05相似矩陣特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及求法方陣的相似對(duì)角化問(wèn)題目錄01

向量的內(nèi)積及正交性02

方陣的特征值與特征向量03

相似矩陣04實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第5.1節(jié)

向量的內(nèi)積及正交性二、一、向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及夾角二、正交向量組及規(guī)范正交基二、三、正交矩陣與正交變換線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性一、向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及夾角1、向量的內(nèi)積及其運(yùn)算規(guī)律定義1設(shè)有

維向量稱

為向量

與

的內(nèi)積，記作

即

線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)

與

是列向量時(shí)，有內(nèi)積的運(yùn)算規(guī)律

（其中

為

維向量，

為實(shí)數(shù)）：(4)當(dāng)

時(shí)，

；當(dāng)

時(shí)，(5)柯西-施瓦茨（Schwarz）不等式線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性2、向量的長(zhǎng)度和夾角定義2設(shè)

是

維向量，稱

為向量

的長(zhǎng)度（或范數(shù)），向量的長(zhǎng)度具有的性質(zhì)：(1)非負(fù)性

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號(hào)成立；(2)齊次性

記作.即若

則有(3)三角不等式

線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性當(dāng)

時(shí)，稱

為單位向量.當(dāng)

時(shí)，

為單位向量.由一個(gè)非零向量得到單位向量的過(guò)程稱為把該向量單位化.證(3)由柯西-施瓦茨不等式，有從而即線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性當(dāng)

時(shí)，由柯西-施瓦茨不等式

，有為向量

與

的夾角.定義3設(shè)向量

與

均為

維非零向量，稱線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性二、正交向量組及規(guī)范正交基當(dāng)

時(shí)，稱向量

與

正交.零向量與任何與其同維數(shù)的向量正交.兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組.定理1

若

維向量

是正交向量組，則它們線性無(wú)關(guān).證

設(shè)有

使以

與上式兩端作內(nèi)積，因當(dāng)

時(shí)，

，故得

而

故

從而必有類似可證

于是向量組

線性無(wú)關(guān).正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的向量組.1、正交向量組的定義及性質(zhì)線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性解應(yīng)滿足齊次線性方程組，即例5.1

已知3維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量，使兩兩正交.記線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性由得

，從而有基礎(chǔ)解系.取

即合所求.線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性2、規(guī)范正交基的定義及求法若

兩兩正交，且都是單位向量，則稱

是

的一定義4

設(shè)

維向量

是向量空間

的一個(gè)基，

個(gè)規(guī)范正交基.例如就是

的一個(gè)規(guī)范正交基.線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性規(guī)范正交基的求法（1）正交化，取

,用下面的辦法來(lái)規(guī)范正交化：設(shè)是向量空間

的一個(gè)基，要求

的一個(gè)規(guī)范正交基,

就是要找一組兩兩正交的單位向量,使

與向量組等價(jià).這樣的問(wèn)題稱為把基規(guī)范正交化.若為向量空間

的一個(gè)基，線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性容易證明

兩兩正交，且

與

等價(jià).（2）單位化，即取

,就是向量空間

的一個(gè)規(guī)范正交基.線性無(wú)關(guān)向量組正交向量組施密特正交化線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性例5.2解

設(shè)

，

，，試用施密特正交化過(guò)程

把這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化.??；線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性再把它們單位化，取即合所求.幾何直觀線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性解兩兩正交.應(yīng)滿足方程，即它的基礎(chǔ)解系為例5.3

已知，求非零向量使線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性把基礎(chǔ)解系正交化，亦即取因

是的線性組合，故它們?nèi)耘c正交，于是即合所求.線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性三、正交矩陣與正交變換定義5

如果

階矩陣

滿足,那么稱

為正交矩陣.正交矩陣的列向量組即

是正交矩陣

的列向量都是兩兩正交的單位向量.行定理2線性代數(shù)5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性正交矩陣的性質(zhì)：（3）

若

和

都是正交矩陣，則

也是正交矩陣.定義6

如果

是正交矩陣，則線性變換

稱為正交變換.正交變換的性質(zhì)：正交變換保內(nèi)積不變、保長(zhǎng)度不變、保夾角不變.（1）

若

是正交矩陣，則

可逆，且.（2）

若

是正交矩陣，則

（4）

若

是正交矩陣，則(為整數(shù))也是正交矩陣.第5.2節(jié)

方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義及求法二、二、特征值與特征向量的性質(zhì)線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義及求法定義7

設(shè)

是

階方陣，

若存在數(shù)和

維非零列向量

，使得成立，則稱數(shù)稱為方陣

的特征值，非零向量

稱為

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.分析求法也可寫成這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式即線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量

上式是以

為未知數(shù)的一元

次方程，稱為矩陣

的特征方程，它在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.特征方程的左端

是

的

次多項(xiàng)式，記為

，稱為矩陣

的特征多項(xiàng)式.顯然，方陣

的特征值就是特征方程

的根.的非零解就是方陣

的對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量求方陣

的特征值與特征向量的步驟：（1）寫出方陣

的特征多項(xiàng)式；（3）對(duì)于每個(gè)特征值，求解齊次線性方程組

（2）通過(guò)解特征方程

，求出方陣

的特征值；

得基礎(chǔ)解系，于是基礎(chǔ)解系的任意非零線性組合就是對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量例5.4求矩陣的特征值和特征向量.解當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由的特征多項(xiàng)式為所以

的特征值為.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系

所以是對(duì)應(yīng)于

的全部特征向量.當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由所以

是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由得基礎(chǔ)解系所以

是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量例5.5求矩陣

的特征值和特征向量.解的特征多項(xiàng)式為所以

的特征值為.當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于

的全部特征向量.當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由得基礎(chǔ)解系所以

是對(duì)應(yīng)于

的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量例5.6求矩陣的特征值和特征向量.解的特征多項(xiàng)式為所以

的特征值為.當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于

的全部特征向量.當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由得基礎(chǔ)解系所以

是對(duì)應(yīng)于

的全部特征向量.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量二、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1

一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值（相同的看成一個(gè)）.證假設(shè)

是方陣

的對(duì)應(yīng)于不同特征值

和

的特征向量，則

于是，有即因?yàn)?/p>

，所以

，則

，這與特征向量為非零向量矛盾，故假設(shè)不成立.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量性質(zhì)2

若

是方陣

的特征值，

是對(duì)應(yīng)于

的特征向量，則（1）

是

的特征值，

是對(duì)應(yīng)于

的特征向量（

是常數(shù)）；（2）

是

的特征值，

是對(duì)應(yīng)于

的特征向量（

是正常數(shù)）；（3）

當(dāng)

時(shí)，

是

的特征值，

是

的特征值，

為對(duì)應(yīng)于的特征向量.（4）

是

的特征值，其中

是方陣

的多項(xiàng)式.證由

，可得故

是

的特征值.由歸納法即得（

為正整數(shù)）.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量則

可逆，

于是由

，得即所以

是

的特征值.由于

故

是

的特征值.（4）設(shè)

，由于

因此有故

是

的特征值.由

知

故線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量性質(zhì)3

與

有相同的特征值.證因?yàn)樗约?/p>

與

有相同的特征多項(xiàng)式，從而特征值相同.性質(zhì)4

設(shè)

階方陣

的

個(gè)特征值為

則

A的跡tra(A)

方陣A可逆它的特征值全不為零.線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量

例5.7

設(shè)3階方陣

的特征值為

，求解知

可逆.記作則的特征值為(1)記

因?yàn)?/p>

的特征值為

，所以

的特征值為故(2)由故得所以故線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量

性質(zhì)5

設(shè)

是方陣

的

個(gè)特征值，互不相等，則依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果線性無(wú)關(guān).（對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的）證

設(shè)有常數(shù)

，使則即以此類推，有線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量把上述各式合寫成矩陣形式，得上式等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置行列式，因互不相等，該行列式不為0，從而該矩陣可逆，于是有即有由于

所以

故

線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量用A左乘上式，得代入（1）式和

分別是對(duì)應(yīng)于

和

的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則補(bǔ)充定理設(shè)和是方陣的兩個(gè)不同特征值，線性無(wú)關(guān).事實(shí)上，設(shè)（1）（2）線性代數(shù)5.2方陣的特征值與特征向量而證于是即因?yàn)楣?/p>

線性無(wú)關(guān)，所以,與題設(shè)矛盾，

例5.8

設(shè)和是方陣

的兩個(gè)不同特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和，證明不是的特征向量.假設(shè)

是的對(duì)應(yīng)特征值

的特征向量，則故

不是

的特征向量.第5.3節(jié)

相

似

矩

陣一、相似矩陣的定義及性質(zhì)二、二、方陣對(duì)角化的條件和方法線性代數(shù)5.3相似矩陣設(shè)

都是

階矩陣，若有

階可逆矩陣

，

使一、相似矩陣的定義及性質(zhì)定義8則稱

是

的相似矩陣，或說(shuō)矩陣

與

相似．稱為對(duì)

進(jìn)行相似變換，可逆矩陣

稱為把

變成

的相似變換矩陣.

對(duì)

進(jìn)行運(yùn)算矩陣的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，即有（1）自反性

與

相似；

（2）對(duì)稱性

若

與

相似

，則

與

相似；

（3）傳遞性

若

與

相似

，

與

相似，則

與

相似.線性代數(shù)5.3相似矩陣相似矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1

若

與

相似，則

且證若

與

相似，則存在可逆矩陣

，使

則

與

等價(jià)，因而且性質(zhì)2

若

可逆，且

與

相似，則

可逆，且

與

也相似.

證若

與

相似，則存在可逆矩陣

，使

則

又可逆，所以

也可逆.由

得

即

所以

與

相似.線性代數(shù)5.3相似矩陣定理3若

階矩陣

與

相似，則

與

的特征多項(xiàng)式相同，

從而

與

的特征值也相同．證因?yàn)?/p>

與

相似，所以存在可逆矩陣

，使故性質(zhì)3

若

與

相似，則

與

也相似.證因?yàn)?/p>

與

相似，即存在可逆矩陣

，使

所以而于是

故

與

相似.所以

與

有相同的特征多項(xiàng)式，從而也有相同的特征值.線性代數(shù)5.3相似矩陣推論

若

階方陣

與對(duì)角陣相似，則

即是

的

個(gè)特征值.注意

對(duì)角陣的特征值就是其主對(duì)角元.而相似矩陣具有相同的

特征值.線性代數(shù)5.3相似矩陣?yán)?.9

設(shè)矩陣

與

相似，其中求

與

的值.解

的特征多項(xiàng)式為

顯然，

的特征值為由于

與

相似，所以

也是

的特征值，

將

代入

的特征方程得

則

的特征多項(xiàng)式為

則

的特征值為

所以線性代數(shù)5.3相似矩陣若可逆矩陣

使為對(duì)角矩陣，則稱

可對(duì)角化，此時(shí)有可以很方便地計(jì)算可見方陣A與對(duì)角陣相似的好處

：對(duì)于對(duì)角矩陣

，有

問(wèn)題：

方陣A在什么條件下能與一個(gè)對(duì)角陣相似？相似變換矩陣P具有什么樣的結(jié)構(gòu)？線性代數(shù)5.3相似矩陣二、方陣對(duì)角化的條件和方法分析發(fā)現(xiàn)方陣

可對(duì)角化，即存在可逆矩陣

，使即即方陣

有

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量線性代數(shù)5.3相似矩陣

定理4

階方陣

與對(duì)角陣相似（即

可對(duì)角化）的充分必要條件是

有

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論

如果

階矩陣

的

個(gè)特征值互不相等，則

與對(duì)角陣相似.注意

對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)

定理5

若對(duì)于

階方陣

的任一

重特征值

，有則方陣

可對(duì)角化.證對(duì)

的任一

重特征值，由

知齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為

，則對(duì)應(yīng)該

重特征值必有

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而

階方陣

必有

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故

可對(duì)角化.線性代數(shù)5.3相似矩陣將方陣

對(duì)角化的方法：（1）寫出

階方陣

的特征多項(xiàng)式，求出方陣

的互不相等的特征值.（2）對(duì)每個(gè)特征值,解方程，得基礎(chǔ)解系，即得對(duì)應(yīng)于該特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量.

（3）將求出的

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成可逆矩陣，則對(duì)角陣

的對(duì)角元為

的特征值.注意對(duì)角元的排序與

的列向量的排序要一致.線性代數(shù)5.3相似矩陣

解

例5.10

設(shè)方陣問(wèn)方陣

是否可對(duì)角化？若能，則求可逆矩陣

和對(duì)角矩陣

，使所以

的特征值為當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由線性代數(shù)5.3相似矩陣得對(duì)應(yīng)的特征向量為當(dāng)

時(shí)，解齊次線性方程組.由線性代數(shù)5.3相似矩陣得對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為可見3階方陣

有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

所以

可以對(duì)角化.令

，則

可逆，且有

線性代數(shù)5.3相似矩陣問(wèn)

為何值時(shí)，矩陣

能對(duì)角化？解

例5.11

設(shè)

對(duì)于特征值

可求得線性無(wú)關(guān)的特征向量恰有1個(gè)，故矩陣

可對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)于二重特征值

，要有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即方程

的基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量，故所以

的特征值為

線性代數(shù)5.3相似矩陣由要

，得

，即

因此，當(dāng)

時(shí)，矩陣

可對(duì)角化.線性代數(shù)5.3相似矩陣

解

例5.12

設(shè)方陣求

所以

的特征值為方陣

的特征多項(xiàng)式為

它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為線性代數(shù)5.3相似矩陣令則所以線性代數(shù)5.3相似矩陣可求得所以線性代數(shù)5.3相似矩陣第5.4節(jié)

實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)二、二、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法線性代數(shù)5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一、實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).

證

設(shè)復(fù)數(shù)

為實(shí)對(duì)稱矩陣

的特征值，復(fù)向量

為對(duì)應(yīng)的特征向量，即用

表示

的共軛復(fù)數(shù)，而

為實(shí)矩陣，有

故于是有及兩式相減，得但因

，所以

故

即

是實(shí)數(shù).線性代數(shù)5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

性質(zhì)2設(shè)

是實(shí)對(duì)稱矩陣

的兩個(gè)特征值，

是對(duì)應(yīng)的特征向量.若

，則

與

正交.(實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特