△OOE中，

Z.AFO=/.MEA

AO=DO,

^.AOF=乙DOE=90°

.'.△AO尸出ABOE(ASA),

：.OE=OF.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)

鍵.

【變式4-2](2020春?安陽縣期末)四邊形ABCD是正方形，G是直線8c上任意一點，BE_LAG于點E,

_LAG于點足當(dāng)點G在8C邊上時(如圖1),易證DF-BE=EF.

(1)當(dāng)點G在BC延長線上時，在圖2中補全圖形，寫出。P、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)當(dāng)點G在CB延長線上時，在圖3中補全圖形，寫出。尸、BE、跖的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

【分析】由ABCD是正方形，得到AB^DA,ABLAD,由BELAG.DFLAG,結(jié)合題干得到

ZDAF,于是得出△ABE烏△ZMR即可AF=BE.

27

(1)同理證明△A8E之^AF=BE,DF=AE,根據(jù)圖2可得結(jié)論;

(2)同理證明△A8E也得AF=BE,DF=AE,根據(jù)圖3可得結(jié)論.

【解答】證明：如圖1,???A5CO是正方形，

：.AB=DA.AB1AD.

9：BELAG,DF±AG,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

XVZBAE+ZZ)AF=90°,ZBAE+ZABE=90°,

，ZABE=NDAF,

在△ABE和產(chǎn)中，

Z.AEB=/-AFD

Z-ABE=/-DAF,

AB=AD

：.AABE^ADAF(A4S),

：?AF=BE,DF=AE,

：.DF-BE=AE-AF=EF.

(1)如圖2,DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE=DF+EF,

理由是：???ABC。是正方形，

：.AB=DA.AB1AD.

VBE±AG＞。凡LAG,

ZAEB=ZAFD=90°,

XVZBAE+ZDAF=90°,ZBAE+ZABE=90°,

ZABE=ZDAFf

在△ABE和△?!產(chǎn)中，

24EB=^AFD

Z-ABE=Z-DAF,

AB=AD

28

(AAS),

：.AF=BE,DF=AE,

BE=AF=AE+EF=DF+EF；

(2)如圖3,DF.BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF=DF+BE；

J.AB^DA,AB1AD.

'：BE±AG,DF±AG,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

又；/24石+/。4產(chǎn)=90°,ZBAE+ZABE=9Q°,

：./ABE=ZDAF,

在△ABE和中，

Z.AEB=Z-AFD

乙ABE=Z.DAF,

.AB=AD

：.(A4S),

：.AF=BE,DF=AE,

：.EF=AE+AF=DF+BE.

【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)定理，此題

難度適中.

【變式4-3](2021春?天河區(qū)校級期中)如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、8。相交于O.

(1)如圖1,設(shè)￡、尸分別是A。、A8上的點，且/￡。尸=90°,線段AR和跖之間存在一定的數(shù)

量關(guān)系.請你用等式直接寫出這個數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,設(shè)E、尸分別是AB上不同的兩個點，且NEOF=45°,請你用等式表示線段AE、B尸和

29

EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)首先證明△EOAg/XFOB,推出AE=B尸，從而得出結(jié)論；

(2)在3c上取一點H使得BH=AE.由△OAEZZXOB",推出ZAOE=ZBOH,OE=OH,

由也△人?”,推出EP=",由NFB〃=90°,推出產(chǎn)/產(chǎn)=8/2+即產(chǎn)，由此即可解答.

【解答】解：(1)EF2^AF2+BF2.

理由：如圖1,：四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OB,ZOAE=ZOBF=45°,ACLBD,

：.ZEOF=ZAOB=9Q°,

：.ZEOA=ZFOB,

在△EOA和△FOB中，

Z-EOA=(FOB

OA=OB,

.Z-OAE=Z.OBF

：./\EOA^/\FOB(ASA),

：.AE=BF,

在RtAEAF中，EF2^AE^+AF2^AFi+BF2；

.四邊形4BCD是正方形,

：.OA=OB,NOAE=NOBH,/AOB=90°,

在△OAE和△08〃中，

30

OA=OB

Z-OAE=Z.OBH

AE=BH

???△OAEmAOBH(SAS),

；?AE=BH,ZAOE=ZBOH,OE=OH,

VZEOF=45°,

AZAOE+ZBOF=45°,

：.ZBOF+ZBOH=45°,

；?/FOE=NFOH=45°,

在AFOE和△尸0”中?，

OF=OF

(FOE=(FOH,

OE=OH

???△FOE咨LFOH(SAS),

:?EF=FH,

?：/FBH=90°,

：.FH2=BF2+BH2,

221

：.EF=BF+AEf

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題.

【題型5正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用】

【例5】（2020秋?周村區(qū)期末）（1）如圖1的正方形A8CQ中，點廠分別在邊3C,CD上,ZEAF

=45°,延長到點G,使DG=BE,連接ERAG.求證：EF=FG；

（2）如圖2,等腰RtZVIBC中，ZBAC=90°,AB=AC,點、M,N在邊BC上,且NMAN=45°.若

BM=1,CN=3,求MN的長.

【分析】（1）證△ADGgAABE,AME^AMG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可;