第

四

節(jié)

線性微分方程解的結構

二、一、線性微分方程的概念二、三、非齊次線性微分方程解的結構

二、二、齊次線性微分方程解的結構高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構一、線性微分方程的概念

一般地，若微分方程關于未知函數(shù)及其各階導數(shù)是線性的，則稱此方程為線性微分方程.例如是線性微分方程；不是線性微分方程；是線性微分方程；高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構n

階線性微分方程的一般形式為其中

都是某區(qū)間

I上的已知連續(xù)函數(shù).稱為系數(shù)，

是自由項.當

時，有相應的齊次線性微分方程：

高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構二、齊次線性微分方程解的結構

（疊加原理）

如果

與

是二階齊次線性微分方程

定理1

的兩個解,則它們的線性組合也是該方程的解,其中

是任意常數(shù)．證將

代入方程的左邊，得故

是方程

的解.高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構例如

可以驗證

都是微分方程的解,則由解的疊加原理可知也是微分方程

的解.也是微分方程

的解.哪一個可作為通解呢？為了解決通解的判別問題，下面引入函數(shù)線性相關與線性無關的概念.高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構定義

（函數(shù)組的線性相關性）設

為定義在區(qū)間

上的

n個函數(shù),如果存在

n個不全為零的常數(shù)

,使得對任意的

都有成立,則稱

區(qū)間

上線性相關的,否則稱它們線性無關.問題：如何判斷兩個函數(shù)線性相關與否？(看它們的比是否恒為常數(shù)，如果恒為常數(shù)，則它們線性相關，否則線性無關.）的解，而

不是常數(shù)，所以

線性無關.從而它們的線性組合

是

通解.例如

前面提到的都是微分方程（因為這時

相互獨立）高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構

（二階齊次線性微分方程通解結構）

如果函數(shù)

與

是二階齊次線性微分方程

定理2的兩個線性無關的特解,則它們的線性組合就是該方程的通解．（

是任意常數(shù)）定理2不難推廣到

n階齊次線性微分方程的情形.推論如果

是

階齊次線性微分方程的

個線性無關的特解，則就是該方程的通解.（

是任意常數(shù)）高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構三、非齊次線性微分方程解的結構定理3（二階非齊次線性微分方程通解結構）設

是二階非齊次線性方程的任一特解,是相應齊次線性方程

的通解,則是非齊次線性微分方程

的通解．證將

代入非齊次線性方程的左邊，得又

含有兩個相互獨立的任意常數(shù)，所以故

是非齊次線性方程的解.是非齊次線性方程的通解.高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構定理4（二階非齊次線性微分方程解的性質）

如果

與

分別是方程與的特解，則

是方程

的特解.該定理通常稱為二階非齊次線性微分方程解的疊加原理.

高等數(shù)學第7.4節(jié)線性微分方程解的結構

補充定理（解的性質）若