人教A版2019必修第二冊(cè)第九章統(tǒng)計(jì)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

1.掌握頻率分布直方圖中的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法.2.能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì),如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).3.理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.教學(xué)目標(biāo)PART.01情境引入情境導(dǎo)入某高校碩士畢業(yè)生張敏應(yīng)聘一家公司,公司招聘人員告訴張敏:“我們公司的50名員工中,最高年收入達(dá)到了100萬(wàn)元,他們的平均年收入是11.5萬(wàn)元.”假設(shè)張敏希望獲得年薪10萬(wàn)元.問(wèn)題:你能根據(jù)以上信息判斷張敏是否可以成為此公司的一名高收入者嗎?不能,因?yàn)槠骄杖牒妥罡呤杖胂嗖钐?說(shuō)明高收入的職工只占極少數(shù),大部分員工的收入是在11.5萬(wàn)元以下.問(wèn)題提出在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．

如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì).PART.02平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)概念講解例1.利用下表中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6概念講解

將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得第50個(gè)數(shù)和第51個(gè)數(shù)均為6.8，由中位數(shù)的定義，可得100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8ｔ.因?yàn)閿?shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，所以我們可以據(jù)此估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為8.79ｔ，其中位數(shù)約為6.8ｔ.概念講解思考1：假設(shè)某個(gè)居民小區(qū)有2000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水總量嗎？根據(jù)上述思考可得：全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，則2000戶居民的月用水總量為2000×8.79=17580t思考2：小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù).但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)？通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來(lái)的8.79ｔ變?yōu)?.483ｔ，中位數(shù)沒(méi)有變化，還是6.8ｔ.概念講解思考3：新數(shù)據(jù)中的平均數(shù)、中位數(shù)與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)的變化更大。原因：（1）樣本平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；（2）中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變.（3）與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感.概念講解探究:平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？概念講解一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來(lái)說(shuō)，1）如果直方圖的形狀是對(duì)稱的（圖1），那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；2）如果直方圖在右邊“拖尾”（圖2），那么平均數(shù)大于中位數(shù)；3）如果直方圖在左邊“拖尾”（圖3），那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說(shuō)，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊.概念講解例2.某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.概念講解解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來(lái)表示表中的數(shù)據(jù).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理.歸納小結(jié)頻率分布直方圖的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)PART.03概念講解思考1：根據(jù)頻率分布直方圖如何計(jì)算樣本平均數(shù)？因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替。那么由上圖可得樣本平均數(shù)為

概念講解思考2：根據(jù)頻率分布直方圖如何計(jì)算樣本中位數(shù)？根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，

即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.概念講解思考3：根據(jù)頻率分布直方圖如何計(jì)算樣本眾數(shù)？根據(jù)眾數(shù)定義得，在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)就是眾數(shù).

因此在頻率分布直方圖中，我們常常把最高直方圖底邊的中點(diǎn)作為眾數(shù)的估計(jì)值.在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間［4.2，7.2）內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值歸納小結(jié)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的含義、特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)在頻率分布直方圖中的含義特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的改變都會(huì)引起它的改變把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息受極端數(shù)據(jù)的影響較大.代表了樣本數(shù)據(jù)更多的信息.只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響.概念辨析1、下列()準(zhǔn)確的反映出總體的情況：A、中位數(shù)B、平均數(shù)C、眾數(shù)D、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不可以2、若樣本數(shù)據(jù)12,15,20,x,23,28,30,50的中位數(shù)為22，則x=()A、21B、15C、22D、353、若按從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)-8,-1,4,x,10,13的中位數(shù)是7，則其眾數(shù)是()A、7B、6C、4D、10DAD概念講解例3.某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，