第六章平面向量及其應(yīng)用

一、思維導(dǎo)圖

廠［向量的加法運(yùn)算

\________________________1

—向量的減法運(yùn)算

平面向量X____________________________________X________________________________________________________

的運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算

J

向量的數(shù)量積

T平面向量基本定理

—［平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

平面向量X._______________________________________________________________________________________/

T平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示'

基本定理

及坐標(biāo)表-［平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

示\_________________________________________________________,

q平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

T平面幾何中的向量方法

平面向量-［向量在物理中的應(yīng)用舉例

的應(yīng)用\,

-［余弦定理、正弦定理

、知識記誦

知識點(diǎn)一：向量的有關(guān)概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).

2.向量的表示方法：

(1)字母表示法：如a,dc,…等.

（2）幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如彳目，麗等.

（3）坐標(biāo)表示法：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量Q4的起點(diǎn)。為在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)A坐標(biāo)為（九,y）,則

（羽y）稱為。A的坐標(biāo)，記為OA=（九,y）.

3.相等向量：

長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向量［與B相等，記為￡=尻

4.零向量：

長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個，其方向是任意的.

5.單位向量：

長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量.

6.共線向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：0與任一向量

共線.

注：共線向量又稱為平行向量.

7.相反向量：

長度相等且方向相反的向量.

知識點(diǎn)二、向量的運(yùn)算

1.運(yùn)算定義

運(yùn)算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言

加法與減法B______r-->-->

一OA+OB^OC記Q4=(xi，yi),OB=(X2,y2)

OB-OA=AB則。A+08=(XI+X2,yi+y2)

OB-OA=(x2-xi,y2-yi)

B

一OA+AB=OB

實(shí)數(shù)與向量的乘積

_h1AB=2a記〃二(x,y)

A履飛

兩個向量的數(shù)量積a-b=q.0cos卜?記。=（/認(rèn)）》=（%2，%）

fT

則b=xiX2+yiy2

2.運(yùn)算律

加法：

@a+b=b+a(交換律)；②(a+5)+c=a++c)(結(jié)合律)

實(shí)數(shù)與向量的乘積：

?A(a+b)=Aa+Ab；②(/L+〃)a=4a+〃a；③4(〃a)=(加)a

兩個向量的數(shù)量積：

@a-b=b-a；②(Xa)?匕=。?(2匕)=4(。?匕)；@(a+b)-c-a-c+b-c

3.運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論

(1)平面向量基本定理：如果乙,￡是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量3,

有且只有一對實(shí)數(shù)4,4，使￡=4冢+4晟，稱+4￡為冢,可■的線性組合.

①其中4，4叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；

②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量［，1的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.

③當(dāng)基底4,1是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際

上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，

即若A(x,y),則OA=(x,y)；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時，向量AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若

-->

A(xi,yi),Bg,y2),則AB=(X2-Xi,y2-yi)

(2)兩個向量平行的充要條件

符號語言：alIboa=九b(bw0)

坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量〃=(玉,乂)了二(%2，%)，則〃〃?o(xi，yi)=X(X2,y2)，或xiy2-X2yi=0.

(3)兩個向量垂直的充要條件

符號語言：a~Lboa-b=0

坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量。=(%,％),石=(X2，%)，則。=玉%2+%為=。

(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：

2/2-

①1=|?|2即IWI=H(求線段的長度);

②a_LZ?o。人=0(垂直的判斷);

/7?b

③COS。=EIT（求角度）.

要點(diǎn)詮釋:

1.向量的線性運(yùn)算

(1)在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利

用向量運(yùn)算完成簡單的幾何證明；

(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問題，減法的三角形法則應(yīng)記

?。哼B接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運(yùn)用的前提.

2.共線向量與三點(diǎn)共線問題

向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.通常用來判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平

行.該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題.

(1)用向量證明幾何問題的一般思路：

先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向

量的運(yùn)算來證明.

⑵向量在幾何中的應(yīng)用：

①證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件

all/?0a=%b(bw0)=(xi,yi)=2(X2,y2)

②證明垂直問題，常用垂直的充要條件

—>—>—>

=xxx2+yry2=0

n.b*1*2+/1?2

③求夾角問題，利用85。=^^=丁=

棉G22/2

+JlVX2+%

④求線段的長度，可以利用|a|=Ma或|質(zhì)卜J(%—/)2+(%—

知識點(diǎn)三：向量的應(yīng)用

1：正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即：

sinAsinBsinC

要點(diǎn)詮釋：

ahc

(1)正弦定理適合于任何三角形，且-----=-----=-----=2R(E為AABC的外接圓半徑)；

sinAsinBsinC

(2)應(yīng)用正弦定理解決的題型：①已知兩角和一邊，求其它②已知兩邊和一邊的對角，求其它.

(3)在已知兩邊和一邊的對角，求其它的類型中，可能出現(xiàn)無解、一解或兩解，應(yīng)結(jié)合“三角形中大

邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解.

2：余弦定理

在4ABC中，

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC

變形為：

72.222.2722?722

Ab+c-a八a+c-b-a+b-c

cosA----------------,cosB=----------------,cosC二------------

2bc2aclab

要點(diǎn)詮釋：

(1)應(yīng)用余弦定理解決的題型：①已知三邊，求各角②己知兩邊和一邊的對角，求其它③已知兩邊和

夾角，求其它；

(2)正、余弦定理的實(shí)質(zhì)是一樣的，從而正弦定理能解的問題余弦定理也一定能解，反之亦然；只是

方便程度有別；

(3)正、余弦定理可以結(jié)合使用.

3：三角形的面積公式

(1)S=gah“==gchc,其中丸”也，兒為瓦c邊上的高

(2)S=—aZ^sinC=—Z?csinA=—acsinB

222

(3)S=Jp(p—a)(p—b)(p—c),其中p="+

4：三角形形狀的判定方法

設(shè)AABC的三邊為a、b、c,對應(yīng)的三個角為A、B、C,

解斜三角形的主要依據(jù)是：

(1)角與角關(guān)系：由于A+B+C=%，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC；

.A+BCA+B.C

sin--------=cos——,cos=sin——；

2222

(2)邊與邊關(guān)系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b<c,b—c<a,c-a>b；

（3）邊與角關(guān)系：正弦定理、余弦定理

常用兩種途徑：

U）由正余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角；

（2）由正余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊.

要點(diǎn)詮釋：①化簡中將三角形內(nèi)角和、三角同角基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角公式等綜

合結(jié)合起來.②在AABC中，熟記并會證明：ZA,ZB,NC成等差數(shù)列的充分必要條件是NB=60。；AABC

是正三角形的充分必要條件是/A,ZB,NC成等差數(shù)列且a,b,c成等比數(shù)列.

5：解三角形應(yīng)用的分類

（1）距離問題：一點(diǎn)可到達(dá)另一點(diǎn)不可到達(dá)；兩點(diǎn)都不可到達(dá)；

（2）高度問題（最后都轉(zhuǎn)化為解直角三角形）；

（3）角度問題；

（4）面積問題.

三、能力培養(yǎng)

類型一：平面向量的概念

例1.給出下列命題：

①若|。|=歷|,貝1=

②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則荏=反是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;

③若乙=B,b=c,貝!|M=E；

④萬的充要條件是1口=歷I且萬；

⑤若方〃B,b//c,貝U日〃

其中正確的序號是.

（2）設(shè)4為單位向量，（1）若。為平面內(nèi)的某個向量，則。=卜卜/；⑵若。與4平行，則。=,卜生；

⑶若Z與7平行且同=1,則￡=屋.上述命題中，假命題個數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

【思路點(diǎn)撥】利用平面向量的相關(guān)基本概念和基本知識進(jìn)行判斷。

【解析】（1）①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；

②正確；：AB=DC,：.|福|=|反|且荏〃詼，又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，...四邊形

ABCD為平行四邊形；反之,若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB//DCS.\AB\=\DC\,因此，AB=DC.

③正確；：a^b,：.a,B的長度相等且方向相同；又b,工的長度相等且方向相同，

a,E的長度相等且方向相同，故五=乙

④不正確；當(dāng)方//坂且方向相反時，即使|方|=歷|,也不能得到。=B,故|口=歷|且G//B不是。=坂的充要

條件，而是必要不充分條件；

⑤不正確；考慮3=6這種特殊情況；

綜上所述，正確命題的序號是②③.

⑵向量是既有大小又有方向的量，￡與同可模相同，但方向不一定相同，故⑴是假命題；若［與7平

行，則￡與Z方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時￡=-問?4,故（2）、（3）也是假命題.綜上所述，

答案選D.

【總結(jié)升華】本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習(xí)時一方面

要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想.向量的概念較多，且容

易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念.

類型二：平面向量的運(yùn)算法則

例2.如圖所示，已知正六邊形ABCDEF,O是它的中心，若麗=百，BC=b,試用商，另將向量詼，

BF,BD,FD表示出來.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用

向量否來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊

即可.

【解析】因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A,

B,C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO,

所以麗+灰=麗+Zd=M,BO=a+b,0E="BO=a+b,

由于A,B,O,F四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF,所以BF=8。+OF=8。+7M=U+B+M=2M+B,

同樣在平行四邊形BCDO中，BD=~BC+CD^BC+BO=b+(a+b)=a+2b,ED=BC-BA=b

-a.

【總結(jié)升華】其實(shí)在以A,B,C,D,E,F及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用a,B表示,

且可用規(guī)定其中任兩個向量為商，b,另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用B表示.

類型三：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算

例3.己知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),試用向量方法求直線AC和OB(。為坐標(biāo)原點(diǎn))交點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】設(shè)尸(x,y),則。尸=(x,y),AP=(x—4,y)

因?yàn)镻是AC與03的交點(diǎn)，所以P在直線AC上，也在直線06上.

即得而〃礪，?！ú胖?，由點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC=(-2,6),08=(4,4).

6(x-4)+2y=0x=3

得方程組解之得7

4x-4y=0b=3

故直線AC與0B的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).

例4.己知方=(4,3),^=(-1,2),m=a-Ab,n=2a+b,按下列條件求實(shí)數(shù)4的值.⑴沆_1_萬；(2)

mHn；(3)|m|=|n|.

【解析】m==(4+2,3-22),后=22+3=(7,8)

(l)m±ra^(4+2)x7+(3-22)x8=0A=-y；

(2)mHn=>(4+2)x8—(3—22)x7=0n4=—g；

⑶帆=|司n7(4+2)2+(3-22)2=V72+82=^522-42-88=0

,2±2711

n2=------------.

5

【總結(jié)升華】此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算.

例5.已知I=(1,0),1=(2,1).

⑴求Ia+3Z?|；

⑵當(dāng)上為何實(shí)數(shù)時，上萬一B與M+3B平行，平行時它們是同向還是反向？

【解析】（1）因?yàn)锧=（1,0）,在=（2,1）.所以）+33=（7,3）,則|￡+3[=々2+3?=屈

（2）ka—b=（左一2,—1）,a+3b=（7,3）

一一1

因?yàn)樽驡—Z?與。+3b平行，所以3（左一2）+7=0即得左=—耳.

_7-____

此時左值一B=（左一2,—1）=（―耳,一1）,a+3b-（7,3）,則。+3B=一3（左。一"，即此時向量力+3萬

與左a-坂方向相反.

【總結(jié)升華】上面兩個例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線

的判定以及平面向量模的計算方法.

類型四：平面向量的夾角問題

例6.（2015重慶）已知非零向量各滿足|司=4|￡|,且Z，（2）+B）,則之與B的夾角為（）

n?7t27r57r

A.—B.—C.D.—

3236

【思路點(diǎn)撥】由已知向量垂直得到數(shù)量積為0,于是得到非零向量B的模與夾角的關(guān)系，求出夾角

的余弦值.

【答案】c

【解析】由已知非零向量a,B滿足|B|=4|￡|,且Z，（2￡+B）,設(shè)兩個非零向量B的夾角為氏

所以a-（2a+B）=0,即2a-+|a||B|cosd=0,所以cos?=L[0,兀],所以。=互；

23

故選C.

例7.設(shè)向量"與B的夾角為氏且Z=（3,3）,2b-a=（-1,1）,則cos6=.

【思路點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，以及用平面向量的數(shù)量積處理有

關(guān)角度的問題.

【解析】設(shè)3=(%,y)，由2五一￡=2(劉y)-(3,3)=(2%-3,2y-3)=(-L1)

f2x—3=—1\x=1

得V=,

\2y-3=l[y=2

a-b3xl+3x23M故填通

￡|?區(qū)IJ32+32?爐方1010

例8.已知兩單位向量值與b的夾角為120°,若A=2M-反2=35-萬，試求E與d的夾角.

【解析】由題意，同=忖=1,且方與B的夾角為120°,

所以，a-b=|a||^|cosl20°=-^,

\-\cf=c-c=(2a-b)-(2a-b)=4a2-4a-b+b2=1,

.?.同=S，

同理可得.?.口|=JR.

l^c-d=(2a-b)-(3b-a)=la-b-3b--2a2

設(shè)。為｝與之的夾角，

1717回

貝ijcosO=—廣1—

2V7V13182

例9.已知。、B都是非零向量，且〃+3刃與7〃一56垂直，〃一4行與7〃一2石垂直，求。與B的夾角。。

【思路點(diǎn)撥】把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0―聯(lián)立求2與B的關(guān)系T應(yīng)用夾角公式求結(jié)果。

【解析】

由已知：(〃+3B)?(7a-5B)=0,(〃-4辦(7〃-25)=0.

BP7a2+16a.S-15S2=0

la-30〃不+筋=0

兩式相減，得2a=B，代入其中任一式，得a=b,

2

IBL=1..-.0=6OO

I4W2

f-*■7C7C-*-*

例10.已知向量。=905(-。),$111(-6)),石二(以與(5-6)?11(5-。))，(1)求證：a.Lb；(2)若存在

,一"+產(chǎn)

不等于0的實(shí)數(shù)k和t,使3=￡+(r+3)及y=-ka+tb,滿足［，亍試求此時-----的最小值。

【思路點(diǎn)撥】(1)可通過求73=0證明Z_LB；

-一一一k+t2

(2)由得％?》=(),即求出關(guān)于k,t的一個方程，從而求出-----的代數(shù)表達(dá)式，消去一個量

t

k,得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值。

【解析】(1)

_—TCTC

?.?=cos(-^)?cos(——6)+sin(-6)esin(——6)=sin6cosO-sin0cos6=0.

a.Lb

(2)由x_Ly得％?>=(),即

[ci+(/2+3)/?]*(—ku+/Z?)=0,—ku+(戶+3/)Z?+[，一左(產(chǎn)+3)]a-Z?=0

二.-+(z-3+3z)|/?|=0.

又忖=1,|^|=1,/.—k+Z3+3^=0,/.k=t3—3t.

-3-2

k+1?Z+Z+3t2c/1、211

----------------—t+/+3=(/H—)H-----.

tt24

故當(dāng)仁」時,"(有最小值u.

2t4

類型五：平面向量綜合問題

例11.已知向量工=(x,y)與v=(y,2y-x)的對應(yīng)關(guān)系用v=/(日)表示.

⑴證明：對于任意向量2B及常數(shù)m,11恒有/(血?+病)=時(汀)+4(5)成立；

⑵設(shè)4=(1,1)石=(1,0),求向量/(?)及f(b)的坐標(biāo)；

(3)求使/G)=(p,q),(p,q為常數(shù))的向量亍的坐標(biāo).

【解析】⑴設(shè)五=(%M2)，B=31，”2)，則欣+=(^^1+泌，1^^2+〃)2)，

故/(欣+病)=(m^2+泌2,2^^2+2曲—rna\一油)1=皿。2,2。2-〃1)+九(比也2一灰),

f(ma+nb)=mf(5)+nf(b)

(2)由已知得了⑷=(1,1),/(S)=(0,-1)

(3)設(shè)m=(x,y),則/G)=(y2y-%)=(p,q),

?\y=p,x=2p-q,BPc=(2p-q,p).

例12.求證：起點(diǎn)相同的三個非零向量五，b,35-2B的終點(diǎn)在同一條直線上.

證明：設(shè)起點(diǎn)為O,OA^a,OB=b,OC=3a-2b,

則恁=無一次=2(展B),AB=OB-OA=b-a,AC=-2AB,

,/六,通共線且有公共點(diǎn)A,因此，A,B,C三點(diǎn)共線，

即向量彳，b,35-2B的終點(diǎn)在同一直線上.

【總結(jié)升華】

(1)利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩個向量有公共點(diǎn)；

(2)用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩向量無公共點(diǎn).

22

例13.已知標(biāo)+沙2=1,c+J-1,求證：\ac+bd\<1.

【思路點(diǎn)撥】"=1,。2+屋=1,可以看作向量b),y=(c,d)的模的平方，而ac+M

則是1、亍的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式.

【證明】設(shè)x=(a,b),y=(c,d)

則=ac+Z>d,|兀|=/。2+/，|y|=J/+d2.

-.■\x-y\<\x\\y\,

..|ac+bd區(qū)\/ci~+b~-yjc~+d~=1

【總結(jié)升華】在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如

|a+B閆a|-|萬|,|a+B區(qū)|a|+|B|；a石W|a石區(qū)|a|T5|等.

類型六：正、余弦定理的基本應(yīng)用

例14.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A+C=2B.

(1)求cosB的值；

⑵若b2=ac,求sinAsinC的值.

【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)“A+C=2B”易知B=60。，又由邊之間的關(guān)系“b2=ac”,如何求“sinAsinC”的值？正、

余弦定理的運(yùn)用都可以求出值.

【解析】⑴由已知2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60。，所以cosB=g.

(2)解法一：由已知尸二口。，及cos3=g,

根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC,

c3

所以sinAsinC=1-cos2B=—.

4

1〃2+2_

解法二：由已知^=ac,及cosZ?=—，根據(jù)余弦定理得cos5=-----------------，

2lac

3

解得a=c,所以A=C=B=60。，故sinAsinC=—.

4

【總結(jié)升華】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的邊、角等基本量是考試的重點(diǎn)，注意靈活利用三

角形中的內(nèi)角和定理，實(shí)現(xiàn)角的互化，靈活利用正、余弦定理的變形.

類型七：正、余弦定理的綜合應(yīng)用

例15.（2014遼寧高考）在^ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且a>c,已知BA3C=2,cosB

=g,b=3,求：（I）a和c的值；（II）cos（B—C）的值.

23

【答案】（I）a=3,c=2,（II）一.

27

【思路點(diǎn)撥】（1）由平面向量的數(shù)量積，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）畫出簡易圖，將

已知條件在圖上標(biāo)出來，運(yùn)用正弦定理求得角。的正弦值.

TT