6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

【題型歸納目錄】

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理

題型三：兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用

題型四：組數(shù)問題

題型五：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇

題型六：涂色問題

題型七：種植問題

題型八：列舉法

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：分類加法計(jì)數(shù)原理（也稱加法原理）

1、分類加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，有”類辦法.在第1類辦法中有外種不同方法，在第2類辦法中有叱種不同的方法，……，

在第"類辦法中有7%種不同方法，那么完成這件事共有N=%+w2+…+5”種不同的方法.

2、加法原理的特點(diǎn)是：

①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成〃類；

②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；

③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，第二步

是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和.

知識(shí)點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、分步乘法計(jì)數(shù)原理

“做一件事，完成它需要分成〃個(gè)步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成〃個(gè)步驟，要

完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算完成.

2、乘法原理的特點(diǎn)：

①完成一件事需要經(jīng)過〃個(gè)步驟，缺一不可；

②完成每一步有若干種方法；

③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各

步的方法數(shù)，第三步是求積.

知識(shí)點(diǎn)三、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：

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1、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：

兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān)，一個(gè)和分步有關(guān).

完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這〃類辦法是相互獨(dú)立的，且無論哪一類辦法中的哪一種

方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；

若完成某件事需分〃個(gè)步驟，這"個(gè)步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這〃個(gè)步驟依次都完成后,

這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計(jì)算.

知識(shí)點(diǎn)四、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

1、利用兩個(gè)基本原理解決具體問題時(shí)的思考程序：

(1)首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？

(2)然后考慮如何完成？主要有三種類型

①分類或分步.

②先分類，再在每一類里再分步.

③先分步，再在每一步里再分類，等等.

(3)最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？

【典型例題】

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理

例1.(2022?全國?高三專題練習(xí))書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書,

第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有種.

【方法技巧與總結(jié)】

應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問題

(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事.

(2)無論哪類方案中的哪種方法都可以獨(dú)立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法

之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的.

例2.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，一條電路從/處到8處接通時(shí)，可以有條不同的

線路(每條線路僅含一條通路).

例3.(2022?全國?高三專題練習(xí))某大學(xué)開設(shè)選修課，要求學(xué)生根據(jù)自己的專業(yè)方向以及自身興趣從6個(gè)

科目中選擇3個(gè)科目進(jìn)行研修.已知某班級(jí)。名學(xué)生對科目的選擇如表所示,則6的一組值可以是.

科目國際金融統(tǒng)計(jì)學(xué)市場管理歷史市場營銷會(huì)計(jì)學(xué)

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人數(shù)2428141519b

變式1.（2022?廣東?佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)高二期中）某校高三有三個(gè)班，分別有學(xué)生50人、50人、

52人.從中選一人擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有一種不同選法.

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理

例4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）直線方程/x+8y=0,若從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的

數(shù)作為系數(shù)A,B的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是.

【方法技巧與總結(jié)】

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步.

（2）計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù).

（3）結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.

例5.（2022?吉林?四平市第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)

節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目

單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有種.

例6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件

上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為種.

題型三：兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用

例7.（2022?河北省文安縣第一中學(xué)高二期末）如圖，要讓電路從/處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為（）

【方法技巧與總結(jié)】

使用兩個(gè)原理的原則

使用兩個(gè)原理解題時(shí)，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成

互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計(jì)數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后

逐步解決，這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知集合河={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},若從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)

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元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，則可得平面直角坐標(biāo)系中第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.18B.16C.14D.10

例9.（2022?山東荷澤?高二期中）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲

村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（）

A.3B.6C.7D.8

題型四：組數(shù)問題

例10.（2022?廣東廣州?高二期末）用1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.6B.12C.16D.24

【方法技巧與總結(jié)】

對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則

（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置（末位或首位）

分類，分類中再按特殊位置（特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.

（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.

例11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀.比如，一副描繪廈門

鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天.由此定義“回文數(shù)”，〃為自然數(shù)，且力的各位

數(shù)字反向排列所得自然數(shù)〃'與〃相等，這樣的〃稱為“回文數(shù)”，如：1221,2413142.則所有5位數(shù)中是“回

文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（）

A.648個(gè)B.720個(gè)C.810個(gè)D.891個(gè)

例12.（2022?江蘇?鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）用數(shù)字0,1,2,3,4組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

這樣的三位數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.125種B.100種C.64種D.60種

變式2.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和等于10,且各位數(shù)字允許重復(fù)（如235,

505等），則這種三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.54B.50C.60D.58

變式3.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)字0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中比200大的有（）

A.24個(gè)B.12個(gè)C.18個(gè)D.6個(gè)

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變式4.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）將1,2,3,9這9個(gè)數(shù)字填在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從

左到右，每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法有（）.

A.6種B.12種C.18種D.24種

題型五：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇

例13.（2022?廣東?潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）教學(xué)大樓共有4層，每層都有東西兩個(gè)樓梯，由一樓到

4樓共有走法種數(shù)為（）

A.6B.23C.42D.43

【方法技巧與總結(jié)】

在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，

位置是否占、占是否只占一次.解題時(shí)一般選擇具有“唯一性”的對象進(jìn)行分解.

例14.（2022?廣東?清遠(yuǎn)市博愛學(xué)校高二階段練習(xí)）3名志愿者，每人從4個(gè)不同的崗位中選擇1個(gè)，則不

同的選擇方法共有（）

A.12種B.64種C.81種D.24種

例15.（2022?福建福州?高二期末）6名同學(xué)參加3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)必須且只能隨機(jī)選擇其中的

一個(gè)，不同的選法種數(shù)是（）

A.20B.36C.63D.120

變式5.（2022?廣東廣州?高二期末）3名同學(xué)報(bào)名參加足球隊(duì)、籃球隊(duì)，每名同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì),

則不同的報(bào)名方法的種數(shù)是（）

A.8B.6C.5D.9

變式6.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法有（）

A.10種B.20種C.25種D.32種

題型六：涂色問題

例16.（2022?寧夏?賀蘭縣景博中學(xué)高二階段練習(xí)（理））用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相

鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（）

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C.48種D.72種

【方法技巧與總結(jié)】

解決涂色問題的一般思路

（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.

（2）以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.

（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.

例17.（2022?吉林?四平市第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）給如圖所示的5塊區(qū)域4,B,C,D,E涂色,要

求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色可供選擇,

則不同的涂色方法有（）

C.840種D.960種

例18.（2022?江蘇鹽城?高二期末）給四面體/BCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色中

的任意一種，且任意共頂點(diǎn)的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）

A.24B.72C.96D.144

變式7.（2022?江蘇?徐州市中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》

作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色、

相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）

C.420D.480

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變式8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、

陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同

的涂色方案數(shù)為（）

C.720D.840

變式9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割

成六個(gè)不同區(qū)域），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則不同的

涂色方法有（）

C.96種D.144種

題型七：種植問題

例19.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示.為了讓效果更美觀，要求在

四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同.現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有

種.（用數(shù)字作答）

【方法技巧與總結(jié)】

種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類

加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

例20.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植43兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物

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生長，要求/、8兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有種.

例21.（2022?湖北?高二階段練習(xí)）如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植

1種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有______種（用

數(shù)字作答）

變式10.將3種作物種植在如圖5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不

同的種植方法共有種.（以數(shù)字做答）

題型八：列舉法

例22.（2022?河南?馬店第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從

左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2,3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先

收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（）

A.144B.96C.72D.60

【方法技巧與總結(jié)】

將所有情況一一列舉出來.

例23.元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則

四張賀卡不同的分配方式有（）

A.6種B.9種C.11種D.23種

例24.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正整數(shù)有序數(shù)對瓦Gd）滿足:

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①a+6+c+d=12；

②忙-q=5.

則滿足條件的正整數(shù)有序數(shù)對（d仇Gd）共有（）組.

A.24B.12C.9D.6

變式11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）將編號(hào)1,2,3,4的小球放入編號(hào)為1,2,3盒子中，要求不允許有空盒子,

且球與盒子的編號(hào)不能相同，則不同的放球方法有_種.

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，用不同的五種顏色分別為4B,C,D,￡五部分著色，相鄰部

分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有

（）

B

D

C

E

A.500種B.520種C.540種D.560種

2.（2022?浙江杭州?高三期中）正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.

A.20B.28C.40D.50

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某奧運(yùn)村有A,B,C三個(gè)運(yùn)動(dòng)員生活區(qū)，其中A區(qū)住有30人，B區(qū)住有15

人，C區(qū)住有10人?已知三個(gè)區(qū)在一條直線上，位置如圖所示?奧運(yùn)村公交車擬在此間設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使

所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)路程總和最小，那么?？奎c(diǎn)位置應(yīng)在（）

____>^100米V_________________^200

4區(qū)8區(qū)C區(qū)

A.A區(qū)B.8區(qū)C.C區(qū)D.A,8兩區(qū)之間

4.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示.現(xiàn)要栽

種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（）.

A.80種B.120種C.160種D.240種

5.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高一開學(xué)考試）一只小蟲子欲從/點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過圖中的點(diǎn)或者線段，而最終

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到達(dá)目的地E,這只小蟲子的不同走法共有（）

C.14種D.15種

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）解1道數(shù)學(xué)題，有兩種方法，有2個(gè)人只會(huì)用第一種方法，有3個(gè)人只會(huì)

用第二種方法，從這5個(gè)人中選1個(gè)人能解這道題目，則不同的選法共有（）

A.4種B.5種C.6種D.9種

7.（2022?重慶十八中高二期末）體育場南側(cè)有3個(gè)大門，北側(cè)有2個(gè)大門，某學(xué)生到該體育場練跑步，每

個(gè)門都可進(jìn)出，則他進(jìn)出門的方案共有（）

A.6種B.10種C.5種D.25種

8.（2022?江西?高二階段練習(xí)）已知某居民小區(qū)附近設(shè)有N,B,C,。4個(gè)核酸檢測點(diǎn)，居民可以選擇任意

一個(gè)點(diǎn)位去做核酸檢測，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測，則檢測點(diǎn)的選擇共有（）

A.64種B.81種C.7種D.12種

二、多選題

9.（2022?廣東?順德一中高二期中）現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加,

則下列命題中正確的是（）

A.只需1人參加，有16種不同選法

B.若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法

C.若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法

D.若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法

10.（2022?福建省永春第一中學(xué)高二期中）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老

師站在正中間，則下列選項(xiàng)中恰有8種不同站法的是（）

A.甲、乙都不與老師相鄰B.甲、乙都與老師相鄰

C.甲與老師不相鄰，乙與老師相鄰D.甲、乙相鄰

丙、丁在老師相鄰兩邊，有2種站法，

所以有2x2=4種站法，不符合；

對于B,同A一樣，有4種站法，不符合；

對于C,甲站兩端，有2種站法，乙與老師相鄰，有2種站法，

丙、丁站剩下位置，有2種站法，所以有2x2x2=8種站法，C符合；

對于D,甲、乙要么都在老師左邊，要么都在老師右邊，

且甲、乙還可以相互交換，有2x2種站法，

丙、丁站剩下兩個(gè)位置，有2種站法，所以共有2x2x2=8種站法，D符合.

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故選：CD.

H.（2022?河北?高陽中學(xué)高二階段練習(xí)）有一項(xiàng)活動(dòng)，需在3名老師、8名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選人參

加，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.若只需1人參加，則有16種不同的選法

B.若需老師、男學(xué)生、女學(xué)生各1人參加，則有16種不同的選法

C.若需老師、男學(xué)生、女學(xué)生各1人參加，則有120種不同的選法

D.若需1名老師、1名學(xué)生參加，則有16種不同的選法

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）現(xiàn)有6位同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每位同學(xué)可自由選擇其

中的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)錯(cuò)誤的是（）.

,,5x6x5x4x3x2

A.56B.65C.----------------------D.6x5x4x3x2

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三、填空題

13.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）五名高中生報(bào)考三所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法有

種.

14.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）直線/的方程為/尤+坊=0,若從0,1,3,5,7,8這6個(gè)數(shù)字中每次

取兩個(gè)不同的數(shù)作為43的值，則可表示條不同的直線.

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