專題突破5構(gòu)造三線八角圖證題

1.如圖，乙B+=180°,Z1=42,求證：EF||”G..（分別用三種方法證明）

AEBAEBASEB

口三一口

CGDCGDTCGD

方法1：連接法方法2：延長(zhǎng)法方法3：平行法

2.如圖.BE\\CD,A1=Z2,,求證：力B||CF..下面是3種添線方法，請(qǐng)任意選擇一種完成證明過(guò)程.

圖1圖2圖3

3.如圖,已知DE_LBC于點(diǎn)E,FG_LBC于點(diǎn)G,Z1=Z2,求證：EH\\AC.

證明:延長(zhǎng)HE,FG相交于點(diǎn)Q,

VDEXBC,FGXBC（已知）,

ZDEC=/-FGC=

；.DE〃

Nl=

又/1=/2（已知）,

:.Z2=.（等量代換）,

；.EH〃AC（..）.

4.如圖，已知CD〃EF,Z1+Z2=ZABC,求證：AB/7GF.

c

專題突破6平行線中的折疊問(wèn)題

類型一單折型

1.（2024重慶）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處,折痕為EF,ZAB

E=20°,那么NEFC的度數(shù)為（）

A.125°B.120°C.115°D.110°

2.（2024西安）如圖，將長(zhǎng)方形紙條ABCD折疊，折痕為EF,折疊后點(diǎn)C,D分別落在點(diǎn)C,D處，DE與BF交

于點(diǎn)G,若NBGD=28。，則NFED的度數(shù)是（）

A.28°B.62°C.75°D.76°

第2題圖

3.（2024江西）如圖，已知四邊形紙片ABCD中，AB〃CD,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，將紙片沿著EF折疊點(diǎn)

A落在點(diǎn)G處,EG交CD于點(diǎn)H.若NBEH比NAEF的4倍多12°,貝UNCHG的大小是（）

A.114°B.124°C.126°D.134°

類型二多折型

4.（2024沈陽(yáng)）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD,點(diǎn)E,F在邊AD上，點(diǎn)G,H在邊BC上，分別沿EG,FH折疊,

使點(diǎn)D和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若a+J3=118。，則NEMF的度數(shù)為（）

A.59°B.58°C.57°D.56°

第4題圖第5題圖

5.（2024武漢）已知長(zhǎng)方形紙條ABCD,點(diǎn)E,G在邊AD上，點(diǎn)F,H在邊BC上.將紙條分別沿著EF,GH折

疊如圖，點(diǎn)A,B分別折疊至點(diǎn)A：B：點(diǎn)C,D分別折疊至點(diǎn)C,D1,當(dāng)DC恰好落在EA上時(shí)，N1與N2的數(shù)

量關(guān)系是（）

A.Zl+Z2=135°B.Z2-Z1=15°C.Zl+Z2=90°D.2Z2-Z1=9O°

6.（2025武漢外校）如圖1所示為長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖2,再沿BF折疊成圖3,繼續(xù)沿EF折疊

成圖4,按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住NEFG,整個(gè)過(guò)程共折疊了9次，則圖1中NDEF的度數(shù)是_____

A.60°B.30°C.40°D.70°

2.如圖，AB//CD,/B=50。，ZD=70°,貝!|NE=,

第2題圖

3.如圖,直線AB〃CD,ZB=70°,ZC=25°,貝!|/E=

4.如圖,AB//CD,AE±CE,ZBAF=50°,求的度數(shù).

S

AA5QB

E

n

5.（2024西安）【問(wèn)題背景】如圖，已知AB〃DE,點(diǎn)C在AB,DE之間，連接BC,CD.

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】⑴如圖L過(guò)點(diǎn)C作CF〃AB,若NABC=40。，ZCDE=120°,求/BCD的度數(shù)：

【研究拓展】（2）如圖2,DG平分/CDE,BF平分NABC,延長(zhǎng)FB交DG于點(diǎn)P,PD〃BC,設(shè)/1=%過(guò)點(diǎn)C

作CM〃AB,交DG于點(diǎn)M.

①若a=30。，求/BCD的度數(shù)；

②/BCD與a的數(shù)量關(guān)系是.

專題突破8平行線中的“拐點(diǎn)”問(wèn)題②一多拐點(diǎn)

基本圖形：基本結(jié)論：

AB

結(jié)論：AAB\\FGn^BAC+乙CDE+乙EFG="CD+乙DEF

M—Xc

。爸

-T方法：過(guò)拐點(diǎn)C,E向左作（。叼|力民引7||4R過(guò)拐點(diǎn)口向右作DT\\AB.

_______的

FG

1.如圖，AB〃CD,則/I、N2、N3、N4的關(guān)系是（）

A.Zl-Z2+Z3+Z4=180°B.Z1+Z2+Z3=Z4

C.Zl+Z2-Z3+Z4=180°D.Z2+Z3+Z4-Zl=180°

2,下列結(jié)論：①如圖1,AB〃CD,則/A+/E+/C=180。；②如圖2,AB/7CD,則NE=NA+NC;③如圖3,若A

B〃EF,則/*=180。-/01-/丫+/伏④如圖4,AB〃CD,則/A=/C+NP;⑤如圖5,直線AB〃CD〃EF,點(diǎn)O在直

線EF上，則k180。.其中正確的是________.（填寫序號(hào)）

3.（2024黃岡期中）如圖,AB〃CD,則/E+/G與/B+NF+/D有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖，已知AB〃CD,NABE與NCDE的角平分線相交于點(diǎn)F.

⑴如圖1,若/BED=100。，求NBFD的度數(shù);

⑵如圖2,若BM,DM分別平分NABF與NCDF,寫出/BMD與/BED之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

專題突破9相交線與平行線中的分類討論

1.（2024呼和浩特）在同一個(gè)平面內(nèi),ZA比/B的2倍少15。，，并且N4的兩邊分別與NB的兩邊平行,

則乙4的度數(shù)為.

2.如果兩個(gè)角的兩邊分別垂直，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30。,，則這兩個(gè)角為

3.如圖，4B||CD,點(diǎn)E,F分別為AB,CD上的點(diǎn)點(diǎn)M在線段EF上（點(diǎn)M不與E,F重合），點(diǎn)N在直線CD±（點(diǎn)

N與點(diǎn)F不重合）,Z.AEF=70。,求乙FMN+NFNM的值

EBEB

CFDCFD

圖1圖2

4.（2024武漢二中周練）如圖，已知直線AB,CD被直線AC所截，AB\\CD,,E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在

直線AB,CD,AC±）,設(shè)乙BAE=ci/DCE=3.下列各式：①a+p,@a-p,③0-a,④360。一a一夕,N4EC的度數(shù)

可能是（）

A.②③B.①④C.①③④D.①②③④

專題突破10平移的應(yīng)用

1.（2024邯鄲）如圖,將直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF,已知BE=6,EF=8,CG=3,則陰影

部分的面積為（）

2.（2024青山）如圖，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,將三角形ABC沿直線BC向右平移

3個(gè)單位長(zhǎng)度得到三角形DEF,連接AD,則下列結(jié)論：①AB〃DE,AB=DE;②EDLDF;③四邊形ABFD的周長(zhǎng)是27;

④點(diǎn)B到直線DF的距離是78其中正確的是______.（填寫序號(hào)）

3.（2024廣州期中）如圖，直角三角形ABC的周長(zhǎng)為100,在其內(nèi)部有6個(gè)小直角三角形,則6個(gè)小直角三角形

的周長(zhǎng)之和為.

4.在圖1中將線段AiA2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到BiB2得到封閉圖形.4〃2殳81（即陰影部分）在圖2中，

將折線AxA2A3向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到BiB2B3,得到封閉圖形.力（即陰影部分）.

（1）在圖3中，畫出將折線A】A2A3A4向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖形，并用陰影畫出由這兩條折線所圍成

的封閉圖形；

⑵設(shè)上述三個(gè)圖形中，長(zhǎng)方形ABCD分別除去陰影部分后剩余部分的面積記為Si,S2,S3,則Si=_S2=

->S3=_；

（3）如圖4,在一塊長(zhǎng)為a,寬為b的長(zhǎng)方形草地上，有兩條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1

個(gè)單位長(zhǎng)度），猜想：草地部分的面積是；（用含a,b的代數(shù)式表示）

（4）如圖5,某住宅小區(qū)內(nèi)有一長(zhǎng)方形地塊，想在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“之”字路（圖中陰影部分）,余

下部分綠化，小路的寬為3m,則綠化面積為m2.

圖5

專題突破11相交線、平行線大綜合

L（2024武珞路）

（1）問(wèn)題提出：如圖1,AB〃CD,點(diǎn)P在直線AB,CD之間，且在直線MN的右側(cè)，點(diǎn)M,N在直線AB,CD±,

探究/MPN,ZBMP,/DNP的數(shù)量關(guān)系.

⑵問(wèn)題探究：①先將問(wèn)題特殊化，如圖2,連MN,當(dāng)MP平分NBMN,NP平分/MND,直接寫出NMPN的大小.

②再探究一般情況，如圖1,當(dāng)NNMP=m/BMP,NMNP=m/DNP,求/MPN的大小.（用含m的式子表示）

⑶問(wèn)題拓展:如圖3,點(diǎn)E是射線NC上一動(dòng)點(diǎn)，直線ME上有一點(diǎn)Q,連NQ,當(dāng)NQMP=n/BMP,ZQNP=nZDN

P.且NMPN=a,NDNP-/BMP=20。時(shí)直接寫出NMQN的大小.（用含n,a的式子表示）（題中所有角都是大于0。且

小于180。的角）

專題突破12鏡面反射與三線八角

1.（2024漢陽(yáng)期中）問(wèn)題提出：射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相

等.如圖1,MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為Z1,,反射光線OB與水平鏡面夾角為N2,則/仁

Z2.

⑴若乙40B=94。,則直接寫出N1的大小.

數(shù)學(xué)探究：如圖2,有兩塊平面鏡0M,ON,且(0M回。N,,入射光線AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線CD.

(2)完成如下問(wèn)題：①若N1=55。，，直接寫出/4的度數(shù)；②求證：AB\\CD;

拓展運(yùn)用：有兩塊平面鏡OM,ON,入射光線AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD相交于

點(diǎn)E,如圖3,圖4.若乙MON=m0,^AED=n0,,直接寫出m,n滿足的數(shù)量關(guān)系.

圖4

綜合與實(shí)踐(1)用小木棍探究平行線中的角度問(wèn)題

1.學(xué)校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)完第七章《相交線與平行線》后，開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，他們用擺

放小木棍的方式，進(jìn)一步探索平行線中的有關(guān)角的知識(shí).他們動(dòng)手操作步驟如下：首先，用四根小木棍擺放成圖1

的樣子，其中AB\\CD,BC\\DE;；然后，輕微移動(dòng)調(diào)整原有的幾根小木棍位置，并增加一根小木棍，擺放成圖2的

形狀；最后，在圖2的基礎(chǔ)上，再增加兩根小木棍，擺放上去，得到圖3的形狀

興趣小組的同學(xué)提出了下列問(wèn)題，希望通過(guò)探究得到答案：

(1)在圖1中，若NB=2NC,求ND的度數(shù)；

(2)在圖2中，若4B||EF,那么乙具有什么數(shù)量關(guān)系呢?探究并說(shuō)明理由；

(3)在⑵的條件下，如圖3,若AABC=4乙CBG/CDE=4/CDG股zC=a,NE=8求NG的度數(shù)(用含a,0

的式子表示).

圖2圖3

綜合與實(shí)踐⑵三角板與平行線

1.(2024揚(yáng)州)在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角板與平行線”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).已知直線AB,CD,

直角三角板EFG,AB\\CD,Z.FEG=90°,^EGF=60°.

⑴小明將三角板按如圖1方式擺放，點(diǎn)G在CD上，邊GF與AB交于點(diǎn)H,若乙FHA=80。,則乙EGD=_。;

(2)小亮將三角板按如圖2方式擺放，點(diǎn)F,G分別在AB,CD上，NFEG的角平分線與NFGC的角平分線交

于點(diǎn)M,若乙EGD=4NBFE,求NM的度數(shù)；

⑶小穎將圖2中的三角板進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)F,G仍然分別在AB,CD上，如圖3,再將WGE沿邊GE翻折，

邊GD的對(duì)應(yīng)邊GN與AB交于點(diǎn)N，小穎給出下列兩個(gè)結(jié)論：①4CGN+NBFE的值不變；②嘿的值不變

Z-DrE

其中只有一個(gè)是正確的，你認(rèn)為哪個(gè)是正確的?請(qǐng)說(shuō)明理由.

①②③

專題突破5；構(gòu)造三線八角圖證題

1.如圖，ZB+ZD=180°,N1=N2,求證：EF〃:HG.（分別用三種方法證明）

方法1：連接法：證明：連接EG,

VZB+ZD=180°,

AABCD,.\ZBEG=ZCGE.

VZ1=Z2,/BEG-/l=NCGE-/2,即N3=

方法1：連接法方法2：延長(zhǎng)法方法3：平行法

N4,；.EF〃HG.

方法2:延長(zhǎng)法：證明：延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,

：NB+/D=180°,；.AB〃CD,，Nl=/3.

VZ1=Z2,/.Z2=Z3,/.EF//HG.

方法3:平行法：證明：過(guò)點(diǎn)D作DS/7EF,交AB于點(diǎn)S,/.Z1=Z3.

VZ1=Z2,.\Z2=Z3.

VZB+ZD=180°,；.AB〃CD,；.N3=N4,/.Z2=Z4.

；.HG〃DS,而DS〃EF,，EF〃HG.

2.如圖，BE〃CD,Z1=Z2,求證：AB〃CF.下面是3種添線方法，請(qǐng)任意選擇一種完成證明過(guò)程.

證明：選擇方法一.如圖，連接BC.

VBE^CD,AZEBC=ZBCD.

又：/1=N2,NEBC+/l=/BCD+/2,即NA

BC=NBCF.；.AB〃CF.

3.如圖，已知DE_LBC于點(diǎn)E,FG_LBC于點(diǎn)G,Z1=Z2,求證：EH/ZAC.

證明：延長(zhǎng)HE,FG相交于點(diǎn)Q,

VDE1BC,FGJ_BC（已知），

/DEC=NFGC=90。（垂直的定義）;

：.DE//FG（同位角相等，兩直線平行）,

：.Z1=ZO.

又Nl=/2（已知），

；?/2=/Q（等量代換）,

；.EH//AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

4.如圖，已知CD〃EF,Z1+Z2=ZABC,求證：AB//GF.

證明:過(guò)點(diǎn)B作BH//CD,交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

.\Z2=Z3.VCD//EF.ABH/ZEF,.\Z1=ZH.

VZ1+Z2=ZABC,.*.ZH+Z3=ZABC,

ifnZABC=Z4+Z3,.\ZH+Z3=Z4+Z3,

，N4=NH,；.AB〃GF.

專題突破6平行線中的折疊問(wèn)題

類型一單折型

1.（2024重慶）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，折痕為EF,ZABE=20°,

那么NEFC的度數(shù)為（A）

A.125°B.120°C.115°D.110°

2.（2024西安）如圖，將長(zhǎng)方形紙條ABCD折疊，折痕為EF,折疊后點(diǎn)C,D分別落在點(diǎn)C,D處，DE與BF交于

點(diǎn)G,若NBGD=28。，則/FED的度數(shù)是（D）

第1題圖第2題圖

3.（2024江西）如圖.已知四邊形紙片ABCD中，AB〃CD,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，將紙片沿著EF折疊，點(diǎn)A落

在點(diǎn)G處,EG交CD于點(diǎn)H.若NBEH比NAEF的4倍多12。,則ZCHG的大小是（B）

A.114°B.124°C.126°D.134°

類型二多折型

4.（2024沈陽(yáng)）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD,點(diǎn)E,F在邊AD上，點(diǎn)G,H在邊BC上，分別沿EG,FH折疊，使

點(diǎn)D和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若a+p=118°,則/EMF的度數(shù)為（D）

A.59°B.58°C.57°D.56°

B'

第4題圖第5題圖

5.（2024武漢）已知長(zhǎng)方形紙條ABCD,點(diǎn)E,G在邊AD上，點(diǎn)F,H在邊BC上.將紙條分別沿著EF,GH折疊,

如圖，點(diǎn)A,B分別折疊至點(diǎn)A1,B：點(diǎn)C,D分別折疊至點(diǎn)C,D1,當(dāng)DC恰好落在EA上時(shí)，Z1與N2的數(shù)

量關(guān)系是（A）

A.Zl+Z2=135°B.Z2-Z1=15°C.Zl+Z2=90°D.2Z2-Z1=9O°

6.（2025武漢外校）如圖1所示為長(zhǎng)方形紙帶符紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3繼續(xù)沿EF折疊成圖4,

按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住/EFG,整個(gè)過(guò)程共折疊了9次，則圖1中/DEF的度數(shù)是」容.

A.60°B.30°C.40°D.70°

2.如圖，AB〃CD,ZB=50°,ZD=70°,則NE=20°.

第2題圖第3題圖

3.如圖，直線AB〃CD,ZB=70°,ZC=25°,則NE=18°.

4.如圖，AB〃CD,AE±CE,ZBAF=50°,求的度數(shù).

解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB,則/AEG=NBAF=50。.

VAEXCE,ZAEC=90°,/.ZCEG=ZAEC-ZAEG=90°-50°=40°.

：AB〃CD,EG〃AB,；.EG〃CD,；./l+/CEG=180°,

Z1=180°-4CEG=180°-40°=140°.

5.（2024西安）【問(wèn)題背景】如圖，已知AB〃DE,點(diǎn)C在AB,DE之間，連接BC,CD.

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】⑴如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CF〃AB,若/ABC=40。，ZCDE=120°,求NBCD的度數(shù);

【研究拓展】⑵如圖2,DG平分/CDE,BF平分/ABC,延長(zhǎng)FB交DG于點(diǎn)P,PD〃BC,設(shè)Nl=a,過(guò)點(diǎn)C

作CM〃AB,交DG于點(diǎn)M.

①若a=30。，求/BCD的度數(shù)：

②NBCD與a的數(shù)量關(guān)系是/BCD=180。-2a

解：(1)VAB//DE,CF〃AB,；.DE〃CF,

ZBCF=ZABC=40°,ZDCF=180°-ZCDE=60°,

ZBCD=ZBCF+ZDCF=40°+60°=100°.

(2)①：PD〃BC,HZl=a=30°,AZCBF=Zl=30°,ZBCM=ZCMD,ZBCD+ZCDM=180°.

BF平分/ABC,ZABC=2ZCBF=60°.

VCM//AB,.,.ZBCM=ZABC=60°,AZCMD=ZBCM=60°.

VAB//DE,CM/7AB,ADE^CM,AZMDE=ZCMD=60°.

VDG平分NCDE,AZCDM=ZMDE=60°,AZBCD=180o-ZCDM=180°-60o=120°.

②：PD〃BC,且Nl=a,.\ZCBF=Zl=a,ZBCM=ZCMD,ZBCD+ZCDM=180°.

：BF平分/ABC,AZABC=2ZCBF=2a.VCM/7AB,/.ZBCM=ZABC=2a,ZCMD=ZBCM=2a.

VAB/7DE,CM〃AB,；.DE〃CM,；.NMDE=/CMD=2a.

VDG平分/CDE,；./CDM=/MDE=2a,，/BCD=180°-/CDM=180°-2a.

專題突破8平行線中的“拐點(diǎn)”問(wèn)題②-----多拐點(diǎn)

基本圖形：基本結(jié)論：

AB

M一瓦C結(jié)論：AAB\\FG=>ABAC+乙CDE+乙EFG=^ACD+4DEF

。專-7

方法:過(guò)拐點(diǎn)C,E向左作CM\\AB,EN\\AB,

_______猙

FG過(guò)拐點(diǎn)D向右作DT\\AB.

1

1.如圖，AB〃CD,則Nl、N2、N3、/4的關(guān)系是(A)

A.Zl-Z2+Z3+Z4=180°B,Z1+Z2+Z3=Z4

C.Zl+Z2-Z3+Z4=180°D,Z2+Z3+Z4-Zl=180°

2.下列結(jié)論：①如圖1,AB〃CD,則NA+NE+NC=180。；②如圖2,AB〃CD,則/E=/A+/C;③如圖3,若AB〃

EF,則/*=180。-/01-/丫+/|3;④如圖4,AB//CD,則NA=/C+/P;⑤如圖5,直線AB〃CD〃EF,點(diǎn)O在直線

EF上，則Na-NB+/y=180。.其中正確的是②^④?.(填寫序號(hào))

3.(2024黃岡期中)如圖，AB〃CD,則NE+NG與NB+NF+ND有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：過(guò)點(diǎn)E作EM〃AB,過(guò)點(diǎn)F作FN〃AB,過(guò)點(diǎn)G作GH〃CD,

：AB〃CD,；.AB〃EM〃FN〃GH〃CD,

/.Z1=ZB,N2=N3,N4=N5,Z6=ZD,

Z1+Z2+Z5+Z6=ZB+Z3+Z4+ZD,

即NBEF+/FGD=/B+/EFG+/D.

4.如圖，已知AB〃CD,NABE與/CDE的角平分線相交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若/BED=100。，求NBFD的度數(shù)；

(2)如圖2,若BM,DM分別平分NABF與/CDF,寫出/BMD與/BED之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：(1)過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB,過(guò)點(diǎn)F作FH〃AB,

NBED=100°,.?.易得/ABE+/CDE=360°-100°=260°.

ZABF+ZCDF=130°,ANBFD=130°.

(2)同(1)可彳導(dǎo)/ABE+NCDE+/BED=36(r,/BMD=

ZABM+ZCDM.

；BM平分NABF,DM平分NCDF,；./ABF=2NABM,ZCDF=2ZCDM.

又：BF平分ZABE,DF平分ZCDE,

ZABE=2ZABF=4ZABM,ZCDE=2ZCDF=4ZCDM,

/.4ZABM+4ZCDM+ZBED=360°,4ZBMD+ZBED=360°.

專題突破9相交線與平行線中的分類討論

1.（2024呼和浩特）在同一個(gè)平面內(nèi)，ZA比NB的2倍少15°,并且/A的兩邊分別與/B的兩邊平行，則NA的

度數(shù)為15?；?15。.

解：設(shè)/B=x,則/A=2x-15。，兩邊分別與/B的兩邊平行，

...x=2x-15°或.x+2x-15°=180°,,解得x=15?；騲=65°,

ZX=2x-15°=2x15°-15°=15°或N&=2x—15°=2x65°-15°=115°.

2.如果兩個(gè)角的兩邊分別垂直，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30。,則這兩個(gè)角為_138。,42?；?0°,10°.

解：如圖1,Z1與N2兩邊分別垂直，/1+/2=180。,如圖2,

Z1與22兩邊分別垂直，Z1=Z2.

設(shè)另一個(gè)角為a,則這個(gè)角是4a-30°,

???a+4a-30°=180°或a=4a-30°,解得a=42°或a=10°,

???4a-30。=138。或4a-30°=10°?這兩個(gè)角是138。，42?；?0°,10°.

3.如圖，AB〃CD,點(diǎn)E,F分別為AB,CD上的點(diǎn)點(diǎn)M在線段EF上（點(diǎn)M不與E,F重合），點(diǎn)N在直線CD上（點(diǎn)

N與點(diǎn)F不重合），ZAEF=70°,求NFMN+NFNM的值.

解：①當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，如圖1,過(guò)點(diǎn)

M作SM〃CD,.*.NSMN=NFNM,.EBdEB

SMMZT

:AB〃CD,SM〃CD,；.AB〃SM,/.ZSMF=ZAEF=70°,s.何

：.ZFMN+ZFNM=ZFMN+ZSMN=ZSMF=70°;cVFDCFAD

圖1圖2

②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MT〃CD,可證NFM

N+ZFNM=ZFMT=ZBEF=180°-ZAEF=110°.綜上所述，ZFMN

+ZFNM的值是70?；?10°.

4.（2024武漢二中周練）如圖，已知直線AB,CD被直線AC所截，AB〃CD,E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直

線AB,CD,AC上），設(shè)NBAE=a,ZDCE=p.下列各式：①a+0,@a-p,③快%④360。-”，ZAEC的度數(shù)可能是

(D)

A.②③B.①④C.①③④D.①②③④

解：根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，

如圖1-4分別求得NAEC的度數(shù)為［3-a,a+p,a-P，360°-a-p.

當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時(shí).同理可得.ZAEC=a-p或p-a.

故/AEC的角度可能是①②③④.

專題突破10平移的應(yīng)用

1.（2024邯鄲）如圖,將直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF,已知BE=6,EF=8,CG=3,則陰影部分

的面積為（D）

A.36B.37C.38D.39

2.（2024青山）如圖，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,將三角形ABC沿直線BC向右平移3個(gè)

單位長(zhǎng)度得到三角形DEF,連接AD,則下列結(jié)論：①AB〃DE,AB=DE;②ED_LDF;③四邊形ABFD的周長(zhǎng)是27;

④點(diǎn)B到直線DF的距離是7.8.其中正確的是①②④.（填寫序號(hào)）

3.（2024廣州期中）如圖，直角三角形ABC的周長(zhǎng)為100,在其內(nèi)部有6個(gè)小直角三角形，則6個(gè)小直角三角形的周

長(zhǎng)之和為100.

4.在圖1中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到BiB2,得到封閉圖形（即陰影部分）.在圖2中，將

折線AiA2A3向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到BiB2B3,得到封閉圖形.（即陰影部分）.

⑴在圖3中，畫出將折線AiA2A3A4向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖形，并用陰影畫出由這兩條折線所圍成的

封閉圖形；

（2）設(shè)上述三個(gè)圖形中，長(zhǎng)方形ABCD分別除去陰影部分后剩余部分的面積記為8,S2,S3,則

S\=9>S?=9,S3=9:

（3攻口圖4,在一塊長(zhǎng)為a,寬為b的長(zhǎng)方形草地上，有兩條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)

單位長(zhǎng)度），猜想：草地部分的面積是（a-l）（b-l）；（用含a,b的代數(shù)式表示）

（4）如圖5,某住宅小區(qū)內(nèi)有一長(zhǎng)方形地塊，想在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“之”字路（圖中陰影部分），余下

部分綠化，小路的寬為3m,則綠化面積為513nP.

圖4

解：⑴如圖，將折線向右平移1個(gè)單位到導(dǎo)到

封圖形.&424力4B4B3B2B式即陰影部分）.

專題突破11相交線、平行線大綜合

1.(2024武珞路)

⑴問(wèn)題提出：如圖1,AB〃CD,點(diǎn)P在直線AB,CD之間，且在直線MN的右側(cè)，點(diǎn)M,N在直線AB,CD±,

探究NMPN,ZBMP,ZDNP的數(shù)量關(guān)系.

（2）問(wèn)題探究：①先將問(wèn)題特殊化，如圖2.連MN,當(dāng)MP平分/BMN,NP平分/MND,直接寫出/MPN的大小.

②再探究一般情況，如圖1,當(dāng)/NMP=m/BMP,NMNP=m/DNP,求/MPN的大小.（用含m的式子表示）

⑶問(wèn)題拓展如圖3,點(diǎn)E是射線NC上一動(dòng)點(diǎn)直線ME上有一點(diǎn)Q,連NQ,當(dāng)ZQMP=nZBMP,ZQNP=nZDNP,

且/MPN=a,ZDNP-ZBMP=2O°0t直接寫出/MQN的大小.（用含n,a的式子表示）（題中所有角都是大

于0。且小于180。的角）

Q

解：⑴ZMPN=ZBMP+ZDNP.

圖2圖3

(2)?VAB^CD,.*.ZBMN+ZMND=180°,

:.乙BMP+乙DNP乙BMN+乙MND)=90°由(1)的結(jié)論得：ZMPN=ZBMP+ZDNP=90°;

②設(shè)NBMP=B,ZDNP=9,/.ZNMP=mp,ZMNP=m9,AZBMN=(m+l)P,ZMND=(m+l)9,

???乙BMN+乙MND=180",(m+1)0+(m+1)0=180°,.-./?+0=(瞿乙MPN=(券

(3)設(shè)/BMP=|3,ZDNP=9,貝!]NQMP=n|3,ZQNP=n6,由(1)得/MPN=NBMP+/DNP,即a=P+。,根據(jù)/DNP-

ZBMP=20°,得仇|3=20。，可分為以下三種情況：

①如圖4,當(dāng)點(diǎn)Q在線段ME上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF〃AB,則AB〃QF〃CD,由平行線

圖

的性質(zhì)可得/MQF+ZQMB=180°,ZNQF+ZQND=180°,4

.??ZMQF=180°-ZQMB=180°-(ZQMP+ZBMP)=18O°-(n3+p)=180°-(n+1)0,NNQF=18

Oo-ZQND=18O°-(ZQNP+ZDNP)=18Oo-(nO+e)=18O°-(n+l)0,

???ZMQN=ZMQF+ZNQF=[180o-(n+l)p]+[180°-(n+l)9]=360o-(n+l)(p+e)=360°-(n+l)a.

②如圖5,當(dāng)點(diǎn)Q在線段EM的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF〃AB,則QF〃AB〃CD,由平行線的

性質(zhì)可得NMQF+ZQMB=180°,ZNQF+ZQND=180°,

Z.MQF=180°一“MB=180°-"QMP-乙BMP)=180°一(n/?一￡)=18

0°-(n-10°-l)p,ZNOF=180o-ZQND=180o-(ZQNP+ZDNP)=180o-(n0+e)=180°-(n+

1)9,圖5

..乙MQN=乙MQF-乙NQF=[180°-(n-1)/?]一[180°-(n+1)。]

=(n+1)0-(n-1)p=n(O-p)+P+0=2On°+a.

③如圖6,當(dāng)點(diǎn)Q在線段ME的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF〃AB,則AB〃CD〃QF,由平行線的

性質(zhì)得/MQF+NQMB=180。，ZNQF=ZENQ,

/.ZMQF=180°-ZQMB=180°-(ZQMP+ZBMP)=180°-(nP+p)=180°-(n+l)p,ZNQF=Z

ENQ=ZQNP+ZDNP-180°=ne+9-l80°=(n+1)0-180°,

乙MQN=4MQF一4NQF=[180°-(n+1)。]-[(n+1)0

-180°]=360°-(n+1)(0+8)=360°-(n+l)a.圖6

綜上所述，ZMQN的大小為360°-（n+l）a或20n0+a.

專題突破12鏡面反射與三線八角

1.（2024漢陽(yáng)期中）問(wèn)題提出：射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等.如

圖1,MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為/I,反射光線OB與水平鏡面夾角為/2,則/1=/2.

（1）若/AOB=94。，則直接寫出/I的大小.

數(shù)學(xué)探究：如圖2,有兩塊平面鏡OM,ON,且OMLON,入射光線AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線CD.

(2)完成如下問(wèn)題：①若/1=55。，直接寫出/4的度數(shù);②求證：AB〃CD;

拓展運(yùn)用：有兩塊平面鏡0M,ON,入射光線AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD相交于點(diǎn)

E,如圖3,圖4.若NMON=m。，ZAED=n°,直接寫出m,n滿足的數(shù)量關(guān)系.

(1)解：Zl=43°.提示：VZ1+Z2+ZAOB=180°,Z1=Z2,

1

.,.2Zi+ZAOB=180°,即2zl=180°-Z.AOB,vZ.AOB=94°,Z1=j(180--94°)=43°.

(2)①解：N4=35。.提示：如圖，過(guò)點(diǎn)O作FG〃BC,則N2=N5,N3=N6.

Z5+Z6+ZMON=180°,Z2+Z3+ZMON=180°.

VOM±ON,.,.ZMON=90°,AZ2+Z3=180°-ZMON=90°.

VZ1=Z2,Z3=Z4,/.Zl+Z4=90o,VZ1=55°,AZ4=Z90o-Zl=90°-55o=35°.

②證明：??,/ABC+/l+N2=180°,Z1=Z2,ZABC+2Z2=180°,即/ABC=180°-2/2,同理可得/

DCB=180°-2Z3,AZABC+ZDCB=360°-2(Z2+Z3).

VZ2+Z3=90°,.1.ZABC+ZDCB=360°-2x90°=180°,/.AB/7CD.

拓展運(yùn)用：解：圖3中，m,n滿足的數(shù)量關(guān)系為2m+n=180,圖4中，m,

n滿足的數(shù)量關(guān)系為n=2m.

提示在圖3中，同理可得：ZABC=180°-2Z2,ZDCB=180°-2Z3,AABC+

乙DCB=360°-2(42+Z.3).

同理可得：ZABC+ZDCB+ZCEB=180°,Z2+Z3+ZMON=180°.

又；NCEB=NAED=n。，ZMON=m°,/.ZABC+ZDCB=180°-ZCEB=180°-n°,

Z2+Z3=180o-ZMON=180°-m°,A180°-no=360o-2(180o-m°),整理得：2m+n=180;

在圖4中，同理可得：ZAED+ZEBD+ZEDB=180°,ZMON+Z4+ZODC=180°.

又：ZEDB=ZODC,ZAED+ZEBD=ZMON+Z4.

VZEBD=Z1=Z2,ZMON=m°,NAED=n°,，n°+N2=m°+N4,AZ4-Z2=n°-m°.

ZBCO+ZMON+Z2=180°,AZBCO+m°+Z2=180°.

...ABCO=180°-43=180°-Z4,180°-N4+zn°+42=180°,

z4—Z.2=m°,n°—m°-m°,整理彳導(dǎo)：n=2m.

綜合與實(shí)踐(1)用小木棍探究平行線中的角度問(wèn)題

1.學(xué)校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)完第七章《相交線與平行線》后，開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，他們用擺放小

木棍的方式，進(jìn)一步探索平行線中的有關(guān)角的知識(shí).他們動(dòng)手操作步驟如下：首先，用四根小木棍擺放成圖1的

樣子，其中ABWCD^CWDE;；然后，輕微移動(dòng)調(diào)整原有的幾根小木棍位置，并增加一根小木棍，擺放成圖2的

形狀；最后，在圖2的基礎(chǔ)上，再增加兩根小木棍，擺放上去，得到圖3的形狀.

興趣小組的同學(xué)提出了下列問(wèn)題，希望通過(guò)探究得到答案：

(1)在圖1中，若NB=2/C,求ND的度數(shù)；

(2)在圖2中，若AB〃EF,那么乙4BC,NBCD/CDE/DEF具有什么數(shù)量關(guān)系呢?探究并說(shuō)明理由；

(3)在⑵的條件下,如圖3,若4ABe=4乙CBG/CDE=4/CDG,設(shè)ZC=a"=￡,,求NG的度數(shù)(用含a,