專題05平面向量80道壓軸題型專訓(xùn)（10大題型）

囪【題型目錄】

題型一向量的概念壓軸題型

題型二垂直關(guān)系的向量表示

題型三向量夾角的計(jì)算

題型四利用平面向量基本定理求參數(shù)

題型五向量加（減）法法則的幾何應(yīng)用

題型六向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

題型七平面向量基本定理的應(yīng)用

題型八向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用

題型九向量數(shù)量積與夾角的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用

題型十三角形的心與向量的壓軸題型

100壓軸滿分題型

41經(jīng)典例題一向量的概念壓軸題型】

1.（23-24高一.上海寶山?課后作業(yè)）若向量2,b滿足|。|=6,|切=12,求|.+。|的最大值及最小值.

【答案】最大值是18,最小值是6.

【分析】根據(jù)向量的三角不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)?洲=6,仍|=12,

所以區(qū)|a|+|6|=18,當(dāng)且僅當(dāng)向量”，。方向相同時(shí)取得等號(hào)；

\a+b\>\\a\-\b\\=6,當(dāng)且僅當(dāng)向量。，。方向相反時(shí)取得等號(hào).

所以Ia+6I的最大值是18,最小值是6.

2.（24-25高一下?上海?課后作業(yè)）已知線段48被”（九.2）等分，等分點(diǎn)為M2,M3,M…

從這（〃+1）個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).

（1）當(dāng)”=4時(shí)，一共可以構(gòu)成多少個(gè)互不相等的非零向量？

（2）求互不相等的非零向量總數(shù)，用〃表示.

【答案］⑴8個(gè)

（2）2兀個(gè)

【分析】（1）按向量的模長進(jìn)行分類求解；

（2）按向量的模長進(jìn)行分類求解.

【詳解】（1）解：當(dāng)〃=4時(shí)，則等分點(diǎn)有M2,M3,共3個(gè)，則從5個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起

點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí),

模長為1時(shí)，有2個(gè)，為：AM^M.A,

模長為2時(shí)，有2個(gè)，為：AM2,M2A,

模長為3時(shí)，有2個(gè)，為：AM3,M3A,

模長為4時(shí)，有2個(gè)，為：AB,BA,

總共有8個(gè).

（2）由（1）知，當(dāng)模長為1時(shí)，有2個(gè)，

當(dāng)模長為2時(shí)，有2個(gè)，

當(dāng)模長為3時(shí)，有2個(gè)，依次類推，當(dāng)模長為〃時(shí)，有2個(gè)，

總共有2〃個(gè).

3.（24-25高一下?上海嘉定?課后作業(yè)）如圖，四邊形ABC。是邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有

16個(gè)交點(diǎn)，從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則與AC平行且長度為20的向量有哪些？（在圖

中標(biāo)出相應(yīng)字母，寫出這些向量）

【答案】AF>FA>EC，CE，GH，HG，IJ，JI

【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合平行向量和向量模的定義直接得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，滿足與平行且長度為20的向量有A尸，E4，EC，CE,GH，潴，〃，JI，

共8個(gè).

4.（23-24高一?上海閔行?課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=DC，N,M是AD,BC上的點(diǎn),

且CN=MA.求證：DN=MB.

【詳解】試題分析：因?yàn)锳B=DC，所以lABl=lDCl且AB〃CD，所以四邊形ABC。是平行四邊形.所以IDA

l=ICBl且同理可證，四邊形CZVAM是平行四邊形，所以|CMl=lNAl，所以lMBl=lDNl，

DN//AM,即DN與MB的模相等且方向相同，所以DN=MB.

試題解析：因?yàn)锳B=DC，所以IABl=lDCl且AB〃CD,所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以|DAl=ICBl

且DA〃CB.同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以|CMl=lNAl，所以iMBriDNl，DN〃MB,即

DN與MB的模相等且方向相同，所以DN=MB.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查向量的對(duì)于，以及相等向量的證明方法，屬于簡單題.相等向量的定義：長度相

等且方向相同的向量叫相等向量；兩個(gè)向量只有當(dāng)他們的模相等且方向相同時(shí)，才能稱它們相等，本題中，

根據(jù)相等向量的兩個(gè)基本性質(zhì)，利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行解答.

5.（24-25高一下?上海長寧?課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABC。是平行四邊形，四邊形是矩形，在

以各頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的非零向量中，寫出（不含AB）：

⑴與向量相等的向量；

⑵與向量共線的向量.

【答案】⑴AB=ED=DC

（2）ED，DC，EC，BA，DE，CD，CE.

【分析】（1）根據(jù)向量相等的概念直接求解；（2）根據(jù)共線向量的概念直接求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，四邊形是矩形，所以AB//EC,

AB=ED=DC.AB=ED=DC-

（2）與AB共線的向量有E。，DC-EC>BA-DE，CD,CE.

6.（2024高一下.上海虹口?模擬預(yù)測）在如圖的方格紙上，已知向量.，每個(gè)小正方形的邊長為1.

（1）試以8為終點(diǎn)畫一個(gè)向量6,使Z?=a;

⑵在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使卜卜石，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析，終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為出的圓

【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義可得向量；

（2）根據(jù)向量的模長公式的幾何知識(shí)可得軌跡.

【詳解】（1）根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量―平行，且長度相等.

圖如下所示：

（2）由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量"的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為出的圓.

7.（23-24高一下?上海虹口?課后作業(yè)）如圖，矩形AC。/中，AC=2CD,B,E分別為AC,。尸的中點(diǎn),

寫出：

FED

ABC

（1）與CD相等的向量；

（2）與AB的負(fù)向量相等的向量；

（3）與8E共線的向量.

【答案】（1）BE，AF；（2）CB，EF-DE；（31EB，AF>FACD>DC

【分析】（1）利用相等的向量的定義即可得出；（2）AB的負(fù)向量為BA，再利用相等的向量的定義即可得

出；（3）利用共線的向量的定義即可得出.

【詳解】在矩形ACO/中，且AC=2CO,B,E分別為AC,。尸的中點(diǎn)，得

（1）與CD相等的向量為：BE，AF：

（2）與AB的負(fù)向量相等的向量為：CB，EF，DE；

（3）與BE共線的向量為：EB，AF>FA-CD，DC-

【點(diǎn)睛】本題考查了相等向量，共線向量、負(fù)向量的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（23-24高一下?上海嘉定?期中）如圖所示，△O3C中，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段08上靠近點(diǎn)B的

一個(gè)三等分點(diǎn)，CD,相交于點(diǎn)E,設(shè)04=”，OB=b.

（2）若0E=/LQ4，DE=juDC,求力，〃的值.

【答案】（1）0?=2°一。；DC=2a-^b

42

（2）2=y,//=~

【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的線性運(yùn)算和相等

向量的充要條件，求出力和〃即可.

【詳解】（1）因?yàn)樵凇鱋3C中，點(diǎn)A為3C的中點(diǎn)，

所以O(shè)C+O8=2QA;

所以0C=2OA-O3=2。-6,

-2-5

貝|JDC=OC-OD=2Q-b-

2

(2)因?yàn)?。?。￡—。。=痛——b,

3

又DE=RDC,

以2a2a——Z?

A=2//

即，25,解得:5

——=——u2

/【經(jīng)典例題二垂直關(guān)系的向量表示】

7T

9.（24-25高一下?上海松江?階段練習(xí)）已知|o|=3,|b|=4,a力的夾角為

⑴求忸+34的值;

（2）當(dāng)人為何值時(shí)，（2a+b）_L（ka-2b）.

【答案】。）6幣

⑵z

3

【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式及向量的模公式即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量垂直則數(shù)量積為0,即可求解.

7T

【詳解】（1）因?yàn)閨。|=3,|萬|=4,a,石的夾角為h，

所以Q.〃=WWcosg=3x4xg=6,

所以pa+36卜,4同2+\2a-b+9=14x9+12x6+9x16=5/252=6幣.

（2）由（1）知，a.方二6，IL1=3,|b|=4,

因?yàn)椋?a+B）_L（姐-2b）,

所以（2a+b）?（3一2b）=0,gp-4a-b+ka-b-2^=0,

7

所以18左一24+6左一32=0,解得左=§.

所以當(dāng)無=1■時(shí)，（。+2/?）_1（履一＞）.

10.(24-25高一下?上海嘉定?階段練習(xí))已知向量。，b,若同=2,6=1,a,。夾角為120。.

⑴求慳-可;

(2)當(dāng)2為何值時(shí)，向量痛+6與向量a一3b互相垂直？

【答案】⑴慳叫=01；

4

(2)幾=1

【分析】(1)由條件根據(jù)數(shù)量積的定義求a/，再結(jié)合模的性質(zhì)求結(jié)論；

(2)由條件可得力)-33)=0,結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律化簡可求結(jié)論.

【詳解】⑴因?yàn)殁?2,忖=1,a,石夾角為120。，

所以〃包=?qcos(a,b)=2xlxcosl20=-1,

又\ld-Z?|=J(2〃-b)=d4a之+『一4〃.A,

所以J4X22+T_4X(_I)=曰,

所以囚―司=舊，

(2)因?yàn)橄蛄繛?+b與向量G—3b互相垂直，

所以(必+葉(屋30)=0,

所以a/_34〃/+3Z?2=0，

由(1)ct'b=-1又卜卜2,欠=1,

所以4X+3X-1-3=0,

4

所以2號(hào)

11.(24-25高一下?上海楊浦?階段練習(xí))(1)己知同=5,忖=4,々與6的夾角。=彳￡,求八人

(2)已知同=6,忖=4,°與6的夾角為60。，求(a+26).(a-3石).

(3)已知同=5,忖=4,a與6的夾角為60。，問：當(dāng)上為何值時(shí)，(履-6)“&+26).

14

【答案】(1)-10；(2)-72；(3)k=—

【分析】(1)應(yīng)用平面向量數(shù)量積公式計(jì)算求解；

(2)根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律及平面向量數(shù)量積公式計(jì)算求解；

(3)根據(jù)向量垂直數(shù)量積為。及運(yùn)算律計(jì)算.

【詳解】(1)a-b=|a||z?|cos0=5x4xcos1=5*4*[-；]=-10.

(2)+2Z?—3Z?j=a-a—3a-b+2b-a—6b-b=\o\-a-Z?-6|/?|

=\a\~—|a||z>|cos^—6|i>|=62-6x4xcos60°—6x42=-72.

(3)因?yàn)橥?5,忖=4,a與B的夾角為60。，

所以=M?-COS60=5X4X；=10,

若(姐_。)_1_(/+26),貝垢-6).(d+26)=0,

即32+(2左一1)4心一2。2=0,所以左問2+(2左一1”-2網(wǎng)=0,

所以25左+(2Z—l)xl0-2xl6=0,可得：左=[.

12.(24-25高一下?上海長寧?階段練習(xí))如圖所示，已知VABC中，分別為AC,AB邊上的高，而且

BE與CF相交于點(diǎn)。，連接AO并延長，與3c相交于點(diǎn)D求證：ADJ.BC.

【分析】通過向量線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算求得C3.OA=0，由此證得工3c.

【詳解】因?yàn)槲?，AC,所以O(shè)g.AC=0，即O8-(OC-OA)=0,

因此O3.OC=OB.。4①，

又因?yàn)镃FLAB,所以O(shè)C.AB=0，即OC-(OB-0A)=O,

因止匕

由①一②可得Og.0A_0c-。4=0，因此(OB_0C>OA=0,

從而C2-OA=0，故3c_LQ4,即AD工BC.

13.(24-25高一下?上海崇明?階段練習(xí))已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知c=4,

,_47r

b=2,A=—.

3

C

AB

⑴求a的值；

（2）過點(diǎn)C作CM,>2>0,若W&Vf求；I的值，并求此時(shí)AM?AB的值.

【答案】（1）273

⑵人;，12

【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解；

（2）用AB,AC表示AM,BM,根據(jù)AM_LA0列式運(yùn)算求出彳，進(jìn)而求出AM-AB.

【詳解】（1）在VABC中，由余弦定理，得。2=〃+c2-26ccosA=4+16-2x2x4xg=

12,

a=2A/3.

UUUIUUUUUULULUUUUUULLWIUCH4UIULIUULUUUW

（2）QAM=AC+CM=AC+AAB，BM=AM-AB=AC+（A-1）AB,

/UUL1ULUU/ULUuum

又W3M，貝U（AC+XA8XMAC+（"1）AB）x=O,

air。uunairULH2

AAC+（22-l）AB-AC+2（/l-l）AB^0,

.?.4+（22-l）x2x4x1+2（2-l）xl6=0,解得4=；,

uuuinuiriUlin

...AM=AC+-AB

2f

uuumion<umriuuurAuum

AM^AB=\AC+-ABVAB

HITtuniuun2

=ACAB+-AB

2

=4x2x1+1x16=12.

22

14.（24-25高一下?上海?課后作業(yè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，EG是A￡>,3c的

三等分點(diǎn).（AF=^AD,BG=^Bc\設(shè)AB=a,AD=6.

⑴用a、6表示所,EG；

(2)如果卜=gb,用向量的方法證明：EFVEG.

1212

【答案】（1）所=一一a+-b,EG=-a+-b

2323

⑵證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可得解;

（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律證明跖.￡＜；=（）即可.

【詳解】（1）由題意,

2112

EF=AF-AE=-AD一一AB=——a+-b,

3223

EG=EB+BG=-AB+-BC=-a+-b；

2323

(12、1-24-2

(2)由(D^EF-EG=\--a+-b\-\-a+-b\=--a+-b

所以EF_LEG.

15.（24-25高一下?上海崇明?階段練習(xí)）如圖，圓C的半徑為3,其中A、B為圓C上兩點(diǎn).

（1）若cos/C48=g,當(dāng)上為何值時(shí)，AC+2AB與左AC-A2垂直？

UL1ULIL1U

⑵若G為VABC的重心，直線/過點(diǎn)G交邊AB于點(diǎn)尸，交邊AC于點(diǎn)。，且AP=3W，AQ=〃AC,求幾+〃

最小值.

⑶若|AC+fAq的最小值為1,求,目的值.

【答案】⑴4=￡

3

⑶網(wǎng)=40

【分析】（1）利用余弦定理求出A8的長，利用平面向量數(shù)量積的定義可求出AbAC的值，由已知可得出

（AC+2AB]-（kAC-AB）=Q,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于％的等式，解之即可;

UULT1mu1uur|1

（2）由重心的性質(zhì)推導(dǎo)得出AG=^-AB+^-AC,由p、G、。三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出了+—=3,將代數(shù)式幾+〃

334〃

相乘，展開后利用基本不等式可求得4+〃的最小值;

(3)設(shè)鉆=機(jī)(機(jī)＞0),推導(dǎo)出A22C=TA5『，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出

再結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出,8+左4的最小值為1可求得加的

值，即為所求.

【詳解】(1)因?yàn)镃4=CB=3,cosZCAB=1,

所以由余弦定理得CB2=AC2+AB2-2AC-ABcosZCAB,

即9=9+AB2-2X3XABX；,gpAB2-2AB^0,解得AB=2,

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB-AC=|ABHAC|cosNBAC=2x3xg=2,

若AC+2AB與kAC—垂直，則(AC+2AB)-^kAC-AB)=0,

所以上AC2+(2%-1)ARAC—2Ag2=0,所以9k+2(2左一1)-8=13左一10=0,解得左=￡,

即當(dāng)左=1時(shí)，AC+2AB與％AC—4月垂直.

Q111

(2)因?yàn)镚為VASC的重心，所以AG=-----(AB+AC—AB-\—AC,

32、733

又因?yàn)樯?2蘢，AQ=]uAC,所以AG=；A3+；AC==A尸+：AQ,

333x3//

由于尸、G、。三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)/使得PG=fPQ,

所以AG_AP=?AQ_AP),化簡為AG=(l_t)AP+tAQ,

1

1

"一-

所以5+J-=1，所以1+-=3.

因?yàn)?尸、AQ不共線，所以，,1

%325uzu

一-

13/,/

2+邛

顯然幾＞。，〃＞0貝!JX+"=§(2+4)11

2+〃I4jU

4_〃

〃4

當(dāng)且僅當(dāng);+,=324

時(shí)，即當(dāng)x=〃=§時(shí)，4+〃取最小值

A4

2>0,//>0

(3)設(shè)A8=〃z(m>0),取線段A3的中點(diǎn)E,連接CE,則CE1AB,

則ACAB=^AE+EC^-AB=AEAB+ECAB=||AB|2,

又,C+fAC+tAB^=>IAC2+2tAB-AC+t2AB2=也+混+/AB'

所以當(dāng)時(shí)，|AC+fAq有最小值所以卜-展1，解得加=40，

即|AC+/A回取最小值1時(shí),網(wǎng)=4應(yīng).

16.（23-24高一下?上海長寧?期末）設(shè)有“維向量。=+一?+40.為向

量a和。的內(nèi)積.記S“為全體由一1和1構(gòu)成的"維向量的集合.

⑴若”",存在無邑，使得[。,4=0,寫出所有滿足條件的方；

⑵令8={[x,切eS“},若meB,證明：，〃+〃為偶數(shù)；

（3）若/（4）表示能從S,中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且滿足選出的向量互相之間的內(nèi)積均為0,猜測/'（4）

的值，并給出一個(gè)實(shí)例.

（2）證明見解析

（3）八4）=4.

【分析】（1）根據(jù)定義寫出滿足條件的即可;

(2)根據(jù)x,yeS“，結(jié)合定義，求出［x,到，即可得證;

(3)利用反證法求證.

【詳解】(1))由定義，只需滿足4-2+&+a=0，

故所有滿足條件的》有6個(gè),

(2)由題知，存在％=使[x,y]=m,

當(dāng)%=%時(shí)，%%=1;當(dāng)%NX時(shí)，尤1%=-1,.

若有上個(gè)%=%,則有〃-上個(gè)％則m=［x,y］=E%y=左-5-。=2々-〃，

Z=1

所以/九+〃=2左-〃+"=2左為偶數(shù)；

(3)猜測符合要求的4維向量最多有4個(gè)，即"4)=4,舉例如下：

則有國外]=0,[7,回=0,[7同=0,[a2M]=0，[?嗎]=。，[%，%]=0,

1、1、

1-11

0,則。5或或

11

1、

1-1

；一4；

11

1口

1、

1時(shí)，［%'%］二

故找不到第5個(gè)4維向量與已知的4個(gè)向量滿足互相之間的內(nèi)積均為0,即y(4)=4.

4【經(jīng)典例題三向量夾角的計(jì)算】

17.（24-25高一下?上海金山?階段練習(xí)）設(shè)向量-6滿足忖=1,忖=應(yīng)，且（34-24（54+叼=1.

（1）求向量a，b的夾角；

⑵若卜6卜番，求f的值.

【答案】⑴3

（2）1或-3

【分析】（1）先根據(jù)條件求分6,再利用cosS?=而求向量的夾角.

（2）根據(jù)卜a+0=（fa+b）列式求f的值.

【詳解】（1）因?yàn)椋?a-28）?（5a+46）=1,

所以151a=1=./=1.

所以2，*而=出=享又（必[0,可，

所以（a,3=：,即向量￡,》的夾角為

（2）因?yàn)?〃+目=百，所以卜Q+=,4+6）2=5,

所以〃+2加?。+1[=5=r+2/+2=5=〃+2/_3=0=（r一1）（，+3）=0,

所以，=1或，=-3.

18.（24-25高一下?上海普陀?階段練習(xí)）已知非零向量a,。滿足時(shí)=1,且（2a+b）-（2"b）=3,

b（a-b^=-g.

⑴求W的值；

（2）設(shè)5與2-b的夾角為。，求H-可及cos。的值.

【答案】⑴1

（2）|?-&|=1,cosp=_；.

【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律將（20+。（2"6）=3展開得4回2一卜『=3,再將同=1代入即可求得

W的值；

(2)先由人卜-6)=得到小a=g,再將卜平方后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算求解，然后利用

b\a—b\

(P=即可求解.

cos\b\-——\a-bf\

【詳解】⑴因?yàn)?20+6卜(2。-6)=3,所以4。2_62=3,故4，-好=3,

又同=1,所以忖=1,

(2)因?yàn)閎=,所以6『=-g,.16.a=g；

所以=^a-2a-b+b=1,

I-|b\a-b\

所以卜一〃=1,因?yàn)閏ose=「6—f,

11w?…

又M=l,,一可二1,

所以cos°=-g.

19.(24-25高一下?上海寶山?階段練習(xí))已知向量a,b滿足同=2,忖=1,且a,b的夾角為60。.

⑴求卜-W；

⑵求。在。上的投影向量；

(3)若向量2以+7b與向量方+協(xié)的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】⑴6

(2)~?

⑶(一7,一半)(-半T

【分析】(1)求|。-6|：先利用向量模的平方等于向量自身平方，將|。-6|轉(zhuǎn)化為(。-切2,再用完全平方

公式展開，結(jié)合向量數(shù)量積公式算出結(jié)果，最后開方.

(2)求》在&上的投影向量：依據(jù)投影向量定義，把已知的a-b和口1的值代入公式計(jì)算.

(3)先根據(jù)數(shù)量積分配律展開式子，解不等式得到f的初步范圍；再通過設(shè)共線關(guān)系求出共線時(shí)/的值，排除

這些值，得到最終范圍.

【詳解】(1)根據(jù)向量模的平方等于向量自身平方，可得

根據(jù)完全平方公式，則(2一》)2二必一2無。+〃

已知|a|=2,且〃，Z?的夾角為60°,可得Q=|Q|x|b|xcos60°=2xlxg=1.

所以|Q—Z?『=4—2*1+1=3.貝!）|〃一刃=力.

（2）根據(jù)投影向量的定義，人在〃上的投影向量為學(xué)?￡.

\a\\a\

由前面計(jì)算可知"以=1,1。1=2,所以投影向量為，

224

（3）因?yàn)橄蛄?幻+76與向量4+仍的夾角為鈍角，所以（2S+76＞（a+fb）＜0,且2s+7人與“+活不共

線.

可得(2ta+7b)?(a+仍)=2ta2+(2*+l)a-b+7tb2.

將4=4,a-b=l,Z?=l代入上式，得至!]2"4+(2/+7*1+7/><1<0,即2產(chǎn)+15/+7<0.解得一7</<—g.

若兩向量反向共線，則存在實(shí)數(shù)4,使得2fa+76=/l(a+必),(2<0),

即冏,將彳"代入73得到2產(chǎn)=7,因⑵d。）,解得"-半.

綜合以上兩個(gè)條件，實(shí)數(shù)/的取值范圍是（-7,-半）714

20.（24-25高一下?上海閔行?階段練習(xí)）在VABC中，滿足：AB±AC，M是3C的中點(diǎn).

（1）若卜目=卜。卜根（：”＞0）,求向量2AB-AC與向量A2-2AC的夾角6的余弦值；

（2）若O是線段A"上任意一點(diǎn)，且卜點(diǎn)，求OAOB+OCOA的最小值；

⑶若點(diǎn)尸是一B4C內(nèi)一點(diǎn)，且|”|=2,APAB=1，APAC=1，求卜3+AC+的最小值.

【答案】（昨4

⑵-；

^）\AB+AC+AP\=3

Imin

【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分別求出（2AB-ACMAB-240，|2他-閔,卜2-2閔，

然后利用向量的夾角公式求解即可；

（2）由已知可得|AM=L設(shè)囪=x,則|OM=17,然后化簡OAOB+OCOA，再利用二次函數(shù)的性

質(zhì)可求出其最小值；

（3）根據(jù)題意設(shè)NPLB="，?e|0,^|,則由APAB=1，AP-AC=1-可得|AB|="—,|AC|=—,

\Z）112cosa112sma

然后化簡,2+4。+4尸］，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】(1)因?yàn)锳B_LAC，所以AB-AC=O，

因?yàn)椴穦AC|=m(m>0),

所以僅AB-AC)?(-2AC)=2AB2-5ABAC+2AC=4/w2,

=J（2AB-AC）2=y）4AB22

2AB-AC-4ABAC+AC二y15m，

2-2

\AB-2AC=^（AB-2AC）2=7AB-4ABAC+4AC二45m，

（2AB-AC）.（AB-2AC）

_4m2_4

所以COS。二

2AB-AC2AB-AC_#一§；

（2）因?yàn)?耳=,4=應(yīng)，ABVAC，M是BC的中點(diǎn)，

11/221

所以|阿=5g=5,網(wǎng)，+|阿=-72+2=1,

設(shè)畫=x,則WM=1-X,

因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)8+OC=2OM

所以O(shè)A02+OC?OA=OA（02+0C）=2OA-0M=21（Ml-10M|?cosn

當(dāng)且僅當(dāng)x=；時(shí)，OAOB+OCOA的最小值是一.

（3）^ZPAB=a,則/尸AC=5-a,

因?yàn)锳P-AB=1，所以|AP||Aqcosa=l,所以,q=J—,

NCOS（JC

因?yàn)锳PAC=1，所以網(wǎng)|AC|cosg-“=1,所以“卜砥一

Ii2222

所以AB+AC+AP=AB+AC+AP+2AB-AC+2AC-AP+2AB-AP

11siYa+cos2a八1c

=------+--------^+8=------2------^+8=---+8，

4cosa4sina4sincrcosasinla

因?yàn)閍<。,]],所以2a￡(0,兀)，

所以當(dāng)，即a=f時(shí)，(sin2a)=1,

所以|AB+AC+AP『=9,所以|AB+AC+AP|=3

IImin?1mm

21.(2025高一?上海虹口?模擬預(yù)測)對(duì)于給定的兩個(gè)向量a和B,定義運(yùn)算,卜'耳=同Wsin(d,b).

⑴已知A(l,2),3(2,3),C(3,l),求*ABxAc|,并說明其幾何意義.

IYrI

⑵設(shè)a=(%,%,zj,Z?=(x2,_y2,z2),求|八々.

(3)在平行六面體中，側(cè)棱與底面所成的角為。，底面四邊形中較小的內(nèi)角為0，a”*,且該六面體

所有棱長之和為4/(/>0),求該六面體體積的最大值.

3

【答案】(1)或，幾何意義為VABC的面積

⑵Jx；貨+尺寸++尤%2++y；z；—23務(wù)%%-2%%乎2-2%當(dāng)乎2

t3

⑶―

36

【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積計(jì)算求解；

(2)應(yīng)用夾角余弦公式計(jì)算求解；

(3)先寫出三角形面積再應(yīng)用體積公式結(jié)合基本不等式計(jì)算求出最大值.

【詳解】⑴由題意，得筋=(1,1),AC=(2,-1),

.?.ABAC=1,且網(wǎng)=拒，|叫=君，

ABAC1

cosAB,AC=

AB\\AC\~y/io'

:.-\ABxAC\=-xyf2xy[5x-==-,其幾何意義為VABC的面積.

2l?2V102

.a-bxx+M%+Z1Z2

⑵問=收+y；+z；,忖=收+二+z；,C0S6Z,b——；~r12

Jx；+*+z；+

誹I

...sin?(a而=1J,—+yy+zv]

'/[Jx；+y；+z；.J[+3+z：J

(x；+%+z；)(x?+%+z2)一(％尤2+M%+ZK)

(片+y；+z；)(x；+y；+z；)

4y；+%；y；+kz；+%；z；+y；z；+y；z；-2xix2yly2—2x1x2z1z2—2y1y2z1z2

(:+y；+z：j(x；+y；+z；j

.?.|<2x&|=|a||&|sina,Z?=+x^+x^zf+^Zj+-2xlx2yly2-2xlx2zlz2-2yly2zlz2.

(3)設(shè)平行六面體一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱長分別為a,b,c,不妨設(shè)棱。力的夾角為夕，側(cè)棱長為c,

則4(a+Z?+c)=4/,BPa+b+c=t.

由（1）知底面面積S=a加in尸，^h=csina,

.-.V=Sh=abcsinasin^=""吧("/)二。雙紀(jì)尸)=一」-6)+..

22

3,3

a+b+c

abc<

3I=>

當(dāng)且僅當(dāng)。=8=。=；時(shí)取等號(hào),

且當(dāng)二=尸=5時(shí)，cos（a—￡）=1,

COS(?-^)+11+1戶3

/.V=------------abc<———x——=——"

222736

故該六面體體積的最大值為太

22.（24-25高一下?上海楊浦?階段練習(xí)）如圖，設(shè)。X,Oy是平面內(nèi)相交成a角的兩條數(shù)軸，ae（0,兀），e；,e；

分別是與x軸、＞軸同方向的單位向量.若向量O尸=xe；+ye；,則把有序數(shù)對(duì)[x,y]叫做。尸在斜坐標(biāo)系。孫

中的斜坐標(biāo).

（1）若a=60。,4=[1,2],6=[-1,1],求同，網(wǎng),；

7T

⑵若&=[-1,3]力=[一3』，且￡與分的夾角為]，求cosa；

(jr27t?

(3)若Q4=[-1,3],OB=[-3,1],aelI,求VA03的面積的取值范圍.

【答案】(1小卜近，忖=1,ab=g

(2)cosa=~

⑶(264]

【分析】(1)根據(jù)向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)向量的夾角及向量的運(yùn)算法則即可求解；

(3)由面積公式、同角關(guān)系式和向量的夾角公式可得Sas煙2-,根據(jù)向量的運(yùn)算

法則可得SVAOB=4Jl-cos2a=4sina,根據(jù)三角函數(shù)的值域即可求解.

【詳解】(1)。=6+2.力=一6+/，

所以+4^+4q?G=5/7，

=1,

Q?z?=(,+24乂-,+4)=-￡]+24-q?/=5

a-b

(2)cos?,Z?=ab

\\]\|-^+3^2||-3^+^2|

ir2in2ITin

3令+3e2—10^-e26-10coscr1

2IU2uHT2nr^cr-ar

10-6coscr2

+9e2-6q?e2+/—6q?e?

解得cosa=g

3e|=l-6cosa+9=10-6cosa,

(3)IOAI=\—ex+2

|2|2

0B\=-3^+e2\=1一6cosa+9=10—6cosa,

OAOB=+3/)?卜3q+4)=6-10cosa,

ULULUULU

設(shè)04,05的夾角為巴

s3=3削煙sine=gJoA『"d-(網(wǎng)煙cos@4M”*(04時(shí)

=4A/1-COS2a=4sinae

23.(24-25高一下?上海嘉定?階段練習(xí))如圖，在平行六面體ABC。-A4G2中，底面ABC。是邊長為2

的正方形，側(cè)棱的長度為4,且乙艱3=4姆0=飛--

（1）BR的長

⑵直線BD、與AC所成角的余弦值

【答案】（1）2A/6；

⑵手.

3

【分析】（D使用向量的方法求解線段的長度即可，（2）利用向量數(shù)量積求解向量的夾角余弦.

【詳解】（1）BD[=BBI+BIA+ADI，

BDi=（BBt+gA+AQJ

222，

—BB]+44+A。]+2BB],B[A+2BB1,4。1+24A,4。

=42+22+22+2x4x2cos60°+2x4x2cosl20°+2x2x2cos90°=24.

.?.82的長為2?.

（2）AC=AB+BC>

,22-2

:.AC=（AB+BQ2=AB+BC+2AB-BC=22+22+0=8，

:.\AC\=2^2,

幽I=2#,

AC-BD\=（AB+BC）.網(wǎng)+B,A,+AB-BBt+AB-+AB-+BCBBt+5。4A+BCA.D,

=2x4cosl20°+2x2cosl80°+2x2cos90°+2x4cosl20°+2x2cos90°+2x2cos0°

=—8

ACBDi|_8_晅_立

/.cos（AC,BDj

AC,即22AA//22XX22AA//66--12-3'

所以直線BD｝與AC所成角的余弦值為B.

3

24.（24-25高一下?上海松江?階段練習(xí)）（1）如圖甲，在三角形ABC中，A3=9,AC=6,A3與AC的夾角

為60。，D為線段3C中點(diǎn)，求線段AD的長度

（2）如圖乙，在四邊形ABC。中，AB=9,DC=6,A2與DC的夾角為60。，瓦尸分別為A。8c的中點(diǎn)，

求線段所的長度.

（3）如圖丙，在四邊形中，瓦尸分別在邊AD,BC上，且AD=3AE,BC=3B￡A3=9,r）C=6,AB與。C的

夾角為60。，求向量EF與向量.夾角的余弦值.

甲乙丙

【答案】（1）2^21；（2）（3）2^1

2226

【分析】（1）利用向量的中線公式AO=g（AB+AC）,結(jié)合條件，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，即可求

解；

（2）利用向量的運(yùn)算得2EF=AB+￡>C,結(jié)合條件，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，即可求解；

（3）根據(jù)條件，利用向量的運(yùn)算得到跖=（A3+；OC,利用利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，得環(huán)..二63,

陽=2日，再利用向量夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)锳D=J（AB+AC）,所以Ao2=；（A8，+2AB.AC+Ac],

21（1、171

又AB=9,AC=6,AB與AC的夾角為60。，所以AD=-|81+2x9x6x-+36I=—,

故網(wǎng)

（2）因?yàn)椤闒=EA+A3+B月①，EF=ED+DC+CF?,

由①+②得2￡F=A5+OC，所以4M2=AB2+2A8-￡）C+DC2，

-21

又A8=9,DC=6,AB與。。的夾角為60。，所以4EF=81+2x9x6x-+36=171,

得至U,耳=當(dāng)1.

(3)因?yàn)锳D=3AE,BC=3BF,=9,DC=6,48與。C的夾角為60°,

又由(2)知族=￡A+AB+3P①，EF=ED+DC+CF?,

所以3所=2(￡4+/18+3/)+即+。。+叱=2￡4+即+2/18+0。+23/+"=248+￡)。，

得至ljEF=2AB+」r＞。，所以砂.AB=2A32+』r)C.AJB=54+』x9x6xL=63,

333332

又同=J^AB+jDC^=^x81+|x9x6x1+4=2岳，\AB\=9，

EFAB637A/3

所以向量EF與向量AB夾角的余弦值為cosE￡AB=

|EF|-|AB|-2713x9~26~-

甲乙丙

【經(jīng)典例題四利用平面向量基本定理求參數(shù)】

25.(24-25高一下?上海普陀?階段練習(xí))已知忖=4,慟=2,且°與b的夾角為60。.

(1)求(2°+分(2。-五的值

⑵求忸一可的值；

(3)若向量2。一;16與2a-36平行，求實(shí)數(shù)彳的值.

【答案】(1)60

(2)2713

(3)±76

【分析】(1)由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及向量模的計(jì)算式求值即可；

(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，運(yùn)算法則及向量模的計(jì)算式同=〃產(chǎn)求值即可;

(3)由平面向量共線定理及平面向量基本定理列出方程組求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)橥?4,網(wǎng)=2,

所以(2a+/?).(2q_b)=44——7=4同-|/?|=4x42-22=60.

(2)因?yàn)橥?4,網(wǎng)=2,且〃與人的夾角為60。，

所以〃./?=同.網(wǎng)cos60°=4x2xg=4,

所以(2〃—b)=4a2-4ab+b2=4x42-4x4