專題6.4分割(知識(shí)講解)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、理解分割的概念；

2、會(huì)找一條線段的分割點(diǎn)；

3、會(huì)判斷一個(gè)點(diǎn)是否為一條線段的分割點(diǎn)。

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一：

分割的定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果gC=思，那么線段AB被點(diǎn)C分割，點(diǎn)C叫做線段

ABAC

AB的分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做比.

特別說明：

AC=必二A3七0.618AB(避二1叫做分割值).

22

.點(diǎn)■

作一條線段的分割點(diǎn)：

如圖，已知線段按照如下方法作圖：

(1)經(jīng)過點(diǎn)6作皿4/8使除,被

2A

(2)連接/〃，在物上截取小龍.

(3)在上截取AOAE則點(diǎn)C為線段相的分割點(diǎn).

特別說明：

一條線段的分割點(diǎn)有兩個(gè).

【典型例題】

類型一、分割的作法

月B

【分析】

作法：(1)延長線段A3至尸，使鈣=胸，分別以4、歹為圓心，以大于等于線段的長為半徑

AB

作弧，兩弧相交于點(diǎn)G,連接BG,則3GLAB,在3G上取點(diǎn)。，使2。=光-；(2)連接AD,在AD

上截取￡>"=05.(3)在A3上截取AC=AE.點(diǎn)C就是線段AB的分割點(diǎn).

解：如圖，點(diǎn)C即為所求.

*G

【點(diǎn)撥】本題主要是考查了分割點(diǎn)的概念，熟記分割分成的兩條線段和原線段之間的關(guān)系，能夠熟

練求解和作圖.

【變式】如圖，設(shè)線段AC=L

(1)過點(diǎn)C畫CDLAC,使CD=；AC；連接AD,以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑畫弧，交AD

于點(diǎn)E；以點(diǎn)A為圓心，AE的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)B.

(2)在所畫圖中，點(diǎn)B是線段AC的分割點(diǎn)嗎？為什么？

【答案】(1)作圖見解析；(2)是，理由見解析

【分析】

(1)根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；

(2)設(shè)AC=1,則DE=DC=!，利用勾股定理得到AD=@,所以AE=@二1,則AB=避二

2222

然后利用分割的定義可判斷點(diǎn)B是線段AC的分割點(diǎn).

(2)點(diǎn)B是線段AC的分割點(diǎn).

理由如下：設(shè)AC=1,則CD=g,

?*.DE=DC——,

2

22

3-百_

BC_^T

ABV5-1-2

2

5/5-l

^-1

AC12

即些=空

ABAC

，點(diǎn)B是線段AC的分割點(diǎn).

【點(diǎn)撥】本題考查了分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC

的比例中項(xiàng)(即AB：AC=AC：BC),叫做把線段AB分割，點(diǎn)C叫做線段AB的分割點(diǎn).求出線段長

是解決問題的關(guān)鍵

【變式2］如圖，以矩形ABCD的寬為邊作正方形AEFD,若矩形EBCF的寬與長的比值等于矩形

ABCD的寬與長的比值，則將矩形ABCD稱為“矩形”.若AD=2,求BE的長.

【答案】A/5-I

【分析】由正方形的性質(zhì)得AE=AD=2,由“矩形”的定義求出AB得長，即可得出BE的長.

解：：四邊形AEFD是正方形,

；.AE=AD=2,

?..矩形ABCD為矩形，

.,.AD=^^AB,

2

即2=避」?AB,

2

解得：AB=V5+1,

；.BE=AB-AE=>/5+1-2=75-1.

【點(diǎn)撥】本題考查的是分割、矩形的性質(zhì)，掌握比值為叵1是解題的關(guān)鍵.

2

類型二、由分割點(diǎn)求線段長

魚?2.已知線段AB=10cm,點(diǎn)C是AB上的分割點(diǎn)，求AC的長是多少厘米?

【答案】（56-5）cm或（15-5百）cm

【分析】根據(jù)分割點(diǎn)的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段；貝ijAC=@zlxlO=5石-5

2

或AC=10—（5A/5-5）=15-5A/5.

解：根據(jù)分割點(diǎn)的概念，應(yīng)有兩種情況，

當(dāng)AC是較長線段時(shí)，AC=避二ixlO=56'-5；

2

當(dāng)AC是較短線段時(shí)，則AC=10-（56-5）=15-575.

故答案為：（56-5）cm或（\5-5加）cm.

【點(diǎn)撥】本題考查了分割點(diǎn)的概念.注意這里的AC可能是較長線段，也可能是較短線段；熟記比的

值是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，線段9=1,點(diǎn)<是線段的分割點(diǎn)（且然<貼，即利2=M-AB）,貝”B=

;點(diǎn)8是線段A片的分割點(diǎn)（A￡<45）,點(diǎn)A是線段A￡的分割點(diǎn)（人心<￡△），…依此

類推，則線段A匕的長度是.

4/>,P,P,B

【答案】旦1三￥]

2I2J

【分析】

（1）根據(jù)片B2=A6-A8,設(shè)PIB=X,列出方程解出即可；

（2）由BPi=避二L得出APi=l—避二1=拽，AP2=（拽尸，AP3=（拽R…

22222'

依此類推，則線段APn的長度是（您）n

2

解：（1）VP.B*2=-AB,APi-ABPiB.AB=1設(shè)PiB=x,

.?.x2=lx（lx）

解得：Xl=避二1,X2=回（舍去），

22

故答案為避二1.

2

（2）根據(jù)比的比值，BPi=或二L

2

貝UAPi=l-好3座，

22

AP3=（您）3,

,2

依此類推，則線段APn的長度是（乎加

故答案為

【點(diǎn)撥】本題考查了分割的概念，一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是理解分割的概念.

【變式2】已知線段AB=2,點(diǎn)C是線段A3的分割點(diǎn)，則AC的長度為.

【答案】石-1或3-召.

【分析】根據(jù)點(diǎn)C是線段A的分割點(diǎn)，得到比例，再分AC>3C和兩種情況解答即可.

解：點(diǎn)C是線段A8的分割點(diǎn)，

①當(dāng)AC>3C時(shí)，如圖

CB

.BC_AC_#-1

"~AC~~AB~2

；?AC=>/5-l

②當(dāng)AC<3C時(shí)，如圖

ACB

.ACBC^-1

"BC_A8-2

.AC3-^

"AB"2

，AC=3-下

綜上：AC的長度在石-1或3-6.

【點(diǎn)撥】本題考查了主要分割點(diǎn)，掌握比例和分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3】如圖，點(diǎn)8是線段AC的分割點(diǎn)，且AB>3C,若AC=2,求AB、BC的長.

ABC

【答案】AB=-1+BBC=3小.

【分析】由分割的定義可得AB2=BC/C,設(shè)則BC=2無，代入求解即可

解：???點(diǎn)5是線段AC的分割點(diǎn)，^AB>BC,

.BCAB

??一,

ABAC

：.AB2=BCAC.

設(shè)貝ijBC=2x,

；.N=（2尤）x2,

；.X2+2X4=0,

解得：XI=-1+A/5,%2=-1-A/5,

Vx>0,

-'.X=-1+A/5BPAB=-1+^/5,

:.BC=3小,

答：AB=-l+y/5,BC=3卮

【點(diǎn)撥】本題考查了分割的概念，熟練掌握比是解答本題的關(guān)鍵.把一條線段分成兩部分，使其中較

長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做分割.

類型三、證明分割點(diǎn)

03.如圖，用紙折出分割點(diǎn)：裁一張邊長為2的正方形紙片ABCD,先折出BC的中點(diǎn)E,再折

出線段AE,然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置F,因而EF=EB.類似的，在AB

上折出點(diǎn)M使AM=AF.則M是AB的分割點(diǎn)嗎？若是請你證明，若不是請說明理由.

【答案】是，證明見解析

【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長為2,根據(jù)勾股定理求出AE的長，再根據(jù)E為BC的中點(diǎn)和翻折不

變性，求出AM的長，二者相比即可得到比.

解：M是AB的分割點(diǎn)，理由如下：

:正方形ABCD的邊長為2,E為BC的中點(diǎn)，

???BE=1

2

,,AE=J74g2+BE=舊>

VEF=BE=1,

；.AF=AE-EF=V5-1,

.?.AM=AF=V5-1.

/.AM：AB=（V5-1）：2,

...點(diǎn)M是線段AB的分割點(diǎn).

【點(diǎn)撥】本題考查了分割的應(yīng)用，知道比并能求出比是解題的關(guān)鍵，把一條線段分成兩部分，使其中

較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做分割，他們的比值（叵口）叫做比.

2

【變式1】如圖，在矩形ABCD中，AB=y/5-lf4）=2,且四邊形是一個(gè)正方形，試問點(diǎn)F

是5C的分割點(diǎn)嗎？請說明理由.（補(bǔ)全解題過程）

AED

BFC

n

解：點(diǎn)F是3c的分割點(diǎn).

理由如下：

:四邊形旗FE是一個(gè)正方形，???8尸=48=6-1.

BF

又???在矩形ABCD中，BC=AD=2:.——=______.

fBC

...點(diǎn)F是3c的分割點(diǎn).

【答案】好二！

2

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)，BF=AB=^5-1,BC=AD=2,得要=避二1.

BC2

解：點(diǎn)F是18c的分割點(diǎn).

理由如下：

,四邊形ABFE是一個(gè)正方形，

；?BF=AB=45-l.

又：在矩形ABCD中，BC=AD=2,

?BF_^/5-1

??---------.

BC2

???點(diǎn)F是5c的分割點(diǎn).

【點(diǎn)撥】考核知識(shí)點(diǎn)：分割點(diǎn).理解意義是關(guān)鍵.

【變式2】如圖所示，以長為2的定線段A3為邊作正方形ABCZ),取A3的中點(diǎn)P,連接PD,在54

的延長線上取點(diǎn)尸，使PF=PD,以A尸為邊作正方形41處,點(diǎn)M在AD上.

(1)求AM,DM的長；

(2)點(diǎn)M是AD的分割點(diǎn)嗎？為什么？

【答案】(1)AM=y/5-l,DM=3-5(2)是，理由見解析

【分析】

(1)要求AM的長，只需求得AF的長，又AF=PF-AP,尸尸=尸。=反1=6，貝UAM=AF=^-1,

DM=AD-AM=3-45-,

(2)根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)得：避二1,根據(jù)分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的分割點(diǎn).

AD2

解：(1)在Rt_AP￡＞中，AP=1,AD=2,由勾股定理知PD=JA￡＞2+AP2=斥1=后,

.-.AM=AF=PF-AP=PD-AP=y/5-l,

DM=AD-AM=3-5

故的長為0-1,DM的長為3-6；

(2)點(diǎn)/是A￡＞的分割點(diǎn).

由于——=-----,

AD2

???點(diǎn)”是AO的分割點(diǎn).

【點(diǎn)撥】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和分割的概念.先求得線段AM,的長，然后

求得線段AM和A。，?！ê虯M之間的比，根據(jù)分割的概念進(jìn)行判斷.

【變式3】如圖，以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點(diǎn)P,連接PD,在BA的延

長線上取點(diǎn)F,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點(diǎn)M在AD上.

(1)求AM,DM的長；

(2)求證：AM2=ADDM；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論你能找出圖中的一個(gè)分割點(diǎn)嗎？

FE

【答案】（1）占一1,3—退；（2）證明見解析；（3）圖中的點(diǎn)M為線段AD的分割點(diǎn)

【分析】

（1）由勾股定理求尸￡）,根據(jù)人知=4尸=P"4=尸/犯4,￡）M=AZ）AM求解；

（2）由（1）計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得：縹=器，根據(jù)分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是4。的分割點(diǎn).

ADAM

解：（1）為邊的中點(diǎn)，

：.AP^^AB=1,

PD=>JAP2+AD2=Vl2+22=A/5,

:.PF=PD=^,從而AF=PF—AP=V^—1,：.AM=AF=^5-1,

:.DM=AD—AM=3一卮

（2）證明：：4成=（君—1）2=6-2君，

AD-DM=2（,3-5=6—2人,

：.AM2=ADDM.

（3）圖中的點(diǎn)M為線段AD的分割點(diǎn).理由如下：

'JA^AD-DM,

.AM_DM_75-1

2

...點(diǎn)M是A。的分割點(diǎn).

【點(diǎn)撥】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和分割的概念.先求得線段AM,0M的長，然后

求得線段AM和AD,DM和AM之間的比，根據(jù)分割的概念進(jìn)行判斷.

類型四、分割點(diǎn)的應(yīng)用

04.在人體軀干和身高的比例上，肚臍是理想的黃分割點(diǎn)，即（下半身長m與身高D比例越接

近0.618越給人以美感，某女士身高165cm,下半身長（腳底到肚臍的高度）與身高的比值是0.60,為盡

可能達(dá)到勻稱的效果，她應(yīng)該選擇約多少厘米的高跟鞋看起來更美.（結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】她應(yīng)該選擇大約8厘米的高跟鞋.

【分析】根據(jù)分割定義：下半身長與全身的比等于0.618即可求解.

解：根據(jù)已知條件可知:

下半身長是165x0.6=99(厘米)，

設(shè)需要穿的高跟鞋為y厘米，則根據(jù)分割定義，得

99+y

解得：y=8,

經(jīng)檢驗(yàn)y*8是原方程的根,

答：她應(yīng)該選擇大約8厘米的高跟鞋.

【點(diǎn)撥】本題考查了分割，解決本題的關(guān)鍵是掌握分割定義.

【變式1】如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊邊上的分割點(diǎn)，且AE>EB,S1表示AE為邊長的正

方形面積，S?表示以為長，3E為寬的矩形面積，S?表示正方形ABC。除去a和S2剩余的面積，求S3：

S2的值.

【分析】根據(jù)分割的定義：把線段分成兩條線段AC和8C(BOAC),且使AC是A3和BC的

比例中項(xiàng)，叫做把線段A3分割，點(diǎn)C叫做線段的分割點(diǎn).其中AC=@匚由定義可得：

2

AE2=AB.BE,^AB=1,BE=AB-AE=1-AE,求解從而可得答案.

解：如圖，設(shè)AB=1,

點(diǎn)E是正方形ABCD的邊A3邊上的分割點(diǎn)，且AE>EB,

AE2=AB-BE,

AE2=AB-AE,

:.AE2+AE-1=O,

-：AE>Q,

正方形ABC。,正方形AEFG

:.AB=AD,AE=AG,

DG=BE,

:.BE=DG=AB一AE=士正,

2

.§：S2=(GFDG)：(BCBE)

f75-l3r3-迷］

=-----X------.1X------

222

\7\7

V5-1

2

【點(diǎn)撥】本題考查了分割、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，解決本題的關(guān)鍵是掌

握分割定義.

【變式2】如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果AC=避二1AB,則稱線段AB被

2

點(diǎn)C分割，點(diǎn)C叫做線段AB的“右害心點(diǎn)，根據(jù)圖形不難發(fā)現(xiàn)，線段AB上另有一點(diǎn)D把線段AB分成

兩條線段AD和BD,若BD=1二1~AB,則稱點(diǎn)D是線段AB的“左割”點(diǎn).

2

請根據(jù)以上材料.回答下列問題

(1)如圖2,若AB=8,點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是線段AB的“右割”點(diǎn)、“左制］”點(diǎn)，則BC=,DC=.

(2)若數(shù)軸上有M,P,Q,N四個(gè)點(diǎn)，它們分別對應(yīng)的實(shí)數(shù)為m,p,q,n,且m<p<q<n,n

=3|m|,點(diǎn)Q和點(diǎn)P分別是線段MN的“右割”點(diǎn)、“左害!J"點(diǎn)，求”的值.

q

?????

4DCBADCB

圖1圖2

【答案】(1)12-475：875-16；(2)4--5或4-—5

511

【分析】

(1)分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即

AB：AC=AC：BC),叫做把線段AB分割，點(diǎn)C叫做線段AB的分割點(diǎn).其中AC=@二1AB,并且線

2

段AB的分割點(diǎn)有兩個(gè).把AB=8代入式子可以AC和BD,用減法可以分別求BC和DC；

(2)在數(shù)軸上，由于m的取值不確定，需要分類討論；同時(shí)根據(jù)上述的“右割”點(diǎn)、“左割”點(diǎn)，可以

列出：PN=—―-MN;MQ=――-MN,接著求出PN=n-p；MQ=q-m；MN=n-m；最后代入求出

22

p

p和q及］■的值.

解：(1)???點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是線段AB的“右割”點(diǎn)、“左割”