第三章

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用理論基礎(chǔ)羅爾、拉格朗日、柯西應(yīng)用一研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)應(yīng)用二解決一些實(shí)際問題目錄第一節(jié)

微分中值定理第四節(jié)

曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪第二節(jié)

洛必達(dá)法則第五節(jié)

曲率第三節(jié)

函數(shù)的單調(diào)性與極值第六節(jié)

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第

一

節(jié)

微分中值定理

二、一、羅爾定理二、二、拉格朗日中值定理二、三、柯西中值定理高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理一、羅爾（Rolle）定理幾何發(fā)現(xiàn)：

連續(xù)曲線弧兩端點(diǎn)同高，且除端點(diǎn)外處處有不垂直于

軸的切線時，發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處有水平切線.

幾何解釋∶

高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理證

高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)或臨界點(diǎn)）.注意：羅爾定理?xiàng)l件不全具備，結(jié)論成立的例子.(1)羅爾定理的條件只是充分的.(2)羅爾定理的條件缺少其中一個，結(jié)論不一定成立.在閉區(qū)間上不連續(xù)在開區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值不等高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

例1

設(shè)為多項(xiàng)式函數(shù)，證明：如果方程

沒有實(shí)根，則方程至多有一個實(shí)根.證

假設(shè)

有兩個實(shí)根

即不妨設(shè)由于多項(xiàng)式函數(shù)

在

連續(xù)且可導(dǎo)，故由羅爾定理，知至少存在一點(diǎn)

，使得

這與方程

故

至多有一實(shí)根.沒有實(shí)根矛盾.高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

例2

證明方程

有且僅有一個小于１的正實(shí)根.證則令在閉區(qū)間上連續(xù),且由零點(diǎn)定理知,至少有一點(diǎn),使得即方程

至少有一個小于１的正實(shí)根.假設(shè)方程有兩個小于１的正實(shí)根,另有且,使得則

在區(qū)間

上滿足羅爾定理的條件，所以至少存在一點(diǎn)而不妨設(shè)使得矛盾,所以方程

僅有一個小于1的正實(shí)根.綜上,方程

有且僅有一個小于1的正實(shí)根.高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

例3

設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，且

，

證明存在一點(diǎn)

，使得

證

設(shè)故由羅爾定理，知則函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，在

開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)，且存在一點(diǎn)

，使得又所以高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

羅爾定理的結(jié)論從幾何上也可以說曲線弧上存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線平行于弧兩端點(diǎn)的連線.思考羅爾定理中去掉區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，結(jié)論將怎樣呢？

幾何解釋∶

高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理證

從幾何上觀察，可作輔助函數(shù)顯然

在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且故由羅爾定理，知在區(qū)間

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得又故

也可從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造出輔助函數(shù)高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

說明

或

高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理是函數(shù)增量的近似表達(dá)式；很小時，微分

給出了

有限時

的精確表達(dá)式.

證

推論1

高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

推論2例3證高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

所以而又于是例4證明

時，有不等式

成立.

證

設(shè)

顯然

在區(qū)間

上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此有所以高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理

拉格朗日中值定理表明：如果連續(xù)曲線弧除端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線，那么曲線弧上至少有一點(diǎn)，使曲線弧在該點(diǎn)處的切線平行于弧兩端點(diǎn)的連線.如果曲線弧的方程由參數(shù)方程給出，那么這種幾何現(xiàn)象的結(jié)論又該如何表達(dá)呢？此時，切線和弦AB

的斜率分別為于是結(jié)論應(yīng)改為高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理

定理3(柯西中值定理)若函數(shù)

和

滿足以下條件:(1)在閉區(qū)間

上連續(xù)；(2)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)；

（3）在開區(qū)間

內(nèi)那么在

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使得

證若,則由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)

1∈,使,這與定理的假設(shè)矛盾.故.高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理作輔助函數(shù)從而有滿足羅爾定理的三個條件,于是在

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使得高等數(shù)學(xué)第3.1節(jié)微分中值定理公式也稱柯西公式.在柯西公式中，若令

則柯西公式就變成拉格朗日中值公式.Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理三個中值定理之間的聯(lián)系：注意定理成立的條件；一般利用中值定理證明等式或不等式.（題目牽涉到函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）第

二

節(jié)

洛必達(dá)法則

二、二、二、三、其他類型未定式

高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例如

高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則

定理1

設(shè)函數(shù)

和

滿足

則

存在（或?yàn)闊o窮大），且（1）（2）在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)，

都存在，且（3）存在（或?yàn)闊o窮大），

這種在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則所以可以補(bǔ)充證因?yàn)楫?dāng)

時，

的極限與

及

無關(guān)，定義域內(nèi)連續(xù).于是由條件（1）、（2）可知，

在點(diǎn)

的某鄰設(shè)

是該鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，則

在以

和

為端點(diǎn)的閉區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，故有注意到

時，有

，所以即說明高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則并且當(dāng)上式右端為無窮大時，左端也為無窮大.（2）如果將極限過程換成則只要將定理1的條件作相應(yīng)的改動，結(jié)論仍然成立.（1）如果

仍是

型未定式，且

滿足定理中所滿足的條件，那么可繼續(xù)用洛必達(dá)法則，即以此類推，直到求出極限為止.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例１

求解例2

求解注意：如果極限不是未定式，則不能使用洛必達(dá)法則，否則可能導(dǎo)致錯誤結(jié)果.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則

在應(yīng)用洛必達(dá)法則時應(yīng)注意與其他求極限的方法結(jié)合，特別能用等價(jià)無窮小代換的就先用等價(jià)無窮法代換，以簡化運(yùn)算.例3

求解解法2高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例４

求解例5

求解高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則

定理2

設(shè)函數(shù)

和

滿足

則存在（或?yàn)闊o窮大），且（2）在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)，

都存在，且（3）存在（或?yàn)闊o窮大），（1）

說明

若將極限過程換成則只要將定理2的條件作相應(yīng)的改動，結(jié)論仍然成立.高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例6解說明例7

求解若為正整數(shù),則相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則次，得高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則若不是整數(shù),則應(yīng)用洛必達(dá)法則

次，得說明故所求極限為零.結(jié)論高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則三、其他類型未定式其他類型的未定式有：未定式都可以化為洛必達(dá)法則可解決的類型.例8解如果按下面這種化法呢？解不出！所以哪一個函數(shù)留在分子上很關(guān)鍵.這些類型的高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則例9解高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則對于

未定式，可利用

恒等變形去轉(zhuǎn)化.例10解例11解高等數(shù)學(xué)第3.2節(jié)洛必達(dá)法則注意

洛必達(dá)法則的條件是充分而非必要條件.當(dāng)

不存在且不是無窮大時，

仍可能存在，只是不能用洛

必達(dá)法則求出而已.例12解第

三

節(jié)

函數(shù)的單調(diào)性與極值

二、二、二、三、函數(shù)的最大值和最小值一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性幾何觀察觀察發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號密切相關(guān).問題

：是否可以用導(dǎo)數(shù)的符號來判別函數(shù)的單調(diào)性？高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值定理1設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo).(1)若在

內(nèi)

則函數(shù)

在

上單調(diào)增加；(2)若在

內(nèi)

則函數(shù)

在

上單調(diào)減少.證對任意

，不妨設(shè)

，由拉格朗日中值定理，得

如果將定理1中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結(jié)論也成立.類似可證(2).因?yàn)樵?/p>

內(nèi),故有,所以

即

因此函數(shù)

在

單調(diào)增加.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

例１討論函數(shù)

的單調(diào)性.因?yàn)樵诤蛢?nèi)，所以函數(shù)在因?yàn)樵?/p>

內(nèi),所以函數(shù)在

上單調(diào)減少.解

函數(shù)在

上連續(xù)，且和上單調(diào)增加;

例2討論函數(shù)

的單調(diào)性.解

函數(shù)在

上連續(xù)，且高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（3）以導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（駐點(diǎn)）和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（不可導(dǎo)點(diǎn)）作為分點(diǎn)，將函數(shù)的定義域分為若干個部分區(qū)間；（4）確定導(dǎo)函數(shù)在各個部分區(qū)間內(nèi)的符號，從而判定函數(shù)在各部分區(qū)間上的單調(diào)性.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例3

討論函數(shù)的單調(diào)性.解該函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)

時，不存在.

其導(dǎo)數(shù)為由解得義域分成三個部分區(qū)間：這兩點(diǎn)將定因?yàn)樵?/p>

和

內(nèi)

所以

在

和

上單調(diào)增加；

因?yàn)樵?/p>

內(nèi)

所以

在

上單調(diào)減少.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例4

討論函數(shù)的單調(diào)性.解該函數(shù)的定義域?yàn)槠鋵?dǎo)數(shù)為由解得在

的各點(diǎn)處均有因此函數(shù)在區(qū)間

及

上都是單調(diào)增加的，從而在整個定義域內(nèi)都是單調(diào)增加的.

一般地，若

在某區(qū)間內(nèi)的有限個點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時，則

在整個區(qū)間上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式.證

設(shè)顯然

在

上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，

且因此，當(dāng)

時，有

所以

在

上單調(diào)增加.例5

證明當(dāng)

時，有而

故

時，

即高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值二、函數(shù)的極值

定義1

設(shè)

f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.若對任意,有

f(x)＜f(x0)（或

f(x)＞f(x0)）,則稱f(x0)是函數(shù)

f(x)的一個極大值(或極小值).

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

人生就像連綿不斷的曲線，起起落落是必經(jīng)之路，是成長的需要.跌入低谷不氣餒，甘于平淡不放任，佇立高峰不張揚(yáng)，這才叫寬闊胸襟.

（局部概念）.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值可見，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)．定理2（極值的必要條件）如果函數(shù)

在點(diǎn)

可導(dǎo)，并且點(diǎn)

是函數(shù)

的極值點(diǎn)，則但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)存在且相等，結(jié)合極限保號性不難得證.如

是函數(shù)

的不可導(dǎo)點(diǎn)，但它是函數(shù)

的極小值點(diǎn).另外，不可導(dǎo)點(diǎn)也可能為極值點(diǎn).如

是函數(shù)

的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).提示：說明

駐點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn).高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值從幾何直觀看，

函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)只是函數(shù)可能的極值點(diǎn).

問題:

如何判斷函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)？高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值定理3（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)，且在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).（1）如果在該去心鄰域內(nèi)，當(dāng)

時，

；當(dāng)

時，，則

在點(diǎn)

處取得極大值.（3）如果在

的兩側(cè)

的符號保持不變，則

在

處不取極值.（2）如果在該去心鄰域內(nèi)，當(dāng)

時，

；當(dāng)

時，，則

在點(diǎn)

處取得極小值.極值第一判別法高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

求極值的步驟:(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)

高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例6解高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例7

求函數(shù)的極值.令，求得駐點(diǎn)，此外，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為解函數(shù)

在定義域

上連續(xù).高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

當(dāng)函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不等于零時，可利用函數(shù)在該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號來判斷極值點(diǎn).定理4（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處具有二階導(dǎo)數(shù)且（1）如果

，則函數(shù)

在

處取得極大值；（2）如果

，則函數(shù)

在

處取得極小值.提示：結(jié)合函數(shù)極限的局部保號性及極值第一判別法易證.極值第二判別法高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值極值的第二充分條件表明：注意

時，無法用極值第二判別法，可用極值第一判別法來判別極值.例8

求函數(shù)的極值.解函數(shù)

在定義域

上連續(xù).令

求得駐點(diǎn)高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值三、函數(shù)的最大值和最小值

怎樣才能使利潤最大用料最省效益最高這樣的問題在數(shù)學(xué)中往往可歸結(jié)為求某一函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則

在該區(qū)間上必能取到最大值和最小值.若最值在開區(qū)間

內(nèi)的某點(diǎn)

處取得，則該最值一定是極值，于是極值

點(diǎn)

必定是函數(shù)

的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).另外，函數(shù)

在閉區(qū)間

上的最值也可能在閉區(qū)間的端點(diǎn)處取得.求連續(xù)函數(shù)

在閉區(qū)間

上最值的步驟：（1）求出函數(shù)

在開區(qū)間

內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）計(jì)算函數(shù)

在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)

處的函數(shù)值

；（3）比較以上所計(jì)算的各函數(shù)值的大小，其中最大者就是函數(shù)的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例9

求函數(shù)

在

上的最大值和最小值.解函數(shù)

在

上連續(xù).令

，得駐點(diǎn)

沒有不可導(dǎo)點(diǎn).因?yàn)樗员容^可得函數(shù)

在

上的最大值為

，最小值為

高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例10

求函數(shù)

在

上的最大值和最小值.解函數(shù)

在

上連續(xù).去絕對值，得求導(dǎo)，得高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值所以

的駐點(diǎn)為

由于故

為函數(shù)

的不可導(dǎo)點(diǎn).因?yàn)樗员容^可得函數(shù)的最大值為

最小值為

高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

例11

鐵路線上AB段的距離為

km.工廠C

距

A處

km,AC垂直于AB,如圖所示.為了運(yùn)輸需要，要在AB上選一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路.已知鐵路每千米貨運(yùn)運(yùn)費(fèi)與公路上每千米貨運(yùn)的費(fèi)用之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問D應(yīng)選在何處?解

設(shè),則

又設(shè)鐵路上每千米的運(yùn)費(fèi)為3k,則公路上每千米的費(fèi)用為5k（k為正常數(shù)），再設(shè)從B點(diǎn)經(jīng)由D點(diǎn)到C點(diǎn)所需的總運(yùn)費(fèi)為

y,則高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值令

，解得

由于所以比較可得函數(shù)的最小值為

因此，當(dāng)

AD=x=15km時，可使總運(yùn)費(fèi)最省.如果該題要求D點(diǎn)不能選在鐵路兩頭，即不能選在A點(diǎn)和B點(diǎn).如何求解呢？求

在開區(qū)間

內(nèi)的最小值.高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值2、區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)的可導(dǎo)函數(shù)的最值極值點(diǎn)，則這時函數(shù)的圖形在該區(qū)間內(nèi)將只有一個“峰”或“谷”.于是該極值點(diǎn)為最值點(diǎn).若函數(shù)

在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)

，并且該駐點(diǎn)是函數(shù)

的

即當(dāng)

為極大值時，

就是

在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)

為極小值時，

就是

在該區(qū)間上的最小值.區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的唯一駐點(diǎn)為極大（?。┲迭c(diǎn)時，必為最大（?。┲迭c(diǎn).高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值求

在開區(qū)間

內(nèi)的最小值.由前面的討論知

為該函數(shù)在開區(qū)間

內(nèi)唯一駐點(diǎn).又由于例11問題中若D不能選在端點(diǎn)，則D應(yīng)選在何處?該問題轉(zhuǎn)化為所以

為函數(shù)

在開區(qū)間

內(nèi)唯一極小值

點(diǎn)，即為最小值點(diǎn)，最小值為

高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值例12

已知n個實(shí)測數(shù)據(jù),如何選取x

,使誤差平方和最小?所以取誤差平方和最小.解

函數(shù)

在

內(nèi)可導(dǎo).

求導(dǎo),得高等數(shù)學(xué)第3.3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值

在實(shí)際問題中，若根據(jù)問題的性質(zhì)，可斷定可導(dǎo)函數(shù)

確有最大值（或最小值），且該最大值（或最小值）一定在定義區(qū)間的內(nèi)部取得.這時，如果函數(shù)

在定義區(qū)間的內(nèi)部只有唯一的駐點(diǎn)

，那么可以斷定

必為所求函數(shù)的最大值（或最小值）.

例13將各邊長為

a的正方形鐵皮于各角截去相等的小正方形,然后折起各邊,要做成體積最大的無蓋箱.問所截去的小正方形之邊長應(yīng)該是多少？解

設(shè)小正方形的邊長為

，則正方形箱底的邊長為

，如圖所示，于是無蓋箱體的體積為令

，得定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)由于無蓋箱體的最大體積是客觀存在的，且必在區(qū)間內(nèi)部取得，所以

時體積最大.即截去的小正方形的邊長為

時，無蓋箱體的體積最大.第四節(jié)

曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪

二、二、二、三、函數(shù)圖形的描繪一、

曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的漸近線高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪一、

曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

曲線的彎曲方向在幾何上是用曲線的凹凸性來描述的.

如右圖，同是上升的兩條曲線，但它們的彎曲方向不同，所以在描繪函數(shù)圖形時還需考慮曲線的彎曲方向問題.高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪從幾何上看：

凹弧

切線總在曲線的下方

弦總在對應(yīng)弧段上方

切線總在曲線的上方

凸弧

弦總在對應(yīng)弧段下方高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪定義1

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上可導(dǎo).

如果曲線弧位于其每點(diǎn)處切線的上方,則稱該曲線弧是凹的；位于其每點(diǎn)處切線的的下方,則稱該曲線弧是凸的.如果曲線弧

再從幾何上看：說明

如果函數(shù)二階可導(dǎo)，可以用二階導(dǎo)的符號判斷函數(shù)圖形的凹凸性.高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪

定理1

設(shè)函數(shù)

f(x)

在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).(1)若在(a,b)內(nèi),則曲線

y=f(x)在[a,b]上是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi),則曲線

y=f(x)在[a,b]上是凸的.曲線凹凸性的判定定理（可用拉格朗日中值定理證）

C

D

高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪例1解高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪例2解

定義2

若連續(xù)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))兩側(cè)的凹凸性不同,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為該曲線的拐點(diǎn)．高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪

若(x0,f(x0))是曲線

y=f(x)的拐點(diǎn),則f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

例如

曲線

沒有拐點(diǎn)，它在

內(nèi)是凹的.

生活中，房價(jià)上漲過程中出現(xiàn)“拐點(diǎn)”，并不意味著房價(jià)要下降，而是房價(jià)上漲的速度越來越慢.

在疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，我們關(guān)心確診數(shù)據(jù)何時出現(xiàn)“拐點(diǎn)”，出現(xiàn)“拐點(diǎn)”就表明新增感染人數(shù)就會越來越少，增加越來越慢，疫情朝好的方向的發(fā)展.生活中的“拐點(diǎn)”反之不一定成立.即二階導(dǎo)等于0的點(diǎn)或二階導(dǎo)不存在的點(diǎn)只是可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪如何尋找拐點(diǎn)？

先找出可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)

，根據(jù)曲線凹凸性判定定理看

是否是

符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)，若是，再計(jì)算則

即為拐點(diǎn).例3解高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪二、曲線的漸近線

定義3

當(dāng)曲線C上的動點(diǎn)P沿著曲線C無限延伸時,如果動點(diǎn)P到直線

l的距離趨近于0,則稱直線

l

為曲線C的漸近線.高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪（1）垂直漸近線如果

或

，則直線

是曲線

的垂直漸近線.所以，直線

都是曲線的垂直漸近線.例如對于曲線由于高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪（2）斜漸近線（包括水平漸近線）

設(shè)直線y=ax+b是曲線y=f(x)的斜漸近線，那么如何確定常數(shù)a和b

?由漸近線的定義，有于是故即高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪結(jié)論

如果

存在，且

，則直線y=ax+b是曲線

y=f(x)的斜漸近線.特別地，當(dāng)

a=0時，此時

，直線

y=b是曲線

y=f(x)的水平漸近線.例4

求曲線

的漸近線.

解所以x=1為曲線垂直漸近線．又因?yàn)樗灾本€

為曲線斜漸近線.高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪三、函數(shù)圖形的描繪

借助于一階導(dǎo)數(shù)的符號，可以確定函數(shù)圖形在哪個區(qū)間上上升，在哪個區(qū)間上下降；借助于二階導(dǎo)數(shù)的符號，可以確定函數(shù)圖形在哪個區(qū)間上為凹，在哪個區(qū)間上為凸，在什么地方有拐點(diǎn).知道了函數(shù)圖形的升降、凹凸及拐點(diǎn)后，也就可以掌握函數(shù)的性態(tài)，并把函數(shù)的圖形畫得比較準(zhǔn)確.

函數(shù)圖形是函數(shù)的直觀表示，它能直觀地反映函數(shù)的變化規(guī)律及性態(tài)，借助函數(shù)圖形有助于對函數(shù)進(jìn)行深入研究.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，借助于計(jì)算機(jī)和許多數(shù)學(xué)軟件，可以方便地畫出各種函數(shù)的圖形.但是，如何識別機(jī)器作圖的誤差，如何掌握圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)，如何選擇作圖的范圍等，從而進(jìn)行人工干預(yù)，仍然需要我們有運(yùn)用微分學(xué)的方法描繪函數(shù)圖形的基本知識.高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域，考慮函數(shù)有無奇偶性、周期性.(3)求出f

(x)=0和f

(x)=0在定義域內(nèi)的全部零點(diǎn),并求出f(x)的間斷點(diǎn)及f

(x)，f

(x)不存在的點(diǎn).用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為若干個部分區(qū)間.(2)求出

f

(x)，f

(x).(4)根據(jù)在這些部分區(qū)間內(nèi)f

(x)和f

(x)的正負(fù)號來確定函數(shù)圖形的升降、凹凸和拐點(diǎn)，以及函數(shù)的極值點(diǎn).

(5)確定曲線的漸近線.(6)算出第(3)步所得各分點(diǎn)處的函數(shù)值，確定圖形上的相應(yīng)點(diǎn).為了將圖形描繪得準(zhǔn)確些，有時需適當(dāng)補(bǔ)充一些點(diǎn).然后結(jié)合第(4)、(5)步中的結(jié)果，連接這些點(diǎn)畫出函數(shù)y=f(x)的圖形.

利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的一般步驟：高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪例5

描繪函數(shù)

的圖形.解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，且f(x)為偶函數(shù)，它的圖形關(guān)于y

軸對稱.因此可以只討論[0,+∞)上該函數(shù)的圖形.(2)求導(dǎo)：令f′(x)=0,得x=0;令f″(x)=0,得

x=1．用點(diǎn)x=1

將(3)在[0,+∞)上，

[0,+∞)劃分成兩個區(qū)間[0,1],[1,+∞).高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪(4)對單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)列表討論：x0(0,1)1(1,+∞)0---

--0+f(x）極大點(diǎn)拐點(diǎn)(5)由于

，所以圖形有一條水平漸近線.(6)計(jì)算

處的函數(shù)值：高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪從而得到函數(shù)圖形上的兩個點(diǎn)：補(bǔ)充點(diǎn)結(jié)合(4)、(5)的討論，畫出函數(shù)在

上的[0,+∞)圖形.最后利用圖形的對稱性，便可得到函數(shù)在

內(nèi)的整個圖形.高等數(shù)學(xué)第3.4節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪例6

描繪函數(shù)

的圖形.(