專題12.11二次根式（4大考點(diǎn)11類題型）（中考?？键c(diǎn)分類專題）

第一部分【知識(shí)梳理與題型目錄】

考點(diǎn)與題型目錄

【考點(diǎn)一】二次根式的意義與性質(zhì)

【題型1】二次根式的意義.............................................................1

【題型2】二次根式的性質(zhì)............................................................3

【考點(diǎn)二】二次根式的運(yùn)算

【題型3】最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式................................................4

【題型4】二次根式的乘除運(yùn)算........................................................6

【題型5】二次根式加減運(yùn)算..........................................................7

【題型6】二次根式的加減乘除混合運(yùn)算................................................9

【考點(diǎn)三】二次根式的化簡(jiǎn)求值

【題型7】已知字母的值，化簡(jiǎn)求值....................................................10

【題型8】已知條件式，化簡(jiǎn)求值......................................................n

【題型9】整體思想化簡(jiǎn)求值..........................................................13

【考點(diǎn)四】二次根式的應(yīng)用

【題型10］二次根式的大小比較.......................................................15

【題型111二次根式的實(shí)際應(yīng)用.......................................................17

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【考點(diǎn)一】二次根式的意義與性質(zhì)

【題型1】二次根式的意義

【例題1】（2024,黑龍江綏化?中考真題）若式子"^與有意義，則機(jī)的取值范圍是（）

B.C.，，二D.院二

…二3223

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得2320,即可求解.

解：回式子J2n1-3有意義,

[?]2m-3>0,

解得：m>|3,

故選：C.

【變式4(2425八年級(jí)下?重慶?期中)如果關(guān)于x的分式方程二-3==有負(fù)整數(shù)解，且關(guān)于。的二次

X+lX+1

根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么符合條件的所有整數(shù)a的和.

【答案】-6

【分析】本題考查解分式方程和二次根式有意義的條件，先根據(jù)二次根式有意的條件求出-5Va<0,再解

方程求出x=一且xwT,根據(jù)方程有負(fù)整數(shù)解求出整數(shù)a的值求和即可.

解:團(tuán)關(guān)于。的二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

yJ-Cl

[5+a>0

*c，解得-5<a<0,

[一a>0

即整數(shù)。的值為-5,-4,-3,-2,-1,

解分式方程3-3==得：x==且XN-1,

x+1x+12

又回分式方程有負(fù)整數(shù)解，

回整數(shù)。的值為：-4,-2,

即所有整數(shù)a的和為T+(-2)=-6,

故答案為：-6.

【變式2](2425八年級(jí)下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))若a,b是一直角三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿足等式

Ja-3+3d3-a=b-4■

(1)求a,b的值；

(2)求第三邊c的長(zhǎng).

【答案】(1)。=3,6=4；(2)或5

【分析】本題考查二次根式有意義的條件、勾股定理，分類討論是解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次根式有意義的條件求得。值，進(jìn)而求得。值；

(2)分4為斜邊和c為斜邊兩種情況，利用勾股定理求解即可.

解：(1)解：由題意，得a—320且3—。三0,

0a>35.a<3,貝i]a=3,

將a=3代入Ja-3+3j3-a=6-4,得0=6-4,

0Z?=4；

(2)解：fflcz,b是一直角三角形的兩邊長(zhǎng)，

回若4為斜邊，則c="2—32=占：

若c為斜邊，則c=J42+32=5，

綜上，第三邊c的長(zhǎng)為近或5.

【題型2】二次根式的性質(zhì)

【例題2】(2024,內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)實(shí)數(shù)匕在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則

J(a-b)2_(》_Q_2)的化簡(jiǎn)結(jié)果是()

1tl11211>

-3-2-1012

A.2B.la-2C.2-2bD.2

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，根據(jù)數(shù)軸可得-3<a<-2,

0<&<1,,再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

解：由數(shù)軸知回一3<〃<一2,0</?<1,

團(tuán)a—bvO,

04(a-b)2-伍-a-2)

=\a-l)\-{b-a-2)

=,_a_2)

——a+Z7—Z?+〃+2

=2,

故選：A.

【變式1](2425七年級(jí)下?湖南永州?期中)閱讀材料：由

6+2君=5+1+2石=(6『+2x6xl+12=(正+1『，可知6+26的算術(shù)平方根是指+1,類似地，

15-6#的算術(shù)平方根是.

【答案】3-V6

【分析】本題考查算數(shù)平方根的概念即一個(gè)正數(shù)。有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根，正的平方根叫做。的算術(shù)

平方根.本題通過(guò)觀察將15-6#表示為（筋-"-2漏+6的形式，再聯(lián)立方程運(yùn)算求解即可.

解：將15-6#表示為（G-痣）=a-2ab+b,

HI1[a+b=15

，（2ab=6#'

解得｛窗或｛窗，

故15-6?的算術(shù)平方根是3-m.

【變式2]（2425八年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知VABC的三邊為a、6、c,試化簡(jiǎn)Js+c—4-1（b-c-a）2.

【答案】2b-2a

【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的應(yīng)用，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào).根據(jù)三角形

的三邊關(guān)系定理得出6+c>a,c+a>6,根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出含有絕對(duì)值的式子，最后去絕對(duì)值符號(hào)

后合并即可.

解：回。,仇。是VABC的三邊長(zhǎng)，

:.b+c>a,c+a>b,

?*-a『_J（：_c_a）2

=l3+c）—ci|一|b—（c+a）|

=b+c—a+b—c—a

=26—2a.

【考點(diǎn)二】二次根式的運(yùn)算

【題型3】最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式

【例題3】（2023?山東煙臺(tái)?中考真題）下列二次根式中，與也是同類二次根式的是（）

A."B.76C.瓜D.V12

【答案】C

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

解:A、4=2,與及不是同類二次根式，不符合題意；

B、而與也不是同類二次根式，不符合題意；

C、&=2近，與&是同類二次根式，符合題意；

D、/=2退，與萬(wàn)不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡(jiǎn)二

次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡(jiǎn)二次根式的特征：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）

被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

【變式1］（2425八年級(jí)下?河南許昌?期中）J樂(lè)與最簡(jiǎn)二次根式57^工1能合并，貝!］〃?=.

【答案】1

【分析】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.能合并就是同類二次根式,

都化成最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)相同，據(jù)此求解即可.

解：V18=3A/2,

如與最簡(jiǎn)二次根式5，w+l能合并,

...根+1=2,

解得：m=\,

故答案為：1.

【變式2］（2324八年級(jí)下?山東東營(yíng)?開(kāi)學(xué)考試）把二次根式卮—與分別化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)

方數(shù)相同.

（1）如果。是正整數(shù)，那么符合條件的。的值有哪些？

（2）如果a是整數(shù)，那么符合條件的。的值有多少個(gè)？最大值為多少？有沒(méi)有最小值？

【答案】（1）符合條件的正整數(shù)。的值為5,15,21；（2）如果。是整數(shù)，那么符合條件的。有無(wú)數(shù)個(gè).其

中。的最大值為21,沒(méi)有最小值.

【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的意義及同類二次根式的意義，根據(jù)本題的特點(diǎn)，當(dāng)a為正整數(shù)時(shí),

。的取值是有限的，當(dāng)。為整數(shù)時(shí)，a的取值是無(wú)限的，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

（1）由于。是正整數(shù)，所以可得此時(shí)的情況有23-。=2,23-a=8,23-。=32三種；

（2）當(dāng)。是整數(shù)時(shí)，除了（1）中的三種情況，還可以列出無(wú)數(shù)種，所以此時(shí)a值有無(wú)數(shù)個(gè)，沒(méi)有最小值,

最大值是21.

解：（1）\'=亨，旦與的被開(kāi)方數(shù)相同，

...當(dāng)23-。=2時(shí)，a=21；

當(dāng)23—a=8時(shí)，a=15；

當(dāng)23—。=18時(shí)，＜2=5；

當(dāng)23-。=32時(shí)，a=-9（不合題意，舍去）.

,符合條件的正整數(shù)。的值為5,15,21.

（2）由（1）,得當(dāng)23-。=50時(shí)，a=—27；

當(dāng)23-。=72時(shí)，a=T9；

如果。是整數(shù)，那么符合條件的。有無(wú)數(shù)個(gè).

其中。的最大值為21,沒(méi)有最小值.

【題型4】二次根式的乘除運(yùn)算

【例題4］（2023?山東濰坊,中考真題）從一加、也,庭中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式口北）『十夜里

面的“口"與"。"中，計(jì)算該算式的結(jié)果是.（只需寫出一種結(jié)果）

【答案】172-273（或4行-2#或|應(yīng)+6,寫出一種結(jié)果即可）

【分析】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得.

解：①選擇-血和百，

貝1“一加+@，&=（2_2#+3）+血

=（5-2網(wǎng)+0

=5+拒-2屈;?

=-A/2-2A/3.

2

②選擇-友和面，

貝1］卜71+網(wǎng)2+忘=（2_2瘡+6卜0

=（8-2而'卜逝

=8-72-2^/124-72

=4夜-28

③選擇力和y/6,

貝+夜=（3+2如+6/夜

=（9+6@+垃

=2忘+6.

2

故答案為：172-273（或4血-或|血+6,寫出一種結(jié)果即可）.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式1］（2425八年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為3而和26，則這個(gè)菱

形的面積為.

【答案】3底

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，二次根式的乘法；根據(jù)菱形面積等于兩對(duì)角線乘積一半，利用二次根式

乘法計(jì)算即可.

解：菱形的面積為（x3拈x2退=3回;

2

故答案為：3-^0.

【變式2】（2425八年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）計(jì)算:

【答案】（1）一逅；（2）—嫗

63

【分析】本題考查二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵:

（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可;

（2）利用除法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

解：(1)解：原式=_.至，依54]=/至+(2=12勿=4.218+3=_如；

313)3\3)386

__15L10^2515[64—8-

(2)原式=一11亍GTV27X25

【題型5】二次根式加減運(yùn)算

【例題5】（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.72+73=75B.V2XA/5=710

C.2+0=1D.必？=-5

【答案】B

【分析】此題考查二次根式的運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法

則對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷.

解：A.0與否不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.也又如=屈，所以B選項(xiàng)正確；

C.272=-j4-^2=s/2,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.7（-5）2=|-5|=5,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1］（2425九年級(jí)上?四川眉山?階段練習(xí)）計(jì)算：我一擊+出'=.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的減法運(yùn)算，分母有理化及負(fù)整數(shù)幕，先化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算負(fù)整數(shù)幕，再

加減即可.

解：原式=2應(yīng)-20+2

=2.

故答案為：2.

【變式2］（2425七年級(jí)下?天津?期中）計(jì)算：

（1）修夜-⑹+（豆-&）；（2）>/16-0+|1-^|.

【答案】（1）&;（2）5+0

【分析】本題考查的是二次根式的加減運(yùn)算，算術(shù)平方根，立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握以上

運(yùn)算法則.

（1）直接合并同類二次根式即可；

（2）先求解算術(shù)平方根，立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再合并即可.

解：（1）（2拒-若）+（石-亞）

=2忘-6+若-近

=V2;

（2）麻-舛+"閩

=4+2+72-1

=5+應(yīng)

【題型6】二次根式的加減乘除混合運(yùn)算

3

【例題6】（2024?甘肅?中考真題）計(jì)算：7T8-V12X

【答案】0

【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2425八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特,階段練習(xí)）計(jì)算:|l-V3|-V2xV6

【答案】-y

【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，二次根式的乘法，分母有理化，負(fù)整數(shù)

指數(shù)幕等知識(shí).先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算二次根式的乘法，分母有理化，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即

可.

1

解：|1-A/3|-V2XV6+

2-杷

=73-1-273+2+73--

4

_5

--4,

故答案為：-：.

4

【變式2】（黑龍江省龍東地區(qū)20242025學(xué)年下學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試卷）計(jì)算:

(1)27184-72-（2）（舟佝（夜_宿）-（遙+2可.

【答案】（1）4；（2）-13-4A/15

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則及乘法公式.

（1）分別計(jì)算二次根式的乘除，零次幕，再合并同類二次根式;

（2）先整理再利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算，最后求和即可求解.

=74^9-^+]

=6-3+1

=4；

(2)解：(而+#)(寂一西卜(君+2君了

=2(V8+^)(A/8-^)-(5+12+4A/15)

=2(8-6)-17-4715

=2x2-17-4715

=-13-4-715

【考點(diǎn)三】二次根式的化簡(jiǎn)求值

【題型7】已知字母的值，化簡(jiǎn)求值

【例題7】（2023,湖南湘西?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：+其中a=0-l.

1a-\）a-1

【答案】0+1,及

【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)

結(jié)果，最后把。的值代入計(jì)算即可.

Q—1+1(Q+1)(Q—1)

Cl—1Cl

a(Q+1)(Q-1)

a—1a

=?+1

當(dāng)4=戊-1時(shí)，原式=應(yīng)一1+1=0，

【點(diǎn)撥】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式1】（2425八年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知”=君+2,貝lk/2—4a+5=

【答案】6

【分析】本題考查的是求代數(shù)式的值，二次根式的混合運(yùn)算，把原式利用完全平方公式變形是解題的關(guān)

鍵.利用完全平方公式變形，原式=（。-2）?+1,把°=百+2代入計(jì)算即可.

解：a2-4a+5=（a-2）：+l=（^+2-2）2+l=6,

故答案為：6.

【變式2］（2425八年級(jí)下?江西新余?期中）小明在解決問(wèn)題：己知。=馬!，求2/-8°+1的值，他是

這樣分析與解答的:

_1_2-石耳

“一邛/r(2+司(2-⑹'?"2=一技

二.(a-2)2=3,即〃2_4〃+4=3./,a2-4a=-1y2^2—861+1=2^a2—4a^+l=2x(—1)+1=-1.

請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：

⑴計(jì)算：念r——，

【答案】（1）72-1;（2）3

【分析】此題考查已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握分母有理數(shù)化簡(jiǎn)方法，完全平方公式是解題的關(guān)

鍵.

（1）分子、分母同乘以夜-1，進(jìn)而即可得到答案；

（2）根據(jù)例子求出。=逐+2,原式變形得到2s-2）2-7,再代入求值即可.

1及-1r-

解：⑴解：百F產(chǎn)耐刁二夜一1'

故答案為：V2-1;

1V5+2r--

⑵解：回若-2)(-+2)=:+2'

【題型8】已知條件式，化簡(jiǎn)求值

【例題8】（2024?湖南懷化?一模）已知f+Jy-6=6九一9,求的值.

【答案】3夜

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先把所給條件式變形為（％-3）2+6后=0,

進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出％=3,y=6,據(jù)此代值計(jì)算即可.

解：回％、+Jy-6=6無(wú)一9,

團(tuán)X2—6%+9+Jy-6=0,

團(tuán)(％-3)+Jy-6—0,

回工一3二0,＞一6二0,

團(tuán)x=3,y=6,

01xy—J3x8=3^2.

【變式1］（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知工=若-1-=君+1,則工的值為_(kāi)________.

Xy

【答案】1/0.5

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)已知易得：孫=4,y-元=2,然后利

用異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算，再把孫=4,y-x=2的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答，

準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

解：x=-y/5—1,y=y/5+1,

.?.沖=（石-1）函+1）=5-1=4，

>7=b+1-（括-1）=2,

.11.1

xyxy42

故答案為：y.

亞-坦

【變式2］（2425八年級(jí)上?上海寶山?期中）己知:求：3/-5孫+3/的值.

A/5+A/3

【答案】181

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的變形求值，先分母有理化得到x=4-岳,

j=4+715,再求出尤+y=8,盯=1,再根據(jù)3x?-5q+3y2=3（%+才-11孫進(jìn)行求解即可.

V5-V3

解:回％=6+6

75+73y=亞-下）

（石-可5-2V15+3M+可5+2后+3

團(tuán)X==4—,y==4+715,

心+塔心-司5-3心+⑹心-⑹一-5^3-

0無(wú)+y=4-厲+4+VI?=8,xy=（4-V15）（4+V15）=16-15=1,

03x2-5xy+3y2

=3（爐+2盯+力一11孫

=3（^x+y）2-llxy

=3x82-llxl

=181

【題型9】整體思想化簡(jiǎn)求值

【例題9】（2015?廣東汕尾?中考真題）已知a+6=—求代數(shù)式Q—1）2+b（2a+b）+2a的值.

【答案】3.

【分析】先把代數(shù)式按乘法公式展開(kāi)，然后合并同類項(xiàng)，再分組后根據(jù)完全平方式變形出a+b,用整體代

入法求值.

解：原式=〃-2。+1+2。6+/+2。

=+1+2ab+

=(a+6)2+1

當(dāng)a+b=&時(shí)，原式=3.

【變式1]（2324九年級(jí)上?四川達(dá)州?期中）己知必=2,則+的值是.

【答案】2友或一20

【分析】

本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，此題的難點(diǎn)在于需考慮兩種情況.由已知條件可知，本題有兩種情況需

要考慮：?！?,Z?>0；々<0,b<0.

解：當(dāng)〃>0,匕>0時(shí)，

原式=ab+y/ab=^2+A/2=2A/2；

當(dāng)a<0,hvO時(shí)，

原式=-\[ab-\[ab=-2^2?

故答案為：2也或-2A/2.

【變式2]（2425八年級(jí)下廣東廣州?階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：已知％=石+2,求代數(shù)式X2-4X-7的值.

小明的做法如下：

x-+2，

x-2—,

兩邊平方，得：

/.f—4x+4=5,

x2—4x=1.

把X2-4X作為整體代入，得%2-4%-7=1-7=-6,即把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題.

仿照上述方法解決下列問(wèn)題：

(1)己知x=y/10-3,求代數(shù)式V+6尤一8的值；

(2)已知x=苴二1,求代數(shù)式X3+2X2的值.

2

【答案】(1)一7；(2)1

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)％=質(zhì)-3求出x+3=而，然后兩邊平方后求出d+6x+9=10，求出d+6x=l,再代入求出

答案即可；

(2)根據(jù)>"求出2x+l=石，再兩邊平方求出4/+4x+l=5,求出Y+X=1,再變形后代入，即可

求出答案.

解：(1)解：冗=如-3,

x+3=J10,

兩邊平方得：(X+3)2=("~5),即f+6x+9=10，

+6%=1,

.e.x2+6x—8=1—8=—7;

(2)解：x=避二1,

2

2%=-1,

2x+1=y/sJ

兩邊平方，得(2x+lp=(君『，即4￡+4X+1=5,

?.4x2+4%=4,即x?+%=1,

/.x3+2x2

=x3+x2+x2

=X(^X2+X)+%2

=x+X

=1.

【考點(diǎn)四】二次根式的應(yīng)用

【題型10］二次根式的大小比較

【例題10】(2021?湖北恩施?中考真題)從虛，-5-④這三個(gè)實(shí)數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2

的有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分別求出這三個(gè)實(shí)數(shù)中任意兩數(shù)的積，進(jìn)而問(wèn)題可求解.

解：由題意得：

-A/3x0=-瓜-逝x0=-2,-A（-0）=",

團(tuán)所有積中小于2的有-n,-2兩個(gè)；

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式】】⑵25八年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知"儒，匹鳥(niǎo)I'比較大?。篔（填…＜

或"=

【答案】＜

【分析】本題考查的是二次根式的除法運(yùn)算，二次根式的大小比較，先計(jì)算4=、202。21,再進(jìn)一步比

bV20202

較大小即可.

1201912020/20192021_/(2020-1)(2020+1)_他。-

~b~V2020"\2021-V2020X2020-V2020"-V20202

202()2-1

0<1

20202

I20202-1

<1,

V20202

QY

回不<;

故答案為：＜

【變式2］（2425八年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）比較夜-1與世-應(yīng)的大小可以采用下面的方法:

(01)(0+1)

72-1=

V2+1

2-1

-V2+1

1

=g；

g石_(6一后)(6+夜)

―V3+V2

3-2

-V3+V2

1

一省+0?

顯然逝+1<6+加,所以

仔細(xì)研讀上面的解題方法，然后完成下列問(wèn)題：

(1)猜想：J2011-J2010與J2012-42011的大小關(guān)系;

(2)嘗試計(jì)算：上十與片+*++忠麗.

【答案】(1)V2011-V2010>V2012-72011：(2)9

【分析】此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因

式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同.

(1)根據(jù)閱讀材料中的方法將兩式化簡(jiǎn)，即可做出比較；

(2)原式變形后，計(jì)算即可得到結(jié)果.

解：⑴解：所一河=河一的的師)=-L,

lx(V20H+V2010)V20H+V2010

標(biāo)一回n=(匹-您》舞+標(biāo))1

(V2012+<2011)x1V2012+V2011

顯然J2011+J2010<J2012+J2011,

所以J2011+J2010>J2012+J2011?

所以,2011-J2010>J2012-J2011

且1111

⑵解:百1+百&+。++小夜

72-1石-忘2-石10-M

一(0+1)(0-1)(73+72)(73-72)(2+A/3)(2-V3)(10+799)(10-^/99)

=(血-1)+(石-偽+(2-拘++(10-A/99)

=-1+10

=9

【題型11］二次根式的實(shí)際應(yīng)用

【例題11】（2021?四川眉山?中考真題）觀察下列等式：芯W(wǎng)+L

I122221x2

1+ih;

%+-L；

123x4

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算%+々+%3++々020-2021=

1

【答案】-

2021

【分析】根據(jù)題意，找到第〃個(gè)等式的左邊為J1+*11r等式右邊為1與而仁的和；利用這個(gè)

結(jié)論得到原式=m嗎+*+...+1募詞-2皿然后嗚化為14:化為1

2020x2021

化為小—一77,再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算即可?

20152016

解：由題意可知，卜,+品11+小

%2020-1+2020x2021

玉+W+%3++”2020—2021

1111

=1-+1-+1—+...+1-----------2021

26一122020x2021

11111

=2020+1------1-----——+...4-----------------2021

22320202021

1

=2020+1-------2021

2021

1

2021

故答案為：-焉?

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡(jiǎn)便

運(yùn)算.

【變式1］（2324九年級(jí)上?廣西河池?期末）如圖，VABC與」。EC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，AB=3,AE=5,

NBAD=90°,則點(diǎn)A到BE的距離是.