動點中特殊三角形存在性的勾股求解

動

態(tài)

問

題

【題型一】等腰三角形存在性(求坐標)

【例1-1](2020.山西太原期中)如圖，平面直角坐標系中，點P,Q的坐標分別為(0,2),(4,0),連接P。.

(1)若點M是x軸負半軸上的一點，且MQ=PQ,則點M的坐標為.

(2)若點M是y軸上的一點，且則點〃的坐標為.

【解析】解：⑴如圖，MQ=PQ=2也,

:.點M■的坐標為(4-2^/5,0).

(2)如圖，設(shè)OM=無，則MP2=MQ2,得:

（x+2）2=爐+42,解得:x=3

故點M■的坐標為（0,-3）.

【變式1一1］（2020?宿遷市期中）如圖，已知點B在數(shù)軸負半軸上，。為原點，點A在過。且垂直于數(shù)軸的直線

上，/54。=60。，A8=4,點C在數(shù)軸上，當//8C是以為腰的等腰三角形時，點C表示的數(shù)為.

【答案】—2g—4或2g".

【解析】解：'：OALOB,NBA0=60。，AB=4,

為直角三角形，ZABO=30°,

：.OA=-AB=2,OB=JAB2_OH方=2百，

①當AB=AC時，

'：AB=AC,OA±OB,

OC=OB=2^/3，

...點C表示的數(shù)為：26；

②當A8=BC時，

'：AB=BC=4,

：.OC=OB+BC=+4，

:點C在數(shù)軸負半軸上,

...點C表示的數(shù)為：—20—4；

故答案為：-26-4或2G

【題型二】等腰三角形存在性（求時間）

【例2一1］（2020?浙江杭州市期中）在R/ABC中，ZC=90°,BC=8cm,AC=6cm,在射線5C上有一動

點。從點3出發(fā)，以2cm/s的速度勻速運動，若點。運動7。）時以點A,D,3為頂點的三角形恰為等腰三角

形，則所用時間/為s.

25

【答案】—,5,8.

8

在RfAAC￡)中，由勾股定理得：A^AC^+CD2,即8￡>2=(8力￡))2+62,

25

解得：BD=—cm,

4

25

則t=BD?2=—秒；

8

②當AB=B￡)時，

③當A￡)=AB時，BD=2BC=16,?=BZ”2=8秒

25

故答案為：—，5,8.

【變式2一1］（2020?江陰月考）如圖，在6x8的網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都為1,動點P、。分別從點。、A

同時出發(fā)向右移動，點產(chǎn)的運動速度為每秒2個單位，點。的運動速度為每秒1個單位，當點尸運動到點C時，

兩個點都停止運動.

（1）求3。的長；

（2）求運動時間f為多少秒時，△PQ8為以8尸為底的等腰三角形?

【答案】見解析.

【解析】解：(1)在RfAAB。中，由勾股定理得：BD=10.

(2)過點。作QSJ_FE于S,則PS=2t-t=t,

在RfAPSQ中，P^=62+t2,

當。2=。尸時，BQ=8-t,

即62+r2=(8-r)2

7

解得：t=—；

4

7

運動時間r為一秒時，APB。為以2尸為底的等腰三角形.

4

【題型三】等腰三角形存在性(動點往返運動)

【例3一1](2020?四川成都期中)如圖，ABC中，NC=90°,AC=8cm,3c=6cm,若點P從點A出發(fā),

以每秒2cm的速度沿AfCf6fA運動，設(shè)運動時間為t(t>0)秒.

(1)若點P恰好運動到BC的中點，求r的值.

(2)若ACBP為等腰三角形，求r的值.

【答案】見解析.

【解析】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6

由勾股定理得：AB=l0cm.

(1)點尸的運動路程：AC+0.5BC=8+3=ll,

運動時間為11+2=5.5s.

(2)①尸從A-C,0<?4時,

止匕時NC=90°,BC=CPi=6,APi=2,t=ls.

②P從JB時，4<Z<7,△CBP不存在

③尸從B—A時，7<江12

(z)當BC=CP2=6時，過C作CH1AB于H,

由CHAB=BCAC得：CH=—

1Q

由勾股定理得3/7二二

BP2=2BH=^-

U(8+6+)-r2=10.6S.

(n)BC=BP3=6,

t=(8+6+6)-2=10s.

由N2+Nl=90。，ZB+ZA=90°

得：Z1=ZA

??AP^=CP^,

；.尸4為AB中點，

t=(8+6+5)+2=9.5s.

綜上所述，f的值為Is,10.6s,10s,9.5s.

【變式3一1](2020?青神縣期中)如圖所示，已知AABC中，ZB=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、QABC

邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A—B方向運動，且速度為每秒1cm,點。從點8開始沿B—C—A方向

運動，且速度為每秒2cm它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為窗.

鳥用圖

(1)出發(fā)3s后，求PB的長；

(2)當點0在邊BC上運動時，出發(fā)多久后，APOB能形成等腰三角形？

(3)當點。在邊CA上運動時，求能使ABCQ成為等腰三角形的運動時間.

【答案】(1)13cm；(2)3秒；(3)11秒或12秒或13.2秒.

3

【解析】解：(1)當t=3時，則AP=3,

VAB=16cm,

?\PB=AB-AP=16-3=13(cm),

(2)由題意,AP=t,BQ=2t,

'：AB=16,

：.BP=AB-AP=16-t,

當^PQB為等腰三角形時，則有BP=BQ,

即167=23解得，=3,

3

出發(fā)5秒后△PQB能形成等腰三角形；

則NC=NC8。,

ZABC=90°,

：.ZCBQ+ZABQ=9Q°.

ZA+ZC=90°,

：.ZA=ZABQ,

：.BQ^AQ,

：.CQ=AQ=}0,

：.BC+CQ=22,

Af=22^-2=11秒.

②當CQ=BC時，如圖所示,

則BC+CQ=24,

.?，=24+2=12秒.

③當BC=B。時，如圖所示,

過8點作8ELAC于點E,

,48

則nB￡=y,

QZ7

由勾股定理得：CE=y,

：.CQ=2CE=14A,

：.BC+CQ=26A,

；/=26.4+2=13.2秒.

綜上所述，當f為11秒或12秒或13.2秒時，ABC。為等腰三角形.

【題型四】等腰三角形存在性（多動點）

【例4一1】（2020?竦州市期中）如圖，ABLBC,CDLBC,且BC=CD=4cm,AB=km,點P以每秒0.5cm

的速度從點3開始沿射線3C運動，同時點。在線段CZ）上由點C向終點。運動.設(shè)運動時間為/秒.

DDD

圖①圖②

(1)當f=2時，BP=cm,CP=cm.

(2)如圖①，當點尸與點。經(jīng)過幾秒時，使得△ABP與APCQ全等？此時，點。的速度是多少？(注：只求一

種情況即可，并寫出求解過程)

(3)如圖②，是否存在點尸，使得△4DP是以AP為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出/的值，若不存在，請

說明理由.

【答案】⑴1,3；(2)(3)見解析.

【解析】解：(1)仁2時，BP=\cm,

?；BC=4cm,

：.PC=BC~BP=3cm

故答案為1,3.

(2)①當BP=PC=2,AB=CQ=\時，

△AB尸絲△QCP

U2：O.5=4s

VQ=0.25cm/s.

②當AB=CP=1,CQ=BP=3時，△ABP^^PCQ,

Z=3+0.5=6s,VQ=0.5cm/s.

(3)過點A作A”,CO于〃，

在RfAADH中，AH=BC=4,DH=CD-CH=CD-AB=3

由勾股定理得A￡>=5,AD2=25,

AP2=AB-+BP2=l+-fi,PD2=CD-+PC2=16+(4--f)2

42

①當AP=PD時，I+1?2=16+(4.1Z)2

42

解得/=J31

4

②當4P=4￡>時，l+-f2=25,

4

解得t=4遙或-4布(舍).

31

綜上所述，滿足條件的f的值為4#或土.

4

【變式4一1](2020?浙江諸暨市期中)如圖，在放AABC中，A8=8,BC=6,點。從8點出發(fā)，沿射線CB方向以

每秒3個單位長度的速度運動，射線射線CB且BM=10,點。從M點出發(fā)，沿射線M尸方向以每秒。個單位

長度的速度運動，已知。、。兩點同時出發(fā)，運動時間為f秒.

(1)當仁2時，AOM。是等腰三角形，求。的值.

(2)求f為何值時，AOCA為等腰三角形.

(3)是否存在“，使得與AABC全等，若存在，請直接寫出。的值，若不存在，請說明理由

47,

【答案】(1)。=2；(2)t=l,—,—；(3)。=1或3或6或9.

39

【解析】解：(1)當/'=2時，DB=6,

'：BM=10,

：.DM=4,

?..△OM。是等腰三角形，ZDMQ^90°,

：.DM=MQ,即4=2a,

(2)在放△ABC中，AB=8,BC=6,AC=10,

①當AC=A。時，△DG4為等腰三角形，

VABXCD,

:?BD=BC=6,t=2；

②當AC=CO=10時，△OCA為等腰三角形，

VBC=6,

4

BD=4ft=—；

3

③當AO=CO=6+3f時，△OCA為等腰三角形，

,?ZABD=9Q°,

7

：.AB2+BD2=AD2,BP82+(3r)2=(6+302,t=~；

9

47

綜上所述：r=l,—,—時，ADCA為等腰三角形；

39

(3)AOWQ與AABC全等，分兩種情況：

①若△DMQ絲AABC,

則MQ=BC=6,￡>M=AB=8,

\'BM=10,

.?.2￡)=2或BD=18,

2-

=—或t=6,

3

.".a=9或<2=1；

②若△DMQ^/XCBA,

:.DM=BC=6,MQ=A8=8,

.?.80=4或16,

.,.a=6或3,

綜上所述：當△。肘。與△ABC全等時，。=1或3或6或9.

【題型五】直角三角形存在性(求坐標)

【例5一1](2020?上海奉賢區(qū)期末)已知直角坐標平面內(nèi)的RdABC三個頂點的坐標分別為A(4,3)、B(1,2)、

C(3,-4),則直角頂點是.

【答案】A.

【解析】解：(4,3)、B(1,2)、C(3,-4),

：.AB2=(4-1)2+(3-2)2=10,BC=(3-4)2+(-4-3)2=50,A(?=(3-1)2+(-4-2)2=40,

.'.B^AB^AC2,

/.△ABC為直角三角形，

AZA=90°,即該直角三角形的直角頂點為人

故答案為A.

【例5一2](2020?浙江開化縣期中)如圖，在，ABC中，A3=BC=6,點。為BC中點，點尸是射線AO上的

一個動點，且ZAOC=60°.要使得.3。為直角三角形，CP的長為.

o

【答案】3/或3或3A/7.

【解析】解：①當NC尸8=90。時，尸在線段AO延長線時,

???點。為3C中點，

：.AO=BO,

：.PO=BOf

丁ZAOC=60°,

：.ZBOP=60°,

??.△BO尸為等邊三角形，

■:AB=BC=6,

**,BP=3,PC=3^/3.

②當N8PC=90。時，P在線段AO上，

???點。為3C中點，

：.AO=BO,

*：ZCPB=90°,

：.PO=BO=CO,

?.,ZAOC=60°,

???△COP為等邊三角形,

：.CP=CO=3.

②當NC5尸二90。時，

ZAOC=ZBOP=60°f

：.N3尸0=30。,

???BP=36

在RtACBP中,由勾股定理得：CP=.Bd+BP?=3幣?

故答案為：3百或3或3J7.

【變式5一1］如圖，平面直角坐標系中，點4(0,3)和3(4,0)；

(1)在％軸上求點C,使得5A=3C,請求出點。的坐標；

(2)在丁軸上求點。，使得NABD=90°,請求出點。的坐標.

【答案】(1)(-1,0)或(9,0)；(2)(0,

3

【解析】解：(1)由題意得：。4=3,。8=4,ZAOB=90°,

在及AAOB中，由勾股定理得：AB=5,

△ABCi是等腰三角形，AB=BCi=5,OCi=BCi-OB=5-4=l,則Ci坐標為(-1,0),

△ABC2是等腰三角形，AB=BC2=5,OC2=BC2+OB=5+4=9,則G坐標為(9,0),

則C點坐標為(-1,0)或(9,0).

(2)設(shè)OD=x,ZBOD=9Q°,

在Rt4BOD中，BD2=OB2+OD2=16+^,

由/AB￡>=90。，AD=3+x,由勾股定理得人了必加+以丹

即(x+3)2=25+16+/,解得廣嶼

3

則。點的坐標為(0,-3).

3

【題型六】直角三角形存在性(求時間)

【例6一1](2019?河南平頂山月考)如圖，ZAOB=90，線段。4=18加，OB=6m,一機器人。在點3處.

(1)若5C=AC,求線段8c的長.

(2)在(1)的條件下，若機器人。從點3出發(fā)，以3m/min的速度沿著AOBC的三條邊逆時針走一圈后回到點B,

設(shè)行走的時間為rmin,則當t為何值時，AOBQ是以。點為直角頂點的直角三角形？

【答案】(1)10m(2)6.8.

【解析［解：(1)設(shè)BC=x

"：BC=AC

：.OC=OA-CA=OA-BC=18-x

在RdO8C中由勾股定理得：62+(18-x)2=N

解得410

即BC=10m.

(2)當時符合條件

此時QC=3f-(OB+OC)=3f-(6+8)=3J14,8Q=BC-℃=24-3f

在放AOCC中，由勾股定理得：

OQ2=OC2_CQ2=82一(3M4)2,

在m△OQB中，由勾股定理得：

OQ2=OB2-BQ2=62-(24-3t)2

故82一(3M4)2=62-(24-3/)2

解得：/=6.8

則當t=6.8s時，△02。是以。點為直角頂點的直角三角形.

【例6一2](2020?達州市期中)如圖1,RdABC中，ZACB=90°,直角邊AC在射線。尸上，直角頂點C與射

線端點。重合，AC=4,BC=3,如圖2,向右勻速移動MAABC,在移動的過程中放△ABC的直角邊AC在射線。尸

上勻速向右運動，移動的速度為2個單位/秒，移動的時間為f秒，連接。艮

①若△042為等腰三角形，求f的值；

②R/AABC在移動的過程中，能否使△048為直角三角形？若能，求出t的值：若不能，說明理由.

【解析】解：(1)在比AABC中，AB=^AC-+BC2=5,

由題意得，0C=2t,

當20=區(qū)4時，0C=CA,即片2,

當AB=A0時，2/=5-4=1,即/=工，

2

當。2=。4時，杷2+(20=2什4,

7

解得，t=-—(舍)，

16

綜上所述，當/=4或U1時，AOAB為等腰三角形；

(2)AOAB為直角三角形時，ZOBA=90°,

則⑵)2+32+52=⑵+4)2,

9

解得：t=—,

8

9

當右W時，△。48為直角三角形.

【變式6—1](2020?南陽市月考)如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=20,3C=15,點。為AC邊

上的動點，點。從點C出發(fā)，沿邊C4往A運動，當運動到點A時停止，若設(shè)點。運動的時間為/秒，點。運動

的速度為每秒2個單位長度.

(1)當f=2時，CD=,AD=；(請直接寫出答案)

(2)當/為何值時，是直角三角形；(寫出解答過程)

(3)求當方為何值時，是等腰三角形？并說明理由.

A

【答案】見解析.

【解析】解：（1）U2時，CD=2x2=4f

VZABC=90°,AB=20f5015,

：.AC=25,AD=AC-CD=25-4=21；

故答案為：4,21；

（2）①NCDB=90°時，AC?BD=AB?BC,

：.BD=12,CD=9,

：.2t=9,

9

解得：t=—（秒）；

2

②NC3D=90。時，點。和點A重合，

：.2t=25f

25

解得：t=—（秒）；

2

925

綜上所述，當仁一或一秒時，是直角三角形;

22

（3）①。。二3。時，過點。作。E_LBC于E,

則CE=BE,DE//AB,

,1…25

??CD=AD=—AC=—,

22

,25

??2片—，

2

25

解得：t=—（秒）；

4

②時，8=15,

???2片15,

解得：/=—（秒）；

2

③30=8。時，過點5作8/_LAC于凡

R

.\2/=18,

解得：t=9(秒)；

25IS

綜上所述，當f為二或上