河南省駐馬店高級中學2024-2025學年高一下學期第三次

考試數(shù)學試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.若不等式（。-2）爐-2（4-2）了-4＜。對一切工€11恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為

)

A.(-。,-2)“2,+8)B.(-oo,-2)u[2,+oo)

C.(-2,2)D.(-2,2]

2.已知復(fù)數(shù)z=-2+i,則(

A.z的虛部為iB.|z|=5

C.z=-2-iD.z>z

3.已知向量』=（1,-⑹，向=1,且（5-2斗儂+力）=3.則5+2方在方方向上的投影

向量的坐標是（）

’3-3⑥\-35j_3折

A.B.

4.設(shè)向量a=(x,l)b=(l,y),c=(2,-4),且。_Lc,bile,則|a+b|=

A.y/5B.VToC.275D.10

貝!j"sin(兀_a)=；是“cosa=叵”的（

5.已知ae（。,兀）,）條件.

2

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必

要

6.設(shè)尸e且tana=_,tan尸=—,貝lja+2j3=）

nn5TT

A.B.CD.

~43-T~T

7.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲

嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學建?；顒樱薪Ｕn題組的學生選擇測量鼎湖峰的高

度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，在山腳/測得山頂尸得仰角為45。，沿傾

斜角為15。的斜坡向上走了90米到達6點（4B,P,0在同一個平面內(nèi)），在B

處測得山頂戶得仰角為60。，則鼎湖峰的山高P。為（）米.

p

A.45（V^-B.4-5^6+y/2^

C.9O（V3-1）D.9O（V3+1）

UJHLUU|皿||ULBt,r、

8.已知向量OA,08，且|。4卜|。q=24.若則

myuuu/,sIMVLius'

,AB_AO|+石BO-（1T）BA的最小值為（）.

A.2A/193B.26C.24A歷D.24

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知兩個非零向量”的夾角為。，定義運算軟為力=|辦帆-sin。，則下列說法

正確的是（）

A.若三（8）/>=0,則。〃b

B../區(qū)力）=（忌）區(qū)力（九十0）

C.若石=（1,1）,力=（-2,1）,貝工③力=3

D.若%兇3=6』3=1,則出+向的最小值為遙

10.已知VABC的內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,下列說法正確的是

（）

A.若4=近，b=2,A=-1,貝ijc=3

B.若sinA>sin3,則a>b

C.若能.花>0，則VABC是銳角三角形

D.若sinA:sin3:sinC=2:3:4,則VABC是鈍角三角形

11.下列各式中值為:的是（）

A.1-2cos275°B.sin135°cos15°-cos45cos75°

C.-$—D.tan200+tan250+tan20°tan25°

1-tan222.5°

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知點41,3),B(4,-1),則與向量求同方向的單位向量的坐標是

13.已知全集。={%|-24工43},集合A={%|—l<x<0或2cx〈3},則毛A=.

(uuffluuir)

ABACUUU

14.已知非零向量罰與戈滿足、陶+阿，BC=O,且

「

Iurnnuar,.iunuur?,ULUUUU,,,

—AC|=2后,卜3+4。卜6亞，點o是VABC的邊AB上的動點,則DRDC的最小

值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.如圖所示，摩天輪的半徑為50m,最高點距離地面高度為110m,摩天輪的圓

周上均勻地安裝著24個座艙，并且運行時按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要

12min.甲，乙兩游客分別坐在P,。兩個座艙里，且他們之間間隔2個座艙(本題

中將座艙視為圓周上的點).

(1)求劣弧P。的弧長/(單位：m)；

(2)設(shè)游客丙從最低點M處進艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為"m,求在

轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于時間才的函數(shù)解析式；

(3)若游客在距離地面至少85m的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪轉(zhuǎn)動

一周能有多長時間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.

16.已知VABC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

a—ccos2B=c+2Z?cosCcosB.

(1)求6的大?。?/p>

(2)若q+c=6/=棉，求V4BC外接圓的半徑；

⑶若點〃在線段/C上，NABM=NCBM,BM=4,求c/+4c的最小值.

17.已知a=(-1,0),6=(2,1)

⑴求。在右上的投影向量的坐標.

(2)若后-力與5+2力的夾角為鈍角，求實數(shù)上的取值范圍.

18.在①2csinBcosA=。(sinAcosB+cosAsinB)；②

222

sinB+sinC+cosA-1=sin(A+B)sin(A+C);③則生黑二竺叫=^sinA這三個

條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

在VABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為。，b,c,且滿足.

⑴求A；

(2)若VA3c的面積為166，。=4,求VABC的周長.

已知函數(shù)〃x)=sinCOX+—兀+sin兀cox——、+COSG%

19.6jI6j?！?.

⑴若0=1,求“X)的對稱軸方程;

(2)若/(x)在xe[0,2)i]上恰取得一次最大值和一次最小值，求切的取值范圍；

⑶若“X)在y軸右側(cè)的第一個零點為x=令g(x)=/Q+?]+時H，且

g(x)在(0,4兀)內(nèi)恰有6個零點,求實數(shù)切.

參考答案

1.【答案】D

【詳解】當。=2時，TvO恒成立，則。=2；

—2<0

當4X2時，“*、八，解得一2<“<2,

（AA=4（。-2）+16（a-2）<0

所以實數(shù)。的取值范圍為（-2,2].

故選D.

2.【答案】C

【詳解】由已知可得z的虛部為1,故A錯誤；

|Z|=7（-2）2+12=A/5,故B錯誤；

z=-2-i，故C正確；

虛部不為0的復(fù)數(shù)不能比較大小，故D錯誤.

故選C.

3.【答案】A

【詳解】因為5=（1,-百），用=1,貝S|=JHb=2,

所以（125）.（2石+力）=2扶一3>力一2力2=8-3=力_2=3,貝”）=1,

所以5+2方在方方向上的投影向量為

a+2b\aa2+2a-br4+2

r3

----=-------?a-........=-------n=-------

故選A.

4.【答案】B

【詳解】試題分析:a-Lc,2x—4=0,即x=2,*.*bile,—4—2y=0,即

Aa=(2,1),&=(!,-2),Aa+^=(3,-1),|?+Z?|=V10.

考點：向量的垂直、平行的充要條件，向量的模.

5.【答案】C

【詳解】由題意，。40,無），

由sin（兀-戊）=（，即sine=；,貝a=■或0r=,,

由cosa=在，則&=2，

26

所以“sin（7r-a）=!”是"cosc=在”的必要非充分條件.

22

故選C.

6.【答案】A

2

11a3

【詳解】因為tantz=5,tan〃=￡=>tan2〃=3Y=i，所以

'31--4

9

13

—?—

々/4+213TT

tan(tz+2/?)=74=——=1,且0<tan2p=：<ln26€(0,7)，所以

1---工-x、，——J2X—544

74

37rTT

6Z+2/?G(0,——),則a+27?=—

44

故選A.

7.【答案】B

【詳解】由題知，NP4Q=45°,ZBAQ=15°,則？30°,NAPQ=45°,

又一P3C=60°,所以/3PC=30°,所以N3P4=15°,ZPBA=135°,

在Y4BP中，AB=90,

APAB

根據(jù)正弦定理有

sinNAB尸—sin/APB'

[7_5

且sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=---------

90x

ABsinNABP90sin1350^180V2

則AP=

sinNA尸3sin15°瓜?~V6-V2,

4

=警母文顯=45(&?.

在RWPAQ中，尸。=APsin45°

V6-V22')

所以山高P。為45("+0)米.

故選B.

8.【答案】B

【詳解】作正方形3CB,連接對角線AB,令。、E分別為對角線至、邊03上一

點，使得那一股=陰，3能-。一)版=跟EB=10,OD=DC.

IULUTUULV|SUUU/UUDr.UULVi|UUU/||ULHV|

故|MB-AO|+—BO-(l-Z)BA=\DE\+\DC\＞\EC\=26.

9.【答案】AC

【詳解】對于A,由％力=0，得郵卜in6=0,而向1卜0,因此sin6=0,

又0＜夕＜兀，則。=?；?。=兀，所以方/〃，A正確；

對于B,4僅06)=川磯WsinS,當4＜0時，(Aa)0b=|25||&|sin(71-^)=—A\a\|/?|sin^,

當0＜夕＜兀時，X伍06)w(必慮Z?,B錯誤;

r

r,XAZ、?r，/—Ii/—八a,b—VW

對于C,因為。=(1,1)/=(—2,1),所以阿=0，W卜石，所以儂。=麗二方-,

因為6e[0,可,所以sin6=誓，所以苫九力=臥忖應(yīng)皿=3,C正確；

對于D,由5顯=JL得自代卜也。=石，由Hi,得同|小0$0=1,

兩式平方相加得|耶|=2,則

\2a+b\=sj4a2+b2+4a-b=^4a2+b2+4＞14向向+4=2石，

當且僅當2向=帆=2時取等號，D錯誤.

故選AC.

10.【答案】ABD

【詳解】對于A,由余弦定理得/=/+，—2"COSA,

7=4+c2-2x2cx—,得c=3,故A正確；

dh

對于B,由sinA>sinB及正弦定理，得解得a>〃，故B正確;

ULUULIUIUUUIILUUi

對于C,因為股.罰>0,所以AC-AB=|AC|-|AB|COSA=Z>CCOSA>0,

所以cosA>0,所以/為銳角，但無法確定6和C是否為銳角，故C錯誤;

對于D,因為VABC的三個角滿足sinA:sinB:sinC=2:3:4,

所以由正弦定理化簡得a:A:c=2:3:4,

設(shè),a=2k,b=3k,c=4k,c為最大邊，

rh小口十小工田汨c~c~4k~+9k~—16匕1

由余弦定理得cosC=----------=---------、-----=——<0n,

2ab12k°4

所以C為鈍角，所以VABC是鈍角三角形，故D正確；

故選ABD.

11.【答案】BC

【詳解】1-2COS275°=COS150°=-^,故A錯誤；

2

sin1350cos15°-cos45°cos75°=sin450cos15-cos45sin15°=sin(45O-15)=—故B正確;

tan22.5。1tan22.5°+tan22.5°

—x-----------------=-xtan(22.5°x2)=-xtan45°=-,故C正

1-tan222.5°21-tan222.5°2''22

確；

tan20°+tan25°+tan20°tan25°=tan450(1-tan20°tan25°)+tan20°tan25

=1—tan20tan25+tan20tan25=1,故D錯誤.

故選BC.

34

12.【答案】

【詳解】Q點A(L3),8(4,T),

uum?UlinI/T

AB=(3,-4),可得,回=j3?+(-4)~=5,

1uumi(34)

因此，與向量淺同方向的單位向量為：|?WT-AB=-(3,-4)=^-,--J.

13.【答案】{止2K-1或04x42}

【詳解】在數(shù)軸上表示出全集U,集合A,

根據(jù)補集的概念可知eA={H—2Wx4一l或0WXW2}.

工X

1O

14.【答案】

uuuiuuuuumuuii

ABAC.皿ABAC

【詳解】蠲'的分別表示48與AC方向的單位向量，故圈+的所在直線為

/3AC的平分線所在直線，

（tunuur、

ABACi01

又BC=O,故/BAC的平分線與3c垂直,

由三線合一得到A5=AC,取3c的中點E,

IULBiurI.ULUIJ-\uununriIUUI「IULULI「

因為AB-AC\=\CB\=2V2,AB+AC\=2\AE\=6<2,故］用=3垃,

以￡為坐標原點，3。所在直線為無軸，取所在直線為y軸，建立平面直角坐標系,

則B（V2,0）,C（-V2,0）,A（0,3V2）,

設(shè)D（—m,3mj,根￡［0,忘］,

muuuir//-\r-J?I1

則DBOC=（肛—3m）=10/—=10m--------------

當機=—■時，D9DC取得最小值，最小值為-『

105

25TTjrTT

15.【答案】(1)—(m)；(2)H=50sin(-x--)+60,其中0"K12；(3)

262

5.

—min.

2

【詳解】(1)因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙,

萬

故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為9三7T=二,

故/=3創(chuàng)卷50=*(：").

(2)建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)〃=Asin(wx+9)+B,

由題意知，T=12,所以卬=2彳7r=^TC,

1O

JT

又由A=r=50,3=110—50=60,所以”=50sin(2次+夕)+60,

6

JT

當％=0時，可得sino=—1,所以0二一一,

2

TTTT

故H關(guān)于時間f的函數(shù)解析式為a=50sin(^x-力+60,其中0<r<12.

(3)4^=50sin(^x-^)+60>85,即sin年尤一()2；,

令一+2左萬工一x——<——+2k冗,keZ,解得4+12左+,

6626

33

因為甲乙兩人相差五xl2=]inin,

又由4-；3=]5min,所以有：5min甲乙都有最佳視覺效果.

1、已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；

2、把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題；

3、根據(jù)實際問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)

形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進而加深理解函數(shù)的性質(zhì).

16.【答案】⑴W

⑵2

(3)1273

【詳解】(1)由a-ccos23=c+2Z?cosCcosjB,

可得。=c(l+cos2B)+2Z?cosCcosB=2ccos2B+2bccosCcosB=2cosB(ccosB+bcosC),

由正弦定理可得sinA=2cosB(sinCcosB+sinBcosC)=2sinAcosB,

jjr

因為sinA>0,所以COS3=2，又因為3E(0,TI),所以B二§；

(2)由弓玄定r王里nJ彳導/=/+—2accosB-a?+-2ac，——a?+-ac,

因為a+c=6,Z?=,所以3Q2=(Q+C)—3ac=36-3a(6-a),

解得。=2,所以c=4/=2\/^,

b

所以VABC外接圓的半徑為一=『^二2；

2sinB

jrjr

(3)因為=ZABC=-,所以/ABM=/CBM=—,

36

17rl兀1兀

XS^c=S+,?-acsin-=-ax4sin-+-cx4sin-,

ABCM23262o

所以下>ac=4〃+4c,所以=—+—,

4ac

當且僅當〃=2c=46時等號成立，所以a+4c的最小值為12G.

*.【答案】d)[4-1]

Q11

(2))U(-—,+oo)

【詳解】（1）依題意，a^=-lx2+0xl=-2.故；在力上的投影向量為

(2)依題意，ka-b=k(-l,0)-(2,1)=(-k-2,-1),：+21=(-1,0)+2(2,1)=(3,2),

由總』與5+21的夾角為鈍角，得(藍-認.&+2為＜0,且焉-，與5+21不共線,

Q1

則3(-4-2)-2＜0且2(-k-2)~3,解得及＞_$且％~于

Q11

所以實數(shù)%的取值范圍是)U(--,+CO)

18.【答案】⑴W

(2)4g+4

【詳解】(1)在VABC中，

選①：2csinBcosA=Z?(sinAcosB+cosAsinB),則2csinBcosA=bsin(A+B)=bsinC,

則由正弦定理得2cbeosA=bc,則cosA=—,

2

又Ae(O,乃)，所以A=1.

選②：sin\B+sin-C+cos2A—1=sin(A+B)sin(A+C),則sin2B+sin2C-sin2A=sinCsinB,

利用正弦定理得從+/-/=根，則cosA=j

又Aw(O/),所以A=《.

,bsinB+csinC-^sinA2.,序32_2）

選③：—嬴^—二百.,則利用正弦定理得

2L

則2cosA=[|SniA,則tanA=g,

又A?0/)，所以A=《.

(2)VABC的面積為166，則Sv.。=；AsinA==16JJ,即Z?c=64,

又〃=4,貝」由余弦定理可得/+/—/=2ACOSA,BPb2+c2-16=bc,BPb2+c2=80,

故僅+c)2="2+c2+2bc=208,則b+c=4y/13，

則VA3C的周長為4而+4.

JT

19.【答案】(1)%=—+E,左￡Z；

3

(2)

1_36；

(3)me{-1,1}

71

【詳解】(1)易知/(x)=sinCOXH---+-sincox--+COS0X