猜押01切線的有關(guān)題型（必考）

猜押3年福建

考情分析押題依據(jù)

考點真題

2024年

相切

第7題往年中考中，切線的證明是每年圓的知識點雖然繁多，但切線的概念在

的性

年

2023的必考題.而近三年的中考則以新課程標(biāo)準(zhǔn)中要求考生掌握;而切線的

質(zhì)

第題

21考查切線性質(zhì)為主，已知切線，考題,可以串聯(lián)三角形、四邊形知識點，

證明線段或者求解角度關(guān)系.無或是尺規(guī)作圖，考查學(xué)生的幾何應(yīng)用能

作與

論哪種考法，切線的重要性都可力.因此預(yù)計年將會繼續(xù)考查相

直線2022年2025

見一斑.切有關(guān)的題型.

相切第23題

的圓

押題預(yù)溜

題型一證明圓與直線相切

（2024?福建泉州?二模）

1.如圖，42為。。的直徑，D4和。。相交于點尸，NC平分點C在。。上，且

CDIDA,NC交昉于點尸.

⑴求證：C。是。。的切線;

（2）求證：ACPC=BC2.

試卷第1頁，共6頁

（2024?福建福州?模擬預(yù)測）

2.如圖，是。。的直徑，過點/作。。的切線NC,點尸是射線/C上的動點，連接

OP,過點8作8。〃。尸，交。。于點D,連接尸D.

（1）請補(bǔ)全圖形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）證明：尸。是的切線.

（2024?福建廈門?模擬預(yù)測）

3.如圖，已知NC與。。相切于點C,點。是。。上一點，且/D4c=2/01X7.

⑴求證：AD與。。相切；

3

（2）若sin/ODC=g,。。的半徑為6,求的長.

（2024?福建廈門?二模）

4.如圖，在中，ZACB=90°,以直角邊BC為直徑的。。交斜邊于點D點E

為邊NC的中點，連接并延長交5c的延長線于點F.

試卷第2頁，共6頁

（1）求證：直線是。。的切線；

（2）若tan8=且，BC=6,求陰影部分面積.

3

（2025?福建三明?一模節(jié)選）

5.如圖，在o48cD中，AB=AC,外接于△/BC.求證：4D是的切線

題型二已知圓與直線相切求解有關(guān)角的問題

（2024?福建?中考真題）

6.如圖，已知點48在。。上，ZAOB=72°,直線ACV與。。相切，切點為C,且C為々

（2024?福建福州?三模）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，點/的坐標(biāo)為（3,0）,點8為y軸正半軸上的一點，點C是第一

象限內(nèi)一點，且/C=2.tanZBOC=m,則冽的取值范圍是（）

A.m>V2B.m>3

C.V2—1<m<V2+1D.m>

（2024?福建漳州?二模）

8.如圖，45是OO的直徑，點。在OO上，0PlMc交于點。，CP為OO的切線.

試卷第3頁，共6頁

B/

o

a

pc

（1）求證：ZP=ZB；

（2）若。P=4,0D=2,求cosN的值.

（2024?福建南平?二模）

9.如圖，48為。。的直徑，￡為48的延長線上一點，EC是。。的切線，切點為C,過點

/作40,EC,交EC延長線于點。，連接NC,BC.

3

（2）己知8￡=2,sinZAED=~,求/。的長.

題型三已知圓與直線相切求線段關(guān)系

（2024?福建寧德?一模）

10.如圖，是。。的直徑，過圓上一點C作。。的切線，交的延長線于點尸，若

tan"PC=g,。。的半徑為2,則總的長是（）

11.如圖，是。。的直徑，是。。的切線，C為切點，的延長線交直線CD于點

E,連接4C,BC.若N4CD=60。，/C=3,則BE的長度是（）

試卷第4頁，共6頁

（2024?福建福州?三模）

12.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，N8是。。的直徑，過點C作。。的切線交

延長線于點E,且連接NC.

⑵若NCAB=40°,求NDCA的度數(shù).

題型四與相切有關(guān)的尺規(guī)作圖

（2024?福建福州?模擬預(yù)測）

13.如圖，在△NBC中，ZC=90°.

⑴求作分別與NC,8c相切，使得圓心。落在43上，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，已知。4=1,03=2,求tan5的值.

（22-23九年級上?福建廈門?期末）

14.如圖，PA,尸8是圓的切線，A,8為切點.

試卷第5頁，共6頁

A

BP

(1)求作：這個圓的圓心。(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)；

⑵在(1)的條件下，延長/。交射線依于C點，若4c=4,PA=3,請補(bǔ)全圖形，并求

QO的半徑.

(2024?福建廈門?二模)

15.如圖，在△N3C中，AB=AC,以48為直徑的。。交邊NC于點。，連接aD,過點C

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點8作。。的切線，交CE于點尸；(不寫作法，保留

作圖痕跡，標(biāo)明字母)

(2)在(1)的條件下，若C尸=4,3尸=8,求。。的半徑.

試卷第6頁，共6頁

1.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的

性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.也考查了切線的判定.

(1)連接OC,如圖，先證明AD〃OC,然后利用CD，。/得到CDLOC,然后根據(jù)切

線的判定方法得到結(jié)論；

(2)證明△CAPs^c48,然后利用相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接OC,

NOAC=ZOCA,

???/C平分

.-.ZDAC=ZOAC,

ADAC=ZOCA,

AD//OC,

CDVDA,

：.OCYCD,

.?.C。是。。的切線；

（2）證明：:48為。。的直徑,

ZACB=90°,

???/C平分,

ADAC=ABAC,

???ADAC=APBC,

ABAC=ZPBC,

答案第1頁，共16頁

???AACB=ZBCP,

,MACBSABCP,

AC_BC

''~BC~~PC'

-ACPC=BC2.

2.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)在射線NC取一點P,連接。尸，以點。為圓心，的長為半徑，畫弧，交

AO,PO干點、E,F,再以點3為圓心，g/。的長為半徑，畫弧，交20于點〃，最后以點”

為圓心，跖的長為半徑，畫弧，兩弧交于點G,連接3G并延長，交。。于點。即可；

(2)連接根據(jù)切線的性質(zhì)求出NP/O=90。，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)

求出40。尸=乙4。尸，根據(jù)全等三角形的判定推出A/0P為D0P(SAS),根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得出NPD0=ZPA0=90°,再根據(jù)切線的判定得出即可.

【詳解】(1)解：補(bǔ)全圖形如圖所示：

C

Pi

(2)解：證明：連接OD,

切。。于/,

■■.PA1AB,即/尸/。=90°,

???OP//BD,

："DBO=/AOP,ABDO=ZDOP,

OD=OB,

答案第2頁，共16頁

ZBDO=ZDBO,

ZDOP=ZAOP,

在A/OP和△OOP中，

AO=DO

<NAOP=ZDOP,

PO=PO

AAOP^DOP(SAS),

；.NPDO=NPAO,

???ZPAO=90°,

.-.ZPDO=90°,

即ODLPD,

是。。的半徑，

；.PD是<30的切線.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性

質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記圓的切線垂直于過切點的半徑是解

此題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析

(2)8

【分析】(1)延長。。交。。于點E,連接OC,CE,由切線的性質(zhì)得4CJ.OC,而DE

是。。的直徑，所以/ECD=/OC4=90。，貝i]/OCE=/4CD=90°-/OCD,因為

NEOC=NDAC=2NODC,所以A￡OCS皿。，則求得

ZODA=ZE+ZODC=90°,即可證明與。。相切；

(2)連接由切線長定理得NO4D=NCMC=，ND/C,因為/EOC=/D/C,

2

ZODC=^ZEOC,所以/O/D=/O0C,則詈=sinNO/。=sinNODC=|,求得

ON=go。=10,所以/￡>=Jo/?-。D」=8.

【詳解】(1)證明：延長。。交。。于點E,連接OC,CE,

答案第3頁，共16頁

:.ACLOC,

????！晔荗O的直徑，

ZECD=ZOCA=90°,

ZOCE=ZACD=900-ZOCD,

???/EOC=2NODC,ZDAC=2ZODC,

:"EOC=/DAC,

;MOCs皿c,

ZE=ZADC,

:.NODA=ZADC+ZODC=/￡+ZODC=90°,

???0。是OO的半徑，且

AD與OO相切.

(2)解：連接CM,

ZOAD=ZOAC=-ADAC,

2

由⑴得/EOC=ND4C,

/.-ZEOC=-ZDAC,

22

-ZODC=-ZEOC,

2

/.ZOAD=ZODC,

vZODA=ZECD=90°,00=6,

/.—=sinZOAD=sinZODC=-,

OA5

答案第4頁，共16頁

:.OA=-OD=-x6=\Q,

33

AD=y]OA2-OD2=>/102-62=8，

4。的長為8.

【點睛】此題重點考查同角的余角相等、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、相

似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析

9/-3

(2)-V3--it

【分析】(1)連接O2OE根據(jù)三角形中位線定理可得OE〃/8,從而得到

ZS=ZCOE,ZBDO=ZDOE,進(jìn)而得到/COE=NDOE,可證得ACOE之AOOE,從而得

到/OOE=/OCE=90。，即可求證；

(2)先根據(jù)tan8=之，求出/8=30。，根據(jù)圓周角定理求出/C。。=60。，解直角三角形

3

求出。尸=3力，再由S陰影=S4ODF-S扇形如C'即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接

F

■■■OC=OB,E為NC邊的中點，

OE//AB,

ZB=ZCOE,ZBDO=ZDOE,

OD=OB,

/B=ZBDO,

："COE=/DOE,

VOC=OD,ZCOE=ADOE.OE是公共邊,

答案第5頁，共16頁

.?.△C。髭△。困SAS),

,?20DE=/0CE=9。。,

???8為OO的半徑，

???直線是OO的切線；

(2)解：,?,tanB=1^,

3

???NB=30。,

???ZCOD=2ZB=60°,

???BC=6,

：.OD=OC=-BC=3

29

vZODF=90°,ZDOF=60°,

*'?DF=ODxtanNDOF=3>/3,

2

c_cc_1a/Ta60Kx3_9/T3

???S陰影=SqDF-S扇形ODC=-X3V3X3---=小3--7i.

236022

【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，圓周角定理，切線的判定，解直角三角形的相關(guān)計

算，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

5.見解析

【分析】連接。4。。，由平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)可證乙4。5=/。。，設(shè)

ZABC=ZACB=ZCAD=x,由圓周角定理得：ZAOC=2ZABC=2x,然后求出

NO4D=NO/C+ZCAD=90°,根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論

【詳解】證明：如圖，連接。4。。，

??,四邊形ABCD是平行四邊形,

??.AD//BC,

NCAD=/ACB,

???AB=AC,

答案第6頁，共16頁

.?./ABC=/ACB,

??.ZABC=AACB=/CAD,

設(shè)/ABC=NACB=/CAD=x,

由圓周角定理得：ZAOC=2ZABC=2x,

-OA=OC,

180。—240c

??.ZOAC=ZOCA=二90j

2

^ZOAD=ZOAC+ZCAD=90°-x+x=90°,

.-.OA1AD,

又??,O4是O。的半徑，

??.AD是OO的切線.

【點睛】此題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟

練掌握切線的判定，圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)。為我的中

點，三角形內(nèi)角和可求出/OC4=；x(180。-36。)=72。，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】???403=72。，。為標(biāo)的中點，

??.N/OC=36。

-OA=OC

ZOCA=|x(180°-36°)=72°

???直線MN與。。相切，

Z0CM=90°,

??.ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

7.D

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，解直角三角形的綜合，根據(jù)題意，以點A為圓心，以2為

半徑畫圓，當(dāng)4CL0C時，tan/BOC的值最小，根據(jù)解直角三角形的計算方法即可求解,

掌握解直角三角形的計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示，點4(3,0)為圓心，以2為半徑畫圓交x軸于點￡,尸，點C在。/

答案第7頁，共16頁

處在第一象限的弧上,

當(dāng)OC與。/相切時，tan/BOC的值最小，AC10C,且。4=3,AC=2,

???OC=JOA2-AC2=A/32-22=V5，

???ZAOB=ZAOC+ZBOC=90°,ZAOC+NOAC=90°,

ZBOC=ZOAC,

???tanZBOC=tanNOAC,

AC2

V5

???m>—，

2

故選：D.

8.(1)見解析

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、解直角三角形,

熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接。C,由切線的性質(zhì)和圓周角定理得出NOCP=90。，/4CB=90°,由平行線的

性質(zhì)得出NPOC=N/C2=90。，由此可得/尸=/0C8,再由等邊對等角即可得出

ZP=ZB；

(2)先證明乙4=/POC,再證明AOCOSACP。得出OC的長，再根據(jù)余弦的定義求解即

答案第8頁，共16頁

.-.ZOCP=90°,

??,/B是oo的直徑，

/ACB=90°,

vOPIfAC,

???ZPDC=ZACB=90°,

.-.ZPCD+ZP=90°,ZPCD+ZOCB=90°,

ZP=ZOCB,

,：OB=OC,

???/OCB=/B,

???NP=NB；

(2)解：由(1)知，ZOCP=ZACB=90°,/P=/B,

；.ZA=NPOC,

-ZODC=ZOCP=90°,/DOC=/DOC,

GCOs4CPO,

OP_PC

：'~OC~~OP"

???DP=4,OD=2,

OP=6,

2PC

OC6

解得：0c=26，

./…OC2百V3

??cosA=cosZ-POC==------=——?

OP63

9.(1)見解析

24

⑵M

【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解

題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,先得出N4CD=/BCO,即可得出/ZCD=/C歷1；

(2)設(shè)。。半徑為r,則OC=r.,OE^r+2,先求出r=3,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可

得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC.

答案第9頁，共16頁

D

AOCD=90°,BPZOCA+ZACD=90°,

?「AB為Q)O的直徑，

:.ZACB=90°,即N/CO+N3co=90。，

/.ZACD=ZBCO,

???OB=OC,

/BCO=/CBA,

:.ZACD=ZCBA.

(2)解：設(shè)。。半徑為八則OE=r+2,

在RtZXOEC中，

r=3,

AE=AB+BE,

.e.AE—8,

在中，

.//廠八AD

sinAAED------,

AE

24

AD=ZE?sinZAED=—.

5

10.A

【分析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，連接OC,利用切線的性

質(zhì)得NmP=9。。,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)由f4求出—即可解決問題.

【詳解】解：連接OC,

:CP是。。的切線,

答案第10頁，共16頁

.?.ZOCP=90°,

OC=BO=2,

tanZAPC^-

2

PC=4,

在R/AOC尸中，。尸=J0c2+才=6+1=2火,

:.PB=OP-OB=245-2,

故選：A.

11.A

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰

的兩個內(nèi)角的和、勾股定理等知識，連接OC,由切線的性質(zhì)得CDLOC,則

ZOCD=ZOCE=90°,所以//=/。。/=90。-//。=30。，則N8OC=2NN=60。，可證

明/E=N/=30。，ABOC是等邊三角形，貝|￡C=/C=3,BC=OB,NOBC=60°,再證

明ZBCE=/￡=30。，所以8E=8C=OS=OC,則OE=28￡,由

EC二lOE?-OC?=6BE=3，求得BE=5于是得到問題的答案.

【詳解】解：連接OC,則00=04=08,

???CD與O。相切于點C,NZCQ=60。，

.-.CD1OC,

：./OCD=/OCE=9G。,

NA=ZOCA=90°-ZACD=30°,

??.ZBOC=2ZA=60°,

ZE=90°-ZBOC=30。=ZA^BOC是等邊三角形,

...EC=AC=3,BC=OB,ZOBC=60°,

???/BCE=ZOBC—NE=60°-30°=30°=ZE,

??.BE=BC=OB=OC,

答案第11頁，共16頁

OE=2BE,

EC=y]OE2-OC2=y/（2BE）2-BE2=仙BE=3,

BE-VJ,

故選：A.

12.⑴見解析

（2）10°

【分析】（1）連接oc,根據(jù)切線性質(zhì)知道OCLCE,推出Q?〃在，結(jié)合等邊對等角和

平行線的性質(zhì)，推出/￡ZC=/Q4C,可得比=前，得證；

（2）根據(jù)圓周角定理及推論，可以知道NZCB=90。，結(jié)合NC/B=40。，得到的度數(shù),

然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，推出NEQC的度數(shù)，從而推出/EC。的度數(shù)，由（1）可

知/區(qū)4C=/CMC,再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)，從而得到ZDC4的度數(shù).

【詳解】（1）證明：如解圖，連接OC

???AE1CE

OC//AE

AEAC=ZOCA

???OA=OC

ZOAC=ZOCA

ZEAC=ZOAC

:.DC=BC

BC=CD；

(2)?「ZB是OO的直徑

.\ZACB=90°

???ZCAB=40°

答案第12頁，共16頁

，/ABC=90°-ZCAB=50°

v四邊形/BCD是O。的內(nèi)接四邊形

/EDC=AABC=50°

vAE1CE

.■/EC=90。

?.ZECD=90°-/EDC=90°-50°=40°

由⑴ZEAC=ZCAB=40°

ZECA=90°-ZEAC=50°

/./DCA=ZECA-/ECD=50°-40°=10°.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角、弧、弦三者的關(guān)系，圓周角的定理及推論，等腰

三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形兩個銳角互余，熟練掌

握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

13.（1）畫圖見解析

【分析】（1）作的角平分線C。，過。作2c的垂線，垂足為N,以。為圓心，ON

為半徑畫圓，則即為所求；

（2）由（1）得：（W_L/C,ON1BC,OM=ON,結(jié)合。4=1,OB=2,由面積可得

【詳解】（1）解：如圖，作/NC8的角平分線C。，過。作5c的垂線，垂足為N,以。為

圓心，ON為半徑畫圓，作OAf_L/C于

由角平分線的性質(zhì)可得：。到/C的距離為圓的半徑ON,

???/C是。。的切線，即

由作圖可得：8c是。。的切線，

.-.OO即為所求.

答案第13頁，共16頁

(2)解：由(1)得：OM1AC,ONVBC,OM=ON,

vZACB=90°f