《矩形（第2課時(shí)）》

一位很有名望的木工師傅，招收了兩名徒弟，一天，師傅有事外出，兩徒弟就自已在家練習(xí)用兩塊四邊形的廢料各做了一扇矩形式的門，做完之后，兩人都說對方的門不是矩形，而自已的是矩形.

你能想一個(gè)辦法確定誰做的門是矩形嗎？導(dǎo)入新知2.能應(yīng)用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計(jì)算題.1.理解并掌握矩形的判定方法

.素養(yǎng)目標(biāo)3.提高學(xué)生合情推理和演繹推理的能力.小明利用周末的時(shí)間，為自己做了一個(gè)相框．問題1

請你利用直尺和三角板幫他檢驗(yàn)一下，相框是矩形嗎？除了矩形的定義外，有沒有其他判定矩形的方法呢？知識點(diǎn)1矩形的判定定理1探究新知類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.矩形是特殊的平行四邊形.證明逆命題（修正）問題2

你還記得學(xué)習(xí)平行四邊形的判定時(shí)，我們是如何猜想并進(jìn)行證明的嗎？性質(zhì)猜想判定定理探究新知同樣，小明通過研究矩形性質(zhì)的逆命題，得到判定矩形的方法呢？

小明的猜想:對角線相等的四邊形是矩形．

問題3

上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？【討論】你能證明這一猜想嗎？探究新知我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.不對，等腰梯形的對角線也相等.不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD中，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.ABCD證明:

∴

AB=DC.∴△ABC≌△DCB（SSS）.∵

AB//CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.

∴

∠ABC=∠DCB=90°.

又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是矩形.∴

∠ABC=∠DCB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵

AC=DB，BC=CB,探究新知對角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定定理1：幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）探究新知例

如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC.OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD.∴四邊形ABCD是矩形.∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用對角線判定矩形ABCDO12如圖ABCD中,∠1=∠2.此時(shí)四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴

AO=CO,DO=BO.又∵∠1=∠2，∴AO=BO.∴AC=BD.∴四邊形ABCD是矩形.鞏固練習(xí)問題1

前邊我們學(xué)習(xí)了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.成立.問題2

四邊形至少有幾個(gè)角是直角就是矩形呢？ABDC(有一個(gè)角是直角)ABDC(有二個(gè)角是直角)ABDC(有三個(gè)角是直角)探究新知知識點(diǎn)2

矩形的判定定理2做一做李芳同學(xué)由“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”這樣四步，畫出了一個(gè)四邊形，她說這就是一個(gè)矩形，她的判斷對嗎？為什么？猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.你能證明上述結(jié)論嗎？探究新知已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵

∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD探究新知有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.ABCD

∵∠A=∠B=∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形.幾何語言：探究新知矩形的判定定理2：探究新知

歸納總結(jié)矩形的幾種判定方法:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.方法1：方法2：方法3：例

如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,若MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.ABCMNO)1)2(5(4(3(6(1)求證:OE=OF.EF證明：∵CF平分∠ACD，

∴∠1=∠2.

又∵M(jìn)N∥BC，

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

同理可證：OC=OE.

∴OE=OF.D(2)當(dāng)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECF為矩形?素養(yǎng)考點(diǎn)1利用角判斷四邊形是矩形探究新知∴OC=OF.(1)答：當(dāng)點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.理由：由（1）知OE=OF,又AO=CO,∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵EC,FC分別平分∠ACB

,∠ACD,

∴∠2+∠4=90°,即∠ECF=90°.∴四邊形

AECF是矩形.探究新知(2)ABCMNO)1)2(5(4(3(6EFD如圖，□

ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形

EFGH為矩形．證明：在□

ABCD中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB,∠ABC的平分線,ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°.∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.鞏固練習(xí)1.已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B

B．∠A=∠C

C．AC=BD

D．

AB⊥BC連接中考B2.已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F(xiàn)分別為垂足．（1）求證：△ABE≌△CDF.（2）求證：四邊形AECF是矩形．鞏固練習(xí)（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）.（2）證明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.AB＝CD，∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，∴四邊形AECF是矩形．∴∠EAF＝∠AEB＝90°.∵AE⊥BC，CF⊥AD，1.如圖，在?ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，則下面條件能判定?ABCD是矩形的是（）A．AC=BD

B．AC=BCC．AD=BC

D．AB=AD

A基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測ABCDO2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C兩點(diǎn),AB,CB,CD,AD分別是∠EAC,

∠MCA,

∠ACN,∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（）A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定DEFMNQPABCC課堂檢測3.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=BO=CO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.課堂檢測4.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∴四邊形ABCD是矩形．ABCD課堂檢測如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．課堂檢測能力提升題如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動．點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．(1)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形PQCD是平行四邊形？解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6.即經(jīng)過6s，四邊形PQCD是平行四邊形.拓廣探索題課堂檢測(2)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形PQBA是矩形？解：設(shè)經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形，即AP＝BQ，∴y＝26－3y，解得y＝6.5，即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形.課堂檢測有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明矩形的判定定義判定定理課堂小結(jié)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形1.如圖,在△ABC中,AC=BC,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),延長DE到F使EF=DE,則四邊形ADCF一定是 (

)

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形A基礎(chǔ)通關(guān)76543212.如圖,關(guān)于四邊形ABCD的4個(gè)結(jié)論中,正確的是 (

)①它的兩組對邊分別相等;②它是矩形;③它是平行四邊形;④它有一個(gè)角是直角.A.由①推出③,由③和④推出②B.由④推出②,由②推出①,由①推出③C.由②推出④,由④推出①D.由③推出④,由①和④推出②A7654321對角線相等的平行四邊形是矩形3.[邢臺第三中摸底]如圖,在四邊形ABCD中,給出部分?jǐn)?shù)據(jù),若添加一個(gè)數(shù)據(jù)后,四邊形ABCD是矩形,則添加的數(shù)據(jù)是 (

)A.CD=4 B.CD=2 C.OD=2 D.OD=4D76543214.

【易錯(cuò)題】你用什么方法檢查教室剛安裝的門框是不是矩形?如果僅有一根較長的繩子,你怎么檢查?請說明你的檢查方法以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理.解:檢查的方法是①先用繩子測量門框的對邊是否相等,若相等,則可判定其為平行四邊形,所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;②再用繩子測量門框的對角線是否相等,若相等,則可肯定門框是矩形,所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是對角線相等的平行四邊形是矩形.76543215.[教材第60頁習(xí)題18.2第1題改編]如圖,將?ABCD的邊AB延長至點(diǎn)E,使BE=AB,連接DE,EC,BD,DE交BC于點(diǎn)O.(1)求證:△ABD≌△BEC;證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠A=∠CBE.又∵AB=BE,∴△ABD≌△BEC(SAS).7654321(2)若∠BOD=2∠A,求證:四邊形BECD是矩形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥CD.又∵AB=BE,∴BE=DC.∴四邊形BECD是平行四邊形.∴OD=OE,OC=OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠BCD.即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC.∴OC=OD.∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED.∴四邊形BECD是矩形.7654321有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形6.[保定第十七中期末]如圖所示,依據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù),下列四邊形不一定為矩形的是 (

)A. B.C. D.A76543217.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,P為AB邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,PE⊥AC于點(diǎn)E,則DE長的最小值為

.

76543218.

【原創(chuàng)題】如圖,在?ABCD中,AB=3,AC=4,對角線AC⊥AB,E,F分別是BC,AD上的兩個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)E由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動,點(diǎn)F由點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動,兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度相同.AE=

時(shí),四邊形AECF是矩形.

能力突破2.498109.[四川樂山中考]如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AB邊上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過點(diǎn)D作DE∥BC,DF∥AC,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,連接EF.(1)求證:四邊形ECFD是矩形;證明:∵DE∥BC,DF∥AC,∴四邊形ECFD是平行四邊形.∵∠C=90°,∴四邊形ECFD是矩形.9810(2)若CF=2,CE=4,求點(diǎn)C到EF的距離