第5.2節(jié)

方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義及求法二、二、特征值與特征向量的性質(zhì)線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義及求法定義7

設(shè)

是

階方陣，

若存在數(shù)和

維非零列向量

，使得成立，則稱數(shù)稱為方陣

的特征值，非零向量

稱為

的對應(yīng)于特征值的特征向量.分析求法也可寫成這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式即線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量

上式是以

為未知數(shù)的一元

次方程，稱為矩陣

的特征方程，它在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個根（重根按重數(shù)計算）.特征方程的左端

是

的

次多項式，記為

，稱為矩陣

的特征多項式.顯然，方陣

的特征值就是特征方程

的根.的非零解就是方陣

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量求方陣

的特征值與特征向量的步驟：（1）寫出方陣

的特征多項式；（3）對于每個特征值，求解齊次線性方程組

（2）通過解特征方程

，求出方陣

的特征值；

得基礎(chǔ)解系，于是基礎(chǔ)解系的任意非零線性組合就是對應(yīng)于特征值的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量例5.4求矩陣的特征值和特征向量.解當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由的特征多項式為所以

的特征值為.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系

所以是對應(yīng)于

的全部特征向量.當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由所以

是對應(yīng)于的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由得基礎(chǔ)解系所以

是對應(yīng)于的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量例5.5求矩陣

的特征值和特征向量.解的特征多項式為所以

的特征值為.當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系所以是對應(yīng)于

的全部特征向量.當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由得基礎(chǔ)解系所以

是對應(yīng)于

的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量例5.6求矩陣的特征值和特征向量.解的特征多項式為所以

的特征值為.當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系所以是對應(yīng)于

的全部特征向量.當(dāng)

時，解齊次線性方程組.由得基礎(chǔ)解系所以

是對應(yīng)于

的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量二、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1

一個特征向量只能屬于一個特征值（相同的看成一個）.證假設(shè)

是方陣

的對應(yīng)于不同特征值

和

的特征向量，則

于是，有即因為

，所以

，則

，這與特征向量為非零向量矛盾，故假設(shè)不成立.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量性質(zhì)2

若

是方陣

的特征值，

是對應(yīng)于

的特征向量，則（1）

是

的特征值，

是對應(yīng)于

的特征向量（

是常數(shù)）；（2）

是

的特征值，

是對應(yīng)于

的特征向量（

是正常數(shù)）；（3）

當(dāng)

時，

是

的特征值，

是

的特征值，

為對應(yīng)于的特征向量.（4）

是

的特征值，其中

是方陣

的多項式.證由

，可得故

是

的特征值.由歸納法即得（

為正整數(shù)）.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量則

可逆，

于是由

，得即所以

是

的特征值.由于

故

是

的特征值.（4）設(shè)

，由于

因此有故

是

的特征值.由

知

故線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量性質(zhì)3

與

有相同的特征值.證因為所以即

與

有相同的特征多項式，從而特征值相同.性質(zhì)4

設(shè)

階方陣

的

個特征值為

則

A的跡tra(A)

方陣A可逆它的特征值全不為零.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量

例5.7

設(shè)3階方陣

的特征值為

，求解知

可逆.記作則的特征值為(1)記

因為

的特征值為

，所以

的特征值為故(2)由故得所以故線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量

性質(zhì)5

設(shè)

是方陣

的

個特征值，互不相等，則依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果線性無關(guān).（對應(yīng)不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的）證

設(shè)有常數(shù)

，使則即以此類推，有線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量把上述各式合寫成矩陣形式，得上式等號左邊第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置行列式，因互不相等，該行列式不為0，從而該矩陣可逆，于是有即有由于

所以

故

線性無關(guān).線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量用A左乘上式，得代入（1）式和

分別是對應(yīng)于

和

的線性無關(guān)的特征向量，則補充定理設(shè)和是方陣的兩個不同特征值，線性無關(guān).事實上，設(shè)（1）（2）線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量而證于是即因為故