專題14二次函數(shù)綜合題（解答題24題，中考?jí)狠S題）（解析版）

題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含二次函數(shù)綜合題20道。

一、解答題

1.（2024上.上海長(zhǎng)寧.九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線y=+c與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸在線段AC下方的拋物線上，過點(diǎn)P作的平行線交線段AC于點(diǎn)。，交了軸于點(diǎn)E.

①如果C、尸兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)當(dāng)"'_LCF時(shí)，求NPDF的正切值；

②如果尸￡>:小=3:5,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（l）y=；V+2x-6

⑵①則-吟）

【分析】（1）先由一次函數(shù)求出A（-6,0）,C（-6,0）,再運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，即可作答.

（2）①依題意，得DhCF,PEBC,ZPDF=ZACB,根據(jù)角的等量代換，即=先求

出點(diǎn)8的坐標(biāo).ZPDF的正切值等于tanZOCB=絲=趣=匕

L/C63

②先表達(dá)出E[QXP2-p-^\,+Jp，：p2_；p_6、尸jp,：p2+2p_6、EN=3p2―之p,

EM=-3。再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，列式化簡(jiǎn)計(jì)算，即可作答.

【詳解】（1）解：：直線y=f-6經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)C

貝。當(dāng)尤=0，y=-6；y=0,尤=-6

"（-6,0）,C（-6,0）

0=18—6Z?+c,

fc=-6

解得〃9

\b=2

y——1x2+c2x—o/；

2

（2）解：①如圖：

VA（-6,0）,C（-6,0）,且。、廠兩點(diǎn)關(guān)于拋物線丁=：/+2%一6的對(duì)稱軸對(duì)稱,

b2c

?r%=------=-------=-2

..yF=yc=-6,2a2xl

貝l]xF=-4

二。/〃y軸

則NFDC=NOC4

：過點(diǎn)尸作BC的平行線交線段AC于點(diǎn)￡),交丫軸于點(diǎn)E.

：.PEBC,NPDF=ZACB

則NPDP=NOCB

???>=；尤2+2》-6天軸交于43兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，

1,

0=—x2+2x-6

2

??X——6,x=2

：.3(2,0)

"?NPDF=NOCB

則/PDF的正切值等于tanZOCB=絲====；

②設(shè)「卜，：。2+2。-6),BC的解析式為y=w+〃

.,.把C(0,-6),3(2,0)代入y=

n=-6

得

0=2m+n

n=-6

解得

m=3

過點(diǎn)尸作BC的平行線交線段AC于點(diǎn)O,交y軸于點(diǎn)E

二設(shè)尸E的解析式為y=3x+8

把尸1p,gp2+2p-6］代入y=3x+/?

得°=；p2_p_6

1

/.y=3x+—p9-p-6

人12

令％=o,y=2p一〃-6

即￡1o,；p2—p—6)

y=-x-6

當(dāng)y=3x+^p2-p-6

解得XEJ/+Jp

84

貝I］把x=一：02+\p^\y=irx+}-p--p-6

842

得丫=，一;P-6

J121121八

?.?過點(diǎn)尸作尸軸，過點(diǎn)。作QNLy軸,

:…EDNS-EPM

.ENDE

''~EM~~EP

■:PD:DE=3:5

：.EN：EM=5：8

石1°，gp2_p_6]，￡>1_gp2+；p,g〃2,p[p,(p2+2p—61

???EN=1j72-77-6-Q/?2-^-6^=|/22-|/?,EM=^p2-p-6-^p2+2p-6^=-3p

3o3

.?.-p2--p：-3p=5：8

解得Pi=。，Pi=-3

??,點(diǎn)尸在線段AC下方的拋物線上，

「?P=。（舍去）

p=-3.

把P=-3代入y=；p2+2p—6

192415

/.y=-x9-2x3-6=-——

222T

???點(diǎn)P的坐標(biāo)［-3,5

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，綜合

性強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

2.（2023.上海寶山?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線尸-無?+法+。經(jīng)過點(diǎn)4（-3,0）、B（L0）,

與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D

（1）求二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接AC,試判斷ACD與3OC是否相似，并說明理由；

（3）將拋物線平移，使新拋物線的頂點(diǎn)E落在線段OC上，新拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)尸，連接所,

如果四邊形CEFD的面積為3,求新拋物線的解析式.

【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=r?-2x+3,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1，4)；

(2)AACD^ACOB,理由見解析

(3)新拋物線的解析式為y=-爐+1.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用配方法可求得頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)利用勾股定理分別求得.ACD的三邊的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷ACD是直角三角形，且

,420=90。，求得'=3=上上，即可證明△ACQs^cog；

CDOB

(3)設(shè)新拋物線的解析式為〉=-爐+。(04“43),則頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,“)，分別用。表示出梯形CEFD

的上底和下底的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解.

【詳解】(1)解：???拋物線[=-f+法+，經(jīng)過點(diǎn)4(—3,0)、3(1,0),

.(—9-3b+c=0

[―l+Z?+c=O'

[b=-2

解得：。，

[c=3

/.二次函數(shù)的解析式為y=-X2-2X+3=-(X+1)2+4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-14)；

(2)解：當(dāng)尤=0時(shí)，y=3,

C(0,3),

?.?點(diǎn)A(-3,0)、3(1,0),

.?.03=1,OC=3,

AC=A/37+3?=3A/2，

CD="+(4_3『=72,

AD=^（3-1）2+42=275,

/.AC2+CD-=AD-,

二.ACD是直角三角形，且/ACD=90。,

AC372°OC

ZACD=NCOB,

CD0OB

：.AACD^/XCOB■.

（3）解：Vy=-x2-2%+3=-（%+l）2+4,

.,.對(duì)稱軸為x=-1,

設(shè)新拋物線的解析式為＞=-/+°（04。＜3）,則頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,a）,

F]—1,a—1）,

CE=3—a＞ZZF=4——1)=5—a,

依題意得/(3-a+5-a)xl=3,

解得a=l,

二新拋物線的解析式為y=-x2+l.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定

理，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

3.(2024.上海普陀.統(tǒng)考一模)綜合實(shí)踐

九年級(jí)第一學(xué)期教材第2頁結(jié)合教材圖形給出新定義

對(duì)于下圖中的三個(gè)四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形ABC。，得到四邊形如圖，對(duì)于兩個(gè)多邊形，如

；放大四邊形ABC。，得到四邊形482GA.果它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線

相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)與對(duì)

應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那

么這兩個(gè)多邊形就是位似

多邊形，這個(gè)點(diǎn)就是位似中

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng).將一個(gè)圖形放大或縮小后，就得

到與它形狀相同的圖形.圖中，四邊形A用GR和四邊形482c2口都與四邊

形A3。形狀相同.我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形，或者就

說是相似形.

（1）填空：在上圖中位似中心是點(diǎn)；多邊形是特殊的多邊形.（填“位似”或“相似”）

（2）在平面直角坐標(biāo)系無Oy中（如下圖），二次函數(shù)y=的圖像與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)8是此函數(shù)圖像

上一點(diǎn)（點(diǎn)A、8均不與點(diǎn)。重合），已知點(diǎn)8的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，以點(diǎn)。為位似中心，相似比為

將，縮小，得到它的位似.。4月.

①畫出0A4，并求經(jīng)過。、A、4三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；

②直線y="化＞0）與二次函數(shù)y=；無2-3元的圖像交于點(diǎn)M,與①中的拋物線交于點(diǎn)N,請(qǐng)判斷△0AN和

是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說明理由.

【答案】⑴尸；位似；相似

⑵①圖形見解析；J=X2-3X；②△04N和△Q4”為位似三角形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)位似圖形的定義，即可求解;

（2）①根據(jù)位似圖形的定義，畫出圖形，再求出4、4的坐標(biāo)，即可求解；②過點(diǎn)M作〃軸于點(diǎn)

過點(diǎn)N作NCLx軸于點(diǎn)C,聯(lián)立求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，—=—=2,從而得到.。CVsODM,

/、,

進(jìn)而得到O淺M=M%D=2,再由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,°），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0x），可得OA城=O而M=-2,然后根據(jù)

新定義，即可求解.

【詳解】（1）解：在上圖中位似中心是點(diǎn)尸；位似多邊形是特殊的相似多邊形.

故答案為：P；位似；相似

（2）解：①如圖，。4月即為所求;

解得：％=6或0,

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,

設(shè)點(diǎn)2的坐標(biāo)為（s,s）,

，S=！S2-3S,解得：s=8或0,

2

.??點(diǎn)8的坐標(biāo)為（8,8）,

;以點(diǎn)。為位似中心，相似比為將，。4B縮小，得到它的位似，。4月,

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)用的坐標(biāo)為（4,4）,

設(shè)經(jīng)過。、A、用三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y="2+fcc+c,

把點(diǎn)（3,0）,（4,4）,（0,0）代入得:

9。+3。+c=04=1

<16〃+4。+。=4,解得：。=-3,

c=0。=0

...經(jīng)過。、4、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=V-3x,

②△OAN和△Q4M為位似三角形，理由如下:

如圖，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)N作NCLx軸于點(diǎn)C,

x=6+2kp=0

y=6k+2k2-fy=0

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6+2匕6左+2左2）,

8=6+2左，MD=6k+2k2,,

同理點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3+左,3左+/）,

0C=3+3CN=3k+k°,

.MDODc

??---=-----=2,

CNOC

???/OCN=/ODM=90。,

：,OCNS.ODM,

.OMMD、

??---=------=2,

ONCN

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,

O\=3,OA=6,

?OA=_O__M_=2-

??OA.ON'

/.△O41N和△Q4M為位似三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思

想解答是解題的關(guān)鍵.

4.（2024上.上海徐匯.九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第二象限的點(diǎn)/在拋物線

（備用圖）

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

（2）將拋物線〉=辦2（。＞0）先向右平移1個(gè)單位，再向下平移左化＞0）個(gè)單位后，所得新拋物線與x軸交于

點(diǎn)A（m,0）和點(diǎn)8（〃,0）,已知根且“一,與》軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

①求人的值；

44

②設(shè)直線＞=-1尤與上述新拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為。，點(diǎn)P是直線y=上位于點(diǎn)。下方的一點(diǎn)，分

3

別連接CD、CP,如果tan/PCD=—,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4

【答案】（l）y=Jf

⑵①?無,=耳25；②…（不24，丁32J、

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì),

是解答本題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法，求得a=1,由此得到答案.

（2）①根據(jù)題意得到,平移后的拋物線表達(dá)式為y=,根據(jù)已知條件,令y=^x-|J-^=0,

求出％=?25,得到答案.

O

②先利用已知條件，求出點(diǎn)C（0,-2）,點(diǎn)。g，-2），由此得到CD〃X軸，過點(diǎn)P,作尸軸于點(diǎn)H,

33

得至IJtan/PCD=—=tan/CPH,又tan/POH=-,設(shè)C〃=3x,PH=4x,由此得到答案.

44

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：

點(diǎn)M（-2,2）,點(diǎn)M在拋物線＞=加（“＞0）上，

2=4a,

解得：.=；，

該拋物線的表達(dá)式為：y=1%2.

(2)①根據(jù)題意得：

1a

將拋物線y=先向右平移!■個(gè)單位，再向下平移M左＞0)個(gè)單位后的表達(dá)式為:

②由①拋物線的表達(dá)式為:

y=，尤2_。彳_2,

-22

3

其對(duì)稱軸為x=；,

則點(diǎn)C(0,—2),

34

當(dāng)X=7時(shí)，y=--x=-2,

23

即點(diǎn)-2)

點(diǎn)。、。的縱坐標(biāo)相同，

CD//不軸，

3

由。的坐標(biāo)，得到tanNOOC=:，

4

3

貝lJtanNPOH=—,

4

3

tan/PCD=—=tanZCPH,

4

..設(shè)CH=3%,PH=4x,

在RtOPH中,

,PH4x3

tan/POH---------------=—,

OH2+3%4

解得：X=。，

(2432、

則點(diǎn)P坐標(biāo)為：

5.(2023上?上海嘉定?九年級(jí)統(tǒng)考期末)定義:對(duì)于拋物線+c(。、b、。是常數(shù)，〃。0),

若。2=就，則稱該拋物線是拋物線，已知平面直角坐標(biāo)系拋物線y=Y—2%+Z是拋物線，與》軸交

于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為。.

斗

1-

iiii111111A

O\x

-1■

(1)求此拋物線的表達(dá)式及D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)3(2,6)在這個(gè)拋物線上.

①點(diǎn)C[c,-g]在這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸上，求/OBC的正弦值.

②在射線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)尸、A、。所組成的三角形與△AOD相似，且相似比不為1.若存

在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y=v-2x+4,(1,3)

⑵①(，②存在，

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義，列出方程求出左值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)即可;

(2)①將點(diǎn)3(2,6)代入解析式，求出6的值，求出對(duì)稱軸，得到c的值，進(jìn)而求出OB,OC,BC的長(zhǎng)，勾

股定理逆定理，得到/8OC=90。，利用正弦的定義，求解即可；

②分AODsADP和AODsAPD,兩種情況進(jìn)行討論求解即可.

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想，進(jìn)行求解,

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：拋物線y=/-2x+左是拋物線，

(-2)2=1x4

.,.k=4,

???所求拋物線的表達(dá)式為y=-2X+4,

酉己方得：J=(x-1)2+3,

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,3)；

(2)①由(1)得：拋物線y=d-2x+4的對(duì)稱軸是直線尤=1,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為

,點(diǎn)3(2/)在這個(gè)拋物線y=爐-2x+4上,

.?.4—4+4=/?,

:.b=4,

，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,4）,

OB=J（2-O1+（4-0）2=我=2小,

OC2+OB2=BC2,

:.ZBOC=90°,

..,?R?_OC_V17

..sinNOBC-------------

BC17

②存在

過點(diǎn)。作。打，。4,垂足為H

拋物線y=/-2x+4與y軸交于點(diǎn)A,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為（2,4）,

.\AB±OAf

.?.440=90。，

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,3）,

,\AH=HD=1,

.\ZOAZ>=45°,

.\ZZMP=45°,

.\ZOAD=ZDAP,

要使以點(diǎn)尸、A、。所組成的三角形與相似，有兩種情況

第一種：ZADO=ZADP,

又=ZODA=ZDAP,

???△AOD與全等，相似比為1,不合題意，舍去；

第二種：ZADO=ZAPD,

,/ZOAD=ZDAP,

ODA^iDPA,

.ADAO

,AP-AD?

/.AD1=APAO,

AD=e，AO=4,

點(diǎn)尸在射線AB上,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

6.（2024上?上海寶山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y尤?平移，使平移

后的拋物線仍經(jīng)過原點(diǎn)。，新拋物線的頂點(diǎn)為M（點(diǎn)”在第四象限），對(duì)稱軸與拋物線y龍z交于點(diǎn)N,

且肱V=4.

⑴求平移后拋物線的表達(dá)式；

⑵如果點(diǎn)N平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P,判斷以點(diǎn)0、M、N、尸為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由；

⑶拋物線＞無2上的點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)2,BC±MN,垂足為點(diǎn)C,如果』WC是等腰三角形,

求點(diǎn)A的坐標(biāo).

1

【答案】⑴y=/（x-2）9-2；

（2）是正方形，理由見解析；

（3）（4,8）、（2豆,4）、（-20,4）、（2,2）.

【分析】（1）由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：y=^x2+bx,得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；

（2）由題意得到0（0,0）,M（2,-2）,N（2,2）,P（4,0）,證明四邊形QWPN是平行四邊形，由MN=OP=4,

得到四邊形0MPN是矩形，蟲NO=NP=2五,即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)=時(shí)，列出等式即可求解；當(dāng)AB=3C或AC=BC時(shí)，同理可解.

【詳解】（1）解：由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：y=^x2+bx,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為：卜人一

當(dāng)天=-＞時(shí)，y=^x2=^b2,即點(diǎn)N1仇

貝ijMN=L2+J_62=.

22

解得：b=2（舍去）或b=-2,

則平移后的拋物線表達(dá)式為：y=；d-2x；

（2）解：四邊形OMPN是正方形，

根據(jù)題意可得。（0,0）,M（2,-2）,N（2,2）,P（4,0）,

記即V與0尸交于點(diǎn)G,則G（2,0）,

/.OG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=272,

四邊形OMPN是平行四邊形，

?：MN=OP=4,

二四邊形OMPN是矩形，

NO=NP=272,

.??四邊形OMPN是正方形；

（3）解：設(shè)，B^a+2,-<72—,C^2,-a2—,

可得42=2血，AC=^（a-2）2+22,BC=4^，

①AB=AC,2亞=4a-2）2+2。,即42-44=0，

解得q=4,%=0（舍去0）,

A（4,8）；

②AB-BC,2A/2=4^，

解得4=2A/2,q=—2^2,

A（2也4）或?2衣4）；

@AC^BC,[a-2）2+2。=萬,

解得a=2,

A（2,2）；

綜上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,8）、僅友,4）、卜20,4）、（2,2）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到正方形的性質(zhì)、圖象的平移，等腰三角形存在問題等,

分類求解是解題的關(guān)鍵.

7.（2024上?上海靜安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系無Qy中（如圖），已知點(diǎn)人（-2,0）、3（6,0）、C（0,8）、

在同一個(gè)二次函數(shù)的圖像上.

(1)請(qǐng)從中選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)坐標(biāo)，求二次函數(shù)解析式；

⑵如果射線BE平分/ABC,交丁軸于點(diǎn)E,

①現(xiàn)將拋物線沿對(duì)稱軸向下平移，頂點(diǎn)落在線段班的點(diǎn)尸處，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)廠的坐標(biāo)；

②如果點(diǎn)尸在射線BE1上，當(dāng).PFC與"OE相似時(shí)，請(qǐng)求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

OQ

【答案】⑴y=-§/+尸+8

(2)①—2,2)②耳(一2,4),鳥(-4,5)

【分析】(1)把解析式設(shè)為交點(diǎn)式，再把C(0,8)代入解析式中求解即可；

(2)①過點(diǎn)E作EH/3C于H,由角平分線的性質(zhì)得到OE=HE.利用勾股定理求出3c=10,進(jìn)而利

用等面積法求出OE=3,則E(o,3),求出直線BE解析式為>=-：X+3,再求出對(duì)稱軸為直線x=2,由此

即可求出廠(2,2)；②先求出OE=3,OB=6,設(shè)尸(2機(jī)一〃z+3),則尸C?=5裙+10帆+25,

PB2=5m2-30m+45,分當(dāng).PBCsZ\O3E時(shí)，當(dāng)PBCs/\EBO時(shí)，兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建

立方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+2)(x-6)("0),

把C(0,8)代入y=a(x+2)(x-6)("0)中得：?(0+2)(0-6)=8,

2

解得。=-§,

noo

；?二次函數(shù)解析式為>=一耳(％+2)(>6)=-§/+y+8；

(2)解：①過點(diǎn)E作于X,

,射線BE平分/ABC,EH_LBC,EO±AB,

：.OE=HE,

???3(6,0)、C(0,8),

AOC=8,05=6,

?*-BC=7OC2+OB2=10，

?S^BOC=S/^BCE+S/^BOE，

：.-OBOC=-OEOB+-BCHE,

222

.-x6x8=3O￡+5O￡,

2

/.OE=3,

：.E（0,3）,

設(shè)直線3月解析式為y二立+方，

.j6k+b=0

*[b=3

k=--

：.<2,

b=3

直線BE解析式為y=-；x+3,

2Q

???二次函數(shù)解析式為y=-gf+§x+8,

8

對(duì)稱軸為直線x=-一=2,

--x3

3

在＞=龍+3中，當(dāng)x=2時(shí)，y=2,

*2,2）；

設(shè)尸（2帆一加+3）,

PC2=（2加-0）2+（-m+3-8）2=5m2+10機(jī)+25,PB2=（2/n-6）2+（-/??+3-O）2=5m2-30m+45,

當(dāng)jBCsQBE時(shí)，則魯=2,

rC,（JE

.5m2-30m+45

,,z=4,

5m2+10m+25

**?5m?—30m+45=20m2+40m+100,

**?3m2+14m+11=0,

解得〃=7-1或m=（舍去），

P（-2,4）；

當(dāng)3cs田。時(shí)，貝嚕戈=：,

nCODZ

.5m2+10m+251

??-----------=一，

1004

?*?m2+2m=0，

解得機(jī)=_2或機(jī)=0（舍去），

—

綜上所述，P（-2,4）或尸（Y,5）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì),一次函數(shù)與幾

何綜合等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

8.（2024上.上海浦東新?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線-X2+Zzx+C過

點(diǎn)A（2,2）、點(diǎn)8（0,2）,頂點(diǎn)為點(diǎn)C,拋物線M的對(duì)稱軸交了軸于點(diǎn)D

1-

_____111111A

o_lX

(1)求拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)尸在無軸上，當(dāng).AOP與ACD相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)將拋物線M向下平移《＞0)個(gè)單位，得到拋物線N,拋物線N的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,再把點(diǎn)C繞點(diǎn)E順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)135。得到點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線N上時(shí)，求r的值.

【答案】⑴y7+2X+2,點(diǎn)CQ3)

(2)(*0)或(6,0)

⑶r=g

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解;

npr)AOP_2>f2

(2)當(dāng)J34PSC4D時(shí)，則=即可求解；當(dāng)KMPs.CZM時(shí)，同理可解;

Czzi

(3)根據(jù)圖像平移和旋轉(zhuǎn)求出點(diǎn)/l+,代入函數(shù)解析式求解即可.

\7

【詳解】(1)解：由題意得:

c=2b=2

,解得:

—4+2b+c=2c-2

則拋物線的表達(dá)式為：y=-f+2x+2,

Vy=-x2+2x+2=-(x-l)2+3

頂點(diǎn)C(l,3)；

(2)解：由(1)知，y=—x2+2x+2=—(x—1)+3,

又：拋物線M的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,

???點(diǎn)0(1,0),

?.?A(2,2)、8(0,2),C(l,3),0(1,0),

AAC=J(2-l)2+(2-3)2=V2>CD=3、AD=J(2-l)2+22=A/5>=2后,

ZDCA=ZAOD=45°,

又：AOP與aACD相似，

.?.點(diǎn)。與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，

當(dāng)C4D時(shí)，

則如=絲，即旦=莘，

CDCA30

解得：OP=6,

即點(diǎn)P(6,0)；

當(dāng),.。4/4二84時(shí)，

”二怨即*述，

ACCD723

解得：OP=g，

則點(diǎn)p1g,o；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(g，o]或(6,0)；

(3)解：如圖，過點(diǎn)/作FTJ_CE交CE于點(diǎn)T,貝!]/阻=180。-135。=45。,

設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-x2+2x+2-r,

則CE=f,

在等腰Rt^EFT中，EF=EC=t,

貝"尸=巫=烏，

2

則點(diǎn)/1+*兀3—%—中，,

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：3--4，=-(1+等。2+2(1+與1)+27,

解得：f=0(舍去)或0,

故;0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移,

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)等知識(shí)，分類求解是解題的關(guān)鍵.

9.（2024上?上海崇明?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在直角坐標(biāo)平面中，拋物線曠=依2+云+C（。/0）經(jīng)過點(diǎn)

A（-l,0）＞8（3,0）、C（0,3）三點(diǎn).

善用一

備用圖

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接AD、BD,將拋物線向下平移用（加＞°）個(gè)單位后，點(diǎn)。

落在點(diǎn)E處，過2、E兩點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)F.

①如果〃?=2,求tan/DB尸的值；

②如果VBD廠與相似，求機(jī)的值.

【答案】⑴、=-丈2+2丈+3

（2）①1；②加=3或=g

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可;

（2）①先求出拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,則。（2,3）,進(jìn)而得到E（2,l）；求出直線BE的解析式為y=-x+3,

同理可得直線的解析式為y=x+l,進(jìn)而求出廠（1，2）；利用勾股定理求出。尸=垃，BF=20BD=M，

DF1

進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明VBDF是直角三角形，且/由=90。，則tan/DB尸===彳；②

△ABDS&BD時(shí),則此時(shí)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)A重合，則即與A8重合，可得機(jī)=￡＞E=3；當(dāng),AB/RBED時(shí),

則=如圖所示，設(shè)直線DE交x軸于G,則G（2,0）,推出NIMG=/AZ）G=45。，得到

ZDBF=ZDAB=45°,如圖所示，取點(diǎn)（一1，2）,則BH=而,BD=yflO,證明△汝羽是

13

等腰直角三角形，得至IJND5H=45。，則點(diǎn)尸在直線3H上，同理可得直線3H的解析式為＞=-萬工+萬,

在＞=X+W中，當(dāng)X=2時(shí)，y=1,則.2,：］,即可得到加=3-1=2；綜上所述，〃=23或相=二.

222I2J222

【詳解】（1）解：把4（—1，。）、3（3,0）、。（。,3）代入丫=依2+法+44工0）中,

a-b+c=0

得：<+3Z?+c=0,

。二3

a=-1

<b=2,

c=3

拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

（2）解：①：拋物線解析式為y=—爐+2了+3=—（了-1）2+4,

.??拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,

???點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，

￡）（2,3）,

:將拋物線向下平移機(jī)（加＞0）個(gè)單位后，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，且m=2,

￡（2,1）；

設(shè)直線BE的解析式為y^kx+b',

.j3k+b'=0

'\2k+b'=l'

k=-l

b'=3

/.直線BE的解析式為V=-x+3,

同理可得直線AD的解析式為y=x+l,

y=—x+3

聯(lián)立

y=x+1

x=l

解得

)=2，

.?”(1,2)；

/.DF=^（2-1）2+（3-2）2=72,BF=^（3-l）2+（0-2）2=272,BD=^（3-2）2+（O-3）2=V10,

DF2+BF2=（V2）2+（2A/2）2=10==BD?,

/m是直角三角形，且/DFB=90。，

DF1

Z.tanZDBF=——=-；

②當(dāng)△ABaAFBD時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)A重合，則B尸與48重合，

m=DE=3；

當(dāng)，ABD^BFD時(shí),則NDBF=ZDAB,

如圖所示，設(shè)直線。石交X軸于G,則G（2,o）,

???DG=AG=3,

：.ZDAG=ZADG=45°f

：./DBF=/DAB=45°,

如圖所示，取點(diǎn)則=J（T_2『+（2_3）2=廂,8H=J（-1J+（2-0）2=回,

BD=,J（3-2）2+（0-3）2=M,

/?DH=BD,DH2+BD2=BH-,

；?△瓦汨是等腰直角三角形，

二ZDBH=45°,

點(diǎn)尸在直線3H上，

13

同理可得直線皿的解析式為丫=-5%+],

131

在丁二一耳1十萬中，當(dāng)％=2時(shí)，y=—,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定

理，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化一平移，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，通過利用勾股定

理和勾股定理的逆定理證明直角三角形是解題的關(guān)鍵.

10.（2024上?上海青浦?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=內(nèi)?+加+1過點(diǎn)A（l,2）

和點(diǎn)3（2,1）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求。、b的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），當(dāng)ZPCB=ZACB時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，平移該拋物線，使其頂點(diǎn)在射線C4上，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)。，當(dāng)ACDP

與，C4P相似時(shí)，求平移后的拋物線的表達(dá)式.

【答案】（1）。=一1,6=2,C（0,l）,

⑵尸(3,-2)；

(3)y=-(x-9)2+10.

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

（2）證明/ACB=45o=NPC3,則直線CP的表達(dá)式為y=-x+l,即可求解；

2

（3）當(dāng)與，。LP相似時(shí)，證明/APC=/CDP,得到CPAs,CDP,貝|PC=ACCD，即可求

解;

本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知

識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】（1）由題意得：

a+b+l=2a=-1

,解得:

4Q+2Z?+1=1b=2

當(dāng)x=0時(shí)，y=i,則C(O,l),

a=-1

（2）由（1）得:

b=2

拋物線解析式為y=-無2+2x+1①,

由點(diǎn)5、C的坐標(biāo)知，BC〃x軸，

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，ZACB=45°=/PCB,

則直線CP的表達(dá)式為：y=T+l②，

聯(lián)立①②得：-x+l=f2+2x+l,解得：x-0（舍去）或3,

x=3時(shí)，產(chǎn)一2,

則點(diǎn)P（3,—2）；

（3）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得直線AC的表達(dá)式為：y=x+l,

故設(shè)點(diǎn)。（〃加+。（機(jī)＞0）,

由點(diǎn)尸、。、C、A的坐標(biāo)得，PC2=18,AC=e，CD=yf2m，

當(dāng)ACDP與相似時(shí)，

:ZACP=NDCP,NCPA彳NCPD,

貝l|ZAPC=/CDP,

.?.一CPA^CDP,

CPAC

貝nlj—=—,

CDPC

即PC1=ACCD,

即18=&x0〃z，

解得：m-9,

則點(diǎn)。（9,10）,

則拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-9）2+10.

11.（2024上?上海松江?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=o?+bx+c（a>0）的圖像

經(jīng)過原點(diǎn)。（0,0）、點(diǎn)4（1,3。），此拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為艮

（1）求拋物線的對(duì)稱軸；

（2）如果該拋物線與無軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D且/ADC的正切值為2,求。的值；

（3）將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點(diǎn)A、8分別對(duì)應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)E、P.聯(lián)結(jié)如果點(diǎn)

尸在y軸上，E4〃x軸，且NER4=NCBO,求新拋物線的表達(dá)式.

【答案】（1）直線尸-1

（2）。=2

（3）、=爭(zhēng)2+4

【分析】該題主要考查了二次函數(shù)綜合，涉及知識(shí)點(diǎn)主要有解直角三角形，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等

三角形的性質(zhì)和判斷，函數(shù)平移等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)；

（1）將。（。,。）、A（l,3a）代入解析式再求解即可；

AN

（2）過A作4VJ_x軸，根據(jù)tanNAOC=2=——，求解即可；

DN

⑶由（1）算出3（-1,。），c（T0）,再根據(jù)點(diǎn)P在y軸上，P4〃X軸，作BK，y軸于K,得出BK=AP=1,

NA￡P(guān)=NBLK,證明VAPL義VBKL,得出電=LK=2〃，又結(jié)合平移得出tanNPAL=——=2。，在/CO中,

AP

tanZCBO=—=-,由tan/PAL=tanNCBO,歹|方程解出。1,即可求解；

BCa2

【詳解】(1)Qy=0^+加:+。過。(0,0)，

c=0,

又過A(l,3a),

a+b+c=3a,

..b—2a,

y=ax1+"+。的對(duì)稱軸為直線工=_二=_學(xué)=_],

2a2a

??%=0,%2——2，

???。(-2,0),

過A作ANJ_x軸，

DN=1-(-2)=3f

tanZAZ)C=2=—,

DN

：.AN=2DN=6,

..3a——6,

a=2.

(3)由(1)得，y=依。+2“x=。(尤2+2尤+1—1)=a(x+l)2-a,

/.B(T,a),對(duì)稱軸為直線x=-l,

故c(-i,o),

點(diǎn)尸在y軸上，軸，

作軸于K,

,\BK=AP=1,

設(shè)A5交y軸于3

/.P(0,3a),

：.ZALP=ZBLK,

又ZAPL=/BKL=90。,

:NAPI冏BKL,

/.PL=LK,

又PK=3a—(—a)=4a,

PL=LK=2a,

???PL=LK=2a,

又由平移知EP〃AB,

:./EPA=/PAL,

PL

tanNPAL=----=2a,

AP

OC1

又在BCO中，tan/CBO=----=—,

BCa

Q/CBO=/EPA,

.?.ZPAL=/CBO,

/.tanNPAL=tanNCBO,

2a=1,

,-.a2=~,

2

“=也或_立,

22

a>0,

,_V2

..a=—,

2

二次函數(shù)解析式為y=￥，+&X,

O為，孚］

；?新拋物線解析式為y=%+運(yùn).

22

12.(2024上?上海奉賢?九年級(jí)統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，那

么我們把一條拋物線稱為另一條拋物線關(guān)于直線'的鏡像拋物線.

(1)如圖，已知拋物線y=Y-2尤頂點(diǎn)為A.

①求該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的表達(dá)式；

②已知該拋物線關(guān)于直線'=，〃的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為B,如果tanNO/M=：(/03A是銳角)，求機(jī)的值.

(2)已知拋物線y無2+法+。僅>0)的頂點(diǎn)為C,它的一條鏡像拋物線的頂點(diǎn)為D這兩條拋物線的交點(diǎn)

為如果CDE是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式.

35

【答案】⑴①y=/+2x；②-,或萬

1

(2)y=(%+2)72—3

4

【分析】(1)①由y=%2—2%=(%—1)2—I,可得A(l,-1),則該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為

A(-L-l),然后求鏡像拋物線的表達(dá)式即可；②當(dāng)機(jī)在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，該拋物線關(guān)于直線x的鏡像拋

物線的頂點(diǎn)為3(2〃7-1,-1),如圖1-1,連接交丫軸于點(diǎn)E,則OE=1,由tan/OA4=；,可得

BE=-2m+l=4,計(jì)算求解即可；如圖1-2,當(dāng)天=機(jī)在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，同理可得，2%-1=4,計(jì)算求解即

可；

(2)如圖2,由題意知，若是直角三角形，貝h.CDE是等腰直角三角形，則EH=CH=DH,設(shè)

EH=CH=DH=t,由E(2,l),可得C(2T,1T),即拋物線的表達(dá)式為y=；(x-2+f『+1-,將磯2,1)

1

代入得，1=：(2-2+。92+1一，求出滿足要求的f,進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式.

【詳解】(1)①解：=2X=(X—1)2—1,

A(L-l),

,該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為A(-L-l),

該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的表達(dá)式為y=(x+l)2-l，即y=/+2尤；

②當(dāng)x=在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，

VA(L-l),該拋物線關(guān)于直線x的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為B,

B(2m-1,-1),

如圖1T,連接43交y軸于點(diǎn)E,則OE=1,

VtanZOBA=—,

4

BE=—2m+1=4,

3

解得，m=

如圖1-2,當(dāng)x="『在點(diǎn)A右側(cè)時(shí),

圖1-2

同理可得，2m—1=4,

解得，m=|；

綜上所述，，〃的值為-：3或g5；

22

（2）解：如圖2,

由題意知，若，CDE是直角三角形，貝kCDE是等腰直角三角形，則EH=CH=DH,

設(shè)EH=CH=DH=t,

?：E（2,l）,

C（2-r,l-。，

二拋物線的表達(dá)式為y=；（x-2+r）2+iT,

將E（2,l）代入y=；（x