北京市育才學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.2與8的等差中項是（）

A.-5B.5

C.4D.±4

2.某人通過普通話二級測試的概率是:，若他連續(xù)測試3次（各次測試互不影響），那么其

中恰有一次通過的概率是（）

3「I-9r27

A.—B.—C.—D.—

64166464

3.船隊若出海后天氣好，可獲利5000元；若出海后天氣不好，將損失2000元，根據(jù)預(yù)測，

天氣好的概率為0.6,天氣不好的概率為0.4,則出海效益的期望是（）

A.2000元B.2200元C.2400元D.2600元

4.已知數(shù)列｛%｝的通項公式是,那么這個數(shù)列是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列D.常數(shù)列

5.2021年7月20日，公布了《中共中央、國務(wù)院關(guān)于優(yōu)化生育政策促進人口長期均衡發(fā)

展的決定》，決定實施一對夫妻可以生育三個子女的政策及配套的支持措施.假設(shè)生男、生

女的概率相等，如果一對夫妻計劃生育三個小孩，在已經(jīng)生育了兩個男孩的情況下，第三個

孩子是女孩的概率為（）

1flclr1

A.—B.—C.—D.一

8432

6.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S",若。2=-3,使S“最小的〃的值為（）

A.4B.5C.6D.4或5

7.在數(shù)列｛%｝中，4=-3且,則“2000=（）

[~an

A.—B.—C.2D.—3

23

8.已知離散型隨機變量X服從二項分布X?*6,p）,且E（X）=1,則。（X）=

試卷第1頁，共4頁

9.記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項和.若%=〃（8-〃）（〃=1,2-），貝I］（）

A.｛%｝有最大項，｛$,｝有最大項

B.｛%｝有最大項，｛S“｝有最小項

C.｛%｝有最小項，｛'｝有最大項

D.｛見｝有最小項，阻｝有最小項

10.世界排球比賽一般實行“五局三勝制”，在2019年第13屆世界女排俱樂部錦標賽（俗稱

世俱杯）中，中國女排和某國女排相遇，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知，在中國女排和該國女排的

比賽中，每場比賽中國女排獲勝的概率為：，該國女排獲勝的概率為現(xiàn)中國女排在先勝

一局的情況下獲勝的概率為（）

857-241

A.-B.—C.—D.一

981819

二、填空題

11.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，出+g=8,則q+%=

12.若隨機變量X的分布列為（如表），

日□n

000

則。=；若隨機變量公*1,則隨機變量丫的數(shù)學(xué)期望￡（y）=.（用數(shù)字

作答）

13.從“1,2,3,4,5”這組數(shù)據(jù)中隨機去掉兩個不同的數(shù)，則剩余三個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列

的概率是.

14.隨機揶兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為口，點數(shù)之和

大于5的概率記為p2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為必，則比PI，P2,2大小關(guān)系是.

15.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，

從它的任何一個局部經(jīng)過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形.例如圖（1）是一個邊

長為1的正三角形，將每邊3等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得

試卷第2頁，共4頁

到圖(2),如此繼續(xù)下去，得到圖(3),則第三個圖形的邊數(shù);第〃個圖形的邊

三、解答題

16.已知數(shù)列｛%｝中，％=2。“，&=8.

⑴求數(shù)列｛%,｝的前5項；

(2)若等差數(shù)列出｝滿足3=%也=%，求低｝的前〃項和S".

17.為了了解高三學(xué)生的睡眠情況，某校隨機抽取了部分學(xué)生，統(tǒng)計了他們的睡眠時間，得

到以下數(shù)據(jù)(單位：小時)：

男生組：5,5.5,6,7,7,7.5,8,8.5,9；

女生組：5.5,6,6,6,6.5,7,7,8.

用頻率估計概率，且每個學(xué)生的睡眠情況相互獨立.

(1)世界衛(wèi)生組織建議青少年每天最佳睡眠時間應(yīng)保證在8-10(含8小時)小時，估計該校

高三學(xué)生睡眠時間在最佳范圍的概率；

(2)現(xiàn)從該校的男生和女生中分別隨機抽取1人，X表示這2個人中睡眠時間在最佳范圍的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)原女生組睡眠時間的樣本方差為若女生組中增加一個睡眠時間為6.5小時的女生，并

記新得到的女生組睡眠時間的樣本方差為1，寫出『與s；的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

18.小明同學(xué)兩次測試成績(滿分100分)如下表所示：

語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物

第一次879291928593

第二次829495889487

(1)從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機抽取1科，求該科成績大于90分的概率;

試卷第3頁，共4頁

(2)從小明同學(xué)第一次測試和第二次測試的科目中各隨機抽取1科，記X為抽取的2科中

成績大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測試成績(滿分100分)及相關(guān)統(tǒng)計信息如下表所示：

語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物6科成績均值6科成績方差

第一次%a2%%a5〃6為

第二次4bb

b23a5a%2

將每科兩次測試成績的均值作為該科的總評成績，這6科總評成績的方差為A.有一種觀點

認為：若再<3，則2?。3?3.你認為這種觀點是否正確？(只寫“正確”或“不正確”)

19.若數(shù)列｛%｝滿足.對任意〃eN*,都有%則稱｛%｝是“P數(shù)列”，

(I)若a——判斷｛&｝,也｝是否是“產(chǎn)數(shù)列”；

(2)已知｛。"｝是等差數(shù)列，為=2,其前〃項和記為S.，若｛%｝是“P數(shù)列”，且S“<3/+2"恒

成立，求公差d的取值范圍；

試卷第4頁，共4頁

《北京市育才學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BDBADDCDAA

1.B

【分析】設(shè)2與8的等差中項是x,則2x=2+8=10,進一步解得x的值即可.

【詳解】解：設(shè)2與8的等差中項是X,則2x=2+8=10,解得x=5.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)題意，由〃次獨立重復(fù)試驗的概率計算公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，他連續(xù)測試3次其中恰有一次通過的概率是-[=會.

故選：D

3.B

【分析】由期望計算公式可得答案.

【詳解】由題可得出海效益的期望是5000x0.6+（-2000）x0.4=2200.

故選：B

4.A

【解析】作差得出。向和。“的大小關(guān)系，進而可判斷出數(shù)列｛%｝的單調(diào)性.

n+1n（3H+1）（w+1）-H（3/z+4）1

3〃+43n+1（3〃+l）（3"+4）（3〃+l）（3〃+4）

??.。田＞%,因此，數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

故選：A.

【點睛】本題考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，涉及數(shù)列單調(diào)性定義的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基

礎(chǔ)題.

5.D

【分析】列出前兩個孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.

【詳解】這個家庭已經(jīng)有兩個男孩的下，計劃生育三個小孩的所有可能為（男男女）、（男男

答案第1頁，共9頁

男），

所以在已經(jīng)生育了兩個男孩的情況下，第三個孩子是女孩的概率為尸=;.

故選：D

6.D

【分析】設(shè)公差為d,依題意得到方程組，求出可、d,即可求出通項公式，再根據(jù)數(shù)列的

單調(diào)性判斷即可.

【詳解】設(shè)公差為d,由出=-3,S5=-10,

a1+d=—3-—4

所以5%+104=-10,解得小，所以見“5,

令對20,解得〃W5,則數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且％=0,

所以當"=4或〃=5時S”取得最小值.

故選：D

7.C

【分析】通過計算4，/，%，牝可得數(shù)列周期性，即可得答案.

a1+1—3+1

【詳解】注意到的=

1-a,-1-(-3)

%=%=2.

故選：C

8.D

【分析】利用二項分布期望公式￡（1）=6。求出。，再由方差公式。（X）=6o（l-p）可計

算出答案.

【詳解】由于離散型隨機變量X服從二項分布X~5（6,p）,貝l]E（X）=6p=l,所以，pj

6

因此，=—/＞）=6x—X—=—,故選D.

答案第2頁，共9頁

【點睛】本題考查二項分布期望與方差公式的應(yīng)用，靈活運用二項分布的期望和方差公式是

解本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對這些知識的理解和掌握情況，屬于中等題.

9.A

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷得。"有最大項，再分析。"的正負情況可判斷得S,有最

大項，從而得解.

【詳解】根據(jù)題意,%=〃(8-〃)=8〃-〃2,

對于二次函數(shù)，J；=-X2+8X=-(X-4)2+16,其開口向下，對稱軸為x=4,

則當x=4時，了=-尤2+8x取得最大值，

所以當"=4時，%有最大值為16,所以有最大項.

又由可解得0W〃W8,

貝!J當14〃<8時，?！?gt;0,當〃=8時，。〃=0,當〃〉8時，?！?lt;0,

所以當〃=7或8時，S〃最大，

則｛%｝有最大項，｛$“｝有最大項.

故選：A.

10.A

【解析】根據(jù)比賽情況，按照比賽總場次分類討論.當總共比賽三場，中國女排在先勝一局的

情況下，則隨后兩場中國隊都獲勝;當總共比賽四場，則第二場或第三場中國隊獲勝，第四場獲

勝;當總共比賽五場時，則第二場、第三場、第四場中國隊獲勝一場，第五場中國隊獲勝即可.

根據(jù)概率計算，將三種情況下的概率求和即可得解.

【詳解】每場比賽中國女排獲勝的概率為:，該國女排獲勝的概率為:,現(xiàn)中國女排在先勝一

局的情況下獲勝，有以下三種情況：

總共比賽三場，則第二場和第三場中國隊獲勝，所以此種情況下中國隊獲勝概率為=1

總共比賽四場，則第二場或第三場中國隊獲勝，該國勝一場.且第四場中國隊獲勝，則此種情況

下中國隊獲勝的概率為

總共比賽五場，則第五場中國隊獲勝，第二場、第三場、第四場中國隊獲勝一場,此種情況下的

答案第3頁，共9頁

1V24

概率為c]2

3)3一27

4848

所以中國隊獲勝的概率為，+藥+藥=3

故選:A

【點睛】本題考查了分類討論求符合要求條件的概率，注意分類討論要全面,屬于中檔題.

11.8

【分析】由等差數(shù)列通項公式可得答案.

【詳解】設(shè)｛4｝公差為d,由題，％+%=2%+8d=4+74+4+。=〃2+。8=%

故答案為：8.

12.-/0.5

2*

【分析】利用概率和等于1以及數(shù)學(xué)期望的計算公式、性質(zhì)求解.

【詳解】?.4+。+:=1

63

1

2

E(X)=lx，+2x-+3x-=B

623~6

??,Y=2X+\

「八八c13116

:.E(Y}=2x—+l=—.

v763

故答案為：7；v-

23

【解析】基本事件總數(shù)=10,利用列舉法求出剩余三個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本

事件有4個，由此能求出剩余三個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列的概率.

【詳解】從“1,2,3,4,5”這組數(shù)據(jù)中隨機去掉兩個不同的數(shù)，基本事件總數(shù)為〃=^=10-

剩余三個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有：(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,

4,5),共4個.

剩余三個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是°=24=:2

2

故答案為：

答案第4頁，共9頁

【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

14.P2>P3>A

【分析】由古典概型知識計算各概率即可比較大小.

【詳解】拋兩枚骰子，設(shè)第一枚骰子點數(shù)為x,第二枚為外則骰子點數(shù)情況記為（x,y）.

總情況數(shù)為36,向上的點數(shù)之和不超過5的情況有：

（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（4,1）共10種,

則”=與=盤；則超過5點的情況有26種,故°2=11=三，

361836lo

點數(shù)之和為偶數(shù)的情況有：

（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,（3,3乂3,5）,（4,2）,（4,4）,（4,6）

,（5,5）,（5,3）,（5,1）,（6,2）,（6,4）,（6,6）共18種，故。3=（

綜上可得0>。3>Pl-

故答案為：P2>P3>P\.

15.483X4"T

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，尋找規(guī)律，再利用等比數(shù)列的通項公式求解.

【詳解】由題知，下個圖形的邊長是上一個圖形的g,邊數(shù)是上一個圖形4倍，

因為第1個圖形的邊數(shù)3,所以第2個圖形的邊數(shù)12,第3個圖形的邊數(shù)48.

設(shè)第〃個圖形的邊數(shù)為?！?，

則數(shù)列｛4｝是以3為首項，以4為公比的等比數(shù)列，

則%=3X4"T.

故答案為：48；3X4”T

16.（1）%==2,%=4,%=8,%=16；

（2）S“=3〃2-5〃

【分析】（1）先證明數(shù)列是等比數(shù)列，再寫出通項即可計算求解；

（2）先求出｛4｝的通項公式，再應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求解.

答案第5頁，共9頁

【詳解】(1)數(shù)列｛4｝中，因為&=8片0,故見工0,

故也=2,所以數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，公比是2,

an

又因為&=8,所以a“=&x2i=2i.

月^以4]—1,a2=2,=4,。彳=8,=16?

(2)等差數(shù)列也｝滿足a=4也=16,

設(shè)等差數(shù)列公差為d,2d=“一d=12,所以d=6,所以6〃二仇+(〃一2N6二6〃-8,

所以也?｝的前〃項和Sn=--------"=〃(⑦-5)=%2_%.

4

17.(1)—

一17

(2)分布列見解析；期望為2

【分析】(1)直接計算該校高三學(xué)生的睡眠時間在最佳范圍的頻率;

(2)X的所有可能取值為0,1,2,求出分布列，再由期望公式求解;

(3)直接判斷寫出￡與s；的大小關(guān)系.

【詳解】(1)設(shè)“該校高三學(xué)生的睡眠時間在最佳范圍”為事件/,

在隨機抽取的17人中有4人的睡眠時間在最佳范圍，

4

所以尸(4)=萬;

(2)由題意，“從男生中隨機選出1人，其睡眠時間在最佳范圍”為事件5,

31

則尸⑻=§=『

“從女生中隨機選出1人，其睡眠時間在最佳范圍”為事件C,

P?

8

由條件可知，X的所有可能取值為0,1,2,

117111193

P(X=0)=(1-邪1-#1r尸(X=1)=(管)+-x(l-)=-=-，

尸(X=2)f=.

所以X的分布列為：

答案第6頁，共9頁

X012

731

P

12824

…、八1419clII

E'X、—Ox-----F1x----F2x—=—

24242424

(3)

27

18.(1)-(2)分布列見解析，E(X)=-(3)不正確

36

【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得結(jié)果;

（2）計算出X的各個取值的概率可得分布列，根據(jù)期望公式計算可得數(shù)學(xué)期望;

（3）根據(jù)方差公式計算，結(jié)合A<3比較可得答案.

【詳解】（1）共有6科成績，其中成績大于90分的有數(shù)學(xué)、英語、物理和生物共4科，

所以從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機抽取1科，該科成績大于90分的概率為￡=

63

（2）X的所有可能取值為：0,1,2,

P（x=°）=隹T尸少』葭G］，「（X3器

所以X的分布列為：

X012

j_]_

P

63

1117

數(shù)學(xué)期望項X)=0x±+lx±+2x七，.

6236

(3)設(shè)%%，貝Ia】+a2H----卜4=a+b2T----1-b6=6x,

貝[j—(4-X)2+(2-X)2+,，,+(6一%)?

=a；+a；+…+a；—2(%+2-----&)x+6必

—a：+a；4~?,,+a；—12x2+6/

—a；+a；+,?,+a；-6x^,

同理可得63=6；+用+…+6；-6-,

答案第7頁，共9頁

621丁;+（『j+T2,

因為Dy<Z）2，所以a：+a；H—，+<b；+b；T—.+6；,

所以皿-62二（^1Aj+（^|Aj+_+（￡^[_面+起+...+,）

=（4-％）（4+34）+