1.1空間向量及其運(yùn)算

備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納;

2.考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：空間向量的概念；空間向量及其加減運(yùn)算；空間共線向量；空間

共面向量；數(shù)乘向量；向量的數(shù)量積

3.課堂知識(shí)小結(jié)

4.考點(diǎn)鞏固提升

知識(shí)歸納

—.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量

注：（1）向量一般用有向線段表示?同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量.

（2）向量具有平移不變性

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

（或平行向量）

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

二.空間向量的運(yùn)算.

定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）.

OB=OA+AB=a+b-，BA=OA-OB=a-b-，OP=^a(AeR).

運(yùn)算律：⑴加法交換律：.+旬+M

⑵加法結(jié)合律：（方+后）+>=方+④+云）

⑶數(shù)乘分配律：癡+—+焉

運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

三.共線向量.

（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合,那么這些向量也叫做共線向量或平行向

量，2平行于B，記作allb.

（2）共線向量定理:空間任意兩個(gè)向量2、b（3彳。），力〃石存在實(shí)數(shù)人使.

（3）三點(diǎn)共線:A、B、C三點(diǎn)共線<=>行=2/

<=>OC=xOA+y08（其中x+y=1）

（4）與％共線的單位向量為士&

H

四.共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量.

說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的.

（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量扇B不共線，力與向量扇B共面的條件是存在實(shí)數(shù)尤,y使

0=x@+yB.

（3）四點(diǎn)共面:若A、B、C、P四點(diǎn)共面<=>彳？=》費(fèi)+'才3

<=>OP=%OA++zOC（其中％+y+z=1）

五、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

（1）數(shù)量積及相關(guān)概念

①兩向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量*b,在空間任取一點(diǎn)。，作況=〃，Oh=b,則NA03叫做向量a

匹

與方的夾角，記作〈%力，其范圍是［0,兀］,若〈a,b）=5，則稱。與口互相垂直,記作a,無(wú)

②非零向量用）的數(shù)量積Q山=|。物cos（a,b）.

（2）空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

①結(jié)合律：（%）6=%（〃山）；

②交換律：a-b=b-a；

③分配律：a\b+c）=a-b+a-c.

名塞睡_________________________

考點(diǎn)1:空間向量的有關(guān)概念

例1.下列命題中正確的是（）

A.若商/區(qū)，bl1c，則4與乙所在直線平行

B.向量方、6、^共面即它們所在直線共面

C.空間任意兩個(gè)向量共面

D.若//區(qū)，則存在唯一的實(shí)數(shù)九，使

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的相關(guān)觀念逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A,若M〃石，b//c，當(dāng)石=0時(shí)日與^所在直線可以不平行，因此不正確；

對(duì)于B,向量a、5、忑共面，則它們所在直線可能共面，也可能不共面，因此不正確;

對(duì)于C,根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個(gè)向量共面，正確；

對(duì)于D,若M〃石且則存在唯一的實(shí)數(shù)3使M=因此不正確.

故選：C.

?【方法技巧】

1.嚴(yán)格遵照空間向量的相關(guān)概念

2.利用向量的定義，有大小，有方向兩個(gè)方面進(jìn)行判斷，即可確定每個(gè)選項(xiàng)的正確性.

【變式訓(xùn)練】

【變式1].已知萬(wàn)為三維空間中的非零向量，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.與。共面的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)

B.與萬(wàn)垂直的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)

C.與。平行的單位向量只有一個(gè)

D.與2同向的單位向量只有一個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的定義，有大小，有方向兩個(gè)方面進(jìn)行判斷，即可確定每個(gè)選項(xiàng)的正確性.

【詳解】

解：與M共面的單位向量，方向可任意，所以有無(wú)數(shù)個(gè)，故A正確；

與。垂直的單位向量，方向可任意，所以有無(wú)數(shù)個(gè)，故B正確；

與商平行的單位向量，方向有兩個(gè)方向，故不唯一，故C錯(cuò)誤；

與土同向的單位向量，方向唯一，故只有一個(gè)，故D正確.

故選：C.

【變式2].下列說(shuō)法正確的是（）

A.零向量沒(méi)有方向

B.空間向量不可以平行移動(dòng)

C.如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等

D.同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定

C、D.

【詳解】

對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，

所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.

故選：D.

【變式3】.在長(zhǎng)方體ABC。-A耳￡2中，若|陰=3,|蝴=4,|然|=5,則與區(qū)有相等模的向量共

有個(gè).

【答案】7

【解析】

【分析】

長(zhǎng)方體體對(duì)角線相等，故可得到與不有相等模的向量

【詳解】

如圖，與尋有相等模的向量有錄,用，西，麗，函，泵蒲"，共7個(gè)

故答案為：7

考點(diǎn)2：空間向量及其加減運(yùn)算

例2.若正方體ABCO-43/GQ中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為AQ的是（）

A.A^+A^+B^B.AB+BlCl+DDl

C.AB+BB^+B^D.AB^+CC^

【答案】B

【解析】

【分析】

可先畫出正方體，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則計(jì)算各式，再進(jìn)行判斷.

【詳解】

如圖，

招+A可+麗=而，所以A錯(cuò)誤;

通+而+西=荏+瓦瓦+甌=離，所以B正確;

陽(yáng)+璃+麗=福,所以C錯(cuò)誤;

福+工'=鬲+函W宿，所以D錯(cuò)誤；

故選：B.

?【方法技巧】

1.理解空間向量加減的含義

2.可先畫出正方體，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則計(jì)算各式，再進(jìn)行判斷.

【變式訓(xùn)練】

【變式1].在正方體ABCO-A/B/C/P中，BC-DC+AB=()

A.~BDB.~DBC.ADD.DA

【答案】C

【解析】

【分析】

利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.

【詳解】

DC=AB,

-'■BC-DC+AB=BC=AD，

故選：C.

__.一uuu

【變式2].在長(zhǎng)方體ABC。-A瓦G2中，設(shè)通=￡,AD=b，A4,=C,若用向量入%、2表示向量A￡,

則尾=.

【答案】a+b+c

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的加法法則求解即可

【詳解】

LILIULILULUL1UULIUUUULILlUlUUU111

由題意，ACl=AB+BC+CCl=AB+AD+AAl=a+b+c

故答案為：a+b+c

【變式3].如圖在平行六面體ABCD-AB'C'D'中，AB=3,AD=1,AA=2,

ABAD=90°,ZBAA=ZDAA=60°,則AC的長(zhǎng)是

【答案】V22

【解析】

【分析】

利用空間向量加法及向量模的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD-AB'C'D中，AB=\AD=1,AA=2,ABAD=90°,ZBAA-ZDAA=60°,

7222

=|AB+BC+CC|=AB+BC+CC+2ABBC+2BCCC+1ABCC

=32+12+22+2x3x1xcos90°+2x1x2xcos60°+2x3x2xcos60°=22,

所以I而卜夜，

所以AC'的長(zhǎng)是反，

故答案為：A/22.

考點(diǎn)3：空間共線向量

例3.已知A,B,C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)0,存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)九m,n,使力麗+%赤+〃反=6,

那么X+m+n的值為.

【答案】0

【詳解】因4B,C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)上使荏=%/，顯然左W0且發(fā)片1,否則點(diǎn)A,B重合或

點(diǎn)、B,C重合，

貝1|而-況=左（反-兩，整理得：伏-1）函+礪一左所7=6,令%=燈，m=\,n=k,顯然實(shí)數(shù)九m,"不

為0,

因止匕，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)九“％n,^.X~OA+mOB+?OC=0,止匕時(shí)/+"]+"=左1+1+（左）=0,

所以A+m+n的值為0.

故答案為：0

?【方法技巧】

1.根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得，即可得到結(jié)論.

2.利用共線向量定理列出向量等式，再借助向量減法用一組向量不共線向量表示即可得解.

【變式訓(xùn)練】

【變式1].己知向量Z，b."不共面，AB=4a+5b+3c>AC=2a+3b+c>AD=6a+lb+5c.求證：

B,C,。三點(diǎn)共線.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

求出就，包后可得它們共線，從而可證2,C,。三點(diǎn)共線.

【詳解】

BC=AC—AB=-2a—2b—2c>而CD=AD—AC=4a+4b+4c,

所以前=-2而，故2，C,。三點(diǎn)共線.

【變式2].如果A,B,C,。是空間中的四點(diǎn)，且荏=2前，那么這四個(gè)點(diǎn)是否一定共線？

【答案】不一定

【解析】

【分析】

結(jié)合梯形的知識(shí)對(duì)4民四個(gè)點(diǎn)是否一定共線進(jìn)行判斷.

【詳解】

如圖所示的梯形中，滿足荏=2無(wú)，但A8,C,O四點(diǎn)不共線.

所以A3,C,。四個(gè)點(diǎn)不一定共線.

【變式3】.如圖，在平行六面體中，M,N分別是G2，AB的中點(diǎn)，E在懼上且

AE=2EA，尸在CG上且CF=；FG，判斷砥與而是否共線？

【答案】共線

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到礪=-而，即可得到結(jié)論.

【詳解】

由空間向量的線性運(yùn)算法則，可得磁=兩+取;+率=g麗+麗+;中

=^NB+CB+^C^C=CN+FC=FN=-NF,^ME=-NF,

又由向量的共線定理，可得該與標(biāo)共線.

考點(diǎn)4：空間共面向量

例4.已知人￡C、Q、E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A、B、C不共線，貝VOE〃平面ABC，是“存在實(shí)數(shù)尤、y,

使得詼=的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若。E〃平面48C,則瓦，而，而共面，故存在實(shí)數(shù)x、》使得=x而+y正.

若存在實(shí)數(shù)x、》^DE=xAB+yAC,則詼，AB，IT共面

則DE〃平面ABC或DEu平面ABC.

所以“DK//平面ABC，是“存在實(shí)數(shù)廠y,使得DE=xAB+yXT的充分而不必要條件.

故選：A.

?【方法技巧】

1.由向量共面定理可判斷

2.用共面向量定理證明共面，即可得四點(diǎn)共面.

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（多選）.給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（）

A.若存在實(shí)數(shù)x,y,使〃=+則P與Z，B共面；

B.若萬(wàn)與Z，B共面，則存在實(shí)數(shù)x,y,使萬(wàn)=法+防；

C.若存在實(shí)數(shù)X,y,使血=*加+丫礪則點(diǎn)P,M,A,8共面；

D.若點(diǎn)P,M,A,B共面，則存在實(shí)數(shù)x,V,itMP=xMA+yMB.

【答案】AC

【解析】

【分析】

由向量共面定理可判斷AC；取z，B為零向量可判斷B；取/,A,B三點(diǎn)共線，點(diǎn)尸與M,A,8不共

線可判斷D.

【詳解】

由向量共面定理可知A正確；

當(dāng)Z，B為零向量可知B錯(cuò)誤；

由向量共面定理可知將，涼，礪共面，又因?yàn)楣彩键c(diǎn)，所以點(diǎn)P,M,A,B共面，故C正確；

當(dāng)M,A,B三點(diǎn)共線，點(diǎn)尸與A,B不共線時(shí)可知D錯(cuò)誤.

故選：AC

【變式2].如圖所不，在長(zhǎng)方體ABC。-aACQ]中，M為。。的中點(diǎn)，NeAC,JIAN:NC=2,求證:

&B,N,M四點(diǎn)共面.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

設(shè)羽=%荏=5,而=人首先用以aK表示4M福，而，然后可得用布碩表示出麗，從而證明三

向量麗,電而■共面，得四點(diǎn)共面.

【詳解】

S；=a,AB=b,AD=c,則=

?.?M為。2的中點(diǎn)，:.~\M=c-a,

—?2—?2/-\

又?:AN:NC=2,:.AN=—AC=~\b+cj,

...麗=前_羽==—萬(wàn)）=g港+,阪，

硒,卒可而為共面向量，

又三向量有相同的起點(diǎn)A，二4,B,N,M四點(diǎn)共面.

考點(diǎn)5：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

例5.如圖，在斜棱柱ABCO-A4G2中，AC與8。的交點(diǎn)為點(diǎn)M,AB=a，AD=b，離=2,貝4底=

B.——a——b-c

2222

1-1一一c1一一

C.——a+—b+cD.——a——b+c

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用Z,方工表示出國(guó)即可得.

【詳解】

QW=AM-Aq=1（AB+AD）^AB+BC+CC^^-^a-^b-c,

MCl=-QM=^a+^b+c.

故選:A.

?【方法技巧】

1.數(shù)與向量相乘還是向量

2.根據(jù)向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【變式訓(xùn)練】

【變式1】.化簡(jiǎn)算式：2（35-&-4a）-3（5-2&+3^=.

【答案】3fl+4i-17c

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

由題意得2（3。-3—4c）-3（a-2方+3c）=6a—2b-Sc-3a+6b—9c=3a+4b-11c.

故答案為：3a+45—17c.

【變式2】.如圖所示，已知空間四邊形ABC。各邊長(zhǎng)為2,連接AC、BD,M、G分別是BC、CQ的中點(diǎn),

若AC=1,貝UAB+—^C+—BD=

【答案】長(zhǎng)

2

【解析】

【分析】

先求出：W+］阮+：麗=記，解三角形求出AG=^，即可得到答案.

222

【詳解】

1—..1—..

因?yàn)镸、G分別是8C、CD的中點(diǎn)，所以:3。=8四,二3。=河.

22

所以通+工礦+工麗=麗+麗+礪=而.

22

在△ZMC中，AD=CD=2,AC=CG=DG=1.

AD2+CD2-AC222+22-127

由余弦定理得：cosD=

2ADCD2228

在△DAG中，AG=ylAD2+DG2-2AGDGcosD

22+12-2-2-1-1

_^6

所以AB+-BC+-BD=|泡

22

故答案為??博

考點(diǎn)6：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

例6.已知長(zhǎng)方體ABCO-ABCI，，下列向量的數(shù)量積一定不為。的是（）

C.ABAD^D.西屈

【答案】D

【詳解】

選項(xiàng)A,當(dāng)四邊形4OD/A/為正方形時(shí),可得ASLAAD,而A1D//B1C,可得ADiLBiC,此時(shí)有珂?鴕=0,

故正確；

選項(xiàng)B,當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)，可得AC_LBD,AC±BBt,BDcBByB,

B。,BBlU平面BBJD/D,可得AC_L平面23m/￡）,故有AC_L3。/,此時(shí)有麗■?衣=0,故正確；

選項(xiàng)C,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得A3,平面A。。/"AD}u平面4。0.,可得ABLAQ,此時(shí)必有荏?函=0,

故正確；

選項(xiàng)D,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得8C,平面CDS。，CQu平面CDD/G,可得BCLCQ,△BCD/為直角三

角形，/BCQ為直角，故8C與80/不可能垂直，即西?反^0,故錯(cuò)誤.

故選：D.

?【方法技巧】

1.根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得；

2.根據(jù)題設(shè)條件和向量的數(shù)量積、向量模的計(jì)算公式，即可求解.

【變式訓(xùn)練】

【變式1].四面體ABCQ中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,ABCD=-2,則NBAC=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

解：因?yàn)閲?guó)二而-/，/54D=90。，所以Ag.A￡）=O

所以福.①=麗?（而-形）=麗.而一通.薪=一2,

所以荏?衣=2，又AB=AC=2,所以福?衣=|麗，同cosZBAC=2,

所以cos/84c=；,因?yàn)?BACe（0,I）,所以ZBAC=60。；

故選：C

【變式2】.如圖，已知一個(gè)60。的二面角的棱上有兩點(diǎn)A和8,且AC和8。分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直

于43的線段.又知AB=4,AC=6,BD=8,則求CO的長(zhǎng)為—.

【答案】2拒

【詳解】

由向量的線性運(yùn)算法則，可得歷=再+荏+而，

因?yàn)锳B=4,AC=6,8。=8且二面角的平面角為60。，

可得|罪|=4,|百卜6,|麗|=8且（巨，麗）=120。，

又因?yàn)锳C和即分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于A3的線段，所以百.通=通.麗=0，

所以|西=>1CA+AB2+BD+2CAAB+2CABD+2AB-BD

=762+42+82+2x6x8cosl20°=2a-

故答案為：2屈.

【變式3】.如圖，在三棱錐尸-ABC中，ARAB,AC兩兩垂直，AP=2,AB=AC=1,M為PC的中點(diǎn),

則衣.麗的值為.

B

【答案】1##0.5

【詳解】由題意得詢=麗+店=羽+；（?+3C）=麗+g而+g工

故衣.麗=尼.（麗+，麗+!砌=而.麗+/，/+衣，衣」|宿2=_L.

[22J2222

故答案為：:

號(hào)如虱屋

1.

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

（或平行向量）

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的加減和平面向量的加減比較

3.共線、共面向量的理解.

4.向量的數(shù)量積

航鞏固提升

一、單選題

1.四邊形ABCD為矩形，SA，平面ABC。，連接AC,BD,SB,SC,SD,下列各組運(yùn)算中，不一定為零

的是（）

A.SCBDB.DA-SBC.SDABD.SA.CD

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，若空間非零向量的數(shù)量積為0,則這兩個(gè)向量必然互相垂直.據(jù)此依次分析選項(xiàng)，判定所給的

向量是否垂直，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A：若SC與8。垂直，又1sA與8。垂直，則平面&4C與5。垂直，則AC與5。垂直，與AC與瓦）不

一定垂直矛盾，所以SC與8。不一定垂直，即向量死、而不一定垂直，則向量豆、麗的數(shù)量積不一

定為0;

對(duì)于B：根據(jù)題意，有SA，平面ABCD,則,又由A。，AB,則有平面SAB,進(jìn)而有ADLS3,

即向量萬(wàn)1、居一定垂直，則向量而、3的數(shù)量積一定為0;

對(duì)于C：根據(jù)題意，有SA，平面A5CD,則5A_L,又由AD，,則有A5，平面SW,進(jìn)而有，SZ）,

即向量而、而一定垂直，則向量而、麗的數(shù)量積一定為0;

對(duì)于D：根據(jù)題意，有SA_L平面ABCD,則SA_LCD,即向量豆、前一定垂直，則向量豆、麗的數(shù)

量積一定為0.

故選：A.

_1_.1__.1-.

2.對(duì)于空間任意一點(diǎn)0,^OP=-OA+-OB+-OC,則A,B,C,尸四點(diǎn)（）

236

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.與。點(diǎn)位置有關(guān)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)空間共面向量的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由詼=1國(guó)+工歷+工慶1n129=6次+4礪+2玩

236

__,__,__,__,__k2__k1__,

^6（OP-OA）=4（OB-OP）+2（OC-OP）^AP=-PB+-PC,

所以A,B,C,P四點(diǎn)共面，

故選：B

3.下列命題為真命題的是（）

A.若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量

B.若口卜M，則亂石的長(zhǎng)度相等且方向相同

C.若向量而、無(wú)滿足|麗|>|麗且通與無(wú)同向，則通>函

D.若兩個(gè)非零向量而與而滿足通+歷=6,則通〃麗.

【答案】D

【解析】

【分析】

由空間向量的模長(zhǎng)、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】

空間中任意兩個(gè)向量必然共面，A錯(cuò)誤；

若口=收，則入辦的長(zhǎng)度相等但方向不確定，B錯(cuò)誤；

向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；

由濕+前=?？傻孟蛄慷c①長(zhǎng)度相等，方向相反，故荏〃①，D正確.

故選：D.

4.正六棱柱4BCD所-A4G2弓片中，設(shè)方=￡,BC=b，BBx=c,那么鬲等于（）

A.a+c+2bB.c—a+2bC.2a+c-bD.la+b—c

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征并利用向量加減法的幾何意義去求猬.

【詳解】

正六棱柱ABCDEF-AAGREE中，

BD=AD-AB=2BC-AB=2b-a

AEX=AE+EEX=BD+BB}=c—a+2b

故選：B

TTTT

5.如圖，空間四邊形Q4BC中，OA=OB=OC=2,ZAOC=ZBOC=~,ZAOB=-,點(diǎn)、M,N分別在

OA,8C上，且OAf=2M4,BN=CN,則肱V=()

「A/34叵

3亍

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則用麗，0B，反表示出麗，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】

解：-.■OM=2MA,BN=CN,

__,__i_______2_________.7__.1__.1___

MN=ONk-OM=-(OB+OC)——OA=——OA+-OB+-OC.

23322

ITJT

又OA=OB=OC=2,ZAOC=ZBOC=-ZAOB=~,

2f3

所以函.玄=0,OBOC=O^OA-OB=|OA|-|OB|COS^=2,

=[--OA+-OB+-oc\=-OA+-OB+-OC2--OAOB--OAOC+-OBOC

(3221944332

二灑2+；研+曰可_沔痂

故選：A.

6.下列條件中，一定使空間四點(diǎn)E4&C共面的是()

UULULULUUUULULUULUUUUUUUUU

A.OA+OB+OC=-OPB.OA+OB+OC=OP

UULUL1UUUIUULW____,____,____、____.

c.OA+OB+OC=2OPD.OA+OB+OC=3OP

【答案】D

【解析】

【分析】

UL1UUULUL1UULUU

要使空間中的P、A、B、C四點(diǎn)共面，只需滿足OP=xQ4+yO3+zOC，且x+y+z=l即可.

【詳解】

,一，.ULUUULULULUUU1一一，,..._-

對(duì)于A選項(xiàng)，OP=-OA-OB-OC>(-D+(-l)+(-l)=-3*l,所以點(diǎn)p與A、B、C三點(diǎn)不共L面;

對(duì)于B選項(xiàng)，OP=OA+OB+OC，1+14-1=3^1,所以點(diǎn)尸與A、B、C三點(diǎn)不共面；

對(duì)于C選項(xiàng)，OP=^OA+^OB+^OC,1+|+|=|#1,所以點(diǎn)尸與A、B、C三點(diǎn)不共面；

—.1—.1.1—.111

對(duì)于D選項(xiàng)，0P=:。4+:03+：0C,s+:+所以點(diǎn)尸與A、B、C三點(diǎn)共面.

333333

故選：D.

7.已知空間A、8、C、。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)尸為空間中任意一點(diǎn)，若

BD=5PA-4PB+APC，貝1U=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決

【詳解】

BD=5PA-4PB+APC

=^PD-TB=5PA-4PB+APC

PD=5PA-3PB+APC

由A、B、C、。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線

可得5—3+2=1,解之得久=-1

故選：D

8.對(duì)于任意空間向量Z，B，",下列說(shuō)法正確的是()

A.若Z//B且B///,則Z//2B.a-{b+c^=a-b+a-c

C.若a.b=a.c，且ONO，貝=CD.(a%)c=a(b,c)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量共線的定義判斷A,由數(shù)量積的運(yùn)算律判斷BCD.

【詳解】

若7=(,則由Z//B且切/工，不能得出A錯(cuò);

由數(shù)量積對(duì)向量加法的分配律知B正確；

若則7(U)=o,當(dāng)時(shí)就成立，不一定有c錯(cuò)；

zrr、rr,rr、

卜力卜是與)平行的向量，ORY)是與Z平行的向量，它們一般不相等，D錯(cuò).

故選：B.

9.在平行六面體4BCD-4與℃中，B[CcBQ=P,設(shè)荏=],AD=b,A\=c,則向量赤=()

1『1

B.——a+b+—c

2222

_1-1_

C.a—bH—cD.aH—bH—c

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的線性運(yùn)算法則即可計(jì)算.

【詳解】

DP=DB+BP=[AB-AD^+^BC+^BB^=a-b+^b+^c=a-^b+^c.

故選：C.

10.已知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為1,且詼=2反,則無(wú)?也=()

A.-B.--C.--D.-

6633

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解.

【詳解】

_,UU1UL1U一一,----?1---------

因?yàn)锽E=2EC，所以CEqCB.

根據(jù)向量的減法法則，得荏=在-m=3函-區(qū)，

所以AE.CD=QCB-CA^.CD=1（CB.CD）-C4.CD

=-f|Cfl||CD|cos-L|c4）|c^cos-=-xlxlxi-lxlxl

313J3322

2__J_

故選：C.

二、多選題

11.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若“二人「貝1」々=￡>或〃=_/7

B.若向量Z是向量B的相反向量，則口="

c.在正方體ABC?！狝4GR中，AC=AG

D.若空間向量而，n>p滿足正=方，n-p,貝!h"=p

【答案】BCD

【解析】

【分析】

依據(jù)向量相等的概念否定選項(xiàng)A；依據(jù)向量相等的概念判斷選項(xiàng)BCD正確.

【詳解】

依據(jù)向量相等的概念，選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；

若向量￡是向量石的相反向量，則卜卜選項(xiàng)B判斷正確；

依據(jù)向量相等的概念，在正方體A5CD-A31GA中，元=宿.選項(xiàng)C判斷正確；

依據(jù)向量相等的概念，若空間向量而，n>p滿足而=溫，n=p,則機(jī)=0.選項(xiàng)D判斷正確.

故選：BCD.

12.已知四面體ABC。中，AB,AC,兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一定成立的是（）

A.\AB+AC+AD\=\AB+AC-Ai5\

B.|AB+AC+AD|2=|AB|2+1AC|2+1AD|2

C.(AB+AC+AD)BC=O

D.ABO)=ACBD=ADBC

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)部作出四面體ABCD從圖形上把各個(gè)向量對(duì)應(yīng)的有向線段表示出來(lái)，對(duì)四個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由題可知，可做如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè)戶4=。,|而|=4通|='.

AB+AC-AD=AE-AD=DE,\DE^=yla2+b2+c2,故A正確；

|AB+AC+AZ)|2=|AF|2=a2+Z，2+c2=|AB|2+|AC|2+|AD|2,故B正確；

：AD_L平面ACEB,AAD±BC,ADBC=O,(AB+AC+AD]BC={AE+AD]BC=AEBC,但無(wú)

法判斷和BC是否垂直，故C不一定正確；

由圖易知通_L而,/_L而，而_L萬(wàn)仁，故荏.麗=才亍.麗=而.反7=0,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.化簡(jiǎn)算式：OB-[OA-(BA-BC)]=.

【答案】CB

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的減法法則，計(jì)算即可.

【詳解】

OB-[OA-（BA-BC）]=OB-（OA-CA）=OB-OC=CB.

故答案為：CB.

14.正方體ABCD